2022-2023学年河南省安阳市文峰区安阳市第一中学高二下学期3月月考数学试题含解析
展开2022-2023学年河南省安阳市文峰区安阳市第一中学高二下学期3月月考数学试题
一、单选题
1.已知数列为等差数列,若,,则( )
A.15 B.16 C.17 D.18
【答案】C
【分析】利用等差数列的通项公式求解即可.
【详解】因为数列为等差数列,设公差为,
所以,解得,
所以,
故选:C
2.设函数在处可导,且,则等于( )
A. B. C.1 D.-1
【答案】A
【分析】对已知极限式子进行变形,结合导数的定义可得,从而可求出.
【详解】解:由题意知,
所以,
故选:A.
【点睛】本题考查了导数的定义,属于基础题.
3.已知为等比数列,,公比为q,则“”是“对任意的正整数n,”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由,利用等比数列的通项公式,求得,结合为的必要不充分条件,即可求解.
【详解】由,可得,
因为,所以,所以,
所以为的必要不充分条件,
所以“”是 “对任意的正整数,”的必要不充分条件.
故选:B.
4.若函数在处有极值10,则( )
A.6 B. C.或15 D.6或
【答案】B
【分析】先求出函数的导函数 ,然后根据在 时 有极值10,得到 ,求出满足条件的 ,然后验证在 时是否有极值,即可求出
【详解】 ,
又 时 有极值10
,解得 或
当 时,
此时 在 处无极值,不符合题意
经检验, 时满足题意
故选:B
5.若函数在内存在单调递增区间,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】求定义域,求导,分和两种情况,结合函数单调性,求出,得到答案.
【详解】定义域为,
,,
当时,恒成立,故函数在上单调递减,不合题意,舍去;
当时,令,解得:,令,解得:,
故在上单调递增,在上单调递减,
因为在内存在单调递增区间,
所以,故实数a的取值范围是.
故选:A
6.现准备将7台型号相同的健身设备全部分配给5个不同的社区,其中甲、乙两个社区每个社区至少2台,其他社区允许1台也没有,则不同的分配方案共有
A.35种 B.27种 C.29种 D.125种
【答案】A
【分析】可以先分给甲、乙两个社区各2台设备,余下的三台设备任意分给五个社区,按分给一个社区、两个社区、三个社区分类,利用分类加法原理计算.
【详解】根据题意,7台型号相同的健身设备是相同的元素,
首先要满足甲、乙两个社区至少2台,可以先分给甲、乙两个社区各2台设备,
余下的三台设备任意分给五个社区,
分三种情况讨论:
①当三台设备都给一个社区时,有5种结果,
②当三台设备分为1和2两份分给2个社区时,有2×=20种结果,
③当三台设备按1、1、1分成三份时分给三个社区时,有=10种结果,
∴不同的分配方案有5+20+10=35种结果
故选:A.
7.设,,,则( ).
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】将a,c变为与b相同的形式,构造函数,通过对函数求导,得到单调性,判断大小关系.
【详解】∵,,
令,则,,,
,当时,,
即在上单调递减.
∵,
∴,
即.
故选:D.
8.已知函数是定义在的奇函数,当时,,则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【分析】令,由题意可得为定义域上的偶函数,且在上单调递增,在上单调递减;分与两类讨论,将不等式等价转化为与,分别解之即可.
【详解】令,
当时,,
当时,,
在上单调递减;
又为的奇函数,
,即为偶函数,
在上单调递增;
又由不等式得,
当,即时,不等式可化为,即,
由在上单调递减得,解得,故;
当,即时,不等式可化为,即,
由在上单调递增得,解得,故;
综上所述,不等式的解集为:.
故选:D.
二、多选题
9.以下函数求导正确的是( )
A.若,则
B.若则
C.若,则
D.设的导函数为,且,则
【答案】ACD
【分析】利用求导法则逐项检验即可求解.
【详解】对于A,,故A正确;
对于B,,故B错误;
对于C,,故C正确;
对于D,,所以,故D正确.
故选:ACD.
10.已知数列的通项公式为,则( )
A.数列为递增数列 B.
C.为最小项 D.为最大项
【答案】CD
【分析】根据数列的通项公式,利用分离常数法得出,结合及函数的性质即可判断A、C、D;求得即可判断B.
