2023年黑龙江省佳木斯市中考数学一模试卷(含答案)

这是一份2023年黑龙江省佳木斯市中考数学一模试卷(含答案)，共34页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年黑龙江省佳木斯市中考数学一模试卷
一、选择题（每题3分，满分30分）
1．（3分）下列运算中，计算正确的是（　　）
A．（a+b）2＝a2+b2 B．
C．（﹣a3）3＝a6 D．a4÷a﹣2＝a6
2．（3分）“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．在下列与扬州有关的标识或简图中，不是轴对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
3．（3分）学校举办立定跳远比赛，七年级（1）班参加比赛的8名同学立定跳远的成绩（单位：cm）分别是169，171，180，178，182，176，166，176，则这8个数据的中位数是（　　）
A．181 B．175 C．176 D．177
4．（3分）如图是由若干个相同的小正方体搭成一个几何体的主视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最多是（　　）

A．6 B．5 C．4 D．3
5．（3分）黑龙江省中学生排球锦标赛共进行了110场双循环比赛，则参加比赛的队伍共有（　　）
A．8支 B．9支 C．10支 D．11支
6．（3分）已知关于x的分式方程无解，则m的值是（　　）
A．1 B．1或2 C．0或2 D．0或1
7．（3分）某班级奖励“德、智、体、美、劳”五育表现优异的学生，计划用不超过100元购买A，B两种笔记本作为奖品，A种笔记本每本8元，B种笔记本每本10元，每种笔记本至少买4本，则购买方案有（　　）
A．7种 B．8种 C．9种 D．10种
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A在反比例函数的图象上，顶点B在反比例函数的图象上，点C在x轴的正半轴上，平行四边形OABC的面积是3，则a﹣b的值是​（　　）

A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣5
9．（3分）如图，P是正方形ABCD内一点，AP＝3，BP＝2，，则正方形ABCD的面积是（　　）
​​

A．13+6 B．13 C． D．
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，E为边AB上一点，过点D作DF⊥DE，与BC的延长线交于点F．连接EF，与边CD交于点G，与对角线BD交于点H，DI⊥EF与BC相交于点I．下列结论：①AE＝CF；②；③∠ADE+∠EFB＝45°；④若，则BE＝；⑤连接EI，则EI＝AE+CI．其中结论正确的序号是​（　　）

A．①②④ B．①②③⑤ C．③④⑤ D．①②③④⑤
二、填空题（每题3分，满分30分）
11．（3分）我国经济总量占世界经济的比重稳居世界第二位，国内生产总值已达到114万亿元，将数据114万亿用科学记数法表示为 　 　．
12．（3分）在函数中，自变量的取值范围是 　 　．
13．（3分）如图，已知四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O，AB＝CD，请添加一个条件　 　（只添一个即可），使四边形ABCD是平行四边形．

14．（3分）一个不透明的口袋中有2个红球和4个白球，这些球除颜第色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个球，摸到白球的概率是 　 　．
15．（3分）若关于x的一元一次不等式组有3个整数解，则a的取值范围是 　 　．
16．（3分）如图，AB是半⊙O的直径，点C是弧AB的中点，点E是弧AC的中点，连接EB、CA交于点F，则＝　 　．

17．（3分）半径为10cm的半圆围成一个圆锥，则这个圆锥的高是　 　cm．
18．（3分）如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，边长为3，P是对角线BD上的一个动点，则BP+PC最小值是 　 　．

19．（3分）在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝15，点E在边BC上．且∠AED＝90°，P是射线ED上的一个动点．若△AEP是等腰直角三角形，则CP的长为 　 　．
20．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，A4，…在x轴上且OA1＝1，OA2＝2OA1，OA3＝2OA2，OA4＝2OA3，…，按此规律，过点A1，A2，A3，A4，…作x轴的垂线分别与直线交于点B1，B2，B3，B4…．连接B1A2，B2A3，B3A3，…，记△B1A2B2，△B2A3B3，△B3A4B4，…的面积分别为S1，S2，S3，…，则S2023＝　 　．
​

三、解答题（满分60分）
21．（5分）先化简，再求值：，其中a＝2sin60°+3．
22．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2），将△ABC向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到△A1B1C1．
（1）画出△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）画出将△A1B1C1绕点O按逆时针方向旋转90°后的图形△A2B2C2；
（3）求△A1B1C1在旋转过程中扫过的面积．

