2023届吉林省通化市梅河口市第五中学高三第三次模拟考试数学试题含解析

这是一份2023届吉林省通化市梅河口市第五中学高三第三次模拟考试数学试题含解析，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届吉林省通化市梅河口市第五中学高三第三次模拟考试数学试题 一、单选题1．若集合，，则（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】解不等式求出集合，根据集合交集运算求解.【详解】由得 ，解得或，所以或，又，所以，故选：A2．已知，则（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据复数的除法计算即可求解.【详解】所以，所以，故选：B.3．已知圆台的母线长为4，上底面圆和下底面圆半径的比为1：3，其侧面展开图所在扇形的圆心角为，则圆台的高为（    ）A． B． C．4 D．【答案】B【分析】首先画出几何体，根据几何关系，求解圆台的高.【详解】如图，将圆台还原为圆锥，上底面圆的半径为，下底面圆的半径为，底面圆周长为，因为圆台的母线长为4，根据上下底面圆的半径为为1：3，所以上圆锥的母线长为2，则圆台所在圆锥的母线长为6，因为圆台展开图所在扇形的圆心角为，所以，得，如图，圆台的高故选：B4．下列区间中，函数单调递减的区间是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】化简为，再结合余弦函数的单调区间即可判断各项.【详解】对于A，当时，，单调递增，A错误；对于B，当时，，没有单调性，B错误；对于C，当时，，单调递减，C正确；对于D，当时，，没有单调性，D错误.故选：C5．已知，是双曲线的左、右焦点，点M在双曲线的右支上，设M到直线的距离为d，则的最小值为（    ）A．7 B． C．8 D．【答案】D【分析】用双曲线第二定义与第一定义进行转化，即可求得最小值.【详解】根据双曲线的第二定义，，又根据双曲线的第一定义得，所以，所以当点M在双曲线的右支顶点时达到最小值，由双曲线方程得，所以.故选：D6．已知角的终边过点，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由三角函数的定义求出角的正弦，余弦与正切，进而利用正切二倍角公式求出，从而代入求值即可.【详解】由三角函数的定义可知，，，故，.故选：A7．若过点可作曲线的两条切线，则点可以是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】设切点坐标为，利用导数写出切线方程，将点的坐标代入切线方程，可得出关于的二次方程有两个不等的实根，可得出，可得出，然后逐项检验可得出合适的选项.【详解】设切点坐标为，对函数求导可得，所以，切线斜率为，所以，曲线在点处的切线方程为，即，将点的坐标代入切线方程可得，即，因为过点可作曲线的两条切线，则关于的方程有两个不等的实数解，所以，，即，即，对于点，，A不满足；对于点，，B不满足；对于点，，C满足；对于点，，D不满足.故选：C.8．有6个大小相同的小球，其中1个黑色，2个蓝色，3个红色．采用放回方式从中随机取2次球，每次取1个球，甲表示事件“第一次取红球”，乙表示事件“第二次取蓝球”，丙表示事件“两次取出不同颜色的球”，丁表示事件“与两次取出相同颜色的球”，则（    ）A．甲与乙相互独立 B．甲与丙相互独立C．乙与丙相互独立 D．乙与丁相互独立【答案】A【分析】根据给定条件，求出事件甲、乙、丙、丁的概率，再利用相互独立事件的定义判断作答.【详解】依题意，事件甲的概率，事件乙的概率，有放回取球两次的试验的基本事件总数是，显然事件丙与丁是对立事件，两次取出的球颜色相同含有的基本事件数为，事件丙的概率，事件丁的概率，对于A，事件甲与乙同时发生所含的基本事件数为6，其概率，甲与乙相互独立，A正确；对于B，事件甲与丙同时发生所含的基本事件数为9，其概率，甲与丙不独立，B错误；对于C，事件乙与丙同时发生所含的基本事件数为8，其概率，乙与丙不独立，C错误；对于D，事件乙与丁同时发生所含的基本事件数为4，其概率，乙与丁不独立，D错误.故选：A 二、多选题9．下列关于成对数据的统计说法正确的有（    ）A．若当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这两个变量负相关B．样本相关系数r的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度C．通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据D．决定系数越大，模型的拟合效果越差【答案】ABC【分析】根据正、负相关的意义即可判断A；根据相关系数、决定系数的意义即可判断B，D；可以从残差图发现可疑数据，用残差平方和判断模型拟合效果即可判断C.