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2023年辽宁省大连市中考数学模拟试卷（B卷）（含答案）
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这是一份2023年辽宁省大连市中考数学模拟试卷（B卷）（含答案），共34页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年辽宁省大连市中考数学模拟试卷（B卷）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列选项中是有理数的是：( )
①2cos245°-sin60°⋅tan60°；
②sin215°+cos215°-π；
③sin45°+π；
④sin90°+(π-3)0+12023；
⑤(- 2)2035+1．
A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ①⑤
2. 如图所示为一个正多面体.已知AB=1，则该多面体的表面积为( )
A. 8 3
B. 2.45
C. 5 3
D. 4 2
3. 点P(x2,ππ)(x≠0)所在的象限为( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4. 如图，数轴上表示的数可能是( )
A. 5+12 B. - 5-12 C. 1- 52 D. 5-12
5. 如图，直线m//n，BC为∠ABD的三等分线，∠DAB=α，∠DBC=β，则∠1的度数为( )
A. α+2β
B. 2α+β
C. 2β+α或α+12β
D. 2α+β或2β+α
6. 已知二次根式 11+2 18，则化简后的结果为( )
A. 2+3 B. 11+6 C. 6+2 11 D. 3 2+11
7. 定义：我们把无论怎样设值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值的数学问题称作数学黑洞.例如：任意找一个3的倍数的数，先把这个数的每个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数，然后把这个新数的每个数位上的数字再立方，再相加，得到一个新数，然后把这个新数的每个数位上的数字再立方，求和……，重复运算下去就能得到一个固定的数.则该数的值为( )
A. 147 B. 153 C. 1435 D. 1145
8. 如图，已知A、B两点的坐标分别为(2tan60°,0)、(0,2)，P是△AOB外接圆上的一点，且∠AOP=45°，则点P的坐标为( )
A. P(tan60°-1,1-tan60°)
B. P(1,-3)或P(3,-1)
C. P(tan60°-1,1-tan60°)或P(tan30°-1,tan60°-2sin45)
D. P(tan60°-1,1-tan60°)或P(tan60°+1,tan60°+1)
9. 在平面直角坐标系xOy中有抛物线y=x2-2mx+2m2-m-2，A(-1,3)，B(4,5)，当抛物线与线段AB有两个公共点时，m的取值范围是( )
A. 3+ 414≤m≤4 B. -1≤m≤4
C. 1+ 334≤m≤32 D. 1+ 334≤m≤9+ 1534
10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=15°，AC=1，P为△ABC内部一点，则PA+PB+PC的最小值为( )
A. 2+ 3 B. 6 3+11 C. 11+6 D. 6+2 11
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 已知m>0，则24m+6m的最小值为______ ．
12. 关于x，y的方程x+2y=39x-8y=5的解为x= ，y= ．
13. 在十字路口，汽车可左转、直行、右转，若三者的概率相同，则两辆汽车都直行的概率为______ ．
14. 已知有一根与地面垂直的6m的竹竿AB，如图所示，影长BC为6 3m，当太阳运动使影长为BD时，恰好满足AC⊥AD，则此时D点关于太阳的仰角θ为______ °.
15. 如图，已知∠ABC=90°，∠C=30°，∠EAB=150°，DC=AE.若AB=1，DB=3，则DE的长为______ ．
16. 在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，BC=8，D是BC上的点，当∠CDA=90°时，DB+AB的值为______ ．
三、解答题（本大题共10小题，共102.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题9.0分)
化简：9x3-9x2-72x+10875+25x．
18. (本小题10.0分)
计算：sin60°+(-1)2023+(cos45°)-2-|3-π|．
19. (本小题10.0分)
随着全国人民环保意识的增强，垃圾分类开始风靡于大街小巷.为了解某市2023年6月垃圾分类的情况，某环境保护局随机抽取该市部分地区进行相关调查，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．
根据以上信息，回答下列问题：
(1)填空：a= ______ ，b= ______ ，c= ______ ，图表2中中A的圆心角度数为______ ；
(2)依据题意补全条形统计图；
(3)若该市所对应的省有10个市，每个市有8个区，请你估计垃圾分类总量≥12t的区数．
20. (本小题10.0分)
在学习中位线时，小胖同学发现对于任意三角形，若已知一边中点，过中点作任意一边的平行线，则该平行线截得两边所成的线段为该三角形的中位线.请你补全求证内容并使用八下所学知识证明小胖同学的结论．
已知：在△ABC中，点E为BC中点，DE//AC．
求证：______ ．
证明：______ ．
21. (本小题10.0分)
如图，已知双曲线y=kx(k≠0)与直线y=ax+b(a≠0)交于A，B两点，直线的倾斜角为45°，且A(-2,-2)．
(1)求k，a的值；
(2)以AB为边向左构造正方形ABCD，过D作x轴的垂线交于点E，连接BE，求BE的长．
22. (本小题10.0分)
如图1，中苏友谊纪念塔在大连市旅顺博物馆前的广场中心，是大连著名的地标建筑之一.如图2，一个人(AR)站在纪念塔前的石阶底部，测得点R关于点N的仰角α=60°.已知人高1.5m，ED=3m，BC=1.2m，BM=3m.若将塔前的楼梯看作斜坡，坡角θ的度数为33.69°(sin33.69°≈0.55,cos33.69°≈0.83,tan33.69°≈0.67, 3≈1.73)．
(1)求斜面AB的长度；
(2)求塔高PQ(结果保留整数)．
23. (本小题10.0分)
如图1，四边形ABCD内接于⊙，AB=AC，直线l//BC．
(1)求证：直线l为⊙O切线；
(2)如图2，∠ABD=45°，tan∠CBD=15，AB⋅BC=4 13，求⊙O半径．
24. (本小题11.0分)
如图，在△ABC中，AC=BC=5,tanC=34，边长为3的正方形DEFG从点B出发，以每秒1个单位的速度沿射线BC运动，当点E与点C重合时运动停止.设点B运动时间为t(t>0)，正方形DEFG与△ABC的重叠面积为S．
(1)求AB的长；
(2)求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．
25. (本小题11.0分)
综合与实践
问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：
1，在等腰Rt△ABC中，∠A=90°，点E在AC上运动，∠BEF=45°，CG//FE.探究∠AEF与∠ABE之间的关系，并证明．
独立思考：(1)请解答王老师提出的问题．
实践探究：(2)在原有条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出了新问题，请你解答．
“①若AF=m，BG=n，则求线段AE的长(用含m、n的式子表示)；
②如图2，当点E在AC的延长线上，则①中所求AE的长度是否仍然成立？若成立，请简要说明理由；若不成立，请直接写出AE的长(用含m、n的式子表示).”
问题解决：(3)数学活动小组的同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，保留原题条件，如果给出BE与CG的数量关系，则图3中所有已经用字母标记的任意两条线段之间的比值均可求.该小组提出下面的问题，请你解答．
“在(2)的条件下，若BE=CG，请在备用图中补全图形，并求mn的值.”
