2023年中考数学三轮冲刺考前查漏补缺《直角三角形》(基础版)（含答案）

2023年中考数学三轮冲刺考前查漏补缺

《直角三角形》(基础版)

一              、选择题

1.有以下条件：

①一锐角与一边对应相等；

②两边对应相等；

③两锐角对应相等.

其中能判断两直角三角形全等的是(        )

A.①                       B.②                         C.③                        D.①②

2.如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，那么在下列各条件中，不能判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是(      )

A.AB=A′B′=5，BC=B′C′=3

B.AB=B′C′=5，∠A=∠B′=40°

C.AC=A′C′=5，BC=B′C′=3

D.AC=A′C′=5，∠A=∠A′=40°

3.如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为(　　)

A.6米                      B.9米                      C.12米                      D.15米

4.△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则BC∶AB等于(    )

A.2∶1                      B.1∶2        C.1∶3          D.2∶3

5.如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，BE=6 cm，则AC等于(    )

A.6 cm            B.5 cm     C.4 cm            D.3 cm

6.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和B为圆心，以相同的长(大于AB)为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接CD，下列结论错误的是(   )

A.AD＝BD      B.BD＝CD      C.∠A＝∠BED      D.∠ECD＝∠EDC

7.如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开.若测得AM的长为1.2 km，则M，C两点间的距离为(     )

A.0.5 km         B.0.6 km        C.0.9 km          D.1.2 km

8.如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(﹣2，3)，以点O为圆心，以OP为半径画弧，交x轴负半轴于点A，则点A的横坐标介于(　　)

A.﹣4和﹣3之间     B.3和4之间     C.﹣5和﹣4之间   D.4和5之间

9.在Rt△ABC中，∠C＝90°.如果BC＝3，AC＝5，那么AB＝(　　)

A.          B.4          C.4或          D.以上都不对

10.某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形土地时，在BC上有一处古建筑D，使得BC的长不能直接测出，工作人员测得AB＝130米，AD＝120米，BD＝50米，在测出AC＝150米后，测量工具坏了，使得DC的长无法测出，请你想办法求出BC的长度为(　　)

A.90米        B.120米        C.140米        D.150米

11.一架250cm的梯子，斜靠在竖直的墙上，梯脚距墙终端70cm，如果梯子顶端沿着墙下滑40cm，那么梯脚将向外侧滑动(     )

A.40cm        B.80cm           C.90cm        D.150cm

12.如图，将圆桶中的水倒入一个直径为40cm，高为55cm的圆口容器中，圆桶放置的角度与水平线的夹角为45°.若使容器中的水面与圆桶相接触，则容器中水的深度至少应为(　　)

A.10cm         B.20cm          C. 30cm           D.35cm

二              、填空题

13.如图，已知BD⊥AE于点B，C是BD上一点，且BC=BE，要使Rt△ABC≌Rt△DBE，应补充的条件是∠A=∠D或__________或__________或__________.

14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F＝30°，DE＝1，则BE的长是　       　.

15.有一轮船由东向西航行，在A处测得西偏北15°有一灯塔P.继续航行20海里后到B处，又测得灯塔P在西偏北30°.如果轮船航向不变，则灯塔与船之间最近距离是　 　海里.

16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若CD＝3cm，则EF＝　   　cm.

17.如图，运载火箭从地面L处垂直向上发射，当火箭到达点A处时，从位于地面R处的雷达测得AR的距离是40 km，此时测得∠ARL＝30°，n(s)后，火箭到达点B处，此时测得∠BRL＝45°，则火箭在这n(s)中上升的高度是          km.

18.如图，在等边△ABC内有一点D，AD＝5，BD＝6，CD＝4，将△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，过E点作EH⊥CD于H，则EH的长为　   　.

三              、解答题

19.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°.

(1)作线段AC的垂直平分线，分别交BC、AC于点D、E.(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)

(2)连接AD，若DE＝2cm，求BC的长.

20.如图，在△ABC中，AB＝AC，BE⊥AC于点E，CD⊥AB于点D，BE、CD相交于点F，连接AF.

求证：(1)△AEB≌△ADC；

(2)AF平分∠BAC.

21.如图所示,在△ABC中,∠C=2∠B,D是BC上的一点,且AD⊥AB,E是BD的中点,连接AE.

求证:

(1)∠AEC=∠C;

(2)BD=2AC.

