2023届广东省湛江市高三一模数学试题含解析

2023届广东省湛江市高三一模数学试题

一、单选题

1．已知为虚数单位，若，则实数（    ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】A

【分析】根据复数的除法运算化简、计算，即可求得答案.

【详解】由，得，所以，

故选：A．

2．已知R为实数集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】图中阴影部分表示，根据分式不等式求出的解集，利用指数不等式求出的解集，进而求出结果.

【详解】图中阴影部分表示，

由，得或，所以，

由，解得，所以，

故，

故选：C．

3．小明在设置银行卡的数字密码时，计划将自己出生日期的后6个数字进行某种排列得到密码．如果排列时要求两个9相邻，两个0也相邻，则小明可以设置多少个不同的密码（    ）

A．16 B．24 C．166 D．180

【答案】B

【分析】将两个0视为一个元素，将两个9也视为一个元素，共有4个元素进行全排列，即可得答案.

【详解】将两个0视为一个元素，将两个9也视为一个元素，所以共有（种）不同的结果，

故选：B．

4．在平行四边形中，为边的中点，记，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据向量的线性运算法则，求得，结合，即可求解.

【详解】如图所示，可得，

所以.

故选：D．

5．元宵节是春节之后的第一个重要节日，元宵节又称灯节，很多地区家家户户都挂花灯．下图是小明为自家设计的一个花灯，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为40cm和20cm，正六棱台与正六棱柱的高分别为10cm和60cm，则该花灯的体积为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据给定的几何体，求出正六棱台两底面积，再利用台体、柱体的体积公式计算作答.

【详解】依题意，花灯的体积等于上面的正六棱台体积与下面的正六棱柱体积的和，

正六棱台的两个底面积分别为，，

所以花灯的体积

.

故选：C

6．已知F为抛物线的焦点，过F的直线与抛物线C交于A，B两点，与圆交于D，E两点，A，D在y轴的同侧，则（    ）

A．1 B．4 C．8 D．16

【答案】B

【分析】设直线的方程为，，联立方程后由根与系数关系可得，再由圆的性质及抛物线定义，可转化为求解即可.

【详解】由题可知，直线l的斜率存在.

设直线的方程为，．

由得，故．

又，，所以．

圆的圆心为，半径，

所以，．

又，，

所以，，

所以.

故选：B．

7．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据指数函数与对数函数的性质，得到，根据，求得，得到，进而求得，即可得到答案．

【详解】根据指数函数和对数函数的性质，可得：

，，，

又由，所以，故．

又，所以，所以．

故选：A．

8．已知函数及其导函数的定义域均为R，且为奇函数，，，则（    ）

A．13 B．16 C．25 D．51

【答案】C

【分析】根据题意利用赋值法求出、、、的值，推出函数的周期，结合，每四个值为一个循环，即可求得答案.

【详解】由，令，得，所以．

由为奇函数，得，所以，

故①．

又②，

由①和②得，即，

所以，③

令，得，得，

令，得，得．

又④，

由③-④得，即，

所以函数是以8为周期的周期函数，

故，

所以，

所以

，

故选：C．

【点睛】方法点睛：解决此类抽象函数的求值问题时，涉及到函数的性质，比如奇偶性和对称轴以及周期性等问题，综合性较强，有一定难度，解答时往往要采用赋值法求得某些特殊值，继而推出函数满足的性质，诸如对称性和周期性等，从而解决问题.

二、多选题

9．某服装生产商为了解青少年的身高和体重的关系，在15岁的男生中随机抽测了10人的身高和体重，数据如下表所示：

由表中数据制作成如下所示的散点图：

由最小二乘法计算得到经验回归直线的方程为，相关系数为，决定系数为；经过残差分析确定为离群点（对应残差过大），把它去掉后，再用剩下的9组数据计算得到经验回归直线的方程为，相关系数为，决定系数为．则以下结论中正确的有（    ）A．              B．

C． D．

【答案】AC

【分析】求出身高的平均数，再根据的意义逐一分析判断即可.

【详解】身高的平均数为，

因为离群点的横坐标168小于平均值，纵坐标89相对过大，

所以去掉离群点后经验回归直线的截距变小而斜率变大，

所以，，所以A正确，B错误；

去掉离群点后成对样本数据的线性相关程度更强，拟合效果会更好，

所以，所以C正确，D错误．

故选：AC．

10．在棱长为2的正方体中，点E，F分别为棱BC与的中点，则下列选项正确的有（    ）

A．平面

B．与所成的角为30°

C．平面

D．平面截正方体的截面面积为

【答案】ABD

【分析】设点M为棱的中点，得到四边形为平行四边形，利用线面平行的判定定理，证得平面，可判定A正确；再得到四边形为菱形，求得截面的面积，可判定D正确；设的中点为N，证得，得到为与所成的角，利用余弦定理求得，可判定B正确；假设平面正确，得到，结合，证得平面，得到，进而判定C错误．