26. (本小题11.0分)
已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点(-1,0)，且对任意实数x，都有4x-12≤y≤2x2-8x+6.如果抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点M为抛物线在第四象限上的一动点，AM与BC交于点N，求MNAN的最大值；
(3)设抛物线与x轴交于A，B两点(其中A在B的左侧)，与y轴交于点C，D为抛物线上的一动点.若∠DCB+∠CAO=90°，求点D的坐标．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：①2cos245°-sin60°⋅tan60°
=2×( 22)2- 32× 3
=1-32
=-12，是有理数，
故①符合题意；
②sin215°+cos215°-π=1-π，是无理数，
故②不符合题意；
③sin45°+π= 22+π，是无理数，
故③不符合题意；
④sin90°+(π-3)0+12023=1+1+1=3，是有理数，
故④符合题意；
⑤(- 2)2035+1=-( 2)2035+1，是无理数，
故⑤不符合题意，
综上所述，有理数有①④，
故选：C．
根据特殊角的三角函数值，零指数幂，同角三角函数的关系，实数的运算等分别计算即可．
本题考查了特殊角的三角函数值，同角的三角函数的关系，零指数幂，有理数和无理数，熟练掌握这些知识是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：正多面体有12个顶点，每个顶点处有5个面，按照顶点数有12×5=60个面，
这样每个面被数3次，所以多面体的面实际有60÷3=20个面，
三角形的面积为：12×1×1× 32= 34，
多面体的表面积为20× 34=5 3，
故选：C．
正多面体有12个顶点，每个顶点处有5个面，这样数，每个面被数3次，求出多面体有多少面，用三角形的面积公式求出面积，相乘即可．
本题考查的是多面体的表面积，解题的关键是多面体共有多少面．
3.【答案】A
【解析】解：∵x≠0，
∴x2>0，ππ>0，
∴点P(x2,ππ)在第一象限，
故选：A．
根据x2>0，ππ>0，可确定点P所在象限．
本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系内每个象限内点的坐标特征是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：因为点Q表示的数大于-2小于-1，
5≈2.24，
A.因为 5+12≈2.24+12≈1.62>0，所以A选项不符合题意；
B.因为- 5-12≈-1.62，-2<-1.62<-1，所以B选项符合题意；
C.因为1- 52≈-0.62，-0.62>-1，所以C选项不符合题意；
D.因为 5-12≈0.62，0.62>0，所以D选项不符合题意．
故选：B．
根据题意可得，因为点Q表示的数大于-2小于-1， 5≈2.24，代入计算即可得出答案．
本题主要考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数大小的方法进行求解是解决本题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：如图，
∵m//n，
∴∠ABC=∠BCD，∠ADC=∠DAB=α，
当BC为∠ABD的三等分线且∠DBC=β=13∠ABD时，∠BCD=∠ABC=2β，
∵∠1是△CDE的外角，
∴∠1=∠BCD+∠ADC=2β+α，
当BC为∠ABD的三等分线且∠DBC=β=23∠ABD时，∠BCD=∠ABC=12β，
∵∠1是△CDE的外角，
∴∠1=∠ADC+∠BCD=α+12β，
综上，∠1的度数为2β+α或α+12β，
故选：C．
由m//n得到∠ABC=∠BCD，∠ADC=∠DAB=α，分BC为∠ABD的三等分线且∠DBC=β=13∠ABD和BC为∠ABD的三等分线且∠DBC=β=23∠ABD两种情况求解即可．
此题考查的是三角形内角和定理，涉及到平行线的性质、三角形外角的性质等知识，分类讨论是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解： 11+2 18
= (3+ 2)2
=3+ 2；
故选：A．
本题是复合二次根式的化简问题，运用配方法进行化简．
主要考查了二次根式的性质与化简，掌握配方法是解题关键．
7.【答案】B
【解析】解：把6代入计算，
第一次立方后得到216；
第二次得到225；
第三次得到141；
第四次得到66；
第五次得到432；
第六次得到99；
第七次得到1458；
第八次得到702；
第九次得到351；
第十次得到153；
开始重复，
∴该数的值为153，
故选：B．
根据题意，可以任意找一个3的倍数，如6.第一次立方后得到216；第二次得到225；…；第十次得到153；开始重复，则该数值为153．
题只需根据题意，任意找一个符合条件的数进行计算，直至计算得到重复的数值，即是所求的黑洞数．
8.【答案】D
【解析】解：∵A、B两点的坐标分别为(2tan60°,0)、(0,2)，
OB=2，OA=2 3，
∴AB= OA2+OB2=4，
∵∠AOP=45°，
∴P点横纵坐标相等，可设为a，即P(a,a)，
∵∠AOB=90°，
∴AB是直径，
∴Rt△AOB外接圆的圆心为AB中点，坐标C( 3,1)，
可得P点在圆上，P点到圆心的距离为圆的半径2，
过点C作CF//OA，过点P作PE⊥OA于E交CF于F，
∴∠CFP=90°，
∴PF=a-1，CF=a- 3，PC=2，
∴在Rt△PCF中，利用勾股定理得：(a- 3)2+(a-1)2=22，
舍去不合适的根，可得：a=1+ 3，
则P点坐标为( 3+1, 3+1)．
∵P与P'关于圆心( 3,1)对称，
∴P'( 3-1,1- 3).
∴P( 3+1, 3+1)或P( 3-1,1- 3).
∴P(tan60°-1,1-tan60°)或P(tan60°+1,tan60°+1)．
故选：D．
过圆心C作CF平行于OA，过P作PE垂直于x轴，两线交于F，由A和B的坐标得出OA及OB的长，利用勾股定理求出AB的长，由∠AOP=45°，得到三角形POE为等腰直角三角形，得到P的横纵坐标相等，设为(a,a)，再由∠AOB=90°，利用圆周角定理得到AB为直径，外接圆圆心即为直径AB的中点，设为C，求出C的坐标，可得出PC=2，根据垂径定理求出EF的长，用PE-EF表示出PF，用P的横坐标减去C的横坐标，表示出CF，在直角三角形PCF中，利用勾股定理列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，进而确定出P的坐标．
此题考查了圆周角定理，勾股定理，坐标与图形性质，等腰直角三角形的判定与性质，以及角平分线的性质，利用了转化及方程的思想，是一道综合性较强的试题．
9.【答案】C
【解析】解：∵y=x2-2mx+2m2-m-2=(x-m)2+m2-m-2，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=m，顶点为(m,m2-m-2)，
把A(-1,3)代入y=x2-2mx+2m2-m-2得，
1+2m+2m2-m-2=3，
解得m=-1± 334；
把B(4,5)代入y=x2-2mx+2m2-m-2得，
16-8m+2m2-m-2=5，
解得m=4或32，
由图象可知，该抛物线与线段AB只有两个公共点时，-1+ 334≤m≤32．
故选：C．
求得抛物线过A、B时的m的值，根据图象即可求得．
本题考查了二次函数图象和性质的关系，二次函数图象上点的坐标特征，函数解析式与一元二次方程的关系，数形结合思想是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：将△APB绕点B顺时针旋转60°至△A'P'B处，连接PP'，AA'，A'C，过点A'作A'T⊥CA交CA的延长线于点T，在BC上取一点J，使得BJ=AJ，连接AJ．
∵JA=JB，
∴∠JBA=∠JAB=15°，
∴∠AJC=∠JBA+∠JAB=30°，
∵ACJ=90°，AC=1，
∴AJ=BJ=2AC=2，CJ= 3，
∴BC=2+ 3，
∴AB= AC2+BC2= 12+(2+ 3)2= 6+ 2，
由旋转变换的性质可知PB=P'B，AB=A'B，∠PBP'=∠ABA'=60°
∴△PBP'，△ABA'都是等边三角形，
∴PB=PP'，∠P'PB=∠PP'B=60°，AA'=AB= 6+ 2，
∴PA+PB+PC=A'P'+P'P+PC≥A'C，
∴当A'，P'，P，C四点共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值为线段CA'的长，
∵∠BAA'=60°，∠CAB=75°，
∴∠A'AT=45°
∴AT=TA'= 22AA'= 22×( 6+ 2)= 3+1
∴A'C= A'T2+CT2= ( 3+1)2+( 3+2)2= 6 3+11
∴PA+PC+PB的最小值为 6 3+11．
故选：B．
将△APB绕点B顺时针旋转60°至△A'P'B处，连接PP'：PA+PB+PC=A'P'+P'P+PC≥A'C，推出当A'，P'，P，C四点共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值为线段CA'的长，
