2023江苏省百校联考高三下学期4月第三次考试数学含答案

江苏省百校联考高三年级第三次考试

数学试卷

一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.

1.已知复数满足，则（    ）

A.    B.2    C.    D.3

2.设集合，则（    ）

A.    B.    C.    D.

3.已知是公差不为0的等差数列，是等比数列，且，设，则数列的前10项和为（    ）

A.567    B.568    C.1078    D.1079

4.设的外接圆的圆心为，半径为2，若，且，则向量在向量上的投影为（    ）

A.3    B.-3    C.    D.

5.某学习小组8名同学在一次物理测验中的得分（单位：分）如下：83，84，86，87，88，90，93，96.这8名同学成绩的第60百分位数是.若在该小组中随机选取2名同学，则这2名同学的得分均小于的概率为（    ）

A.    B.    C.    D.

6.我国古代数学名著《九章算术》对立体几何问题有着深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面是矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥，“鳖臑”指四个面都是直角三角形的三棱锥.现有一如图所示的“堑堵”，其中，若，则“阳马”体积的最大（    ）

A.    B.    C.16    D.32

7.若，则（    ）

A.    B.    C.    D.0

8.已知函数，则直线与的图象的所有交点的横坐标之和为（    ）

A.2    B.1    C.4    D.0

二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在毎小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分.

9.已知一组数据构成等差数列，且公差不为0.若去掉数据，则（    ）

A.平均数不变    B.中位数不变    C.方差变小    D.方差变大

10.设函数，若，且的最小正周期大于，则（    ）

A.

B.在区间上单调递增

C.是偶函数

D.的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象

11.已知抛物线的焦点为为上一占，下列说法正确的是（    ）

A.抛物线的准线方程为

B.战与相切

C.若，则的最小值为

D.在，则的周长的最小值为11

12.若函数是定义域为的单调函数，且对任意的，都有，且方程在区间上有两个不同解，则实籹的取值可能为（    ）

A.0    B.1    C.2    D.3

三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.

13.已知定义在上的函数为奇函数，且满足.当时，，则__________.

14.已知的展开式中所存项的系数和为64，则展开式中的常数项为__________.（用数字作答）

15.设，直线，I直线，记分別过定点与的交点为，则的最大值为__________.

16.小王自主创业开了一家礼品店，平常需要用彩绳对礼品盒做一个捆扎（要求扎紧绳子不能松动），其中一种长方体的礼品盒一般都是采用“十字捆扎”（如图1所示），后来他又学习了一种新的彩绳捆扎方法“对角捆扎”（如图2所示），并认为“对角捆扎”比一般的“十字捆扎”包装更节省彩绳.设长方体礼品盒的长､宽､高分别为，则“十字捆扎”所需绳长为__________；若采用“对角捆扎”，则所需绳长的最小值为__________.（注：长方体礼品盒的高小于长､宽，结果用含的式子表示）

四､解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

设各项均为正数的数列，记的前项和为.

（1）求的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

18.（本小题满分12分）

从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并作答.

记的内角的对边分別为的面积为，已知__________.

（1）求的值；

（2）若，点在边上，为的平分线，的面积为，求的值.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

19.（本小题满分12分）

如图，在三棱锥中，，平面平面.

（1）证明：平面.

（2）设点在线段上，直线与直线所成的角为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

20.（本小题满分12分）

某学校为学生开设了一门模具加工课，经过一段时间的学习，拟举行一次模具加工大赛，学生小明､小红打算报名参加大赛.赛前，小明､小红分别进行了为期一周的封闭强化训练，下䘚记录了两人在封闭强化训练期问每天加工模具成功的次数，其中小明第7天的成功次数忘了记录，但知道，.

（1）求这7天内小明成功的总次数不少于小红成功的总次数的概率；

（2）根据小明这7天内前6天的成功次数，求其成功次数关于序号的线性回归方程，并估计小明第七天成功次数的值.

参考公式：回归方程中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为

参考数据：.

21.（本小题满分12分）

已知椭圆的焦点为和，且椭圆经过点.

（1）求椭圆的方程.

（2）过点的直线与椭圆交于两点，则在轴上是否存在定点，使得的值为定值？若存在，求出点的坐标和该定值；若不存在，请说明理由.

22.（本小题满分12分）

已知函数，其中.

（1）若，判断的单调性.

（2）设有且只有两个不同的极值点.

（i）求的取值范围；

（ii）当时，设，证明：.

参考答案

1-8ACCACBDA

9ABD    10AC    11BCD    12BC

13.    14.15    15.4    16.，

17.【详解】（1）由，两式相找得，

当时，，且，

，得（舍去，.

数列为等差数列，公差为，

（2）由（1）及题意可得.

18.【答案】（1）；（2）4.

【详解】（1）选①，

则由余弦定理可得，整理可得，

可得.因为，所以.

选②.

可得，即.所以.

因为，可得.

选③.

可得.可得，可得.

因为，所以，可得.

（2）在中，.可得，可得

①

又②

由①②可得，解得或（舍去），

所以的值为4.

19.【答案】（1）见详解：（2）.

【详解】（1）证明：在中，因为，

所以，所以.因为，所以.

因为平面平面，平面平面平面，

所以平面.因为平面，所以.

又平面，所以平面.

（2）以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过垂直于平面的直

线为轴､建立空间直角坐标系､

由題意得，

所以.

设点的坐标为，

则.

所以，

所以点的坐标为，

所以.

因为直线与直线所成的角为，

，解得，

所以点的坐标为，则..

设平面的法向量为，

取，可得.

又平面的一个法向量为

所以，

所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.

20.【答案】（1）（2）.

【详解】（1）因为，且.所以的取值共有25种情况.

又当小明成功的总次数不少于小红成功的总次数时，在.

即，得.

所以小明成功的总次数不少于小红成功的总次数时，的取值共有17情况.

所以这7天内小明成功的总次数不少于小红成功的总次数的概率为.

（2）由题设可知，

.

所以，

所以关于序号的线性回旧方程为.

当时，，

估计小明第7天成功次数的值为38.

21.【答案】（1），（2）存在点，使得为定值.

【详解】（1）设椭圆的方程为，

将点代入椭圆方程，

得，解得（舍去），，

所以椭圆的方程为.

（2）当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，设定点.

联立方程组，

消掉可得.

设，

可得，

所以

.

要使上式为定值，则，解得，

此时.

当直线的斜率为0时，，

此时，也符合.

所以存在点，使得为定值.

22.【详解】（1）.

当时，.

令，则在上单调递减，在上单调逆增，

则，故在上单调递战，在上单调递增.

（2）若有且只有两个不同的极值点，

则有且只有两个不同的零点.

（i）只有一个实数根，且不为，

当时，在上单调递减，在上单调递增.

则.

由（1）知，当时，只有一个极值点2，舍去.

当时，为上的减函数.

又因为，

所以存在，使得.

综上，.

（ii）证明：当，即时，在上单调递减，

又，

所以.

又，所以.

令，则，

在上单调递减，又，

所以.