2023届湘豫名校联考高三第二次（4月）模拟考试数学（文）试题含解析

2023届湘豫名校联考高三第二次（4月）模拟考试数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据分式不等式求出集合A，根据指数函数的性质求出集合B，结合交集的定义和运算即可求解.

【详解】由，得，解得，

所以；

由，得，所以，

所以.

故选：D.

2．已知复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】利用复数乘法、除法运算即可求解．

【详解】因为，所以，所以z在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限．

故选：D．

3．已知函数，则（    ）

A．2 B．1 C．-1 D．-2

【答案】A

【分析】根据导数的运算法则，结合代入法进行求解即可.

【详解】因为，所以．所以，解得．

故选：A

4．设m，n，l分别是三条不同的直线，是平面，则下列结论中正确的是（    ）

A．若，，，，则

B．若，，则

C．若，，则

D．若，，则

【答案】C

【分析】利用直线与直线、直线与平面的位置关系即可判断．

【详解】A选项，时，直线m可能不垂直于平面，A错误；

B选项，当m，n异面时，也存在平面，使得，，，B错误；

C选项，由线面垂直的性质可知，当，时，必有，C正确；

D选项，当时，显然也可以有m，n异面，，，D错误．

故选：C．

5．有两个质地均匀、大小相同的正四面体玩具，每个玩具的各面上分别写有数字1，2，3，4．同时抛掷两个玩具，则朝下的面的数字之积是3的倍数的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用古典概型的概率公式即可求得本题答案.

【详解】根据题意，同时抛掷两个玩具，朝下的面写有的数字有16种情况，

分别为（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），

朝下的面的数字之积是3的倍数的结果有7种，

分别为（1，3），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，3），

则数字之积是3的倍数的概率为，

故选：D

6．某公司为了解本公司的用电情况，统计了4天气温x（℃）与用电量y（度）之间的相关数据如下表所示：

若它们之间的线性回归方程为，则（    ）A．48 B．50 C．52 D．54

【答案】B

【分析】根据表格中的数据求得样本中心，代入回归方程，即可求解.

【详解】根据表中数据，得，，将点代入回归方程得，解得．

故选：B.

7．执行如图所示的程序框图，输出的（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】C

【分析】逐次执行程序计算，直到满足结束.

【详解】第1次循环：时，，不成立，

第2次循环：时，，不成立，

第3次循环：时，，不成立，

第4次循环：时，，不成立，

第5次循环：时，，不成立，

第6次循环：时，，不成立，

第7次循环：时，，此时满足，退出循环，输出，

故选：C

8．已知F是抛物线C：的焦点，直线l与抛物线C交于A，B两点，横坐标为的点P在直线l上，且满足，则（    ）

A．2 B．3 C． D．

【答案】A

【分析】根据向量相等以及抛物线的定义求得.

【详解】设，，由，得，

整理得，由抛物线C的方程，得焦点，准线为．

根据抛物线的定义，知，，

所以．

故选：A

9．已知数列的前n项和为，，且（且），若，则（    ）

A．46 B．49 C．52 D．55

【答案】B

【分析】根据递推关系利用累乘法求数列的通项，然后代入计算即可.

【详解】因为当时，，即，

所以．

因为

．

又，所以．

因为，所以，解得或（舍去）．

故选：B．

10．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（    ）

A．

B．的图象关于点中心对称

C．若在区间上存在最大值，则实数a的取值范围为

D．的图象关于直线对称

【答案】C

【分析】根据图象求得的解析式，根据三角函数的对称性、最值等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】由题图知，的最小正周期，则．

所以．

将代入得，则，

即．

因为，所以，将代入得，则，

所以，A选项错误；

当时，，

所以点不是的图象的一个对称中心，B选项错误；

当时，，

所以直线不是的图象的一个对称轴，D选项错误；

易得在上单调递增，且，

即在时取得最大值，所以，

即实数a的取值范围为，C正确．

故选：C

11．已知椭圆C：的上顶点为A，直线l：与椭圆C相交于P，Q两点，线段PQ的中点为B，直线AB恰好经过椭圆C的右焦点F，且，则椭圆C的离心率为（    ）

A． B． C．或 D．或

【答案】D

【分析】根据向量共线的坐标表示求得点坐标，利用点差法求得，进而求得椭圆的离心率.

【详解】设，，，，，

因为，所以，即．

所以，，即．

因为B为线段PQ的中点，所以，，又P，Q为椭圆上两点，

所以两式相减得，

所以，化简得，

又因为，所以，即，

即．所以或，

所以离心率或.

故选：D

12．已知菱形ABCD的边长为2，，点E，F分别在AD，CD上，且，将沿EF折到的位置，则当五棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设，求得五棱锥的体积表达式，并利用导数求得此时的值，判断出球心的位置，计算出球的半径，进而求得球的表面积.