本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会利用旋转变换作出辅助线，用转化的思想思考问题．
11.【答案】24
【解析】解：当m>0时，根据完全平方公式得24m+6m≥2 24m⋅6m=24．
故24m+6m的最小值为24．
故答案为：24．
根据完全平方公式可得m>0时，24m+6m≥2 24m⋅6m，依此即可求解．
本题考查了利用完全平方公式求解最值，关键是熟悉完全平方公式的知识点．
12.【答案】1713 1113
【解析】解：x+2y=3①9x-8y=5②，
①×4+②，得13x=17，
解得：x=1713，
把x=1713代入①，得1713+2y=3，
解得：y=1113．
故答案为：1713，1113．
①×4+②得出13x=17，求出x，再把x=1713代入①求出y即可．
本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
13.【答案】19
【解析】解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中两辆汽车都直行的结果有1种，
∴两辆汽车都直行的概率为19，
故答案为：19．
画树状图，共有9种等可能的结果，其中两辆汽车都直行的结果有1种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14.【答案】60
【解析】解：根据题意可知：AB⊥BC，AB=6m，BC=6 3m，
在Rt△ABC中，
∵tanC=ABBC=66 3= 33，
∴∠C=30°，
∵AC⊥AD，
∴∠D=60°，
∴此时D点关于太阳的仰角θ为60°．
故答案为：60．
根据题意可得AB⊥BC，AB=6m，BC=6 3m，所以∠C=30°，再利用直角三角形两个锐角互余，即可解决问题．
本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握特殊角的三角函数值．
15.【答案】 16+6 3
【解析】解：过点E作EF//CD交BA延长线于点F，过点E作EG⊥CD于点G，如图，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABG=∠F=∠FEB=∠EGB=90°，
∴四边形FEGB为矩形，
∴BF=EG，BG=EF，
∵在△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AB=1，
∴AC=2AB=2，
∴BC= AC2-AB2= 22-12= 3，
∵DC=AE，DB=3，
∴AE=CD=BD+BC=3+ 3，
∵∠EAB=150°，
∴∠EAF=180°-∠EAB=30°，
∴EF=12AE=3+ 32，
∴BG=EF=3+ 32，
∴DG=BD-BG=3-3+ 32=3- 32，
∴AF=AE⋅cos30°=(3+ 3)× 32=3 3+32，
∴EG=BF=AF+AB=3 3+32+1=3 3+52，
在Rt△EGD中，由勾股定理得DE= EG2+DG2= (3 3+52)2+(3- 32)2= 16+6 3．
过点E作EF//CD交BA延长线于点F，过点E作EG⊥CD于点G，根据题意易证四边形FEGB为矩形，得到BF=EG，BG=EF，由含30°角的直角三角形的性质可得BC= 3，进而得到AE=CD=3+ 3，由平角的定义得到∠EAF=30°，则EF=3+ 32，AF=3 3+32，算出BF、DG，在Rt△EGD中，由勾股定理即可求解．
本题主要考查矩形的判定与性质、解直角三角形、含30°角的直角三角形、勾股定理，理清题意，正确作出辅助线，构造合适的矩形解决问题是解题关键．
16.【答案】6
【解析】解：如图，
Rt△ABC中，
∵∠BAC=90°，AB=4，BC=8，
∴AC= BC2-AB2= 82-42=4 3，
∵∠CDA=90°，
∴BC⋅AD=AB⋅AC，即AD=AB⋅ACBC=4×4 38=2 3，
在Rt△ABD中，DB= AB2-AD2= 42-(2 3)2=2，
∴DB+AB=2+4=6．
根据题意画出图形，先根据勾股定理求出AC的长，再由三角形的面积公式得出AD的长，在Rt△ABD中，利用勾股定理即可得出DB的长，进而得出结论．
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．
17.【答案】解：9x3-9x2-72x+10875+25x
=9x3-81x-9x2-27x+36x+10825(x+3)
=9x(x+3)(x-3)-9x(x+3)+36(x+3)25(x+3)
=9x2-36x+3625．
【解析】先把分式的分子、分母因式分解，再约分即可．
本题考查的是分式的约分，利用因式分解求出分子、分母的公因式是解题的关键．
18.【答案】解：sin60°+(-1)2023+(cos45°)-2-|3-π|
= 32+(-1)+( 22)-2-(π-3)
= 32-1+2-π+3
= 32-π+4．
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19.【答案】18 30% 7 108°
【解析】解：(1)∵A区和D区所占的百分比的和1-(45%+17.5%)=37.5%，根据条形图可知A区和D区为12：3=4：1，
∴b=37.5%×44+1=30%，
∴12÷30%=40(个)，
∴a=40×45%=18，c=40×17.5%=7，
A的圆心角度数为360°×30%=108°；
故答案为：18，30%，7，108°；
(2)根据(1)，补全条形统计图如下：
(3)10×8×12+1840=60(个)，
答：估计垃圾分类总量≥12t的区数为60个．
(1)根据扇形图求出A区和D区所占的百分比的和，根据条形图可知A区和D区为4：1，即可求出b的值，根据A区的频数和百分比求出总数，再计算a和c的值即可，用360°乘以A的百分比即可求出A的圆心角度数；
(2)根据(1)的数据，从而补全条形统计图；
(3)用样本估计总体即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
20.【答案】DE=12AC 过点E作EF//AD交AC于F，
∵DE//AC，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴DE=AF，
∵点E为BC中点，EF//AB，
∴AF=CF，
∴DE=12AC
【解析】解：求证：DE=12AC，
证明：过点E作EF//AD交AC于F，
∵DE//AC，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴DE=AF，
∵点E为BC中点，EF//AB，
∴AF=CF，
∴DE=12AC．
故答案为：DE=12AC，过点E作EF//AD交AC于F，
∵DE//AC，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴DE=AF，
∵点E为BC中点，EF//AB，
∴AF=CF，
∴DE=12AC．
过点E作EF//AD交AC于F，根据平行四边形的性质得到DE=AF，根据平行线等分线段定理得到AF=CF，于是得到DE=12AC．
本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
21.【答案】解：(1)将A(-2,-2)代入双曲线y=kx(k≠0)，
∴k=-2×(-2)=4；
过点A作AF⊥x轴于点F，则AF=OF=2，
∴△AOF是等腰直角三角形，
∴∠AOF=45°，
∴直线AB过点O，即b=0，
将点A(-2,-2)代入y=ax，
∴-2a=-2，
∴a=1；
(2)由对称性可知B(2,2)，
∴AB=4 2，
连接BD，则BD= 2AB=8，
设AD与x轴交于点G，则OG= 2OA=4，AG=OA=2 2，
∴DG=2 2，∠DGE=∠AGO=45°，
∴DE=DG=2，
∴D(-6,2)，
∴BD//x轴，
∵DE⊥x轴，
∴BD⊥DE，
在Rt△BDE中，由勾股定理可得BE= 82+22=2 17．
【解析】(1)将点A的坐标代入双曲线，即可得出k的值；由直线的倾斜角为45°，可得出直线AB过原点O，将点A的坐标代入直线表达式即可得出结论；
(2)由题意可得出点D的坐标，进而可得BD//x轴，则DE⊥BD，最后根据勾股定理可得出结论．
本题属于反比例函数与几何的综合题，涉及待定系数法求函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质与判定，得出BD⊥DE是解题关键．
22.【答案】解：(1)如图2，延长BC交AF于S，
则CS=DE=3m，
在Rt△ABS中，∵∠BAS=33.69°，
∴AB=BSsin33.69∘≈1.2+30.55≈7.64(m)，
答：斜面AB的长度为7.64m；
(2)延长NM交AF于J，过R作RK⊥NM于K，
则RK=AJ，JK=AR=1.5m，JS=BM=3m，
在Rt△ABS中，∵∠BAS=33.69°，
∴AS=BStan33.69∘≈1.2+30.67≈6.26(m)，
∴RK=AJ=6.26+3=9.26(m)，
在Rt△NKR中，∵∠NRK=60°，
∴NK= 3RK=9.26×1.732≈16.04(m)，
PQ=NM=NK+KJ-BS=16.04+1.5-4.2≈13(m)，