23．（6分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，3），顶点为C，D是抛物线上一点．
（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；
（2）若，请直接写出点D的坐标．

24．（7分）为进一步落实“双减”工作，某校对部分学生的作业情况进行了问卷调查．设每名学生平均每天完成作业的时间为x小时，其中的分组情况如下：A组：0≤x＜0.5，B组：0.5≤x＜1：C组：1≤x＜1.5：D组：1.5≤x＜2：E组：x≥2．根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图如图所示．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次共调查了 　 　名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，求C组所对应的扇形圆心角的度数；
（4）若该校有1800名学生，请估计该校完成作业的时间少于2小时的学生有多少名．
25．（8分）小鑫和小许相约去猴石山游玩，小鑫骑自行车，小许骑电动车先后从学校出发沿同一路线匀速骑行，小许在骑行过程中的速度始终保持25km/h．设小鑫骑行的时间为x（单位：h），小许、小鑫两人之间的距离y（单位：km）关于x的函数图象如图所示，请解决以下问题：
（1）小鑫的速度是 　 　km/h，a＝　 　，b＝　 　；
（2）求出小许和小鑫第一次相遇之后，两人之间的距离y与小鑫骑行的时间x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）请直接写出小许出发多长时间，两人相距​．

26．（8分）在菱形ABCD中，点G在直线AD上，E为BC边的中点，EF∥BG交直线AD于点F．
（1）如图①，求证：；
（2）如图②、图③，请分别写出线段AG，DF，CD之间的数量关系，不需要证明．
​
27．（10分）为有效预防传染病的传播，学校需购买甲、乙两种消毒液每天对班级进行消杀工作，经了解，每桶甲种消毒液的售价比乙种消毒液的售价多10元，学校用600元和400元采购了相同桶数的甲、乙两种消毒液．
（1）求甲、乙两种消毒液的售价分别是每桶多少元；
（2）由于消杀工作的需要，学校需再次购买两种消毒液共500桶，且甲种消毒液的桶数不少于乙种消毒液的桶数，求甲种消毒液购买多少桶时，所需资金总额最少，最少总金额是多少元？
（3）商家决定对甲、乙两种消毒液打九折销售，在（2）中所需资金总额最少的条件下，学校用节省下来的钱全部购进A，B两种高压喷壶．已知A种高压喷壶50元/个，B种高压喷壶80元/个，请直接写出购进方案．
28．（10分）如图，将矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O为坐标原点．点A在y轴上，点C在x轴上，OA，OB的长是x2﹣16x+60＝0的两个根，P是边AB上的一点，将△OAP沿OP折叠，使点A落在OB上的点Q处．
（1）求点B的坐标；
（2）求直线PQ的解析式；
（3）点M在直线OP上，点N在直线PQ上，是否存在点M，N，使以A，C．M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
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2023年黑龙江省佳木斯市中考数学一模试卷
（参考答案与详解）
一、选择题（每题3分，满分30分）
1．（3分）下列运算中，计算正确的是（　　）
A．（a+b）2＝a2+b2 B．
C．（﹣a3）3＝a6 D．a4÷a﹣2＝a6
【解答】解：A、（a+b）2＝a2+b2+2ab，原式计算错误，不合题意；
B、，原式计算错误，不合题意；
C、（﹣a3）3＝﹣a9，原式计算错误，不合题意；
D、a4÷a﹣2＝a6，原式计算正确，符合题意；
故选：D．
2．（3分）“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．在下列与扬州有关的标识或简图中，不是轴对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
3．（3分）学校举办立定跳远比赛，七年级（1）班参加比赛的8名同学立定跳远的成绩（单位：cm）分别是169，171，180，178，182，176，166，176，则这8个数据的中位数是（　　）
A．181 B．175 C．176 D．177
【解答】解：将数据排序：166，169，171，176，176，178，180，182，
＝176．
故选：C．
4．（3分）如图是由若干个相同的小正方体搭成一个几何体的主视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最多是（　　）

