2023届河南省安阳市第一中学高三第四次全真模拟数学试题含解析

这是一份2023届河南省安阳市第一中学高三第四次全真模拟数学试题含解析，共28页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届河南省安阳市第一中学高三第四次全真模拟数学试题

一、单选题
1．由①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是（　　）
A．正方形的对角线相等 B．平行四边形的对角线相等
C．正方形是平行四边形 D．以上均不正确
【答案】A
【分析】三段论是由两个含有一个共同项的性质判断作前提得出一个新的性质判断为结论的演绎推理．在三段论中，含有大项的前提叫大前提，如本例中的“平行四边形的对角线相等”；含有小项的前提叫小前提，如本例中的“正方形是平行四边形”．另外一个是结论．
【详解】演绎推理三段论可得
“三段论”推理出一个结论，则这个结论是：”正方形的对角线相等“，
故选A．
【点睛】三段论推理是演绎推理中的一种简单判断推理．它包含两个性质判断构成的前提，和一个性质判断构成的结论．一个正确的三段论有仅有三个词项，其中联系大小前提的词项叫中项；出现在大前提中，又在结论中做谓项的词项叫大项；出现在小前提中，又在结论中做主项的词项叫小项．
2．饕餮纹是青铜器上常见的花纹之一，将青铜器中的饕餮纹的一部分画到方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为一个单位长度，有一点P从点A出发，每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能的，那么点P经过3次跳动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B的概率为（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用列举法求得基本事件的总数，以及所求事件所包含基本事件的个数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解
【详解】解：点P从点A出发，每次向右或向下跳一个单位长度，跳3次，所有的情况有(右，右，右)，(右，右，下)，(右，下，右)，(下，右，右)，(右，下，下)，(下，右，下)，(下，下，右)，(下，下，下)共8种，
“3次跳动后，恰好是沿着饕餐纹的路线到达点B”的情况有 (下，下，右)共1种，
由古典概型的概率公式可知,
故选:B
3．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不小于”时，反设正确的是（    ）
A．假设三内角都小于 B．假设三内角都大于
C．假设三内角至多有一个大于 D．假设三内角至多有两个大于
【答案】A
【分析】根据“至少有一个不小于”的反设可直接得到结果.
【详解】“至少有一个不小于”的反设“没有一个不小于”，即“三个都小于”，
反设正确的是“三内角都小于”.
故选：A.
4．f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是(　　)
A．f(x)>g(x)>h(x) B．g(x)>f(x)>h(x)
C．g(x)>h(x)>f(x) D．f(x)>h(x)>g(x)
【答案】B
【详解】由函数性质可知，在区间，指数函数增长最快，对数函数增长最慢，所以，故选B．
5．圆：与圆：的位置关系是（    ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
【答案】B
【解析】利用两圆的圆心距和半径的和与差的关系判断.
【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，
两圆的圆心距，
所以，
所以两圆相交，
故选：B.
6．在同一平面直角坐标系中，将曲线按伸缩变换后为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由伸缩变换得,，代入原式得出选项.
【详解】因为，得,，代入，可得，化简可得.
故选：A.
7．若，则“”是 “”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.
【详解】当时，，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.
【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.
8．若a，b，c是空间三条直线，，a与c相交，则b与c的位置关系是（    ）
A．平行 B．相交 C．异面 D．异面或相交
【答案】D
【分析】可举例说明它们的位置关系，以正方体为载体，列举出所在位置关系，能求出结果．
【详解】如图，在正方体中，
，AB与BC相交，与BC是异面直线，
，AB与相交，与是相交直线，
，b，c是空间三条直线，，a与c相交，则b与c的位置关系是异面或相交．
故选：D．

【点睛】本题考查空间中两直线的位置关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力，是基础题．
9．展开式中的系数为
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】化简已知代数式，利用二项式展开式的通项公式可以求出展开式中的系数．
【详解】因为，则展开式中含的项为；展开式中含的项为，故的系数为，
故选：C．
10．将正整数排成下表：