答：塔高PQ为13m．
【解析】(1)延长BC交AF于S，则CS=DE=3m，解直角三角形即可得到结论；
(2)延长NM交AF于J，过R作RK⊥NM于K，根据矩形的性质得到RK=AJ，JK=AR=1.5m，JS=BM=3m，解直角三角形即可得结论
本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，正确地作出辅助线是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：连接AO并延长交BC于D，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∴AD⊥BC，
∵直线l//BC，
∴AD⊥直线l，
∵OA是圆O的半径，
∴直线l为⊙O切线；
(2)连接OB，OD，连接并延长AO，交BC于E，交BD于F，
∵AB=AC，
∴AE⊥BC，
∵∠ABD=45°，
∴∠AOD=2∠ABD=90°，
∴∠DOF=∠BEF=90°，
又∵∠BFE=∠DFO，
∴△BFE∽△DFO，
∴∠ODF=∠EBF=∠CAD，
设BE=y，OD=OA=OB=x，
在Rt△EBF中，∵tan∠CBD=15，
∴EF=y5，
在Rt△ODF中，∵tan∠ODF=15，
∴OF=x5，
∵AB⋅BC=4 13，
∴AB⋅BE=2 13，
∴AB=2 13BE=2 13y，
∵AB2=AE2+BE2，BO2=OE2+BE2，
∴4×132=(x+x5+y5)2+y2x2=(x5+y5)2+y2，
解得x=136y=2，
故⊙O的半径为136．
【解析】(1)根据圆周角定理以及切线的判定定理解答即可；
(2)作辅助线，构建直角三角形，利用边角关系与已知条件，得出结论．
本题主要考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理和解直角三角形，熟练运用圆周角定理，构建直角三角形是解此题的关键．
24.【答案】解：(1)过点A作AH⊥BC于点H，如图所示：
∵AC=BC=5,tanC=34，
设AH=3x，CH=4x，
在Rt△ACH中，根据勾股定理得(3x)2+(4x)2=25，
解得x=1或x=-1(舍去)，
∴AH=3，CH=4，
∴BH=BC-CH=1，
在Rt△ABH中，根据勾股定理得AB= 32+12= 10；
(2)在正方形DEFG中，∠EFG=∠G=90°，GB=DG=DE=EF=3，
∵方形DEFG从点B出发，以每秒1个单位的速度沿射线BC运动，
∴BF=t，
当0
∵∠IFB=∠AHB，∠IBF=∠ABH，
∴△IFB∽△AHB，
∴BF：BH=IF：AH，
∴IF=3t，
∴S=12⋅t⋅3t=32t2；
当1
∵BF=t，
∴CF=5-t，
∵tanC=34，
∴IF=34(5-t)，
∴S=S△ABC-S△IFC
=12×5×3-12⋅(5-t)⋅34(5-t)
=-38t2+154t-158；
当3
∵BE=t-3，CF=5-t，
∴IE=3(t-3)，FK=34(5-t)，
∴S=S△ABC-S△BEI-S△KFC
=12×5×3-12⋅(t-3)⋅3(t-3)-12⋅(5-t)⋅34(5-t)
=-158t2+514t-1238；
当4
∵BF=t，
∴CF=5-t，CE=8-t，
∵tanC=34，
∴FK=34(5-t)，IE=34(8-t)，
∴S=12×3×[34(5-t)+34(8-t)]
=-94t+1178；
当5
∵CE=8-t，
∴IE=34(8-t)，
∴S=12(8-t)⋅34(8-t)=38t2-6t+24，
综上所述，当0
(2)分情况讨论：当0
25.【答案】解：(1)∵∠A=90°，∠BEF=45°，
∴∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠ABE+(∠AEF+∠BEF)=90°，
∴∠ABE+∠AEF=90°-∠BEF=45°；
(2)①如图1，
作FQ⊥EF交BE于Q，作QH⊥AB于H，
∴∠A=∠QHB=∠EFQ=90du3，
∴∠AEF+∠AFE=90°，∠AFE+∠QFH=90°，
∴∠AEF=∠QFH，
∵∠BEF=45°，
∴∠FQE=90°-∠BEF=45°，
∴∠BEF=∠FQE，
∴EF=FQ，
∴△AEF≌△HFQ(AAS)，
∴HF=AE，HQ=AF=m，
设FG=a，HF=AE=x，
∴AC=AB=m+n+a，
∵EF//CG，
∴AFFG=AECE
∴ma=xm+n+a-x，①，
∵HQ//AC，
∴△BQH∽△BEA，
∴BHAB=HQAE，
∴n+a-xm+n+a=mx，②，
由①②得，
x=n-m；
②如图2，
作FQ⊥EF交BE于Q，作QH⊥AB于H，
设FG=a，AE=x，∴AC=AB=n+a-m，
同理①可得，
QH=AF=m，FH=AE=x，
ACAE=AGAF，QHAE=BHAB，
∴BH=FH-BG-FG=x-n-a，
∴n+a-mx=m-ammx=x-n-an+a-m，
∴x=m+n；
(3)如图3，
∵BE=CG，AB=AC，∠A=∠A，
∴△ABE≌△ACG(HL)，
∴AG=AE=n-m，CE=BG=n，
∵AFAG=AEAC，
∴mn-m=n-mn+n-m，
∴2m2-4mn+n2=0，
∴2(mn)2-4⋅mn+1=0，
∴mn=2+ 22(舍去)，mn=2- 22，
∴mn=2- 22．
【解析】(1)在△ABE中，根据三角形的内角和定理，得出∠ABE+(∠AEF+∠BEF)=90°，进一步得出结果；
(2)①作FQ⊥EF交BE于Q，作QH⊥AB于H，可证得△AEF≌△HFQ，从而HF=AE，HQ=AF=m，设FG=a，HF=AE=x，由EF//CG得AFFG=AECE，HQ//AC得△BQH∽△BEA，从而BHAB=HQAE，进一步得出结果；
②同①方法相同求得结果；
(3)可证得△ABE≌△ACG，从而AG=AE=n-m，CE=BG=n，根据AFAG=AEAC，从而得出mn-m=n-mn+n-m，从而解得结果．
本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形和相似三角形．
26.【答案】解：(1)由题意得：4x-12=2x2-8x+6，
解得：x1=x2=3，
∴抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点(3,0)．
∴a-b+c=09a+3b+c=0，
∴b=-2ac=-3a，
∴y=ax2-2ax-3a．
由题意：ax2+bx+c≥4x-12，对任意实数x都成立，
∴ax2-(2a+4)x-3a+12≥0总有实数解．
∴a>0，方程ax2-(2a+4)x-3a+12=0由两个相等的实数根，
Δ=[-(2a+4)]2-4a×(-3a+12)=0，
解得：a1=a2=1，
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3；
(2)令x=0，则y=3，
∵与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C，
∴A(-1,0)，B(3,0)，C(0,3)．
∵点M为抛物线在第四象限上的一动点，
∴M(m,m2-2m-3)，0
∴n=-33k+n=0，
解得：k=1n=-3．
∴直线BC的解析式为y=x-3．
过点M作MD//x轴，交BC于点D，
则x-3=m2-2m-3，
∴x=m2-2m，
∴D(m2-2m,m2-2m-3)，
∴MD=m-(m2-2m)=-m2+3m．
∵MD//x轴，
∴△NMD∽△NAB，
∴MNAN=MDAB，
∴MNAN=-m2+3m4=-14(m-32)2+916，
∵-14<0，
∴当m=32时，MNAN的最大值为916；
(3)由(2)知：A(-1,0)，B(3,0)，C(0,3)，
∴OA=1，OB=OC=3，
∴∠BCO=∠CBO=45°，AC= OA2+OC2= 10，BC= OB2+OC2=3 2，AB=OA+OB=4．
①点D在BC上方时，设DC与x轴交于点E，如图，
∵∠DCB+∠CAO=90°，∠CAO+∠ACO=90°，
∴∠ACO=∠DCB，
∴∠ACE=∠BCO=45°．
∴ACE=∠CBO=45°．
∵CAE=∠BAC，
∴△CAE∽△BAC，
∴ACAE=ABAC，
∴ 10AE=4 10．
∴AE=52，
∴OE=AE-OA=32．
∴E(32,0)．
设直线EC的解析式为y=ex+f，
∴f=-332e+f=0，
∴e=2f=-3．
∴直线EC的解析式为y=2x-3．
∴y=2x-3y=x2-2x-3，
解得：x1=0y1=-3，x2=4y2=5，
∴D(4,5)；
②点D在BC上方时，设直线DC与x轴交于点E，过点A作AF⊥BC于点F，如图，
∵S△ABC=12×AB⋅OC=12×BC⋅AF，
∴4×3=3 2×AF，
∴AF=2 2．
∴CF= AC2-CF2= 2．
∵∠DCB+∠CAO=90°，∠CAO+∠ACO=90°，
∴∠ACO=∠DCB，
∴∠ACB=∠OCE．
∵∠AFC=∠COE=90°，
∴△ACF∽△ECO，
∴AFCF=OEOC，
∴2 2 2=OE3，
∴OE=6，
∴E(6,0)．
则直线CE的解析式为y=12x-3，
∴y=12x-3y=x2-2x-3，
解得：x1=0y1=-3，x2=52y2=-74，
∴D(52,-74).
综上，点D的坐标为(4,5)或(52,-74).