A．6 B．5 C．4 D．3
【解答】解：由俯视图易得最底层有4个小正方体，第二层最多有2个小正方体，那么搭成这个几何体所需的小正方体最多为4+2＝6个．
故选：A．
5．（3分）黑龙江省中学生排球锦标赛共进行了110场双循环比赛，则参加比赛的队伍共有（　　）
A．8支 B．9支 C．10支 D．11支
【解答】解：设参加比赛的队伍共有x支，
根据题意得：x（x﹣1）＝110，
整理得：x2﹣x﹣110＝0，
解得：x1＝11，x2＝﹣10（不符合题意，舍去），
∴参加比赛的队伍共有11支．
故选：D．
6．（3分）已知关于x的分式方程无解，则m的值是（　　）
A．1 B．1或2 C．0或2 D．0或1
【解答】解：方程两边同时乘以x﹣1，得mx﹣2＝x﹣1，
移项、合并同类项，得（m﹣1）x＝1，
∵方程无解，
∴x＝1或m﹣1＝0，
∴m﹣1＝1或m＝1，
∴m＝2或m＝1，
故选：B．
7．（3分）某班级奖励“德、智、体、美、劳”五育表现优异的学生，计划用不超过100元购买A，B两种笔记本作为奖品，A种笔记本每本8元，B种笔记本每本10元，每种笔记本至少买4本，则购买方案有（　　）
A．7种 B．8种 C．9种 D．10种
【解答】解：设购买x本A种笔记本．
当购买4本B种笔记本时，，
解得：4≤x≤，
又∵x为正整数，
∴x可以为4，5，6，7，
∴当购买4本B种笔记本时，有4种购买方案；
当购买5本B种笔记本时，，
解得：4≤x≤，
又∵x为正整数，
∴x可以为4，5，6，
∴购买5本B种笔记本时，有3种购买方案；
当购买6本B种笔记本时，，
解得：4≤x≤5，
又∵x为正整数，
∴x可以为4，5，
∴当购买6本B种笔记本时，有2种购买方案；
当购买7本B种笔记本时，，
不等式组无解，即不存在该种情况．
上所述，购买方案共有4+3+2＝9（种）．
故选：C．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A在反比例函数的图象上，顶点B在反比例函数的图象上，点C在x轴的正半轴上，平行四边形OABC的面积是3，则a﹣b的值是​（　　）

A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣5
【解答】解：如图，延长BA交y轴于点D，连接OB，

∵四边形OABC为平行四边形，
∴AB∥x轴，即AD⊥y轴
由反比例的几何意义得，
S△AOD＝，S△BOD＝，
∵平行四边形OABC的面积是3，
∴△AOB的面积为，
∴，
∴b﹣a＝3，
∴a﹣b＝﹣3，
故选：B．
9．（3分）如图，P是正方形ABCD内一点，AP＝3，BP＝2，，则正方形ABCD的面积是（　　）
​​

A．13+6 B．13 C． D．
【解答】解：如图，将△BCP绕点C顺时针旋转90°得到△DCP′，将△ABP绕点A逆时针旋转90°得到△ADP″，连接PP′、PP″，
则CP′＝CP＝，DP′＝BP＝2，AP″＝AP＝3，DP″＝BP＝2，∠P′CP＝∠P″AP＝90°，∠ABP＝∠ADP″，∠CBP＝∠CDP′，

∴△P′CP和△P″AP均为等腰直角三角形，
∴P′P＝CP＝×＝，P″P＝AP＝3，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴∠ABP+∠CBP＝90°，
∴∠ADP″+∠CDP′＝90°，
∴∠ADP″+∠CDP′+∠ADC＝90°+90°＝180°，即P′、D、P″在同一条直线上，
∴P′P″＝DP′+DP″＝2+2＝4，
∵P′P″2+P″P2＝42+（3）2＝16+18＝34，P′P2＝（）2＝34，
∴P′P″2+P″P2＝P′P2，
∴△P′P″P是直角三角形，∠P′P″P＝90°，
∴S正方形ABCD＝S△ABP+S△BCP+S四边形APCD
＝S△ADP″+S△DCP′+S四边形APCD
＝S△P′CP+S△P′P″P+S△P′CP．
＝×（）2+×32+×4×3
＝13+6．
故选：A．
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，E为边AB上一点，过点D作DF⊥DE，与BC的延长线交于点F．连接EF，与边CD交于点G，与对角线BD交于点H，DI⊥EF与BC相交于点I．下列结论：①AE＝CF；②；③∠ADE+∠EFB＝45°；④若，则BE＝；⑤连接EI，则EI＝AE+CI．其中结论正确的序号是​（　　）

