天津市七校2023届高三数学下学期总复习质量调查（一）联考试卷（Word版附解析）

七校联考2022-2023学年度高三年级总复习质量调查（一）

数学（一）

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分.试卷满分150分.考试时间120分钟.

第Ⅰ卷（本卷共9题，共45分）

参考公式：球的表面积、体积公式：，，为球的半径.

一、选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 集合，，则（    ）．

A.  B.

C.  D.

2. 若，则“”是“”的（    ）.

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

3. 设函数，则函数的图象可能为（    ）

A.  B.

C.  D.

4. 某滑冰馆统计了某小区居民在该滑冰馆一个月的锻炼天数，得到如图所示的频率分布直方图（将频率视为概率），则下列说法正确的是（    ）

A. 该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数在区间内的最少

B. 估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数超过15天的概率为0.465

C. 估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的中位数为16

D. 估计小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的平均值为15

5. 已知，，，则的大小关系是（    ）

A.  B.

C.  D.

6. 已知，且，则（    ）.

A. 3 B. 6 C. 12 D. 18

7. 攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，常见的有圆形攒尖､三角攒尖､四角攒尖､六角攒尖等，多见于亭阁式建筑，某园林建筑为四角攒尖，它主要部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，若这个正四棱锥的棱长均为2，则该正四棱锥的体积为（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 已知双曲线焦点为，，抛物线的准线与交于M，N两点，且为正三角形，则双曲线的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

9. 若函数在区间内没有最值，有下面四个说法：（    ）

①函数的最小正周期可能为

②的取值范围是；

③当取最大值时，是函数的一条对称轴；

④当取最大值，是函数的一个对称中心．

以上四个说法中，正确的个数是（    ）

A. l B. 2 C. 3 D. 4

第Ⅱ卷（本卷共11题，共105分）

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分）

10. 若复数z满足（是虚数单位），则=________.

11. 已知的展开式中的系数是，则__________．

12. 已知圆与圆外切，此时直线被圆所截的弦长_________．

13. 为了组建一支志愿者队伍，欲从3名男志愿者，3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长，则在“抽取的3人至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是________，若用X表示抽取的三人中女志愿者的人数，则________.

14. 在△ABC中，，，，，则___________，若动点F在线段AC上，则的最小值为___________.

15. 已知函数是定义域为偶函数，当时，，若关于的方程有且仅有6个不同的实数根，则实数的取值范围是________．

三、解答题（本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16. 在中，角A，B，C对边分别为a，b，c（），已知，

（1）求；

（2）求a，c的值；

（3）求的值.

17. 如图，梯形所在的平面与等腰梯形所在的平面互相垂直，，，，．

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面的夹角的余弦值；

（3）线段上是否存在点G，使得平面？请说明理由．

18. 已知数列是首项为1的等差数列，数列是公比不为1的等比数列，且满足，，.

（1）求数列，的通项公式；

（2）求；

（3）令，记数列的前项和为，求证：对任意的，都有.

19. 已知椭圆，若椭圆的短轴长为且经过点，过点的直线交椭圆于P，Q两点.

（1）求椭圆方程；

（2）求面积的最大值，并求此时直线的方程；

（3）若直线与x轴不垂直，在x轴上是否存在点使得恒成立？若存在，求出s值；若不存在，说明理由.

20. 已知函数，.

（1）讨论的单调区间；

（2）当时，令

①证明：当时，；

②若数列满足，，证明：.

答案

1. A

解析：因为，

所以或，

所以，

故选：A．

2. D

解析：不妨设，满足，但不满足，充分性不成立，

若，满足，但不满足，故必要性不成立，

所以是的既不充分也不必要条件.

故选：D

3. B

解析：函数的定义域为

则为偶函数，图像关于y轴轴对称，排除选项AC；

又，则排除选项D.

故选：B

4. B

解析：由图知：、、、、、的频率分别为、、、、、，

对于A：内的天数最少，故A错误；

对于B：估计锻炼天数超过15天的概率为，故B正确；

对于C：由、、频率和为，设中位数为x，

则，可得，故C错误；

对于D：平均天数为天，故D错误；

故选：B．

5. D

解析：因为在上单调递增，故，

而单调递增，故，

，

所以.