【解析】(1)利用待定系数法和一元二次方程的性质解答即可；
(2)利用待定系数法求得直线BC，过点M作MD//x轴，交BC于点D，设M(m,m2-2m-3)，利用点的坐标的特征求得点D的横坐标，利用m表示出线段MD的长，利用相似三角形的判定与性质求得MNAN关于m的函数关系式，再利用配方法和二次函数的性质解答即可得出结论；
(3)利用分类讨论的思想方法分两种情况解答：①点D在BC上方时，设DC与x轴交于点E，利用相似三角形的判定与性质求得线段AE，进而得到点E的坐标，利用待定系数法求得直线CD的解析式，与抛物线的解析式联立，解方程组即可求得点D的坐标；②点D在BC上方时，设直线DC与x轴交于点E，过点A作AF⊥BC于点F，利用①中的方法解答即可得出结论．
本题主要考查了二次函数的图象与性质，的待定系数法，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，函数的极值，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
2023年辽宁省大连市中考数学模拟试卷（B卷）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列选项中是有理数的是：( )
①2cos245°-sin60°⋅tan60°；
②sin215°+cos215°-π；
③sin45°+π；
④sin90°+(π-3)0+12023；
⑤(- 2)2035+1．
A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ①⑤
2. 如图所示为一个正多面体.已知AB=1，则该多面体的表面积为( )
A. 8 3
B. 2.45
C. 5 3
D. 4 2
3. 点P(x2,ππ)(x≠0)所在的象限为( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4. 如图，数轴上表示的数可能是( )
A. 5+12 B. - 5-12 C. 1- 52 D. 5-12
5. 如图，直线m//n，BC为∠ABD的三等分线，∠DAB=α，∠DBC=β，则∠1的度数为( )
A. α+2β
B. 2α+β
C. 2β+α或α+12β
D. 2α+β或2β+α
6. 已知二次根式 11+2 18，则化简后的结果为( )
A. 2+3 B. 11+6 C. 6+2 11 D. 3 2+11
7. 定义：我们把无论怎样设值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值的数学问题称作数学黑洞.例如：任意找一个3的倍数的数，先把这个数的每个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数，然后把这个新数的每个数位上的数字再立方，再相加，得到一个新数，然后把这个新数的每个数位上的数字再立方，求和……，重复运算下去就能得到一个固定的数.则该数的值为( )
A. 147 B. 153 C. 1435 D. 1145
8. 如图，已知A、B两点的坐标分别为(2tan60°,0)、(0,2)，P是△AOB外接圆上的一点，且∠AOP=45°，则点P的坐标为( )
A. P(tan60°-1,1-tan60°)
B. P(1,-3)或P(3,-1)
C. P(tan60°-1,1-tan60°)或P(tan30°-1,tan60°-2sin45)
D. P(tan60°-1,1-tan60°)或P(tan60°+1,tan60°+1)
9. 在平面直角坐标系xOy中有抛物线y=x2-2mx+2m2-m-2，A(-1,3)，B(4,5)，当抛物线与线段AB有两个公共点时，m的取值范围是( )
A. 3+ 414≤m≤4 B. -1≤m≤4
C. 1+ 334≤m≤32 D. 1+ 334≤m≤9+ 1534
10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=15°，AC=1，P为△ABC内部一点，则PA+PB+PC的最小值为( )
A. 2+ 3 B. 6 3+11 C. 11+6 D. 6+2 11
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 已知m>0，则24m+6m的最小值为______ ．
12. 关于x，y的方程x+2y=39x-8y=5的解为x= ，y= ．
13. 在十字路口，汽车可左转、直行、右转，若三者的概率相同，则两辆汽车都直行的概率为______ ．
14. 已知有一根与地面垂直的6m的竹竿AB，如图所示，影长BC为6 3m，当太阳运动使影长为BD时，恰好满足AC⊥AD，则此时D点关于太阳的仰角θ为______ °.
15. 如图，已知∠ABC=90°，∠C=30°，∠EAB=150°，DC=AE.若AB=1，DB=3，则DE的长为______ ．
16. 在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，BC=8，D是BC上的点，当∠CDA=90°时，DB+AB的值为______ ．
三、解答题（本大题共10小题，共102.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题9.0分)
化简：9x3-9x2-72x+10875+25x．
18. (本小题10.0分)
计算：sin60°+(-1)2023+(cos45°)-2-|3-π|．
19. (本小题10.0分)
随着全国人民环保意识的增强，垃圾分类开始风靡于大街小巷.为了解某市2023年6月垃圾分类的情况，某环境保护局随机抽取该市部分地区进行相关调查，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．
根据以上信息，回答下列问题：
(1)填空：a= ______ ，b= ______ ，c= ______ ，图表2中中A的圆心角度数为______ ；
(2)依据题意补全条形统计图；
(3)若该市所对应的省有10个市，每个市有8个区，请你估计垃圾分类总量≥12t的区数．
20. (本小题10.0分)
在学习中位线时，小胖同学发现对于任意三角形，若已知一边中点，过中点作任意一边的平行线，则该平行线截得两边所成的线段为该三角形的中位线.请你补全求证内容并使用八下所学知识证明小胖同学的结论．
已知：在△ABC中，点E为BC中点，DE//AC．
求证：______ ．
证明：______ ．
21. (本小题10.0分)
如图，已知双曲线y=kx(k≠0)与直线y=ax+b(a≠0)交于A，B两点，直线的倾斜角为45°，且A(-2,-2)．
(1)求k，a的值；
(2)以AB为边向左构造正方形ABCD，过D作x轴的垂线交于点E，连接BE，求BE的长．
22. (本小题10.0分)
如图1，中苏友谊纪念塔在大连市旅顺博物馆前的广场中心，是大连著名的地标建筑之一.如图2，一个人(AR)站在纪念塔前的石阶底部，测得点R关于点N的仰角α=60°.已知人高1.5m，ED=3m，BC=1.2m，BM=3m.若将塔前的楼梯看作斜坡，坡角θ的度数为33.69°(sin33.69°≈0.55,cos33.69°≈0.83,tan33.69°≈0.67, 3≈1.73)．
(1)求斜面AB的长度；
(2)求塔高PQ(结果保留整数)．
23. (本小题10.0分)
如图1，四边形ABCD内接于⊙，AB=AC，直线l//BC．
(1)求证：直线l为⊙O切线；
(2)如图2，∠ABD=45°，tan∠CBD=15，AB⋅BC=4 13，求⊙O半径．
24. (本小题11.0分)
如图，在△ABC中，AC=BC=5,tanC=34，边长为3的正方形DEFG从点B出发，以每秒1个单位的速度沿射线BC运动，当点E与点C重合时运动停止.设点B运动时间为t(t>0)，正方形DEFG与△ABC的重叠面积为S．
(1)求AB的长；
(2)求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．
25. (本小题11.0分)
综合与实践
问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：
1，在等腰Rt△ABC中，∠A=90°，点E在AC上运动，∠BEF=45°，CG//FE.探究∠AEF与∠ABE之间的关系，并证明．
独立思考：(1)请解答王老师提出的问题．
实践探究：(2)在原有条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出了新问题，请你解答．
“①若AF=m，BG=n，则求线段AE的长(用含m、n的式子表示)；
②如图2，当点E在AC的延长线上，则①中所求AE的长度是否仍然成立？若成立，请简要说明理由；若不成立，请直接写出AE的长(用含m、n的式子表示).”
问题解决：(3)数学活动小组的同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，保留原题条件，如果给出BE与CG的数量关系，则图3中所有已经用字母标记的任意两条线段之间的比值均可求.该小组提出下面的问题，请你解答．
“在(2)的条件下，若BE=CG，请在备用图中补全图形，并求mn的值.”