【详解】对于A，如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，就称这两个变量正相关；如果当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这两个变量负相关，故A正确；对于B，在回归分析中，成对样本数据的样本相关系数r的绝对值越大，成对样本数据的线性相关程度越强，故B正确；对于C，残差图可以发现原始数据中的可疑数据，可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故C正确；对于D，在回归分析中，可用决定系数的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好，故D错误．故选：ABC．10．在中，，点在边上，且，，则下列结论中正确的有（    ）A．B．当，C．当平分时，D．存在点使得是等腰三角形【答案】BCD【分析】由题意，可得.对于A，结合平面向量的基本定理即可求解；对于B，结合A可知，结合余弦定理可得，根据平面向量的数量积定义即可求解； 对于C，由平分，可得，进而得到，，结合等腰三角形可得，再根据余弦定理即可求解；对于D，设，则，结合余弦定理可得，进而即可求解.【详解】由题意，.对于A，，所以，故A错误；对于B，由A可知，，即，在，由余弦定理，可得，所以，即，故B正确；对于C，因为平分，所以，即，即，因为，所以，，由B可知，，又，所以，在中，由余弦定理可得，，即，解得即，故C正确；对于D，若，则是等腰三角形，设，则，在中，由余弦定理可得，，即，解得，故存在点，且时，使得是等腰三角形，故D正确.故选：BCD.11．已知，，点P满足，则（    ）A．点P在以AB为直径的圆上 B．面积的最大值为C．存在点P使得 D．的最小值为【答案】BCD【分析】设，根据题意可求得点P的轨迹方程为．再求得以AB为直径的圆的圆心和半径即可判断A；根据题意求得直线AB的方程，再验证圆P的圆心在直线AB的方程上，从而得到点P到直线AB的距离为圆P的半径时，的面积最大，进而求解即可判断B；根据，结合在直角三角形中，角对应的直角边是斜边的一半，从而即可判断C；设，则，再结合余弦定理可得，从而即可判断D．【详解】设，则，，又，则，化简得，所以点P的轨迹方程为．对于A，以AB为直径的圆的圆心为，半径为，故A错误；对于B，依题意可得直线AB的方程为，即，所以圆P的圆心在直线AB的方程上，所以点P到直线AB的距离为圆P的半径时，的面积最大，所以面积的最大值为，故B正确；对于C，由，在直角三角形中，角对应的直角边是斜边的一半，又，则点A在圆P内，所以存在点P使得，此时，故C正确；对于D，设，则，由余弦定理有，所以，所以当，即时，有，故D正确．  故选：BCD．12．棱长为4的正方体的中心为O，球O的半径为1，点P在球O球面上，记四棱锥的体积为，四棱锥的体积为，则（    ）A．存在点P使得 B．不存在点P使得C．存在点P使得 D．【答案】AD【分析】由于四棱锥和四棱锥的底面积相等，对于A,B,C只需分析两棱锥的高之间的关系即可，对于D需要分析两棱锥高之和的最大值，详见解答.【详解】如下图，四棱锥和四棱锥的底面积相等，均等于16，取正方体的中截面EFGH，点P到平面和平面的距离不受P点前后平移的影响，故可等价认为P点在中截面截球的大圆及其内部运动,建立平面直角坐标系如图，可设，则易知 P到平面的距离，P到平面的距离，当时，，故A正确；令，则，即，化简得，易知此方程一定有解，故B错误；令，则，即，化简得，其中，易知 ，所以此方程无解，故C错误；又因为，而，则，故D正确.故选：AD. 三、填空题13．已知函数是奇函数，则______．【答案】【分析】根据函数的奇偶性求得的值.【详解】由于是奇函数，所以，所以，此时，经验证可知是奇函数，符合题意，所以的值为.故答案为：14．已知抛物线的焦点为F，斜率为1的直线l过F与C交于A，B两点，AB的中点到抛物线准线的距离为8，则______．【答案】4【分析】得到直线线l的方程，联立抛物线方程，得到，从而利用AB的中点到抛物线准线的距离列出方程，求出.【详解】由题意得，准线方程为，则直线，与联立得，设，则，则AB的中点到抛物线准线的距离为，解得.故答案为：415．点P在曲线上，点Q在曲线上，则的最小值为______．【答案】【分析】分别在点处作曲线的切线平行于直线和，利用导数意义求出点，根据点到直线距离公式即可求解．【详解】如图所示：分别在点处作曲线的切线平行于直线和则，所以点分别到直线和的距离为，的最小值为故答案为：16．分形几何学的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．图1是边长为1的等边三角形，将图1中的线段三等分，以中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到图2，称为“一次分形”；用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作，得到图3，称为“二次分形”……依此进行“n次分形”．规定：一个分形图中所有线段的长度之和为该分形图的长度，要得到一个长度不小于30的分形图，则n的最小整数值是______．（取，）【答案】9【分析】依题意可得“每次分形”图的长度可看成是首项为4，公比为的等比数列，从而可得到“n次分形”图的长度为，列出不等式，结合，即可求解．