则在表中数字2021出现在（    ）
A．第44行第77列 B．第45行第82列
C．第45行第85列 D．第45行第88列
【答案】C
【分析】观察数阵的规律，每行的最后一个数分别为1，4，9，16，…，可归纳出第行的最后一个数为，然后根据2021，找平方数是2021附近的正整数即可.
【详解】解：因为每行的最后一个数分别为1，4，9，16，…，
所以可归纳出第行的最后一个数为，
又因为，，
所以2021在第45行，且第45行最后一个数为2025，
又因为第1行有1个数，第2行有3个数，第3行有5个数，第4行有7个数，…，
由此可归纳出第行有个数为，
所以第45行共有89个数，
又因为最后一个数是2025，第89个数是2025，
所以第88个数是2024，第87个数是2023，第86个数是2022，第85个数是2021.
故选：C.
11．在中，设，那么动点的轨迹必通过的（    ）
A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心
【答案】C
【分析】设的中点是，根据题意化简可得，即可确定的轨迹.
【详解】设的中点是，
，
即，所以，
所以动点在线段的中垂线上，故动点的轨迹必通过的外心，
故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题考查向量的运算法则，熟练掌握向量的运算法则，数量积与垂直的关系，三角形的外心定义是解题的关键，属于较难题.
12．在中，是以-4为第三项，-1为第七项的等差数列的公差，是以为第三项，4为第六项的等比数列的公比，则该三角形的形状是（    ）
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．等腰直角三角形 D．以上均错
【答案】B
【分析】本题首先可以根据“是以为第三项，为第七项的等差数列的公差”计算出的值，然后可以根据“是以为第三项，为第六项的等比数列的公比”计算出的值，然后根据的值计算出的值，最后根据的值得出的取值范围，最终得出结果．
【详解】因为是以为第三项、为第七项的等差数列的公差，
所以
因为是以为第三项、为第六项的等比数列的公比，
所以
因为是的内角，
所以

因为都大于0，所以都属于，
所以是锐角三角形．故选B．
【点睛】本题主要考查三角函数，考查正切函数的相关性质以及三角恒等变换公式的运用，考查推理能力．如果三个角在三角形内，则有
13．历史上，许多人研究过圆锥的截口曲线．如图，在圆锥中，母线与旋转轴夹角为，现有一截面与圆锥的一条母线垂直，与旋转轴的交点到圆锥顶点的距离为，对于所得截口曲线给出如下命题：
①曲线形状为椭圆；
②点为该曲线上任意两点最长距离的三等分点；
③该曲线上任意两点间的最长距离为，最短距离为；
④该曲线的离心率为．其中正确命题的序号为

A．①②④ B．①②③④ C．①②③ D．①④
【答案】A
【分析】画出轴截面的图像.根据选项可判断出①正确.解直角三角形计算出的长以及长轴的长，由此可判断出②正确，排除D选项.由于曲线是连续不断的，故任意两点间没有最短距离，故③错误，排除B,C选项.由此得出正确结论.
【详解】根据选项可知①正确，即曲线形状为椭圆. 画出轴截面的图像如下图所示，由于，所以,，即，所以，而曲线上任意两点最长距离为，故点为该曲线上任意两点最长距离的三等分点，由此可判断出②正确，排除D选项.由于曲线是连续不断的，故任意两点间没有最短距离，故③错误，排除B,C选项.综上所述，本小题选A.

【点睛】本小题主要考查圆锥的截面问题，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
14．下列三图中的多边形均为正多边形，分别为正三角形、正四边形、正六边形，、是多边形的顶点，椭圆过且均以图中的为焦点，设图①、②、③中椭圆的离心率分别为，则（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知图形把的坐标用含有的代数式表示，把的坐标代入椭圆方程，结合椭圆的定义与性质分别求出离心率后比较大小可得结论.
【详解】由图①知，，
由图②知，点在椭圆上，
，则，
整理得，解得，
由图③知，在椭圆上，
，则，
整理得，，故选B.
【点睛】本题主要考查椭圆的定义、离心率及简单性质，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．
15．函数的定义域为，若满足：(1)在内是单调函数；(2)存在，使得在上的值域为，那么就称函数为“梦想函数”.若函数 是“梦想函数”，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据“梦想函数”定义将问题改写为，等价转化为有2个不等的正实数根，转化为二次方程，利用根的分布求解.
【详解】因为函数是“梦想函数”，
所以在上的值域为，且函数是单调递增的.
所以，即
∴有2个不等的正实数根，令
即有两个不等正根，
∴且两根之积等于，
解得.
故选：A.
【点睛】此题以函数新定义为背景，实际考查函数零点与方程的根的问题，通过等价转化将问题转化为二次方程根的分布问题，综合性比较强.

