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    这是一份2022-2023学年河南省安阳市文峰区安阳市第一中学高二下学期3月月考数学试题含解析,共17页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    2022-2023学年河南省安阳市文峰区安阳市第一中学高二下学期3月月考数学试题

     

    一、单选题

    1.已知数列为等差数列,若,则    

    A15 B16 C17 D18

    【答案】C

    【分析】利用等差数列的通项公式求解即可.

    【详解】因为数列为等差数列,设公差为

    所以,解得

    所以

    故选:C

    2.设函数处可导,且,则等于(    

    A B C1 D-1

    【答案】A

    【分析】对已知极限式子进行变形,结合导数的定义可得,从而可求出.

    【详解】解:由题意知

    所以

    故选:A.

    【点睛】本题考查了导数的定义,属于基础题.

    3.已知为等比数列,,公比为q,则对任意的正整数n的(    

    A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

    C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

    【答案】B

    【分析】,利用等比数列的通项公式,求得,结合的必要不充分条件,即可求解.

    【详解】,可得

    因为,所以,所以

    所以的必要不充分条件,

    所以对任意的正整数的必要不充分条件.

    故选:B.

    4.若函数处有极值10,则    

    A6 B C15 D6

    【答案】B

    【分析】先求出函数的导函数 ,然后根据在 有极值10,得到 ,求出满足条件的 ,然后验证在是否有极值,即可求出

    【详解】

    有极值10

    ,解得

    时,

    此时 处无极值,不符合题意

    经检验, 时满足题意

    故选:B

    5.若函数内存在单调递增区间,则实数a的取值范围是(    

    A B C D

    【答案】A

    【分析】求定义域,求导,分两种情况,结合函数单调性,求出,得到答案.

    【详解】定义域为

    时,恒成立,故函数上单调递减,不合题意,舍去;

    时,令,解得:,令,解得:

    上单调递增,在上单调递减,

    因为内存在单调递增区间,

    所以,故实数a的取值范围是.

    故选:A

    6.现准备将7台型号相同的健身设备全部分配给5个不同的社区,其中甲、乙两个社区每个社区至少2台,其他社区允许1台也没有,则不同的分配方案共有

    A35 B27 C29 D125

    【答案】A

    【分析】可以先分给甲、乙两个社区各2台设备,余下的三台设备任意分给五个社区,按分给一个社区、两个社区、三个社区分类,利用分类加法原理计算.

    【详解】根据题意,7台型号相同的健身设备是相同的元素,

    首先要满足甲、乙两个社区至少2台,可以先分给甲、乙两个社区各2台设备,

    余下的三台设备任意分给五个社区,

    分三种情况讨论:

    当三台设备都给一个社区时,有5种结果,

    当三台设备分为12两份分给2个社区时,有=20种结果,

    当三台设备按111分成三份时分给三个社区时,有=10种结果,

    不同的分配方案有5+20+10=35种结果

    故选:A

    7.设,则(    ).

    A B C D

    【答案】D

    【分析】ac变为与b相同的形式,构造函数,通过对函数求导,得到单调性,判断大小关系.

    【详解】

    ,则

    ,当时,

    上单调递减.

    .

    故选:D.

    8.已知函数是定义在的奇函数,当时,,则不等式的解集为(    

    A B

    C D

    【答案】D

    【分析】,由题意可得为定义域上的偶函数,且在上单调递增,在上单调递减;分两类讨论,将不等式等价转化为,分别解之即可.

    【详解】

    时,

    时,

    上单调递减;

    的奇函数,

    ,即为偶函数,

    上单调递增;

    又由不等式

    ,即时,不等式可化为,即

    上单调递减得,解得,故

    ,即时,不等式可化为,即

    上单调递增得,解得,故

    综上所述,不等式的解集为:

    故选:D

     

    二、多选题

    9.以下函数求导正确的是(    )

    A.若,则

    B.若

    C.若,则

    D.设的导函数为,且,则

    【答案】ACD

    【分析】利用求导法则逐项检验即可求解.

    【详解】对于A,故A正确;

    对于B,故B错误;

    对于C,故C正确;

    对于D,所以,故D正确.

    故选:ACD.