A．①②④ B．①②③⑤ C．③④⑤ D．①②③④⑤
【解答】解：在正方形ABCD中，∠A＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AD＝CD，
∴∠DCF＝90°，
∵DF⊥DE，
∴∠EDF＝90°，
∴∠ADE＝∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴AE＝CF，
故①符合题意；
∵△ADE≌△CDF，
∴DE＝DF，
∵∠EDF＝90°，
根据勾股定理，得EF＝＝DF，
故②符合题意；
∵DE＝DF，∠EDF＝90°，
∴∠DFE＝∠DEF＝45°，
∵∠DCF＝90°，
∴∠CDF+∠CFG＝180°﹣90°﹣45°＝45°，
∵△ADE≌△CDF，
∴∠CDF＝∠ADE，
∴∠ADE+∠EFB＝45°，
故③符合题意；
在正方形ABCD中，BD＝＝BC，
∵，
∴BC＝1，
∴CF＝﹣1，
∴AE＝﹣1，
∵AB＝BC＝1，
∴BE＝AB﹣AE＝1﹣（﹣1）＝2﹣，
故④符合题意；
连接EI，如图所示，
∵DE＝DF，∠EDF＝90°，
又∵DI⊥EF，
∴∠EDI＝∠FDI＝45°，
∴∠ADE+∠IDC＝45°，
∵△ADE≌△CDF，
∴∠ADE＝∠CDF，
∴∠IDC+∠CDF＝45°，
即∠IDF＝45°，
在△EDI和△FDI中，
，
∴△EDI≌△FDI（SAS），
∴EI＝IF，
∴EI＝IC+AE，
故⑤符合题意，
综上所述，正确的有①②③④⑤，
故选：D．

二、填空题（每题3分，满分30分）
11．（3分）我国经济总量占世界经济的比重稳居世界第二位，国内生产总值已达到114万亿元，将数据114万亿用科学记数法表示为 　1.14×1014　．
【解答】解：114万亿＝114000000000000＝1.14×1014．
故答案为：1.14×1014．
12．（3分）在函数中，自变量的取值范围是 　x≥1　．
【解答】解：由题意得：x+1≠0且x﹣1≥0，
解得：x≥1，
故答案为：x≥1．
13．（3分）如图，已知四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O，AB＝CD，请添加一个条件　AB∥CD或AD＝BC（答案不唯一）　（只添一个即可），使四边形ABCD是平行四边形．

【解答】解：∵AB＝CD，
∴当AB∥CD或AD＝BC时，四边形ABCD是平行四边形．
故答案为AB∥CD或AD＝BC．（答案不唯一）
14．（3分）一个不透明的口袋中有2个红球和4个白球，这些球除颜第色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个球，摸到白球的概率是 　　．
【解答】解：∵在一个不透明的口袋中，有2个红球和4个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个球，
∴摸到白球的概率是＝．
故答案为：．
15．（3分）若关于x的一元一次不等式组有3个整数解，则a的取值范围是 　0≤a＜4　．
【解答】解：关于x的一元一次不等式组有解，其解集为＜x≤3，
∵关于x的不等式组恰有3个整数解，
∴0≤＜1，
解得0≤a＜4．
故答案为：0≤a＜4．
16．（3分）如图，AB是半⊙O的直径，点C是弧AB的中点，点E是弧AC的中点，连接EB、CA交于点F，则＝　　．

【解答】解：连接OE交AC于H，
∵点E是弧AC的中点，
∴OE⊥AC，
∵AB是半⊙O的直径，
∴BC⊥AC，
∴OE∥BC，
∴△EHF∽△BCF，
∴＝，
设BC＝2x，则OE＝OB＝x，
∴OH＝x，EH＝（）x，
∴＝＝＝，
故答案为：．

17．（3分）半径为10cm的半圆围成一个圆锥，则这个圆锥的高是　5　cm．
【解答】解：∵半径为10cm的半圆围成一个圆锥，
∴圆锥的母线l＝10cm，圆锥底面半径r＝5cm，
∴圆锥的高h＝＝5cm．
故答案为：5．

18．（3分）如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，边长为3，P是对角线BD上的一个动点，则BP+PC最小值是 　　．