26. (本小题11.0分)
已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点(-1,0)，且对任意实数x，都有4x-12≤y≤2x2-8x+6.如果抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点M为抛物线在第四象限上的一动点，AM与BC交于点N，求MNAN的最大值；
(3)设抛物线与x轴交于A，B两点(其中A在B的左侧)，与y轴交于点C，D为抛物线上的一动点.若∠DCB+∠CAO=90°，求点D的坐标．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：①2cos245°-sin60°⋅tan60°
=2×( 22)2- 32× 3
=1-32
=-12，是有理数，
故①符合题意；
②sin215°+cos215°-π=1-π，是无理数，
故②不符合题意；
③sin45°+π= 22+π，是无理数，
故③不符合题意；
④sin90°+(π-3)0+12023=1+1+1=3，是有理数，
故④符合题意；
⑤(- 2)2035+1=-( 2)2035+1，是无理数，
故⑤不符合题意，
综上所述，有理数有①④，
故选：C．
根据特殊角的三角函数值，零指数幂，同角三角函数的关系，实数的运算等分别计算即可．
本题考查了特殊角的三角函数值，同角的三角函数的关系，零指数幂，有理数和无理数，熟练掌握这些知识是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：正多面体有12个顶点，每个顶点处有5个面，按照顶点数有12×5=60个面，
这样每个面被数3次，所以多面体的面实际有60÷3=20个面，
三角形的面积为：12×1×1× 32= 34，
多面体的表面积为20× 34=5 3，
故选：C．
正多面体有12个顶点，每个顶点处有5个面，这样数，每个面被数3次，求出多面体有多少面，用三角形的面积公式求出面积，相乘即可．
本题考查的是多面体的表面积，解题的关键是多面体共有多少面．
3.【答案】A
【解析】解：∵x≠0，
∴x2>0，ππ>0，
∴点P(x2,ππ)在第一象限，
故选：A．
根据x2>0，ππ>0，可确定点P所在象限．
本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系内每个象限内点的坐标特征是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：因为点Q表示的数大于-2小于-1，
5≈2.24，
A.因为 5+12≈2.24+12≈1.62>0，所以A选项不符合题意；
B.因为- 5-12≈-1.62，-2<-1.62<-1，所以B选项符合题意；
C.因为1- 52≈-0.62，-0.62>-1，所以C选项不符合题意；
D.因为 5-12≈0.62，0.62>0，所以D选项不符合题意．
故选：B．
根据题意可得，因为点Q表示的数大于-2小于-1， 5≈2.24，代入计算即可得出答案．
本题主要考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数大小的方法进行求解是解决本题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：如图，
∵m//n，
∴∠ABC=∠BCD，∠ADC=∠DAB=α，
当BC为∠ABD的三等分线且∠DBC=β=13∠ABD时，∠BCD=∠ABC=2β，
∵∠1是△CDE的外角，
∴∠1=∠BCD+∠ADC=2β+α，
当BC为∠ABD的三等分线且∠DBC=β=23∠ABD时，∠BCD=∠ABC=12β，
∵∠1是△CDE的外角，
∴∠1=∠ADC+∠BCD=α+12β，
综上，∠1的度数为2β+α或α+12β，
故选：C．
由m//n得到∠ABC=∠BCD，∠ADC=∠DAB=α，分BC为∠ABD的三等分线且∠DBC=β=13∠ABD和BC为∠ABD的三等分线且∠DBC=β=23∠ABD两种情况求解即可．
此题考查的是三角形内角和定理，涉及到平行线的性质、三角形外角的性质等知识，分类讨论是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解： 11+2 18
= (3+ 2)2
=3+ 2；
故选：A．
本题是复合二次根式的化简问题，运用配方法进行化简．
主要考查了二次根式的性质与化简，掌握配方法是解题关键．
7.【答案】B
【解析】解：把6代入计算，
第一次立方后得到216；
第二次得到225；
第三次得到141；
第四次得到66；
第五次得到432；
第六次得到99；
第七次得到1458；
第八次得到702；
第九次得到351；
第十次得到153；
开始重复，
∴该数的值为153，
故选：B．
根据题意，可以任意找一个3的倍数，如6.第一次立方后得到216；第二次得到225；…；第十次得到153；开始重复，则该数值为153．
题只需根据题意，任意找一个符合条件的数进行计算，直至计算得到重复的数值，即是所求的黑洞数．
8.【答案】D
【解析】解：∵A、B两点的坐标分别为(2tan60°,0)、(0,2)，
OB=2，OA=2 3，
∴AB= OA2+OB2=4，
∵∠AOP=45°，
∴P点横纵坐标相等，可设为a，即P(a,a)，
∵∠AOB=90°，
∴AB是直径，
∴Rt△AOB外接圆的圆心为AB中点，坐标C( 3,1)，
可得P点在圆上，P点到圆心的距离为圆的半径2，
过点C作CF//OA，过点P作PE⊥OA于E交CF于F，
∴∠CFP=90°，
∴PF=a-1，CF=a- 3，PC=2，
∴在Rt△PCF中，利用勾股定理得：(a- 3)2+(a-1)2=22，
舍去不合适的根，可得：a=1+ 3，
则P点坐标为( 3+1, 3+1)．
∵P与P'关于圆心( 3,1)对称，
∴P'( 3-1,1- 3).
∴P( 3+1, 3+1)或P( 3-1,1- 3).
∴P(tan60°-1,1-tan60°)或P(tan60°+1,tan60°+1)．
故选：D．
过圆心C作CF平行于OA，过P作PE垂直于x轴，两线交于F，由A和B的坐标得出OA及OB的长，利用勾股定理求出AB的长，由∠AOP=45°，得到三角形POE为等腰直角三角形，得到P的横纵坐标相等，设为(a,a)，再由∠AOB=90°，利用圆周角定理得到AB为直径，外接圆圆心即为直径AB的中点，设为C，求出C的坐标，可得出PC=2，根据垂径定理求出EF的长，用PE-EF表示出PF，用P的横坐标减去C的横坐标，表示出CF，在直角三角形PCF中，利用勾股定理列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，进而确定出P的坐标．
此题考查了圆周角定理，勾股定理，坐标与图形性质，等腰直角三角形的判定与性质，以及角平分线的性质，利用了转化及方程的思想，是一道综合性较强的试题．
9.【答案】C
【解析】解：∵y=x2-2mx+2m2-m-2=(x-m)2+m2-m-2，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=m，顶点为(m,m2-m-2)，
把A(-1,3)代入y=x2-2mx+2m2-m-2得，
1+2m+2m2-m-2=3，
解得m=-1± 334；
把B(4,5)代入y=x2-2mx+2m2-m-2得，
16-8m+2m2-m-2=5，
解得m=4或32，
由图象可知，该抛物线与线段AB只有两个公共点时，-1+ 334≤m≤32．
故选：C．
求得抛物线过A、B时的m的值，根据图象即可求得．
本题考查了二次函数图象和性质的关系，二次函数图象上点的坐标特征，函数解析式与一元二次方程的关系，数形结合思想是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：将△APB绕点B顺时针旋转60°至△A'P'B处，连接PP'，AA'，A'C，过点A'作A'T⊥CA交CA的延长线于点T，在BC上取一点J，使得BJ=AJ，连接AJ．
∵JA=JB，
∴∠JBA=∠JAB=15°，
∴∠AJC=∠JBA+∠JAB=30°，
∵ACJ=90°，AC=1，
∴AJ=BJ=2AC=2，CJ= 3，
∴BC=2+ 3，
∴AB= AC2+BC2= 12+(2+ 3)2= 6+ 2，
由旋转变换的性质可知PB=P'B，AB=A'B，∠PBP'=∠ABA'=60°
∴△PBP'，△ABA'都是等边三角形，
∴PB=PP'，∠P'PB=∠PP'B=60°，AA'=AB= 6+ 2，
∴PA+PB+PC=A'P'+P'P+PC≥A'C，
∴当A'，P'，P，C四点共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值为线段CA'的长，
∵∠BAA'=60°，∠CAB=75°，
∴∠A'AT=45°
∴AT=TA'= 22AA'= 22×( 6+ 2)= 3+1
∴A'C= A'T2+CT2= ( 3+1)2+( 3+2)2= 6 3+11
∴PA+PC+PB的最小值为 6 3+11．
故选：B．
将△APB绕点B顺时针旋转60°至△A'P'B处，连接PP'：PA+PB+PC=A'P'+P'P+PC≥A'C，推出当A'，P'，P，C四点共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值为线段CA'的长，
本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会利用旋转变换作出辅助线，用转化的思想思考问题．
11.【答案】24
【解析】解：当m>0时，根据完全平方公式得24m+6m≥2 24m⋅6m=24．
故24m+6m的最小值为24．
故答案为：24．