【详解】依题意可得“n次分形”图的长度是“n-1次分形”图的长度的，由“一次分形”图的长度为，所以“每次分形”图的长度可看成是首项为4，公比为的等比数列，所以“n次分形”图的长度为，故，即，两边取对数得，所以，又，故n的最小整数值是9．故答案为：9． 四、解答题17．已知数列满足，数列满足．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据数列的递推公式依次写出，即可发现规律；（2）由（1）可写出数列的表达式，根据裂项求和的方法可求出前n项和．【详解】（1）由题意知，，，，，，…，，，从而．（2）由（1），所以．18．如图，在正六棱锥中，，表面积为．(1)证明：平面平面PFC；(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）通过证明平面PFC得到平面平面PFC．（2）以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面PAD与平面PBD的法向量，用空间向量求夹角.【详解】（1）证明：设O为正六边形的中心，M为BC的中点，由正六边形可知，，，，所以平面PFC，因为平面PAE，所以平面平面PFC．（2）设，连接OB，OM，PM，由，有，，所以，解得，以O为坐标原点，OM，OD，OP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，有，，，，故，从而平面PAD的一个法向量，设平面PBD的一个法向量为，由，，可得令，有，，所以，从而，由图知二面角为锐角，故二面角的余弦值为.19．近年来，凭借主旋律电影的出色表现，我国逐渐成为全球电影票房最高的市场．2022年十一期间热映的某主旋律电影票房超过16亿元．某研究性学习小组就是否看过该电影对影迷进行随机抽样调查，调查数据如下表（单位：人）． 是否合计青年（30岁以下）45550中年（30岁（含）以上）351550合计8020100 (1)是否有99%的把握认为选择看该电影与年龄有关？(2)将频率视为概率，若从众多影迷中随机抽取10人，记其中看过该电影的人数为，求随机变量的数学期望及方差．附：，其中．0.0500.0100.0013.8416.63510.828  【答案】(1)没有99%的把握认为选择看该电影与年龄有关；(2)，方差为 【分析】(1)根据所给数据求出的值，即可得答案；(2)由题意可得看过该电影的频率为且，根据期望和方差的公式求解即可.【详解】（1）解：因为，所以没有99%的把握认为选择看该电影与年龄有关；（2）解：由题意知，看过该电影的频率为，将频率视为概率，则，所以随机变量的数学期望为，方差为．20．在中，角所对的边分别为，满足．(1)求B；(2)若，点D在边上，且，，求b．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用两角和差的余弦公式结合正弦定理边化角化简可得，即可求得答案;（2）在和中，分别利用余弦定理可得关于的方程，解方程组可得答案.【详解】（1）由，即，由正弦定理可得，即，因为，故，，即,，故．（2）因为，，，所以在中，由余弦定理得，在和中，,即，联立，解得，．21．已知椭圆的右焦点为F，点在椭圆E上，C关于y轴的对称点为，且．(1)求椭圆E的方程；(2)直线AB过F（A点横坐标小于1）与椭圆E交于A，B两点，直线AC交直线于点M，证明：直线MF平分．【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）利用椭圆的定义，转化求解的值，即可求解椭圆的标准方程.（2）联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理，将角的问题转化成斜率问题，即可证明.【详解】（1）由题意可知，解得；由，解得，所以椭圆E的标准方程为．（2）证明：设，不妨设，，联立直线AB与椭圆E的方程有，由，得，整理得，从而有，．根据倾斜角间关系，．由于，故上式，所以，即直线MF平分．22．已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若函数有两个零点，，证明：．【答案】(1)(2)证明过程见详解 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而根据点斜式即可求解；（2）令，，得到有两个零点等同于有两个零点，，不妨设，再求，分和讨论的单调性，从而求得在区间上单调性，再求得的取值范围，再根据要证，只需证即可，再构造函数，再根据其单调性即可证明结论．【详解】（1）由题意知，当时，，则，则，所以，故过点的切线方程为．（2）由，，则令，，则有两个零点等同于有两个零点，，不妨设，所以，当时，，单调递增，没有两个零点；当时，若，则；若，则，所以在上单调递减，在上单调递增，又有两个零点，则，解得，得，又，，由，则，所以，故函数在区间上有两个零点，由，则，则，要证，只需证，只需证，又，则，所以，令，，则，所以在上单调递减，则，所以，故，．【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．