    10.已知数列的通项公式为,则(    

    A.数列为递增数列 B

    C为最小项 D为最大项

    【答案】CD

    【分析】根据数列的通项公式,利用分离常数法得出,结合及函数的性质即可判断ACD;求得即可判断B

    【详解】

    ()时,,且单调递减;当()时,,且单调递减,

    为最小项,为最大项,故CD正确,A错误;

    ,则,故B错误,

    故选:CD

    11.已知公差为d的等差数列,其前n项和为,且,则下列结论正确的为(    

    A为递增数列 B为等差数列

    C.当取得最大值时, D.当时,d的取值范围为

    【答案】BD

    【分析】通过等差数列前项和公式和下标和性质即可得到,则可判断AC,而则可判断B,而通过,则可得到关于的不等式组,即可判断D.

    【详解】A,即

    ,则,而,故

    为递减数列,故A错误;

    B,设的首项为,则

    ,故数列是以为首项,公差为的等差数列,故B错误;

    C,由A,即,则,而,即

    ,而,当取得最大值时,,故C错误;

    D,当时,由A,即

    ,解得,故D正确.

    故选:BD.

    12.已知函数,则(    

    A.当时,函数的极大值为

    B.若函数图象的对称中心为,则

    C.若函数上单调递增,则

    D.函数必有3个零点

    【答案】BD

    【分析】根据函数极大值的定义,结合函数的导数的性质、函数零点的定义逐一判断即可.

    【详解】A项:当时,,则,所以单调递增,在单调递减,在单调递增,所以极大值为,故错误;

    B项:因为函数图象的对称中心为

    所以有,故正确;

    C项:恒成立,显然必有两根,则递减,故错误;

    D项:必有2相异根,且非零,故必有3个零点,故正确.

    故选择:BD

     

    三、填空题

    13.已知函数的单调递减区间为,则的值为________

    【答案】

    【分析】分析可知不等式的解集为,利用韦达定理可求得实数的值.

    【详解】函数的定义域为,且

    由题意可知,不等式的解集为,所以,,解得.

    故答案为:.

    14.数列的前项和,则该数列的通项公式为______.

    【答案】

    【分析】可求得数列的通项公式.

    【详解】时,

    时,.

    不满足.

    所以,.

    故答案为:.

    15.将红、黄、绿三种不同的颜色均涂入图中五个区域中,每个区域涂一种颜色,且相邻的区域不能涂同一种颜色,不同的涂色方法共有__.(三种颜色必须用全,以数字作答)

    【答案】42

    【分析】利用计数原理分步分类讨论求解.

    【详解】由题意,不妨从左至右按编号,由于三种颜色必须用全,第一步涂一号有三种涂法,第二步涂二号有二种涂法第三步涂三号时可分为两类研究,若三号与一号同则后两框必一框涂色与一号二号不同,与若三号与一号不同,由于三种颜色已全部用上,故后两框涂色只需要满足同色不相邻即可,

    故总的涂色方法为

    故答案为:42.

    16.若关于的不等式恒成立,则实数的取值范围是______.

    【答案】

    【分析】由题可知,当时,可得适合题意,当时,可求函数的最小值即得,当时不合题意,即得.

    【详解】,由题可知

    时,,适合题意,所以

    时,令,则

    此时时,单调递减,单调递增,

    ,又

    ,即

    解得

    时,时,,故的值有正有负,不合题意;

    综上,实数的取值范围是.

    故答案为:.

    【点睛】关键点点睛:本题考查不等式恒成立求参数的取值范围,设由题可知,当时,利用导数可求函数的最小值,结合,可得,进而通过解,即得.

     

    四、解答题

    17.已知公比大于1的等比数列的前6项和为126,且成等差数列.

    (1)求数列的通项公式;

    (2),求数列的前项和

    【答案】(1)

    (2)

     

    【分析】1)根据已知条件求得等比数列的首项和公比,从而求得.

    2)利用错位相减求和法求得.

    【详解】1)设等比数列的公比为

    依题意

    ,解得,所以.

    2

    两式相减得

    所以.

    18.已知函数

    (1)时,求曲线处的切线方程;

    (2)求函数的单调区间.

    【答案】(1)

    (2)答案见解析

     

    【分析】1)求出导函数,利用导数的几何意义即可求解.

    2)求出导函数,分情况求解不等式即可得解.

    【详解】1)当时,

    ,所以,又

    所以曲线在点处的切线方程为,即.

    2

    ,令,由,由

    所以的单调递增区间为,单调递减区间为

    ,令

    时,由,由

    所以的单调递增区间为,单调递减区间为

    时,,所以的单调增区间为,无单调减区间;

    时,由,由

    所以的单调增区间为,单调递减区间为.