根据完全平方公式可得m>0时，24m+6m≥2 24m⋅6m，依此即可求解．
本题考查了利用完全平方公式求解最值，关键是熟悉完全平方公式的知识点．
12.【答案】1713 1113
【解析】解：x+2y=3①9x-8y=5②，
①×4+②，得13x=17，
解得：x=1713，
把x=1713代入①，得1713+2y=3，
解得：y=1113．
故答案为：1713，1113．
①×4+②得出13x=17，求出x，再把x=1713代入①求出y即可．
本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
13.【答案】19
【解析】解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中两辆汽车都直行的结果有1种，
∴两辆汽车都直行的概率为19，
故答案为：19．
画树状图，共有9种等可能的结果，其中两辆汽车都直行的结果有1种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14.【答案】60
【解析】解：根据题意可知：AB⊥BC，AB=6m，BC=6 3m，
在Rt△ABC中，
∵tanC=ABBC=66 3= 33，
∴∠C=30°，
∵AC⊥AD，
∴∠D=60°，
∴此时D点关于太阳的仰角θ为60°．
故答案为：60．
根据题意可得AB⊥BC，AB=6m，BC=6 3m，所以∠C=30°，再利用直角三角形两个锐角互余，即可解决问题．
本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握特殊角的三角函数值．
15.【答案】 16+6 3
【解析】解：过点E作EF//CD交BA延长线于点F，过点E作EG⊥CD于点G，如图，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABG=∠F=∠FEB=∠EGB=90°，
∴四边形FEGB为矩形，
∴BF=EG，BG=EF，
∵在△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AB=1，
∴AC=2AB=2，
∴BC= AC2-AB2= 22-12= 3，
∵DC=AE，DB=3，
∴AE=CD=BD+BC=3+ 3，
∵∠EAB=150°，
∴∠EAF=180°-∠EAB=30°，
∴EF=12AE=3+ 32，
∴BG=EF=3+ 32，
∴DG=BD-BG=3-3+ 32=3- 32，
∴AF=AE⋅cos30°=(3+ 3)× 32=3 3+32，
∴EG=BF=AF+AB=3 3+32+1=3 3+52，
在Rt△EGD中，由勾股定理得DE= EG2+DG2= (3 3+52)2+(3- 32)2= 16+6 3．
过点E作EF//CD交BA延长线于点F，过点E作EG⊥CD于点G，根据题意易证四边形FEGB为矩形，得到BF=EG，BG=EF，由含30°角的直角三角形的性质可得BC= 3，进而得到AE=CD=3+ 3，由平角的定义得到∠EAF=30°，则EF=3+ 32，AF=3 3+32，算出BF、DG，在Rt△EGD中，由勾股定理即可求解．
本题主要考查矩形的判定与性质、解直角三角形、含30°角的直角三角形、勾股定理，理清题意，正确作出辅助线，构造合适的矩形解决问题是解题关键．
16.【答案】6
【解析】解：如图，
Rt△ABC中，
∵∠BAC=90°，AB=4，BC=8，
∴AC= BC2-AB2= 82-42=4 3，
∵∠CDA=90°，
∴BC⋅AD=AB⋅AC，即AD=AB⋅ACBC=4×4 38=2 3，
在Rt△ABD中，DB= AB2-AD2= 42-(2 3)2=2，
∴DB+AB=2+4=6．
根据题意画出图形，先根据勾股定理求出AC的长，再由三角形的面积公式得出AD的长，在Rt△ABD中，利用勾股定理即可得出DB的长，进而得出结论．
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．
17.【答案】解：9x3-9x2-72x+10875+25x
=9x3-81x-9x2-27x+36x+10825(x+3)
=9x(x+3)(x-3)-9x(x+3)+36(x+3)25(x+3)
=9x2-36x+3625．
【解析】先把分式的分子、分母因式分解，再约分即可．
本题考查的是分式的约分，利用因式分解求出分子、分母的公因式是解题的关键．
18.【答案】解：sin60°+(-1)2023+(cos45°)-2-|3-π|
= 32+(-1)+( 22)-2-(π-3)
= 32-1+2-π+3
= 32-π+4．
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19.【答案】18 30% 7 108°
【解析】解：(1)∵A区和D区所占的百分比的和1-(45%+17.5%)=37.5%，根据条形图可知A区和D区为12：3=4：1，
∴b=37.5%×44+1=30%，
∴12÷30%=40(个)，
∴a=40×45%=18，c=40×17.5%=7，
A的圆心角度数为360°×30%=108°；
故答案为：18，30%，7，108°；
(2)根据(1)，补全条形统计图如下：
(3)10×8×12+1840=60(个)，
答：估计垃圾分类总量≥12t的区数为60个．
(1)根据扇形图求出A区和D区所占的百分比的和，根据条形图可知A区和D区为4：1，即可求出b的值，根据A区的频数和百分比求出总数，再计算a和c的值即可，用360°乘以A的百分比即可求出A的圆心角度数；
(2)根据(1)的数据，从而补全条形统计图；
(3)用样本估计总体即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
20.【答案】DE=12AC 过点E作EF//AD交AC于F，
∵DE//AC，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴DE=AF，
∵点E为BC中点，EF//AB，
∴AF=CF，
∴DE=12AC
【解析】解：求证：DE=12AC，
证明：过点E作EF//AD交AC于F，
∵DE//AC，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴DE=AF，
∵点E为BC中点，EF//AB，
∴AF=CF，
∴DE=12AC．
故答案为：DE=12AC，过点E作EF//AD交AC于F，
∵DE//AC，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴DE=AF，
∵点E为BC中点，EF//AB，
∴AF=CF，
∴DE=12AC．
过点E作EF//AD交AC于F，根据平行四边形的性质得到DE=AF，根据平行线等分线段定理得到AF=CF，于是得到DE=12AC．
本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
21.【答案】解：(1)将A(-2,-2)代入双曲线y=kx(k≠0)，
∴k=-2×(-2)=4；
过点A作AF⊥x轴于点F，则AF=OF=2，
∴△AOF是等腰直角三角形，
∴∠AOF=45°，
∴直线AB过点O，即b=0，
将点A(-2,-2)代入y=ax，
∴-2a=-2，
∴a=1；
(2)由对称性可知B(2,2)，
∴AB=4 2，
连接BD，则BD= 2AB=8，
设AD与x轴交于点G，则OG= 2OA=4，AG=OA=2 2，
∴DG=2 2，∠DGE=∠AGO=45°，
∴DE=DG=2，
∴D(-6,2)，
∴BD//x轴，
∵DE⊥x轴，
∴BD⊥DE，
在Rt△BDE中，由勾股定理可得BE= 82+22=2 17．
【解析】(1)将点A的坐标代入双曲线，即可得出k的值；由直线的倾斜角为45°，可得出直线AB过原点O，将点A的坐标代入直线表达式即可得出结论；
(2)由题意可得出点D的坐标，进而可得BD//x轴，则DE⊥BD，最后根据勾股定理可得出结论．
本题属于反比例函数与几何的综合题，涉及待定系数法求函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质与判定，得出BD⊥DE是解题关键．
22.【答案】解：(1)如图2，延长BC交AF于S，
则CS=DE=3m，
在Rt△ABS中，∵∠BAS=33.69°，
∴AB=BSsin33.69∘≈1.2+30.55≈7.64(m)，
答：斜面AB的长度为7.64m；
(2)延长NM交AF于J，过R作RK⊥NM于K，
则RK=AJ，JK=AR=1.5m，JS=BM=3m，
在Rt△ABS中，∵∠BAS=33.69°，
∴AS=BStan33.69∘≈1.2+30.67≈6.26(m)，
∴RK=AJ=6.26+3=9.26(m)，
在Rt△NKR中，∵∠NRK=60°，
∴NK= 3RK=9.26×1.732≈16.04(m)，
PQ=NM=NK+KJ-BS=16.04+1.5-4.2≈13(m)，
答：塔高PQ为13m．
【解析】(1)延长BC交AF于S，则CS=DE=3m，解直角三角形即可得到结论；
(2)延长NM交AF于J，过R作RK⊥NM于K，根据矩形的性质得到RK=AJ，JK=AR=1.5m，JS=BM=3m，解直角三角形即可得结论
本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，正确地作出辅助线是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：连接AO并延长交BC于D，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∴AD⊥BC，
∵直线l//BC，
∴AD⊥直线l，
