2023年上海市高考考前信息必刷模拟数学卷（一）含答案

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2023年高考数学考前信息必刷卷01

上海专用

（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

1．已知集合，若，则的最大值为________.

2．对数函数的图象经过点，则的解析式为______.

3．已知向量，，若，则__．

4．随机变量的分布列如下列表格所示，其中为的数学期望，则__________.

5．已知函数是奇函数，则____.

6．已知，则，的值域为__________.

7．2022年11月30日，神舟十五号3名航天员顺利进驻中国空间站，与神舟十四号航天员乘组首次实现“太空会师”．若执行下次任务的3名航天员有一人已经确定，现需要在另外2名女性航天员和2名男性航天员中随机选出2名，则选出的2名航天员中既有男性又有女性的概率为__________．

8．如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，若，则球的表面积为__________.

9．记为数列的前项和，为数列的前项积，已知，则的通项公式为______.

10．已知点，点是双曲线的右焦点，点是双曲线右支上一动点，则当的周长取得最小时的面积为__________;

11．若函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围为___________.

12．在上非严格递增，满足，若存在符合上述要求的函数及实数，满足，则的取值范围是__________.

二、选择题(本题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

13．若是关于的实系数方程的一个复数根，则（    ）

A． B．

C． D．

14．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，平面ABCD，平面ABCD，且，点G为MC的中点.则下列结论中不正确的是（    ）

A． B．平面平面ABN

C．直线GB与AM是异面直线 D．直线GB与平面AMD无公共点

15．若在曲线上，若存在过的直线交曲线于点，交直线于点，满足或，则称点为“点”，那么下列结论中正确的是（     ）

A．曲线上所有点都是点

B．曲线上仅有有限多个点是点

C．曲线上所有点都不是点

D．曲线上有无穷多个点（但不是全部）是点

16．已知直线上有两点，,且，已知若，且,满足，则这样的点 A个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

三、解答题(本大题共有5题，满分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.

17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题8分.

已知四棱锥的底面为菱形，且，，与相交于点．

(1)求证：底面；

(2)求直线PB与平面PCD所成角的大小的正弦值．

18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题8分.

已知，将的图象向右平移个单位后，得到的图象，且的图象关于对称．

(1)求；

(2)若的角所对的边依次为，外接圆半径为，且，若点为边靠近的三等分点，试求的长度．

19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题8分.

疫情后，为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额在万元至万元（包括万元和万元）的小微企业做统一方案．方案要求同时具备下列两个条件：①补助款（万元）随企业原纳税额（万元）的增加而增加；②补助款不低于原纳税额（万元）的．经测算政府决定采用函数模型（其中为参数）作为补助款发放方案．

（1）判断使用参数是否满足条件，并说明理由；

（2）求同时满足条件①、②的参数的取值范围．

20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题6分，第3小题满分6分.

已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，、分别为左、右焦点，椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，且.

(1)求椭圆方程；

(2)对于轴上的某一点，过作不与坐标轴平行的直线交椭圆于、两点，若存在轴上的点，使得对符合条件的恒有成立，我们称为的一个配对点，求证：点是左焦点的配对点；

(3)根据（2）中配对点的定义，若点有配对点，试问：点和点的横坐标应满足什么关系，点的横坐标的取值范围是什么？并说明理由.

21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题6分，第3小题满分8分.

设是定义在上的函数，若对任何实数以及、恒有成立，则称为定义在上的下凸函数．

(1)试判断函数，是否为各自定义域上的下凸函数，并说明理由；

(2)若是下凸函数，求实数的取值范围；

(3)已知是上的下凸函数，是给定的正整数，设，，记，对于满足条件的任意函数，试求的最大值．

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2023年高考数学考前信息必刷卷01

上海专用

（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）

一、填空题

1．已知集合，若，则的最大值为________.

【答案】

2．对数函数的图象经过点，则的解析式为______.