二、多选题
16．若复数，则（    ）
A． B．z的实部与虚部之差为3
C． D．z在复平面内对应的点位于第四象限
【答案】ACD
【分析】由已知复数相等，应用复数的除法化简得，即可判断各选项的正误.
【详解】∵，
∴z的实部与虚部分别为4，，
，A正确；
z的实部与虚部之差为5，B错误；
，C正确；
z在复平面内对应的点为，位于第四象限，D正确．
故选：ACD．
17．定义是的导函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.可以证明，任意三次函数都有“拐点”和对称中心，且“拐点”就是其对称中心，请你根据这一结论判断下列命题，其中正确命题是（    ）
A．存在有两个及两个以上对称中心的三次函数
B．函数的对称中心也是函数的一个对称中心
C．存在三次函数，方程有实数解，且点为函数的对称中心
D．若函数，则
【答案】BCD
【分析】根据题干中三次函数的对称中心的定义与性质判断A,C选项；求出的对称中心，可以验证此点是的一个对称中心，即可判断B；求出函数的对称中心，可得，进而求得进而判断出D.
【详解】解：对于A.设三次函数，
易知是一次函数，∴任何三次函数只有一个对称中心，故A不正确；
对于B.由，得，由，得，函数的对称中心为，
又由，得，∴的对称中心是函数的一个对称中心，故B正确；
对于C.设三次函数，
所以
联立得，
即当时，存在三次函数，方程有实数解，且点为函数的对称中心，故C正确.
对于D.∵，∴，
令，得，∵，
∴函数的对称中心是，∴，
设，所以所以，故D正确.
故选:BCD.
18．世纪年代，人们发现利用静态超高压和高温技术，通过石墨等碳质原料和某些金属反应可以人工合成金刚石，人工合成金刚石的典型晶态为立方体（六面体）、八面体和立方八面体以及他们的过渡形态. 其中立方八面体（如图所示）有条棱、个顶点，个面（个正方形、个正三角形），它是将立方体“切”去个“角”后得到的几何体.已知一个立方八面体的棱长为，则（    ）

A．它的所有顶点均在同一个球面上，且该球的直径为
B．它的任意两条不共面的棱所在的直线都互相垂直
C．它的体积为
D．它的任意两个共棱的面所成的二面角都相等
【答案】ACD
【分析】利用立方八面体与正方体之间的关系计算出正方体的棱长，可判断A、C选项的正误；计算出不共面的棱所成角的大小可判断B选项的正误，计算相邻的两个面所成二面角的大小可判断D选项的正误.
【详解】如下图所示，由题意可知，立方八面体的顶点为正方体各棱的中点，
故立方八面体的棱为正方体相邻两条棱的中点的连线，
故正方体的棱长为，
由对称性可知，立方八面体的外接球球心为正方体的中心，
外接球的直径为正方体的面对角线长，该球的半径为，A选项正确；
设、为立方八面体的两条不共面的棱，如下图所示，则，
在正方体中，且，则四边形为平行四边形，
，，由于，
易知为等边三角形，则，所以，与所成角为，B选项错误；
立方八面体的体积为，C选项正确；
设正方体底面的中心为点，连接交立方八面体的棱于点，
连接，则为的中点，且为等边三角形，所以，，
，为的中点，，
、分别为、的中点，则，，
所以，为立方八面体的底面与由平面所成二面角的平面角，
立方八面体的棱长为，，，，
平面，平面，，
在中，，
所以，，
同理可知，立方八面体的相邻两个面所成二面角的余弦值为，D选项正确.
故选：ACD.