22.如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，M、N分别是AC、BD的中点．

求证：MN⊥BD．

23.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，D是边AB上一点，∠BDC＝45°，AD＝4，求BC的长．(结果保留根号)

24.如图，正在执行巡航任务的海监船以50海里/时的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1 h到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上．

(1)求∠APB的度数．

(2)已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问：海监船继续向正东方向航行是否安全？

25.如图，要在木里县某林场东西方向的两地之间修一条公路MN，已知点C周围200 m范围内为原始森林保护区，在MN上的点A处测得C在A的北偏东45°方向上，从A向东走600 m到达B处，测得C在点B的北偏西60°方向上.

(1)MN是否穿过原始森林保护区?为什么?(参考数据：≈1.732)

(2)若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高25%，则原计划完成这项工程需要多少天?

参考答案

1.D

2.B.

3.B

4.B

5.D

6.B.

7.D.

8.A

9.A.

10.C

11.B

12.D

13.答案为：∠ACB=∠BDE或AC=DE或AB=DB或∠A+∠E=90°或∠D+∠ACB=90°等.

14.答案为：2.

15.答案为：10

16.答案为：3.

17.答案为：(20﹣20).

18.答案为：.

19.解：(1)线段AC的垂直平分线如图所示：

(2)∵AB＝AC，∠BAC＝120°，

∴∠C＝∠B＝30°，

∵DE是AC的垂直平分线，

∴AD＝CD，

∴∠DAC＝∠C＝30°，

∴AD＝CD＝2DE＝2×2＝4cm，∠BAD＝120°﹣30°＝90°，

∴BD＝2AD＝8cm，

∴BC＝BD＋CD＝8＋4＝12(cm).

20.证明：(1)∵BE⊥AC，CD⊥AB，

∴∠AEB＝∠ADC＝90°，

在△AEB与△ADC中

，

∴△AEB≌△ADC(AAS)，

(2)∵△AEB≌△ADC，

∴AE＝AD，

在Rt△AEF与Rt△ADF中，

，

∴Rt△AEF≌Rt△ADF(HL)，

∴∠EAF＝∠DAF，

∴AF平分∠BAC.

21.证明:(1)∵AD⊥AB,E是BD的中点,

∴AE=EB=0.5BD,∴∠B=∠BAE.

∵∠AEC=∠BAE+∠B,

∴∠AEC=2∠B.

又∵∠C=2∠B,

∴∠AEC=∠C.

(2)由(1)知∠AEC=∠C,

∴AE=AC.

∵AE=0.5BD,

∴AC=0.5BD,即BD=2AC.

22.证明：连接BM、DM，

∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中点，

∴BM＝DM＝0.5AC，

∵点N是BD的中点，

∴MN⊥BD．

23.解：∵∠BDC＝45°，∠ABC＝90°，

∴△BDC为等腰直角三角形，

∴BD＝BC，

∵∠A＝30°，

∴BC＝AC，

在Rt△ABC中，根据勾股定理得AC2＝AB2＋BC2，

即(2BC)2＝(4＋BD)2＋BC2，

解得BC＝BD＝2＋2．

24.解：(1)∵∠PAB＝30°，∠ABP＝90°＋30°＝120°，

∴∠APB＝180°﹣∠PAB﹣∠ABP＝30°.

(2)如解图，过点P作PH⊥AB，交AB的延长线于点H.

∵∠BAP＝∠BPA＝30°，

∴BP＝BA＝50×1＝50(海里)．

在Rt△PBH中，∵∠PBH＝180°﹣120°＝60°，

∴∠BPH＝30°，∴BH＝BP＝25海里，

∴PH＝＝25(海里)>25海里，

∴海监船继续向正东方向航行是安全的．

25.解：(1)MN不会穿过原始森林保护区.理由如下：

过点C作CH⊥AB于点H.

设CH＝x m.

由题意知∠EAC＝45°，∠FBC＝60°，则∠CAH＝45°，∠CBA＝30°.

在Rt△ACH中，AH＝CH＝x m，

在Rt△HBC中，BC＝2x m.

由勾股定理，得HB＝x m.

∵AH＋HB＝AB＝600 m，

∴x＋x＝600.

解得x＝≈220>200.

∴MN不会穿过原始森林保护区.

(2)设原计划完成这项工程需要y天，则实际完成这项工程需要(y﹣5)天.

根据题意，得＝(1＋25%)×.解得y＝25.

经检验，y＝25是原方程的根.

∴原计划完成这项工程需要25天.