2023重庆缙云教育联盟高三下学期第二次诊断性检测（二模）数学含解析

2023CEE-02

数学

重 庆 缙 云 教 育 联 盟

2023年高考第二次诊断性检测

数学参考答案及评分标准

1-8 AAABDCAC

【7题解析】已知向量的夹角为60°，，则，所以，所以对任意的、，且，，则，所以，即，设，即在上单调递减，又时，，解得，所以，，在上单调递增；，，在上单调递减，所以.故选：A.

【8题解析】由，可得，两边同除得：，可设函数，，当时，，故单调递增，当时，，故单调递减，图像如上图所示，因为，，故由可得，所以，整理得得.

9.ACD   10.AB  11.AC  12.BCD

【11题解析】对于A中，例如，则，

可得，所以A错误；对于B中，由，所以，所以，所以，所以B正确；对于C中，因为，可得，当时，可得，即函数的值域为，所以集合的子集个数为，所以C正确；对于D中，设，若，可得，所以，，则，所以的周期为，又当时，可得，此时；，此时；

，此时；，此时，所以，结合周期为，即恒为，所以D正确.

【12题解析】结合特例，可判定A错误；结合，可判定B正确；结合正弦、余弦函数的值域，得到的值域为，可判定C正确；设，得到的周期为，证得恒为，可判定D正确.

13．45

14．

15．

16.

【15题解析】由，①得，即，②

得：，所以，令，则，所以.

【16题解析】作出的可行域，如图所示，该区域为一个等腰三角形，其中轴上的格点有个，轴上的格点有个，则坐标轴上的格点有个，在第一象限内，直线上的点，由格点的定义，设，则，故第一象限内，时，格点有个，设，则由可行域，已经格点的定义可知，第一象限内，时，格点有个，所以第一象限内的格点一共有，根据可行域的对称性可知，第四象限的格点数也为，故可行域内格点数 又∵，，即

17. （1）由题可知，等额本金还货方式中，每月的还贷额构成一个等差数列，表示数列的前项和.

则，故.

故王先生该笔贷款的总利息为：1290000-1000000=290000元.

（2）设王先生每月还货额为元，则有

，

即，

故.

因为，故王先生该笔贷款能够获批.

18. （1）由题意知 ,

故，

所以 ，

所以线性回归方程为： ，

所以，估计时，.

（2）由题意知：，，，，

则X的取值可能为，

记“含红球的行数为k”为事件，记“每列都有白球”为事件B，

所以 ，

，

，

所以X的分布列为：

所以数学期望为.

（3）证明：因为每一列至少一个红球的概率为 ,

记“不是每一列都至少一个红球”为事件A，所以，

记“每一行都至少一个白球”为事件B，所以，

显然， ，所以 ，

即，所以.

19. （1）由题意得，，则的最大值为；

（2）由题意知，，

整理得，

即，则，解得；

（3）由题意得，

，

又，则，当时，取得最大值，

则，整理得，即，解得，

又，则，取即满足题意，则（答案不唯一）.

20. （1）由题意，，当直线斜率不存在时，，，所以，不符合题意.当直线斜率存在时，设直线为，，，

联立，得，所以

所以，解得，直线的方程为

（2）抛物线的准线为，与轴交于点

设点，由题意，则，

化简得，方程表示一条除去了两点的抛物线.

21. （1）如图，连接．因为在圆台中，上、下底面直径分别为，且，所以为圆台母线且交于一点P，所以四点共面.在圆台中，平面平面，由平面平面，平面平面，得.又，所以，所以，即为中点．在中，又M为的中点，所以．因为平面，平面，所以平面；

（2）以为坐标原点，分别为轴，过O且垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为，所以．则．因为，所以．所以，所以．设平面的法向量为，所以，所以，令，则，所以，又，设平面的法向量为，所以，所以，令，则，所以，所以．设二面角的大小为，则，所以．所以二面角的正弦值为.

.

22. （1）由题易知，，

①当，函数定义域为，

，不合题意，舍去；

②当，函数定义域为，由，解得，

当，，即在区间单调递增，

当，，即在区间单调递减，

，即，

设函数，，

，即在单调递增，

又因为，故时，成立，即成立，

故的取值范围是．

（2）当，，

设函数，，，

易知，，单调递增，

，，单调递减，

不妨令，

由，即，

又因为，，

故，即，

由函数单调性可知，方程至多有两解，

故不妨令，，两式相减得，

由，得，

故，问题得证．