【点睛】作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．
19．双纽线像数字“8”，不仅体现了数学的对称、和谐、简洁、统一的美，同时也具有特殊的有价值的艺术美，是形成其它一些常见的漂亮图案的基石，也是许多设计者设计作品的主要几何元素．曲线C：是双纽线，则下列结论正确的是（    ）

A．曲线C经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点）
B．曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2
C．曲线C关于直线y＝x对称的曲线方程为
D．若直线y＝kx与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为
【答案】BCD
【分析】令，求出整点的坐标，可判断选项A；利用已知和两点距离公式可判断选项B；由曲线C上关于对称的两点都满足方程，可判断选项C；联立直线y＝kx与曲线C解出方程的根，可得实数k的取值范围．
【详解】时，，或2或，三个整点，，，无解，∴共有3个整点，A错误，
，曲线C上往取一点到原点的距离﹐B正确；
曲线C上往取一点M关于的对称点为N，设，则，M在曲线C上，∴，C正确．
与曲线C一定有公共点，∵与曲线C只有一个公共点，
则，∴，∴或，D正确
故选：BCD
20．由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数史称戴德金分割，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称为戴德金分割试判断下列选项中，可能成立的是（    ）
A．是一个戴德金分割
B．M没有最大元素，N有一个最小元素
C．M有一个最大元素，N有一个最小元素
D．M没有最大元素，N也没有最小元素
【答案】BD
【分析】根据戴德金分割的定义,举例或举反例一一判断每个选项，可得答案.
【详解】对于A，因为，，故A错误；
对于B，若，则满足戴德金分割，
此时M没有最大元素，N有一个最小元素0，故B正确；
对于C，若M有一个最大元素，设为a，N有一个最小元素，设为b，则，
则，而内也有有理数，
则，故C错误；
对于D，若，，
则满足戴德金分割，此时M没有最大元素，N也没有最小元素，故D正确，
故选：BD

三、填空题
21．已知向量，．若向量与垂直，则________．
【答案】7
【分析】首先求出的坐标，再根据两个向量垂直的性质得到，根据向量数量积的坐标运算得到方程，即可求得实数的值．
【详解】解：因为，，所以，因为向量与垂直，所以，解得，
故答案为：7．
22．与空间四边形ABCD四个顶点距离相等的平面共有________个．
【答案】7
【详解】 由题意得，四个顶点在平面的异侧，如果一边个，另一边个，
适合题意的平面有个；如果每边个，适合题意的平面有个，共个．
23．若为虚数单位，则计算___________．
【答案】
【分析】设，两边乘以相减，结合等比数列的求和公式和复数的乘除运算法则，计算可得所求和．
【详解】设，
，
上面两式相减可得，

，
则．
故答案为：．
24．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c（a，b，c），已知他投篮一次得分的均值为2，则的最小值为_____．
【答案】##
【分析】由概率的性质、平均值的求法有，再应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，注意等号成立条件.
【详解】由题意，，
因此，
当且仅当时取等号.
故答案为：
25．定义在上的偶函数满足，且在上是减函数，若､是钝角三角形的两个锐角，对（1），为奇数；（2）；（3）；（4）；（5）.则以上结论中正确的有______________.(填入所有正确结论的序号).
【答案】（1）（4）（5）
【解析】令，结合偶函数得到，根据题意推出函数的周期为，可得（1）正确；根据函数在上是减函数，结合周期性可得在上是增函数，利用､是钝角三角形的两个锐角，结合正弦函数、余弦函数的单调性可得，，再利用函数的单调性可得（4）（5）正确，当时，可得（2）（3）不正确.
【详解】∵，令，得，又是偶函数，
则，∴，
且，可得函数是周期为2的函数.故，为奇数.故（1）正确；
∵､是钝角三角形的两个锐角，
∴，可得，
∵在区间上是增函数，，
∴，即钝角三角形的两个锐角､满足，
由在区间上是减函数得，
∵函数是周期为2的函数且在上是减函数，∴在上也是减函数，又函数是定义在上的偶函数，可得在上是增函数.
∵钝角三角形的两个锐角､满足，，
且，，
∴，.故（4）（5）正确；
当时，，，，，故（2）（3）不正确.
故答案为：（1）（4）（5）
【点睛】关键点点睛：利用函数的奇偶性和单调性求解是解题关键.
26．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现0.618就是黄金分割，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为，若，则___________.
【答案】
【分析】由，利用平方关系求出，代入利用二倍角公式，诱导公式计算可得．
【详解】解：∵，若，
∴，
∴，
故答案为：.

四、双空题
27．三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3.
①记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是_________.
②记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是_________.