【详解】,
当()时,,且单调递减;当()时,,且单调递减,
则为最小项,为最大项,故C、D正确,A错误;
,,则,故B错误,
故选:CD.
11.已知公差为d的等差数列,其前n项和为,且,,则下列结论正确的为( )
A.为递增数列 B.为等差数列
C.当取得最大值时, D.当时,d的取值范围为
【答案】BD
【分析】通过等差数列前项和公式和下标和性质即可得到,,,,则可判断AC,而则可判断B,而通过,,则可得到关于的不等式组,即可判断D.
【详解】对A,,即,,
即,,则,而,故,
故为递减数列,故A错误;
对B,设的首项为,则,
,故数列是以为首项,公差为的等差数列,故B错误;
对C,由A知,即,则,而,即,
则,而,当取得最大值时,,故C错误;
对D,当时,由A知,,即,
即,解得,故D正确.
故选:BD.
12.已知函数,则( )
A.当时,函数的极大值为
B.若函数图象的对称中心为,则
C.若函数在上单调递增,则或
D.函数必有3个零点
【答案】BD
【分析】根据函数极大值的定义,结合函数的导数的性质、函数零点的定义逐一判断即可.
【详解】A项:当时,,则,所以在单调递增,在单调递减,在单调递增,所以极大值为,故错误;
B项:因为函数图象的对称中心为,
所以有,故正确;
C项:恒成立,显然必有两根,则在递减,故错误;
D项:必有2相异根,且非零,故必有3个零点,故正确.
故选择:BD
三、填空题
13.已知函数的单调递减区间为,则的值为________.
【答案】
【分析】分析可知不等式的解集为,利用韦达定理可求得实数的值.
【详解】函数的定义域为,且,
由题意可知,不等式的解集为,所以,,解得.
故答案为:.
14.数列的前项和,则该数列的通项公式为______.
【答案】
【分析】由可求得数列的通项公式.
【详解】当时,;
当时,.
不满足.
所以,.
故答案为:.
15.将红、黄、绿三种不同的颜色均涂入图中五个区域中,每个区域涂一种颜色,且相邻的区域不能涂同一种颜色,不同的涂色方法共有__种.(三种颜色必须用全,以数字作答)
【答案】42
【分析】利用计数原理分步分类讨论求解.
【详解】由题意,不妨从左至右按编号,由于三种颜色必须用全,第一步涂一号有三种涂法,第二步涂二号有二种涂法第三步涂三号时可分为两类研究,若三号与一号同则后两框必一框涂色与一号二号不同,与若三号与一号不同,由于三种颜色已全部用上,故后两框涂色只需要满足同色不相邻即可,
故总的涂色方法为种
故答案为:42.
16.若关于的不等式恒成立,则实数的取值范围是______.
【答案】
【分析】设由题可知,当时,可得适合题意,当时,可求函数的最小值即得,当时不合题意,即得.
【详解】设,由题可知,
∴,
当时,,适合题意,所以,
当时,令,则,
此时时,,单调递减,,,单调递增,
∴,又,
∴,
∴,即,
解得,
当时,时,,,故的值有正有负,不合题意;
综上,实数的取值范围是.
故答案为:.
【点睛】关键点点睛:本题考查不等式恒成立求参数的取值范围,设由题可知,当时,利用导数可求函数的最小值,结合,可得,进而通过解,即得.
四、解答题
17.已知公比大于1的等比数列的前6项和为126,且,,成等差数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,求数列的前项和;
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据已知条件求得等比数列的首项和公比,从而求得.
(2)利用错位相减求和法求得.
【详解】(1)设等比数列的公比为,,
依题意,
即,解得,所以.
(2),
,
,
两式相减得
,
所以.
18.已知函数.
(1)当时,求曲线在处的切线方程;
(2)求函数的单调区间.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】(1)求出导函数,利用导数的几何意义即可求解.
(2)求出导函数,分情况求解不等式和即可得解.
【详解】(1)当时,,,
,所以,又,
所以曲线在点处的切线方程为,即.
(2),
当,令得,由得,由得,
所以的单调递增区间为,单调递减区间为
当,令得,
当时,由得或,由得,
所以的单调递增区间为和,单调递减区间为;
当时,,所以的单调增区间为,无单调减区间;
当时,由得或,由得,
所以的单调增区间为和,单调递减区间为.