【详解】如图，设，则．

当五棱锥的体积最大时，平面平面ABCD．

设H是EF的中点，则．因为平面平面，

所以平面ABCD．因为，，

所以．

设，

则．令，得；

令，得，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以当时，五棱锥的体积最大，

设外接圆的圆心为，外接圆的圆心为，

如图，过点，分别作平面和平面DEF的垂线交于点O，

则点O即为三棱锥外接球的球心．

因为，，

所以．

所以球O的表面积为.

故选：B

【点睛】求解几何体外接球有关的问题，首先要找到球心的位置，可利用几何体各面的外心来确定球心的位置，然后利用勾股定理等知识求得球的半径.

二、填空题

13．已知向量，，且，则实数______．

【答案】±1

【分析】利用向量的坐标运算、向量的模长公式求解即可．

【详解】由题意，得，所以，解得．

故答案为：±1.

14．若、满足约束条件，则的取值范围是______．

【答案】

【分析】作出不等式组所表示的可行域，分析可知目标函数的几何意义表示原点与可行域中任意一点的距离的平方，找出使得目标函数取得最大值和最小值对应的最优解，代入目标函数即可得解.

【详解】不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，

目标函数的几何意义表示原点与可行域中任意一点的距离的平方，

结合图形可知，在点处取得最小值，

在点处取得最大值，联立方程，可得，即点，此时．

所以的取值范围为.

故答案为：.

15．已知函数满足：对于任意，且，不等式恒成立．若是奇函数，且，则实数a的取值范围是______．

【答案】

【分析】根据题目条件构造函数，然后结合函数的奇偶性和单调性，逐步转化，即可求得不等式的解集.

【详解】因为对于任意的，且，都有，

不妨设，则，即，

所以在上单调递减，

又是定义域为的奇函数，所以，则，

因为，所以，即，

因为在上单调递减，

所以，即不等式的解集为，故实数a的取值范围为.

故答案为：

16．如图，已知锐角为圆O的内接三角形，圆O的半径为R，且，∠BAC的平分线交边BC于点D，且点D为边BC上靠近点B的三等分点，，则的面积为______．

【答案】

【分析】利用正弦定理，先求出的大小，然后由，可以得到，结合余弦定理，即可求出的值，由此可知，代入三角形的面积公式，即可得到本题答案.

【详解】因为，所以根据正弦定理，得，

又因为为锐角，得，由题可知，

因为，所以，即，化简得，

设，在中，

因为，所以，化简得，

所以，又，

所以，则，

在中，，，

所以.

故答案为：

三、解答题

17．已知数列满足，．

(1)证明：数列是等差数列；

(2)求数列的前n项和．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用退一作商法，结合等差数列的知识证得数列是等差数列.

（2）利用裂项求和法求得.

【详解】（1）因为 ①，

所以当时， ②．

因为，所以由得，即．

所以，即．

由，

得，所以，所以．

所以数列是以-2为首项，-3为公差的等差数列．

（2）由（1）得，

即，

所以．

所以

．

18．2022年10月12日，“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲，新晋“太空教师”刘洋用2米长的吸管成功喝到了芒果汁．这是中国航天员首次在问天实验舱内进行授课，并通过网络向全国进行直播，这场直播极大地激发了广大中学生对航天知识的兴趣，为领悟航天精神，感受中国梦想，某校高一年级组织了一次“寻梦天宫”航天知识竞赛活动，为了解男生和女生对航天知识的掌握情况，该校随机抽取了100名男生和100名女生的竞赛成绩（满分100分）作为样本数据，并将数据分成6组：［40，50），［50，60），［60，70），［70，80），［80，90），［90，100］，整理得到如下频率分布直方图．

(1)估计该校男生和女生竞赛成绩的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）

(2)若竞赛成绩为70分或70分以上的学生称为“太空达人”，完善2×2列联表，并判断：是否有95%的把握认为是否获得“太空达人”称号与性别有关？

附：，其中．

【答案】(1)男生竞赛成绩的平均数为72.5，女生竞赛成绩的平均数为69；

(2)列联表见解析，有95%的把握认为是否获得“太空达人”称号与性别有关．

【分析】（1）根据平均数的求法求得平均数.

（2）完善2×2列联表，计算的值，由此作出判断.

