2022-2023学年陕西省铜川市高三下学期第二次模拟考试 理科数学 PDF版

铜川市 2023 年高三第二次质量检测

理科数学试题参考答案

一、选择题

1.解：依题意得，，于是．故选：．

2.解：，，则，故．

故选：．

3.解：因为，

故该算法的功能是求，

．故选：．

4.解：如图：设，，，

，∴SⅠ=SⅢ=

∴SⅡ=SⅢ=，

∴SⅠ=SⅢ，，故选A．  

5.解：命题：“，”的否定是，．故选：．

6.解：因为，所以，即，

所以，所以，

因为，所以，

结合与的图象，因为，，所以，

所以，即，可得，

所以，故选C．  

7.解：根据题意，甲组数据的平均数为，方差为，乙组数据的平均数为，方差为，

则两组数据混合后，新数据的平均数，

则新数据的方差，故选：．

8.解：设等比数列的公比为，，，解得，

数列是等比数列，首项为，公比为．

，，．故选：．

9.解：由题意，由，得，

，所以

，

由同理可得，，

根据平面向量基本定理，可得，．故选D．

10.解：不妨设，，

因为在以为直径的圆上，所以，即，则，

因为在的左支上，所以，

即，解得，则，

因为，所以，即，

故，故．故选：．

11.解：由图象可得，，解得周期，，

，代入可得，，

解得，，又，，

，，，

结合三角函数图象可得或，

，或．故选D．

12.解：取中点，由题意，，，

由余弦定理得，

故，即，

而平面，且平面，平面，故A，，

如图，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

由题意，，，，，

，其中，

设面的法向量为，而，，

故有，即令，则，故面的一个法向量为，

设面的法向量为，而，，

故有，即令，则

故面的一个法向量为，

而，不恒为，故A错误；

由题意，，

由于为中点，故B，到面距离相等，

从而

，即B正确；

易得面的法向量，而，

设与面所成角为，

故，

当时取最小值，此时取最小值，故C正确；

由题意，，，

故

从而与所成角的余弦值为，故D正确．

故选A．

二．填空题  

13.解：由题意，若说的两句话中，

甲读西游记正确，乙读红楼梦错误，则说的甲读水游传错误，

丙读三国演义正确则说的丙读西游记错误，乙读水游传正确，

则说的乙读西游记错误，丁读三国演义正确

与说的丙读三国演义正确相矛盾，不成立

若说的两句话中，乙读红楼梦正确，甲读西游记错误，

则说的乙读水浒传错误，丙读西游记正确，则说的乙读西游记错误，丁读三国演义正确，则说的丙读三国演义错误，甲读水并传正确，则丁读三国演义．  

14.解：

，

时，，得：

15.解：数列的前项和为，且点总在直线上，所以．

当时，，两式相减得，，

又，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，

，∴n·an=n·2n-1

则，

所以，

两式相减得：．

所以数列的前项和．  

16.解：由椭圆，可得

由对称性可知，，故①正确；

，的坐标分别为，，设，，，，

若时，可得，解得，故②错误；

直线与椭圆交于，两点，，两点的坐标分别为，，

，当且仅当，

即时取等号，故③正确；

设，当时，，设，则，

由余弦定理可得，，，

，又，，，解得，故④正确．故选：

三、解答题：

17.证明：因为，所以，

所以，所以，所以，所以，

由正弦定理得；

解：，当且仅当时等号成立，

则当时，取得最小值，

又，所以角最大值为，

此时为等边三角形，所以的面积为． 

18.解：证明：取的中点，连接，，如图，

 在等边中，由题意知，在中，

，则，

，平面，，平面，

平面，，

在三棱柱中，AD∥BE，四边形BCFE是平行四边形，

则，四边形为矩形；

取的中点，连接，，过作，如图，

 则，

平面，平面，BC⊥PD，

是平面与平面夹角或其补角，

在等边中，，则，

在中，，

平面，平面，平面平面，

平面平面，且，平面，

是侧棱与底面所成角，即，

在中，，

设，化简得，解得或舍，，

在中，，

平面与平面夹角的余弦值为． 

19.解： 设小区方案一的满意度平均分为，

则．

设小区方案二的满意度平均分为，

则

．

方案二的垃圾分类推行措施更受居民欢迎．

由题意可知：小区即方案一中，满意度不低于分的频率为（0.031+0.021+0.010）×10=0.62，以频率估计概率，赞成率为62%。

小区即方案二中，满意度不低于分的频率为，以频率估计概率，赞成率为。小区可继续推行方案二．

（3）现从小区内随机抽取个人，的所有可能取值为，，，，，，则∽

，．，

，，

，，

的分布列为

数学期望． 

20. 解：由题意可知，，

又，，抛物线的标准方程为．

证明：显然直线斜率存在，设直线的方程为，

联立方程，消去得，，

设，，，，，

直线的方程为，

联立方程，化简得，，

设，则，由得，

，

若直线斜率不存在，则，又，，

，直线的方程为，

若直线的斜率存在，为，

直线的方程为，即，

将代入得，，

直线斜率存在时过点，由可知，直线过定点．

，

，

由得，，，

由，且，可得，且，

，

设，，，

，且，，，的取值范围为． 

21解：函数  定义域为  ，  ， 

 在  处取得极值，则  ， 

所以  ，此时  ， 

令  ，  ，则  ， 

所以  在  上单调递增，所以  在  上单调递增，且  ，

所以当  时，  ，  单调递减，当  时，  ，  单调递增．

故  的单调递减区间为  ，单调递增区间为   

依题意即  在  上有两个根，

整理为  ，即  ， 

设函数  ，则上式为  ，

因为H  恒成立，所以H  单调递增，所以  ，

所以只需  在  上有两个根， 

令  ，  ，则  ，

当  时，  ，当  时，  ， 

故  在  处取得极大值即最大值，  ， 

且当  时  ，当  时  ， 

要想  在  上有两个根，只需  ，解得  ，

所以  的取值范围为  ．

选考题：

22. 解：直线的普通方程为，

又曲线的极坐标方程为，，

曲线的普通方程为，即，

又在圆上，圆心到直线的距离为，

到距离的最大值为；

，解得或，

又在第一象限，，

点，在曲线上，设，，

代入曲线的极坐标方程得，

，，

故的面积为． 

23. 解：(1)当时，，即，解得，故；

当时，，即，，则；

当时，，即，解得，故，

综上所述，原不等式的解集为；

证明：若，则；

若，则；

若，则，

所以函数的最小值，故．又、，为正数，

则．当且仅当，时等号成立，

所以．