2024年高考数学一轮复习（新高考方案）课时跟踪检测(二十八) 简单的三角恒等变换

课时跟踪检测(二十八) 简单的三角恒等变换

一、全员必做题

1．(2023·济宁模拟)把cos2x＋3sin2x＋2sin xcos x化成Asin(ωx＋φ)＋B的形式为(　 )

A．2sin＋2  B．2sin＋2

C．2sin＋2  D.2sin＋2

答案：A

2．设sin＝－cos α，则cos＝(　 )

A．－  B．  C．－  D.

解析：选D　sin＝sin α·＋cos α·＝－cos α，即sin α·＋cos α·＝，所以sin α·＋cos α·＝，即cos＝，所以cos＝2cos2－1＝2×－1＝.

3．若cos＝sin，则＝(　 )

A．1  B．  C.  D.2

解析：选B　因为cos＝sin，所以tan＝2，所以＝＝＝＝＝.

4．(2023·福州模拟)若sin α＝－，且α∈，则＝(　 )

A.  B．－  C．2  D.－2

解析：选D　sin α＝2sincos＝－，故＝＝－，解得tan＝－或tan＝－3，又α∈，故∈，则tan＝－3，故＝－2.

5．(多选)已知sin 10°＝a，则－的值用a可以表示为(　 )

A.  B．  C．16a  D.32a

解析：选AD　－＝＝＝＝＝，又∵sin 30°＝sin(10°＋20°)＝sin 10°cos 20°＋cos 10°sin 20°＝sin 10°(1－2sin210°)＋2sin 10°cos210°＝3sin 10°－4sin310°＝，∴3a－4a3＝，故6a－8a3＝1，得到＝＝＝32a.

6．若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是(　 )

A.  B．

C.或  D.或

解析：选A　∵α∈，∴2α∈.∵sin 2α＝，∴2α∈，∴α∈，cos 2α＝－.∵β∈，∴β－α∈，∴cos(β－α)＝－，∴cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos 2αcos(β－α)－sin 2αsin(β－α)＝×－×＝.又∵α＋β∈，∴α＋β＝.

7．已知sin＝，α∈，则cos的值为________．

解析：由已知得cos α＝，sin α＝－，所以cos＝cos α＋sin α＝－.

答案：－

8．已知锐角α满足2cos 2α＝cos，则sin 2α＝________.

解析：因为2cos 2α＝cos，所以2(cos2α－sin2α)＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝(cos α＋sin α)，因为α为锐角，所以cos α＋sin α>0，则cos α－sin α＝，两边同时平方可得，1－sin 2α＝，所以sin 2α＝.

答案：

9．已知α∈，β∈，满足sin(α＋β)－sin α＝2sin αcos β，则的最大值为________．

解析：由sin(α＋β)－sin α＝2sin αcos β，得sin αcos β＋cos αsin β－2sin αcos β＝sin α，化简得sin(β－α)＝sin α，∴＝.又∵α∈，∴sin α≠0，∴＝2cos α，∵≤cos α≤，∴1≤2cos α≤，则的最大值为.

答案：

10．求值：＝____________.

解析：原式＝

＝＝

＝

＝＝＝.

答案：

11．已知tan＝2，α∈.

(1)求sin α的值；

(2)求的值．

解：(1)因为tan＝2，所以＝2，解得tan α＝，

因为α∈，所以α∈，

又解得sin α＝或sin α＝－(舍去)．

(2)

＝

＝＝1.

12．已知f(θ)＝.

(1)若f(θ)＝，求cos 2θ的值；

(2)若f＝，且<θ<，求sin θ的值．

解：(1)f(θ)＝＝＝cos θ，

因为f(θ)＝cos θ＝，所以cos 2θ＝2cos2θ－1＝－.

(2)因为f＝cos＝，<θ<，

所以0<θ－<，sin＝，

所以sin θ＝sin＝sincos＋cossin＝×＋×＝.

二、重点选做题

1．(多选)下列各式中，值为的是(　 )

A．2

B.

C．cos 15°－sin 15°

D．16sin 10°cos 20°cos 30°cos 40°

解析：选ABD　对于A,2＝2＝cos－cos＝＋＝，故A正确；对于B，＝＝tan(45°＋15°)＝tan 60°＝，故B正确；对于C，cos 15°－sin 15°＝2＝2(sin 30°cos 15°－cos 30°sin 15°)＝2sin(30°－15°)＝2sin 15°＝2sin(45°－30°)＝2(sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°)＝2＝，故C错误；对于D,16sin 10°cos 20°cos 30°cos 40°＝16×[sin 30°＋sin(－10°)]cos 30°cos 40°＝8sin 30°cos 30°cos 40°－8sin 10°cos 30°cos 40°＝8×cos 40°－8×[sin 40°＋sin(－20°)]cos 40°＝2cos 40°－4sin 40°cos 40°＋4sin 20°cos 40°＝2cos 40°－2sin 80°＋4×[sin 60°＋sin(－20°)]＝2cos 40°－2sin 80°＋－2sin 20°＝2cos 40°－4sin 50°cos 30°＋＝2(cos 40°－sin 50°)＋＝2(cos 40°－cos 40°)＋＝，故D正确．

2.随着智能手机的普及，手机摄影越来越得到人们的喜爱，要得到美观的照片，构图是很重要的，用“黄金分割构图法”可以让照片感觉更自然、更舒适，“黄金九宫格”是黄金分割构图的一种形式，是指把画面横、竖各分三部分，以比例1∶0.618∶1为分隔，4个交叉点即为黄金分割点．如图，分别用A，B，C，D表示黄金分割点．若照片长、宽比例为8∶5，设∠CAB＝α，则－tan α＝(　 )

A．－  B．  C.  D.

解析：选B　依题意，得＝，所以tan α＝，所以－tan α＝－tan α＝－tan α＝＝＝＝.

3．已知tan α，tan β是方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根，有以下四个命题：甲：tan(α＋β)＝－；乙：tan αtan β＝；丙：＝；丁：tan αtan β·tan(α＋β)－tan(α＋β)＝.如果其中只有一个假命题，则该命题是(　 )

A．甲  B．乙  C．丙  D.丁

解析：选B　因为tan α，tan β是方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根，所以tan α＋tan β＝－，tan α·tan β＝，则甲：tan(α＋β)＝＝＝＝－；丙：＝＝＝＝－＝.若乙、丁都是真命题，则tan α＋tan β＝－，tan αtan β＝，所以tan(α＋β)＝＝＝，＝＝＝＝－，此时甲、丙都是假命题，与题意不符，所以乙、丁一真一假，假设丁是假命题，由甲和丙得a－c＝2b，－5(a＋c)＝4b，所以2(a－c)＝－5(a＋c)，即7a＋3c＝0，所以＝－，与乙不符，假设不成立；假设乙是假命题，由甲和丙得7a＋3c＝0，又a－c＝2b，所以3b＝5a，则＝，与丁相符，假设成立．故假命题是乙．

4．已知函数f(x)＝sin2＋cos＋sin.

(1)求f的值；

(2)求函数f(x)在上的值域．

解：(1)f(x)＝sin2＋cos＋sin＝＋2

＝－cos＋2sin

＝－cos＋2sin

＝－cos＋2cos

＝－cos＋2

＝4cos2－cos－，

f＝4cos2－cos－＝.

(2)因为x∈，所以2x－∈，

cos∈，

令t＝cos∈，

则f(x)＝g(t)＝4t2－t－＝42－，

当t＝时，g(t)min＝－，当t＝1时g(t)max＝2，

所以f(x)的值域是.