【详解】（1）男生竞赛成绩的平均数为：45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.2+95×0.1=72.5，

女生竞赛成绩的平均数为：45×0.1+55×0.2+65×0.25+75×0.2+85×0.15+95×0.1=69．

（2）完善2×2列联表如下：

所以的观测值．

所以有95%的把握认为是否获得“太空达人”称号与性别有关．

19．如图，在四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，，∠BAD=60°，平面平面ABCD，，，E为上的一点．

(1)求证：平面；

(2)若平面BDE，求三棱锥的体积．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由面面垂直的性质，可得平面，从而，结合，即可证明平面；

（2）利用等体积法，求三棱锥的体积转化为求三棱锥体积的一半，即可求得本题答案.

【详解】（1）因为平面平面，平面平面，

又，平面，所以平面，

又因为平面，所以；

因为四边形ABCD为平行四边形，所以，

又因为，所以，

因为平面，平面，且，

所以平面.

（2）如图，连接交于点，连接，

因为平面，平面平面，平面，

所以，

因为为的中点，所以为的中点，

因为平面，平面，所以，

因为，所以，

因为，所以在中，，

所以，

.

20．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线E：的右焦点为F，离心率为2，且过点．

(1)求双曲线E的标准方程；

(2)设过原点O的直线在第一、三象限内分别交双曲线E于A，C两点，过原点O的直线在第二、四象限内分别交双曲线E于B，D两点，若直线AD过双曲线的右焦点F，求四边形ABCD面积的最小值．

【答案】(1)；

(2)24．

【分析】（1）利用双曲线的标准方程与性质即可求解.

（2）通过直线与双曲线的位置关系，利用韦达定理，代入，求解双曲线中的最值问题．

【详解】（1）由双曲线E的离心率为2，得 ①．

因为双曲线E过点，所以 ②．

又③，

联立①②③式，解得，．

故双曲线E的标准方程为．

（2）由双曲线的对称性，知四边形ABCD为平行四边形，所以．

由题意知直线AD的斜率不为零，设AD的方程为．

联立消去x，得．

，设，，则，．

因为A，D均在双曲线右支，所以

所以解得．

所以，

．

令，则．

所以．

令函数，易得在区间上单调递减，

所以当时，．

所以四边形ABCD面积的最小值为24．

21．已知函数．

(1)求函数的单调区间；

(2)当时，证明：．

【答案】(1)分类讨论，答案见解析；

(2)证明见解析

【分析】（1）求得，对进行分类讨论，由此求得的单调区间.

（2）转化不等式，利用构造函数法，结合导数证得不等式成立.

【详解】（1）由题可得，．

当，即时，，

由，得；由，得，

所以在上单调递增，在上单调递减．

当，即时，

由，得或；由，得，

所以在，上单调递增，在上单调递减，

当，即时，

由，得或；由，得，

所以在，上单调递增，在上单调递减，

当，即时，，在上单调递增，

综上所述，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；

当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为；当时，

的单调递增区间为，，

单调递减区间为；当时，的单调递增区间为．

（2）当时，由，得，

即．

设，，

则．

设，，则．

因为当时，，所以函数在上单调递增．

又因为，所以当时，，即．

令，得，因为，

所以当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

所以．

又因为，所以．

因此，当时，恒成立．

故当时，．

【点睛】利用导数研究函数的性质或证明不等式，当一次求导无法求得函数的单调区间，可考虑进行二次求导来对函数进行研究，研究过程中要注意导函数和原函数的对应关系，不能弄混.

22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，动点到定点的距离为，记动点的轨迹为曲线.

(1)求直线的普通方程，曲线的直角坐标方程与极坐标方程；

(2)设点，且直线与曲线交于，两点，求的值.

【答案】(1)；；.

(2)6

【分析】（1）根据直线的参数方程消去参数，可得普通方程；根据动点到定点的距离为，可得曲线的直角坐标方程，利用极坐标与直角坐标的转化公式可得其极坐标方程.

（2）求出直线l的参数方程，联立曲线的直角坐标方程，可得根与系数的关系式，表示出，进行化简求值，可得答案.

【详解】（1）因为直线l的参数方程为 (t为参数)，

所以消去参数t，得直线l的普通方程为.

点N的直角坐标为，由题意知,

设，则 即，

即曲线C的直角坐标方程为,

因为，

所以曲线C的极坐标方程为.

（2）由题意可知，点在直线l上，

直线l的参数方程为，(s为参数)，

将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程中得，

化简得，

设两点对应的参数分别为，

则，

所以

 .

23．设函数.

(1)作出函数的图象，并求的值域；

(2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)图象见详解，.

(2)

【分析】（1）将函数绝对值打开得到分段函数，再作出函数的图象；

（2）结合函数与的图象得出结果.

【详解】（1）已知，

则

则的图象如图所示：

由的图象可知的值域为.

（2）由，解得,或,

由，解得.，如下图，

若存在，使得不等式成立，

则由图象可知，，解得

求实数的取值范围.