∵OA是圆O的半径，
∴直线l为⊙O切线；
(2)连接OB，OD，连接并延长AO，交BC于E，交BD于F，
∵AB=AC，
∴AE⊥BC，
∵∠ABD=45°，
∴∠AOD=2∠ABD=90°，
∴∠DOF=∠BEF=90°，
又∵∠BFE=∠DFO，
∴△BFE∽△DFO，
∴∠ODF=∠EBF=∠CAD，
设BE=y，OD=OA=OB=x，
在Rt△EBF中，∵tan∠CBD=15，
∴EF=y5，
在Rt△ODF中，∵tan∠ODF=15，
∴OF=x5，
∵AB⋅BC=4 13，
∴AB⋅BE=2 13，
∴AB=2 13BE=2 13y，
∵AB2=AE2+BE2，BO2=OE2+BE2，
∴4×132=(x+x5+y5)2+y2x2=(x5+y5)2+y2，
解得x=136y=2，
故⊙O的半径为136．
【解析】(1)根据圆周角定理以及切线的判定定理解答即可；
(2)作辅助线，构建直角三角形，利用边角关系与已知条件，得出结论．
本题主要考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理和解直角三角形，熟练运用圆周角定理，构建直角三角形是解此题的关键．
24.【答案】解：(1)过点A作AH⊥BC于点H，如图所示：
∵AC=BC=5,tanC=34，
设AH=3x，CH=4x，
在Rt△ACH中，根据勾股定理得(3x)2+(4x)2=25，
解得x=1或x=-1(舍去)，
∴AH=3，CH=4，
∴BH=BC-CH=1，
在Rt△ABH中，根据勾股定理得AB= 32+12= 10；
(2)在正方形DEFG中，∠EFG=∠G=90°，GB=DG=DE=EF=3，
∵方形DEFG从点B出发，以每秒1个单位的速度沿射线BC运动，
∴BF=t，
当0
∵∠IFB=∠AHB，∠IBF=∠ABH，
∴△IFB∽△AHB，
∴BF：BH=IF：AH，
∴IF=3t，
∴S=12⋅t⋅3t=32t2；
当1
∵BF=t，
∴CF=5-t，
∵tanC=34，
∴IF=34(5-t)，
∴S=S△ABC-S△IFC
=12×5×3-12⋅(5-t)⋅34(5-t)
=-38t2+154t-158；
当3
∵BE=t-3，CF=5-t，
∴IE=3(t-3)，FK=34(5-t)，
∴S=S△ABC-S△BEI-S△KFC
=12×5×3-12⋅(t-3)⋅3(t-3)-12⋅(5-t)⋅34(5-t)
=-158t2+514t-1238；
当4
∵BF=t，
∴CF=5-t，CE=8-t，
∵tanC=34，
∴FK=34(5-t)，IE=34(8-t)，
∴S=12×3×[34(5-t)+34(8-t)]
=-94t+1178；
当5
∵CE=8-t，
∴IE=34(8-t)，
∴S=12(8-t)⋅34(8-t)=38t2-6t+24，
综上所述，当0
(2)分情况讨论：当0
25.【答案】解：(1)∵∠A=90°，∠BEF=45°，
∴∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠ABE+(∠AEF+∠BEF)=90°，
∴∠ABE+∠AEF=90°-∠BEF=45°；
(2)①如图1，
作FQ⊥EF交BE于Q，作QH⊥AB于H，
∴∠A=∠QHB=∠EFQ=90du3，
∴∠AEF+∠AFE=90°，∠AFE+∠QFH=90°，
∴∠AEF=∠QFH，
∵∠BEF=45°，
∴∠FQE=90°-∠BEF=45°，
∴∠BEF=∠FQE，
∴EF=FQ，
∴△AEF≌△HFQ(AAS)，
∴HF=AE，HQ=AF=m，
设FG=a，HF=AE=x，
∴AC=AB=m+n+a，
∵EF//CG，
∴AFFG=AECE
∴ma=xm+n+a-x，①，
∵HQ//AC，
∴△BQH∽△BEA，
∴BHAB=HQAE，
∴n+a-xm+n+a=mx，②，
由①②得，
x=n-m；
②如图2，
作FQ⊥EF交BE于Q，作QH⊥AB于H，
设FG=a，AE=x，∴AC=AB=n+a-m，
同理①可得，
QH=AF=m，FH=AE=x，
ACAE=AGAF，QHAE=BHAB，
∴BH=FH-BG-FG=x-n-a，
∴n+a-mx=m-ammx=x-n-an+a-m，
∴x=m+n；
(3)如图3，
∵BE=CG，AB=AC，∠A=∠A，
∴△ABE≌△ACG(HL)，
∴AG=AE=n-m，CE=BG=n，
∵AFAG=AEAC，
∴mn-m=n-mn+n-m，
∴2m2-4mn+n2=0，
∴2(mn)2-4⋅mn+1=0，
∴mn=2+ 22(舍去)，mn=2- 22，
∴mn=2- 22．
【解析】(1)在△ABE中，根据三角形的内角和定理，得出∠ABE+(∠AEF+∠BEF)=90°，进一步得出结果；
(2)①作FQ⊥EF交BE于Q，作QH⊥AB于H，可证得△AEF≌△HFQ，从而HF=AE，HQ=AF=m，设FG=a，HF=AE=x，由EF//CG得AFFG=AECE，HQ//AC得△BQH∽△BEA，从而BHAB=HQAE，进一步得出结果；
②同①方法相同求得结果；
(3)可证得△ABE≌△ACG，从而AG=AE=n-m，CE=BG=n，根据AFAG=AEAC，从而得出mn-m=n-mn+n-m，从而解得结果．
本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形和相似三角形．
26.【答案】解：(1)由题意得：4x-12=2x2-8x+6，
解得：x1=x2=3，
∴抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点(3,0)．
∴a-b+c=09a+3b+c=0，
∴b=-2ac=-3a，
∴y=ax2-2ax-3a．
由题意：ax2+bx+c≥4x-12，对任意实数x都成立，
∴ax2-(2a+4)x-3a+12≥0总有实数解．
∴a>0，方程ax2-(2a+4)x-3a+12=0由两个相等的实数根，
Δ=[-(2a+4)]2-4a×(-3a+12)=0，
解得：a1=a2=1，
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3；
(2)令x=0，则y=3，
∵与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C，
∴A(-1,0)，B(3,0)，C(0,3)．
∵点M为抛物线在第四象限上的一动点，
∴M(m,m2-2m-3)，0
∴n=-33k+n=0，
解得：k=1n=-3．
∴直线BC的解析式为y=x-3．
过点M作MD//x轴，交BC于点D，
则x-3=m2-2m-3，
∴x=m2-2m，
∴D(m2-2m,m2-2m-3)，
∴MD=m-(m2-2m)=-m2+3m．
∵MD//x轴，
∴△NMD∽△NAB，
∴MNAN=MDAB，
∴MNAN=-m2+3m4=-14(m-32)2+916，
∵-14<0，
∴当m=32时，MNAN的最大值为916；
(3)由(2)知：A(-1,0)，B(3,0)，C(0,3)，
∴OA=1，OB=OC=3，
∴∠BCO=∠CBO=45°，AC= OA2+OC2= 10，BC= OB2+OC2=3 2，AB=OA+OB=4．
①点D在BC上方时，设DC与x轴交于点E，如图，
∵∠DCB+∠CAO=90°，∠CAO+∠ACO=90°，
∴∠ACO=∠DCB，
∴∠ACE=∠BCO=45°．
∴ACE=∠CBO=45°．
∵CAE=∠BAC，
∴△CAE∽△BAC，
∴ACAE=ABAC，
∴ 10AE=4 10．
∴AE=52，
∴OE=AE-OA=32．
∴E(32,0)．
设直线EC的解析式为y=ex+f，
∴f=-332e+f=0，
∴e=2f=-3．
∴直线EC的解析式为y=2x-3．
∴y=2x-3y=x2-2x-3，
解得：x1=0y1=-3，x2=4y2=5，
∴D(4,5)；
②点D在BC上方时，设直线DC与x轴交于点E，过点A作AF⊥BC于点F，如图，
∵S△ABC=12×AB⋅OC=12×BC⋅AF，
∴4×3=3 2×AF，
∴AF=2 2．
∴CF= AC2-CF2= 2．
∵∠DCB+∠CAO=90°，∠CAO+∠ACO=90°，
∴∠ACO=∠DCB，
∴∠ACB=∠OCE．
∵∠AFC=∠COE=90°，
∴△ACF∽△ECO，
∴AFCF=OEOC，
∴2 2 2=OE3，
∴OE=6，
∴E(6,0)．
则直线CE的解析式为y=12x-3，
∴y=12x-3y=x2-2x-3，
解得：x1=0y1=-3，x2=52y2=-74，
∴D(52,-74).
综上，点D的坐标为(4,5)或(52,-74).
【解析】(1)利用待定系数法和一元二次方程的性质解答即可；
(2)利用待定系数法求得直线BC，过点M作MD//x轴，交BC于点D，设M(m,m2-2m-3)，利用点的坐标的特征求得点D的横坐标，利用m表示出线段MD的长，利用相似三角形的判定与性质求得MNAN关于m的函数关系式，再利用配方法和二次函数的性质解答即可得出结论；
(3)利用分类讨论的思想方法分两种情况解答：①点D在BC上方时，设DC与x轴交于点E，利用相似三角形的判定与性质求得线段AE，进而得到点E的坐标，利用待定系数法求得直线CD的解析式，与抛物线的解析式联立，解方程组即可求得点D的坐标；②点D在BC上方时，设直线DC与x轴交于点E，过点A作AF⊥BC于点F，利用①中的方法解答即可得出结论．
本题主要考查了二次函数的图象与性质，的待定系数法，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，函数的极值，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
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