【解答】解：如图，作PM⊥AB于M，CH⊥AB于H，

∵四边形ABCD是菱形，
∴∠PBM＝，
∴PM＝，
∴，
根据垂线段最短可知，CP+PM的最小值为CH的长，
在Rt△CBH中，CH＝BC•sin60°＝，
∴BP+PC最小值是，
故答案为：．
19．（3分）在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝15，点E在边BC上．且∠AED＝90°，P是射线ED上的一个动点．若△AEP是等腰直角三角形，则CP的长为 　3或3　．
【解答】解：如图1，当BE＜CE时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠DCE＝90°，CD＝AB＝6，
∵∠AED＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝∠AEB+∠CED＝90°，
∴∠BAE＝∠CED，
∴△ABE∽△ECD，
∴，
∴，
∴BE＝3，
∴CE＝12，
过P作PQ⊥BC于Q，
∴∠PQE＝∠B＝90°，
在△ABE与△EQP中，
，
∴△ABE≌△EQP（AAS），
∴EQ＝AB＝6，PQ＝BE＝3，
∴CQ＝15﹣6﹣3＝6，
∴CP＝＝3；
如图2，当BE＞CE时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠DCE＝90°，CD＝AB＝6，
∵∠AED＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝∠AEB+∠CED＝90°，
∴∠BAE＝∠CED，
∴△ABE∽△ECD，
∴，
∴，
∴BE＝12，
∴CE＝3，
过P作PQ⊥BC于Q，
∴∠PQE＝∠B＝90°，
在△ABE与△EQP中，
，
∴△ABE≌△EQP（AAS），
∴EQ＝AB＝6，PQ＝BE＝12，
∴CQ＝12+6﹣15＝3，
∴CP＝＝3；
综上所述，CP的长为3或3，
故答案为：3或3．


20．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，A4，…在x轴上且OA1＝1，OA2＝2OA1，OA3＝2OA2，OA4＝2OA3，…，按此规律，过点A1，A2，A3，A4，…作x轴的垂线分别与直线交于点B1，B2，B3，B4…．连接B1A2，B2A3，B3A3，…，记△B1A2B2，△B2A3B3，△B3A4B4，…的面积分别为S1，S2，S3，…，则S2023＝　24043　．
​

【解答】解：∵OA1＝1，OA2＝2OA1，
∴OA2＝2，
∵OA3＝2OA2，
∴OA3＝4，
∵OA4＝2OA3，
∴OA4＝8，
把x＝1代入直线y＝x中可得：y＝，
∴A1B1＝，
把x＝2代入直线y＝x中可得：y＝2，
∴A2B2＝2，
把x＝4代入直线y＝x中可得：y＝4，
∴A3B3＝4，
把x＝8代入直线y＝x中可得：y＝8，
∴A4B4＝8，
∴S1＝OA1•A1B1＝×1×＝×20×（20×），
S2＝OA2•A2B2＝×2×2＝×21×（21×），
S3＝OA3•A3B3＝×4×4＝×22×（22×），
S4＝OA4•A4B4＝×8×8＝×23×（23×），
..．
∴S2023＝×22022×（22022×）＝24043，
故答案为：24043．
三、解答题（满分60分）
21．（5分）先化简，再求值：，其中a＝2sin60°+3．
【解答】解：原式＝（﹣）•
＝•
＝，
当a＝2sin60°+3＝2×+3＝+3时，原式＝＝﹣．
22．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2），将△ABC向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到△A1B1C1．
（1）画出△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）画出将△A1B1C1绕点O按逆时针方向旋转90°后的图形△A2B2C2；
（3）求△A1B1C1在旋转过程中扫过的面积．

【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求.
点C1的坐标为（﹣1，﹣2）．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
（3）由图可得，△A2B2C2为等腰直角三角形，，，
∴△A1B1C1在旋转过程中扫过的面积为＝＝．

23．（6分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，3），顶点为C，D是抛物线上一点．
（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；
（2）若，请直接写出点D的坐标．

【解答】解：（1）把A（﹣1，0）和点B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，
得，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的顶点C坐标为（1，4）；
（2）在抛物线的对称轴上取一点T（1，1），连接BC，BT．