【答案】     Q1     p2
【详解】试题分析：作图可得中点的纵坐标比中点的纵坐标大，所以Q1，Q2，Q3中最大的是，
分别作关于原点的对称点，比较直线的斜率（即为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数），可得最大，所以p1，p2，p3中最大的是
【解析】图象的应用，实际应用问题
【名师点睛】本题考查了根据实际问题分析和解决问题的能力，以及转化与化归的能力，因为第名工人加工总的零件数是，比较总的零件数的大小，即可转化为比较的大小，而表示中点连线的纵坐标，第二问也可转化为中点与原点连线的斜率.
28．若不等式有且只有两个整数解，则这两个整数解之和为______，实数的取值范围为______.
【答案】     3    
【解析】计算该不等式，然后辨别两个端点的大小并确定之间的整数，最后计算即可.
【详解】
令
可得
由，所以
所以不等式的解集为
依题可知：不等式有且只有两个整数解
所以这两个整数解为：1，2
所以这两个整数解之和为3
满足，又，所以
故答案为：3，.
29．过曲线上一点作该曲线的切线，分别与直线，，轴相交于点，，.设，的面积分别为，，则________，的取值范围是________.
【答案】     2     (0，2)
【分析】求出原函数的导函数，设出点坐标，得到函数在点处的切线方程，分别求得，，的坐标，即可求得三角形的面积；再求出的长度，到直线的距离，写出三角形的面积，由的范围可得的面积的取值范围．
【详解】解：由，得，
设，则，
曲线在处的切线方程为．
分别与与联立，可得，，，，
取，可得，又，
的面积；
，
点到直线的距离．
的面积．
故答案为：2；．
【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查三角形面积的求法，考查计算能力，是中档题．

五、填空题
30．已知，则__________， __________， __________．
【答案】     1         
【分析】第一空，根据二项式展开式的通项公式可得答案；第二空，利用赋值法可得答案；第三空，判断项的系数的正负，脱掉绝对值符号，利用赋值法可得答案.
【详解】由题意，
可知二项式展开式的通项为，
故；
令，则，
故，
由可知为负值，为正值，
故，
令，则，
故，
故答案为：

六、解答题
31．（1）用两种以上的方法证明正弦定理．
（2）仿照正弦定理的证法证明，并运用这一结论解决下面的问题：
①在中，已知，，，求；
②在中，已知，，，求b和；
【答案】（1）证明见解析；（2）①；②，
【分析】（1）方法一，利用三角形外接圆中同弧所对圆周角相等，构造一个直角三角形即可证明，方法二，作一个与边相互垂直的向量，利用向量的数量积运算证明，详见解答；
（2）做出BC边上的高，构造直角三角形可得BC边上的高，即可得，再利用面积公式和正弦定理容易解决①和②.
【详解】证明：(1)方法一：如图，设外接圆的直径为，
当为锐角三角形时，的外接圆圆心在内部，

连接CO并延长交圆于D，连接BD，则，
易知为直角三角形，则
所以，同理，
故有，
当为钝角三角形时，的外接圆圆心在外部，连接BO并延长
交圆于D，连接CD，

则，同理易知为直角三角形，
，则有
同理，
故有，
当为直角三角形时，易得
综上，任意外接圆的直径，都有．
方法二：如图

过点作，由向量的加法可得，则                                
∴，
∴，即，同理可得
从而有 , 类似可推出当是钝角三角形和直角三角形时，以上关系式仍然成立.
(2)如图，当为锐角三角形时，作，则


，
类似可推出，当是钝角三角形和直角三角形时，上式仍然成立.
①，，，；
②，，，，
由正弦定理可得，，.
32．已知：①函数；②向量，，且，；③函数的图象经过点.请在上述三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知______，且函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为．
(1)若，且，求的值；
(2)求函数在上的单调递减区间．
(3)请用五点作图法作出函数的图象.
【答案】(1)
(2)，
(3)图象见解析

【分析】选①，根据两角和的正弦公式以及二倍角公式化简结合周期求得参数可得函数解析式；选②，根据向量的数量积的坐标运算结合三角恒等变换化简，可得函数解析式；选③，根据函数图象过的点和周期求得参数，可得函数解析式；
（1）利用函数解析式结合三角函数特殊值，求得答案.
（2）结合正弦函数性质即可求得单调区间；
（3）利用五点法作图，列表求值，即可作出图像.
【详解】（1）选条件
因为
，
又，所以，所以.
选条件
因为，，
所以，
又，所以，所以．
选条件③
由题意可知，，所以，所以．
又因为函数图象经过点，所以，即，
因为，所以 ，所以．
因为，，所以 ，
所以．
（2）由，
得，
令，得，令，得，
所以函数在上的单调递减区间为，．
（3）列表：