【答案】

3．已知向量，，若，则__．

【答案】##0.25

4．随机变量的分布列如下列表格所示，其中为的数学期望，则__________.

【答案】0

5．已知函数是奇函数，则____.

【答案】##

6．已知，则，的值域为__________.

【答案】

7．2022年11月30日，神舟十五号3名航天员顺利进驻中国空间站，与神舟十四号航天员乘组首次实现“太空会师”．若执行下次任务的3名航天员有一人已经确定，现需要在另外2名女性航天员和2名男性航天员中随机选出2名，则选出的2名航天员中既有男性又有女性的概率为__________．

【答案】

8．如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，若，则球的表面积为__________.

【答案】

【分析】正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，则棱锥的高等于球的半径，由此可由棱锥体积求得球的半径，从而得球的表面积．

9．记为数列的前项和，为数列的前项积，已知，则的通项公式为______.

【答案】

10．已知点，点是双曲线的右焦点，点是双曲线右支上一动点，则当的周长取得最小时的面积为__________;

【答案】

11．若函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围为___________.

12．在上非严格递增，满足，若存在符合上述要求的函数及实数，满足，则的取值范围是__________.

【答案】

二、单选题

13．若是关于的实系数方程的一个复数根，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

14．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，平面ABCD，平面ABCD，且，点G为MC的中点.则下列结论中不正确的是（    ）

A． B．平面平面ABN

C．直线GB与AM是异面直线 D．直线GB与平面AMD无公共点

【答案】D

15．若在曲线上，若存在过的直线交曲线于点，交直线于点，满足或，则称点为“点”，那么下列结论中正确的是（     ）

A．曲线上所有点都是点

B．曲线上仅有有限多个点是点

C．曲线上所有点都不是点

D．曲线上有无穷多个点（但不是全部）是点

【答案】D

16．已知直线上有两点，,且，已知若，且,满足，则这样的点 A个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

三、解答题

17．已知四棱锥的底面为菱形，且，，与相交于点．

(1)求证：底面；

(2)求直线PB与平面PCD所成角的大小的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）欲证明一条直线垂直于一个平面，只需证明该直线垂直于平面内两条相交的直线即可；

（2）建立空间直角坐标系，用空间向量的数量积计算.

【解析】（1） ， 是等腰三角形，O是BD的中点， ，

同理 ，又 平面ABCD， 平面ABCD，

平面ABCD；

（2） 四边形ABCD是菱形， ，以O为原点，直线BD为x轴，AC为y轴，PO为z轴，建立空间直角坐标系如下图：

则有： ， ，

， ，

设平面PCD的一个法向量为 ，则有 ，即 ，

令 ，则 ， ，

设直线PB与平面PCD的夹角为 ，则 ；

综上，直线PB与平面PCD的夹角的正弦值为 .

18．已知，将的图象向右平移个单位后，得到的图象，且的图象关于对称．

(1)求；

(2)若的角所对的边依次为，外接圆半径为，且，若点为边靠近的三等分点，试求的长度．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据三角恒等变换可得，由正弦型函数的图象变换可得，根据正弦型函数的对称性即可求解；

（2）由可得，根据正弦定理可求，从而可求，在中利用余弦定理可求与，在中利用余弦定理即可求.

【解析】（1），，

因为的图象关于对称，所以，

所以.

又，所以；

（2），因为，

所以或，

所以或.

因为，所以，

在中，由正弦定理得，

因为点为边靠近的三等分点，所以，

由余弦定理得，即，解得，

所以，

在中，由余弦定理得

，所以．

19．疫情后，为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额在万元至万元（包括万元和万元）的小微企业做统一方案．方案要求同时具备下列两个条件：①补助款（万元）随企业原纳税额（万元）的增加而增加；②补助款不低于原纳税额（万元）的．经测算政府决定采用函数模型（其中为参数）作为补助款发放方案．

（1）判断使用参数是否满足条件，并说明理由；

（2）求同时满足条件①、②的参数的取值范围．

【答案】（1）当时不满足条件②，见解析（2）

【分析】（1）因为当时，，所以不满足条件② ；

（2）求导得：，当时，满足条件①；当时，在上单调递增，所以.由条件②可知，，即，等价于在上恒成立，问题得解.