∵B（0，3），C（1，4），T（1，1），
∴CT＝3，
∴S△BCT＝×3×1＝，
过点T作DT∥BC交抛物线于点D，D′，连接BD，CD，BD′CD′，则△BDC，△BCD′满足条件．
∵直线BC的解析式为y＝x+3，
∴可以计算直线DT的解析式为y＝x+b，
把T（1，1）的坐标代入y＝x+b中，可得b＝0，
∴直线DT的解析式为y＝x，
由，解得或，
∴D（，）或（，）．
24．（7分）为进一步落实“双减”工作，某校对部分学生的作业情况进行了问卷调查．设每名学生平均每天完成作业的时间为x小时，其中的分组情况如下：A组：0≤x＜0.5，B组：0.5≤x＜1：C组：1≤x＜1.5：D组：1.5≤x＜2：E组：x≥2．根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图如图所示．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次共调查了 　100　名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，求C组所对应的扇形圆心角的度数；
（4）若该校有1800名学生，请估计该校完成作业的时间少于2小时的学生有多少名．
【解答】解：（1）20÷20%＝100（名），
即本次共调查了100名学生，
故答案为：100；
（2）选择E的学生有：100×15%＝15（人），
选择A的学生有：100﹣20﹣40﹣20﹣15＝5（人），
补全的条形统计图如图所示；

（3）360°×＝144°，
即C组所对应的扇形圆心角的度数是144°；
（4）1800×＝1530（名），
答：估计该校完成作业的时间少于2小时的学生有1530名．
25．（8分）小鑫和小许相约去猴石山游玩，小鑫骑自行车，小许骑电动车先后从学校出发沿同一路线匀速骑行，小许在骑行过程中的速度始终保持25km/h．设小鑫骑行的时间为x（单位：h），小许、小鑫两人之间的距离y（单位：km）关于x的函数图象如图所示，请解决以下问题：
（1）小鑫的速度是 　15　km/h，a＝　10　，b＝　　；
（2）求出小许和小鑫第一次相遇之后，两人之间的距离y与小鑫骑行的时间x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）请直接写出小许出发多长时间，两人相距​．

【解答】解：（1）由图可得，
小鑫的速度为：5÷＝10（km/h），
小鑫走的总路程为：10×＝25（km），
25＝（b﹣）×25，
解得b＝，
a＝25﹣10×＝10，
故答案为：10，10，；
（2）设两人相遇对应的时间为c，
10c＝25（c﹣），
解得c＝，
即两人第一次相遇时对应的点的坐标为（，0），
当≤x≤时，设两人之间的距离y与小鑫骑行的时间x之间的函数关系式是y＝kx+m，
∵点（，0），（，10），
∴，
解得，
即当≤x≤时，两人之间的距离y与小鑫骑行的时间x之间的函数关系式是y＝15x﹣；
当＜x≤时，设两人之间的距离y与小鑫骑行的时间x之间的函数关系式是y＝nx+p，
∵点（，10），（，0）在该函数图象上，
∴，
解得，
即当＜x≤时，两人之间的距离y与小鑫骑行的时间x之间的函数关系式是y＝﹣10x+25；
（3）由题意可得，
15x﹣＝或﹣10x+25＝，
解得x＝或x＝，
﹣＝，＝，
答：小许出发小时或小时，两人相距​．
26．（8分）在菱形ABCD中，点G在直线AD上，E为BC边的中点，EF∥BG交直线AD于点F．
（1）如图①，求证：；
（2）如图②、图③，请分别写出线段AG，DF，CD之间的数量关系，不需要证明．
​
【解答】（1）证明：如图①，取AD的中点H，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵点H是AD的中点，点E是BC的中点，
∴AH＝HD＝BE＝CE，
∵EF∥BG，AD∥BC，
∴四边形GBEF是平行四边形，
∴GF＝BE，
∴BE＝EC＝HD＝GF，
∴DF＝HG，
∴AG﹣DF＝AG﹣HG＝AH＝CD；
（2）如图②，取AD的中点H，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵点H是AD的中点，点E是BC的中点，
∴AH＝HD＝BE＝CE，
∵EF∥BG，AD∥BC，
∴四边形GBEF是平行四边形，
∴GF＝BE，
∴BE＝EC＝HD＝GF，
∴DF＝HG，
∴AG+DF＝AG+HG＝AH＝CD；
如图③，取AD的中点H，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵点H是AD的中点，点E是BC的中点，
∴AH＝HD＝BE＝CE，
∵EF∥BG，AD∥BC，
∴四边形GBEF是平行四边形，
∴GF＝BE，
∴BE＝EC＝HD＝GF＝AH，
∴AG＝FH，
∴DF﹣AG＝DF﹣FH＝DH＝CD．
27．（10分）为有效预防传染病的传播，学校需购买甲、乙两种消毒液每天对班级进行消杀工作，经了解，每桶甲种消毒液的售价比乙种消毒液的售价多10元，学校用600元和400元采购了相同桶数的甲、乙两种消毒液．
（1）求甲、乙两种消毒液的售价分别是每桶多少元；
（2）由于消杀工作的需要，学校需再次购买两种消毒液共500桶，且甲种消毒液的桶数不少于乙种消毒液的桶数，求甲种消毒液购买多少桶时，所需资金总额最少，最少总金额是多少元？
（3）商家决定对甲、乙两种消毒液打九折销售，在（2）中所需资金总额最少的条件下，学校用节省下来的钱全部购进A，B两种高压喷壶．已知A种高压喷壶50元/个，B种高压喷壶80元/个，请直接写出购进方案．
【解答】解：（1）设乙种消毒液的售价为x元，则甲种消毒液的售价为（x+10）元，
由题意得：＝，
解得：x＝20，
经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意，
∴x+10＝30，
答：甲种消毒液的零售价为30元，乙种消毒液的零售价为20元；
（2）设甲种消毒液购买m桶，则乙种消毒液购买（500﹣m）桶，
由题意得：m≥500﹣m，
解得：m≥250，
设所需资金总额为w元，则w＝30m+20（500﹣m）＝10m+10000，
∵10＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝250时，w取得最小值，最小值＝10×250+10000＝12500，
答：当甲种消毒液购买250桶时，所需资金总额最少，最少总金额是12500元；
（3）学校节省下来的钱为：12500﹣12500×0.9＝1250（元），
设购进A种高压喷壶a个，B种高压喷壶b个，
由题意得：50a+80b＝1250，
整理得：a＝25﹣b，
∵a、b均为正整数，
∴或或，
∴购进方案有3种：
①购进A种高压喷壶17个，B种高压喷壶5个；
②购进A种高压喷壶9个，B种高压喷壶10个；
③购进A种高压喷壶1个，B种高压喷壶15个．
28．（10分）如图，将矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O为坐标原点．点A在y轴上，点C在x轴上，OA，OB的长是x2﹣16x+60＝0的两个根，P是边AB上的一点，将△OAP沿OP折叠，使点A落在OB上的点Q处．
（1）求点B的坐标；
（2）求直线PQ的解析式；
（3）点M在直线OP上，点N在直线PQ上，是否存在点M，N，使以A，C．M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
​