0




x












作出图象如图：

33．某养殖场随着技术的进步和规模的扩张，肉鸡产量在不断增加．我们收集到2020年前10个月该养殖场上市的肉鸡产量如下：
月份（m）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
产量（W）
1.0207
2.0000
2.5782
2.9974
3.3139
3.5789
3.8041
4.0000
4.1736
4.3294

产量W（万只）和月份m之间可能存在以下四种函数关系：①；②；③；④．（各式中均有，）．
（Ⅰ）请你从这四个函数模型中去掉一个与表格数据不吻合的函数模型，并说明理由；
（Ⅱ）请你从表格数据中选择2月份和8月份，再从第一问剩下的三种模型中任选两个函数模型进行建模，求出这两种函数表达式再分别求出两种模型下4月份的产量，并说明哪个函数模型更好．
【答案】（1）④；（2）见解析；
【解析】（1）根据数据判断出函数为增函数，但模型④是减函数，所以判断出该函数模型不符合题意；（2）分别列方程组代入求解即可，然后分别计算，再与实际比较选择相差最小的.
【详解】（1）去掉④，函数模型④是减函数，根据所给数据可推断函数为增函数，所以模型④不符合题意；
（2）由题意，点坐标，①，得，所以，所以，
②，得
所以，所以，
③，得，所以，，

因为与实际作差比较发现，选①与实际差距最大，选③与实际差距最小，所以如果选①③或者②③时，③模型更好；如果选①②时，②模型更好.
34．设函数（其中，m，n为常数）
（1）当时，对有恒成立，求实数n的取值范围；
（2）若曲线在处的切线方程为，函数的零点为，求所有满足的整数k的和．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由恒成立可知单调递增，由此得到，进而求得结果；
（2）由切线方程可确定和，从而构造方程求得；将化为，由可确定单调性，利用零点存在定理可求得零点所在区间，进而得到所有可能的取值，从而求得结果.
【详解】（1）当时，，，
当时，，，对任意的都成立，
在单调递增，，
要使得对有恒成立，则，解得：，
即的取值范围为.
（2），，解得：，
又，，，，
显然不是的零点，可化为，
令，则，在，上单调递增.
又，，，，
在，上各有个零点，在，上各有个零点，
整数的取值为或，整数的所有取值的和为.
【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到恒成立问题的求解、由切线方程求解函数解析式、函数零点问题的求解；求解整数解的关键是能够通过构造函数的方式，结合零点存在定理确定零点所在区间.
35．九章算术商功“斜解立方，得两堑堵斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑阳马居二，鳖臑居一，不易之率也合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣”刘徽注：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云中破阳马，得两鳖臑，鳖臑之起数，数同而实据半，故云六而一即得”阳马和鳖臑是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取一长方体，按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱，称为堑堵再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个.以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑．

(1)在下左图中画出阳马和鳖臑不写过程，并用字母表示出来，求阳马和鳖臑的体积比；

(2)若，，在右图中，求三棱锥的高．
【答案】(1)2
(2)

【分析】（1）根据题意作图即可，根据棱锥的体积公式即可求得答案；
（2）根据等体积法，计算，结合即可求得答案.
【详解】（1）
依题意阳马是四棱锥，
设，，，
则，
鳖臑是三棱锥，
则，
所以阳马和鳖臑的体积比为2．
（2）由题意得，

故，
则，设三棱锥的高为h，
即，
所以．
36．请写出数列的求和方法，并举例说明.
【答案】答案见解析
【分析】写出常见求和方法并举例即可.
【详解】1.公式法：例如，已知等差数列的通项公式为，
或等比数列的通项公式为．求等差数列的前n项和与求等比数列的前n项和为;
2.裂项相消法：例如，已知数列的通项公式为,求数列的前n项和为；
3.分组求和法：例如，已知数列的通项公式为，故数列的前项和为；
4.倒序相加法：例如，设，则；
5.错位相减法：例如，设是等差数列，，是等比数列，，，求数列的前n项和．