【解析】（1）因为当时，，所以当时不满足条件② .

（2）由条件①可知，在上单调递增，

所以当时，满足条件；

当时，由可得

当时，单调递增，

，解得，

所以

由条件②可知，，即不等式在上恒成立，

等价于

当时，取最小值

综上，参数的取值范围是．

【点睛】本题考查了导数求函数单调性以及恒成立问题，考查了转化思想，属于中档题.

20．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，、分别为左、右焦点，椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，且.

(1)求椭圆方程；

(2)对于轴上的某一点，过作不与坐标轴平行的直线交椭圆于、两点，若存在轴上的点，使得对符合条件的恒有成立，我们称为的一个配对点，求证：点是左焦点的配对点；

(3)根据（2）中配对点的定义，若点有配对点，试问：点和点的横坐标应满足什么关系，点的横坐标的取值范围是什么？并说明理由.

【答案】(1)

(2)证明见解析

(3)，的取值范围是

【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆方程.

（2）设，设出直线的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，通过计算来证得结论成立.

（3）根据求得的取值范围，设出直线的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，由求得与的关系.

【解析】（1）由于椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，且，

所以，解得，

所以椭圆方程为.

（2）由（1）得，由于在椭圆内，

所以，过且与坐标轴不平行的直线与椭圆必有两个交点，

设此时直线的方程为，

由消去并化简得，

设，则，

设，

所以

，

所以，所以，

所以点是左焦点的配对点.

（3）依题意，点有配对点，

设直线的方程为，由于，

所以必须在之间，而在椭圆上，结合椭圆的对称性以及直线与坐标轴不平行，

可知的取值范围是.

此时在椭圆的内部，直线必与椭圆有两个交点，

由消去并化简得，

设，则，

由于，所以，

即

，

所以.

【点睛】在圆锥曲线中，求解角度相等的题（），可转化为斜率问题来进行求解，联立直线的方程和圆锥曲线的方程，化简写出根与系数关系后的解题关键点一个是运算要准确，另一个是利用方程的思想来进行求解.

21．设是定义在上的函数，若对任何实数以及、恒有成立，则称为定义在上的下凸函数．

(1)试判断函数，是否为各自定义域上的下凸函数，并说明理由；

(2)若是下凸函数，求实数的取值范围；

(3)已知是上的下凸函数，是给定的正整数，设，，记，对于满足条件的任意函数，试求的最大值．

【答案】(1)是下凸函数，不是下凸函数，理由见解析

(2)

(3)

【分析】（1）利用下凸函数的定义结合作差法判断可得出结论；

（2）利用下凸函数的定义结合作差法可得出，由此可求得实数的取值范围；

（3）对任意，，取，，，利用下凸函数的定义可得出，取可使得成立，即可求得的最大值.

【解析】（1）解：是下凸函数，证明如下：

对任意实数、及，

有

．

即，所以是下凸函数．

不是下凸函数，理由如下：

取，，，

则．

即．

所以不是下凸函数．

（2）解：是下凸函数，则对任意实数、及，

有

．

即当时，；

当时，，当且仅当时，等号成立，不合乎题意.

所以当时，是下凸函数．

（3）解：当且，对任意，，取，，．

因为是上的下凸函数，令，且，，

所以．

那么．

由（1）可知是下凸函数，且使得都成立，

此时；

当时，，合乎题意.

综上所述，的最大值为．

【点睛】关键点点睛：本题考查函数的新定义“下凸函数”，本题第3问求的最大值时，除了利用下凸函数的定义推导出，还应找出相应的下凸函数使得，才能使得的最大值能取到.