19.已知数列的前n项和为,,.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,数列的前n项和为,求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)将代入已知式子可得是等差数列,进而得到的通项公式,再由与的关系求出的通项公式.
(2)由裂项相消求和可得,再由的单调性可求得其范围.
【详解】(1)因为,所以由,
得,所以,
所以,即.
在中,令n=1,得,所以a1=1.
所以数列是首项为1,公差为1的等差数列,
所以,即:.
当时,,
也适合上式,
所以数列的通项公式为.
(2)由(1)知,,
所以,
因为bn>0,所以随着n的增大而增大,所以,
又显然,所以,即的取值范围为.
20.已知函数.
(1)若为的一个极值点,求实数a的值并此函数的极值;
(2)若恰有两个零点,求实数a的取值范围.
【答案】(1),极小值为,无极大值
(2)
【分析】(1)由求得,结合函数的单调性求得的极值.
(2)由分离常数,利用构造函数法,结合导数求得的取值范围.
【详解】(1),依题意,
此时,所以在区间递减;
在区间递增.
所以的极小值为,无极大值.
(2)依题意①有两个解,
,所以不是①的解,
当时,由①得,
构造函数,
,
所以在区间递增;
在区间递减.
当时,;当时,,
,要使与的图象有两个交点,
则需.
综上所述,的取值范围是.
【点睛】根据极值点求参数,要注意的是由求得参数后,要根据函数的单调区间进行验证,因为导数为零的点,不一定是极值点.利用导数研究函数的零点,可以考虑分离常数法,通过分离常数,然后利用构造函数法,结合导数来求得参数的取值范围.
21.已知数列满足,,且.
(1)求证:数列是等比数列,并求的通项公式;
(2)若对任意的恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(1)证明过程见解析,
(2)
【分析】(1)根据题意结合等比数列定义证明为等比数列,得到,再证明为等比数列,进而可求得;
(2)在第一问的基础上,分为奇数和为偶数两种情况,利用作差法得到的单调性,进而列出不等式,求出实数的取值范围.
【详解】(1)∵,则,且,
故数列是首项为,公比为3为等比数列,
∴,则,
可得,且,
故数列首项为,公比为的等比数列,
∴,故.
(2)由(1)可得:,即,
故对任意的恒成立,等价于对任意的恒成立,
设,则当时恒成立,
故数列是递增数列,
当为奇数时,则对任意的恒成立,,可得,解得;
当为偶数时,则对任意的恒成立,,可得,解得;
综上所述:实数的取值范围.
22.已知函数.
(1)求的单调区间:
(2)若有两个零点,求a的取值范围;
(3)当时,,求a的取值范围.
【答案】(1)的单调减区间为,单调增区间为.
(2)
(3)
【分析】(1)求出函数的导数,结合,判断导数正负,可得答案;
(2)根据题意要使函数有两个零点,需使得函数最小值小于0,列出不等式,求得答案;
(3)将不等式恒成立化为在上恒成立,从而构造函数,利用导数求其最小值,结合解不等式,可求得答案.
【详解】(1)由题意,函数定义为 ,
则,在上单调递增,且,
故当时,,当时,,
故的单调减区间为,单调增区间为.
(2)由(1)可知在时取得最小值,
即,
而当,且x趋近于0时,趋近于0,趋于无穷大,则趋于无穷大,
当趋于无穷大时,趋于无穷大,趋于,则趋于无穷大,
.
故要使有两个零点,需有 ,
即a的取值范围为.
(3)当时,,即,
即在上恒成立,
令,
则,函数在上单调递增,
且当趋近于0时且时,与都趋于无穷小,则趋近于无穷小,
当趋于无穷大时,趋于无穷大,趋于0,则趋于无穷大,
.
故在上必有唯一零点,设为,即,且,
当时,,在上单调递减,
当时,,在上单调递增,
故,
由题意可知当时,恒成立,需在上恒成立,
即,即,
所以,即 ,
当时,,不合题意;
当时,,又,则,
故结合,由于函数在恒成立,
可得,即;
当时,,又,则,则,
即,又,
故,
综合上述或,即a得取值范围为.
【点睛】方法点睛:导函数中常用的两种常用的转化方法:
一是利用导数研究含参函数的单调性,常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用;
二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理.
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