    19.已知数列的前n项和为

    (1)求数列的通项公式;

    (2),数列的前n项和为,求的取值范围.

    【答案】(1)

    (2)

     

    【分析】1)将代入已知式子可得是等差数列,进而得到的通项公式,再由的关系求出的通项公式.

    2)由裂项相消求和可得,再由的单调性可求得其范围.

    【详解】1)因为,所以由

    ,所以

    所以,即

    中,令n=1,得,所以a1=1

    所以数列是首项为1,公差为1的等差数列,

    所以,即:

    时,

    也适合上式,

    所以数列的通项公式为

    2)由(1)知,

    所以

    因为bn0,所以随着n的增大而增大,所以

    又显然,所以,即的取值范围为

    20.已知函数.

    (1)的一个极值点,求实数a的值并此函数的极值;

    (2)恰有两个零点,求实数a的取值范围.

    【答案】(1),极小值为,无极大值

    (2)

     

    【分析】1)由求得,结合函数的单调性求得的极值.

    2)由分离常数,利用构造函数法,结合导数求得的取值范围.

    【详解】1,依题意

    此时,所以在区间递减;

    在区间递增.

    所以的极小值为,无极大值.

    2)依题意有两个解,

    ,所以不是的解,

    时,由

    构造函数

    所以在区间递增;

    在区间递减.

    时,;当时,

    ,要使的图象有两个交点,

    则需.

    综上所述,的取值范围是.

    【点睛】根据极值点求参数,要注意的是由求得参数后,要根据函数的单调区间进行验证,因为导数为零的点,不一定是极值点.利用导数研究函数的零点,可以考虑分离常数法,通过分离常数,然后利用构造函数法,结合导数来求得参数的取值范围.

    21.已知数列满足,且.

    (1)求证:数列是等比数列,并求的通项公式;

    (2)对任意的恒成立,求实数的取值范围.

    【答案】(1)证明过程见解析,

    (2)

     

    【分析】1)根据题意结合等比数列定义证明为等比数列,得到,再证明为等比数列,进而可求得

    2)在第一问的基础上,分为奇数和为偶数两种情况,利用作差法得到的单调性,进而列出不等式,求出实数的取值范围.

    【详解】1,则,且

    故数列是首项为,公比为3为等比数列,

    ,则

    可得,且

    故数列首项为,公比为的等比数列,

    ,故.

    2)由(1)可得:,即

    对任意的恒成立,等价于对任意的恒成立,

    ,则时恒成立,

    故数列是递增数列,

    为奇数时,则对任意的恒成立,,可得,解得

    为偶数时,则对任意的恒成立,,可得,解得

    综上所述:实数的取值范围.

    22.已知函数

    (1)的单调区间:

    (2)有两个零点,求a的取值范围;

    (3)时,,求a的取值范围.

    【答案】(1)的单调减区间为,单调增区间为.

    (2)

    (3)

     

    【分析】1)求出函数的导数,结合,判断导数正负,可得答案;

    2)根据题意要使函数有两个零点,需使得函数最小值小于0,列出不等式,求得答案;

    3)将不等式恒成立化为上恒成立,从而构造函数,利用导数求其最小值,结合解不等式,可求得答案.

    【详解】1)由题意,函数定义为

    上单调递增,且

    故当时,,当时,

    的单调减区间为,单调增区间为.

    2)由(1)可知时取得最小值,

    而当,且x趋近于0时,趋近于0趋于无穷大,则趋于无穷大,

    趋于无穷大时,趋于无穷大,趋于,则趋于无穷大,

    .

    故要使有两个零点,需有

    a的取值范围为.

    3)当时,,即

    上恒成立,

    ,函数上单调递增,

    且当趋近于0时且时,都趋于无穷小,则趋近于无穷小,

    趋于无穷大时,趋于无穷大,趋于0,则趋于无穷大,

    .

    上必有唯一零点,设为,即,且

    时,上单调递减,

    时,上单调递增,

    由题意可知当时,恒成立,需上恒成立,

    ,即

    所以,即

    时,,不合题意;

    时,,又,则

    故结合,由于函数恒成立,

    可得,即

    时,,又,则,则

    ,又

    综合上述,即a得取值范围为.

    【点睛】方法点睛:导函数中常用的两种常用的转化方法:

    一是利用导数研究含参函数的单调性,常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用;

    二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极()值问题处理.

     

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