【解答】解：（1）由x2﹣16x+60＝0得x＝6或x＝10，
∵OA＜OB，
∴OA＝6，OB＝10，
∵四边形OABC是矩形，
∴∠OAB＝90°，
在Rt△AOB中，AB＝＝＝8，
∴B（8，6）；
（2）过Q作QG⊥AB于G，交OC于H，如图：

∵将△OAP沿OP折叠，使点A落在OB上的点Q处，
∴∠OQP＝∠OAP＝90°＝∠BQP，AP＝QP，OQ＝OA＝6，
∴BQ＝OB﹣OQ＝10﹣6＝4，
设AP＝QP＝x，则BP＝AB﹣AP＝8﹣x，
在Rt△BPQ中，PQ2+BQ2＝BP2，
∴x2+42＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
∴AP＝PQ＝3，BP＝8﹣x＝5，
∴P（3，6），
∵2S△BPQ＝BP•QG＝PQ•BQ，
∴QG＝＝＝，
∴PG＝＝＝，
∴AG＝AP+PG＝，
∵∠HGB＝∠ABC＝∠BCO＝90°，
∴四边形GBCH是矩形，
∴GH＝BC＝OA＝6，∠GHC＝90°，
∴QH＝GH﹣QG＝6﹣＝，
∴Q（，），
设直线PQ解析式为y＝kx+b，把P（3，6），Q（，）代入得：
，
解得，
∴直线PQ解析式为y＝﹣x+10；
（3）存在点M，N，使以A，C．M，N为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
由（2）得P（3，6），直线PQ解析式为y＝﹣x+10，
∴直线OP解析式为y＝2x，
设M（m，2m），N（n，﹣n+10），
又A（0，6），C（8，0），
①若MN，AC为对角线，则MN，AC的中点重合，
∴，
解得，
∴N（6，2）；
②若MA，NC为对角线，则MA，NC的中点重合，
∴，
解得；
∴N（﹣，）；
③若MC，NA为对角线，则MC，NA的中点重合，
∴，
解得，
∴N（，﹣）；
综上所述，N的坐标为（6，2）或（﹣，）或（，﹣）．