故选：D

6. B

解析：由得：，

由换底公式可得：，

则，所以，

因为，所以

故选：B

7. C

解析：如图所示，正四棱锥棱长均为2，连接AC、BD交于点O，连接PO

根据正四棱锥的性质，可得平面ABCD.

所以，，

所以正四棱锥的体积.

故选：C

8. A

解析：的准线方程为，经过点，

中，令得，解得，

故，

因为为正三角形，所以，

即，联立，解得，

方程两边同时除以得，解得或（舍去），

故双曲线的离心率为.

故选：A

9. B

解析：由得，

因为在区间内没有最值，

所以，所以，所以，

所以或，

所以或，所以②错误；

当时，，

所以，故①正确；

所以，可知是函数的一条对称轴，故③正确；

又因为，故④错误，

所以正确的是①③，

故答案为：B．

10.

解析：，

故.

故答案为：

11. 2

解析：展开式的通项为，令，得，所以，所以，解得．

故答案为：2

12.

解析：由题可知：

，即

且

由两圆向外切可知，解得

所以

到直线的距离为，设圆的半径为

则直线被圆所截的弦长为

故答案为：

13.     ①.     ②. ##

解析：设事件“抽取的3人至少有一名男志愿者”，事件“抽取的3人中全是男志愿者”

，则，

即在“抽取3人至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是.

X可取，

，

则

故答案为：；

14.     ①. ##0.5    ②.

解析：

第一空：，则，则，又，，故，解得；

第二空：设，，，则

，当时，取得最小值.

故答案为：；.

15.

解析：关于的方程有且仅有6个不同的实数根，设，

则当，方程有个根，

当，方程有个根，

当或，方程有2个根，

当，方程有4个根，

当，方程有0个根；

则必有两个根、，有两种情况符合题意：

①，且，

此时，

则；

②，，

此时，

综上可得的范围是，

故答案为：．

16. （1）

，，

又，.

（2）

，又，

，①

，即②

又，由①②可得，

（3）

，

，

.

17. （1）

∵，且，

∴ 四边形为平行四边形，

∴．

∵平面，平面，

∴平面．

（2）

在平面内，过作．

∵ 平面平面，平面平面，

又平面，，

∴平面，

∴，，．

如图建立空间直角坐标系：

由题意得，

∴

设平面的法向量为，则

令，则，，∴．

平面的一个法向量为，

则．

∴ 平面与平面的夹角的余弦值．

（3）

线段上不存在点，使得平面，理由如下：

设平面的法向量为，则

令，则，，

∴．

∵，

∴平面与平面不可能垂直，

从而线段上不存在点，使得平面．

18. （1）

设的公差为，的公比为，则，.

由题意知，，

所以，解之得，，

当时，，则，，即与矛盾，故舍去；

当时，，则，，

所以,，满足题意；

所以，.

（2）

设，

，

设，

则，，

两式相减得，

所以，即.

（3）

证明：，

，

，

因为，易知随着的增大而增大，

所以，，

所以.

19. （1）

由题意得，解得，

将代入椭圆方程，得到，故，

故椭圆方程为；

（2）

当直线的斜率为0时，此时三点共线，不合要求，舍去；

当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，

与椭圆方程联立，得，

设，则，

则

，

当且仅当，即时，等号成立，

故面积的最大值为，此时直线的方程为或；

（3）

在x轴上存在点使得恒成立，理由如下：

因为，所以，即，

整理得，即，

所以，

则，解得，

故在x轴上存在点，使得恒成立.

20. （1）

函数定义域为R，求导得，

当时，恒成立，即在上单调递增，

当时，令，解得，令，解得，

即在上单调递减，在上单调递增，

所以，当时，在上单调递增，

当时，在上单调递减，在上单调递增.

（2）

当时，，

①当时，，

令，，恒成立，则在上单调递减，

，因此，成立，

所以当时，.

②由①可知，当时，，由得，即，由，可得，

而，又，即，则，

由于，只需证，

又当时，，

令，，恒成立，则在上单调递增，，

则当时，恒有，而，即成立，不等式成立，

因此成立，即成立，

所以原不等式得证.