【详解】如图1所示，设点M为棱的中点，则平行且相等，所以四边形为平行四边形，

又，平面，平面，所以平面，故A正确；

由上可知，四边形为平面截正方体的截面，

易得，故四边形为菱形，

又其对角线，，故其面积为，故D正确；

设的中点为，连接，因为分别为与的中点，所以，

故为与所成的角，又，，

由余弦定理可得，

所以与所成的角为，故B正确；

如图2所示，假设平面正确，则，

又，，所以平面，得．

在正方形中，，显然不成立，所以假设错误，

即平面错误，故C错误．

故选：ABD．

11．已知，函数，下列选项正确的有（    ）

A．若的最小正周期，则

B．当时，函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象

C．若在区间上单调递增，则的取值范围是

D．若在区间上只有一个零点，则的取值范围是

【答案】ACD

【分析】由余弦函数周期的公式，可判定A正确；利用三角函数的图象变换，可判定B错误；根据在区间上单调递增，列出不等式组，求得的范围，得到当时，不等式有解，可判定C正确；由在区间上只有一个零点，列出不等式组，求得的范围，可判定D正确．

【详解】解：由余弦函数图象与性质，可得，得，所以A正确；

当时，可得，

将函数的图象向右平移个单位长度后得

，所以B错误；

若在区间上单调递增，则，

解得，

又因为，所以只有当时，此不等式有解，即，所以C正确；

若在区间上只有一个零点，则，解得，所以D正确．

故选：ACD．

12．已知分别为双曲线的左、右焦点，点为双曲线C在第一象限的右支上一点，以A为切点作双曲线C的切线交x轴于点，则下列结论正确的有（    ）

A．

B．

C．

D．若，且，则双曲线C的离心率

【答案】AB

【分析】利用导数的几何意义求出切线方程即可求得可判断选项C，再根据可判断选项A，利用可判断选项B，根据向量共线的坐标表示与余弦定理可判断D.

【详解】由，得，所以，

则在点处的切线斜率为，

所以在点处的切线方程为，

又有，化简即可得切线方程为，

所以，所以，故C错误；

由，得，又，所以，故A正确；

由，得，

故，

由，得

所以，

所以，

所以，

设点A到x轴的距离为h，

则，

，

，

又，所以，故B正确；

由上可得，

因为，则，得，

，

所以，

解得，故D错误，

故选:AB．

【点睛】关键点点睛:解决本题的关键在于利用导数的几何意义求切点处切线方程为

.

三、填空题

13．已知为等差数列的前项和，若，则______．

【答案】

【分析】根据题意得，，再由等差数列前项和公式解决即可.

【详解】因为，

所以，

又因为，

所以，，

所以，

所以．

故答案为：

14．______．

【答案】

【分析】根据三角函数的诱导公式和两角和的余弦公式，准确化简，即可求解.

【详解】由三角函数的诱导公式和两角和的余弦公式，可得：

.

故答案为：.

15．若函数存在两个极值点，且，则______．

【答案】

【分析】求导得到，，，，则，解得答案.

【详解】，定义域为，所以，

故，；又，所以．

又，故，所以，所以．

故答案为：

【点睛】关键点睛：本题考查了函数的极值点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用消元的思想解方程是解题的关键.

四、双空题

16．已知函数，记为函数的2次迭代函数，为函数的3次迭代函数，…，依次类推，为函数的n次迭代函数，则______；除以17的余数是______．

【答案】          0

【分析】第一空，根据题意结合等比数列的前n项和公式即可推出的表达式；第二空，将化为，利用二项式定理展开，化简即可求得答案.

【详解】由题意，，

所以

又为正整数，

所以除以17的余数为0，

故答案为：

【点睛】关键点睛：解答本题中函数迭代问题，要结合题设找到迭代规律，即可求出函数表达式，解决余数问题的关键在于将利用二项式定理展开化简转化为17的倍数的形式，即可求得答案.

五、解答题

17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

(1)求A；

(2)若△ABC的面积为，，求a．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）化简得到，根据正弦定理得到，得到答案.

（2）根据面积公式得到，再利用余弦定理计算得到答案.

【详解】（1），

所以，故．

由正弦定理得，又，

所以，

故，

，，所以，即，，故．

（2），所以．

由余弦定理可得，

所以

18．已知，为数列的前n项和，．

(1)证明：数列为等比数列；

(2)设数列的前n项和为，证明：．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）取计算，得到，得到证明.

（2）确定，变换，利用裂项求和计算得到证明.

【详解】（1），，．

由，得，

，

所以，故，

所以数列是以6为首项，2为公比的等比数列．

（2），

故，

所以

．

19．如图，在四棱锥中，是边长为2的等边三角形，底面为平行四边形，且，，．

(1)证明：点在平面的正投影在直线上；

(2)求平面与平面夹角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)．

【分析】（1）过点在平面内作垂直于，交的延长线于点，连接．由，，得，又，得平面，根据“边边边”判定，由，得，得平面，即可解决；

（2）以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，由，，根据空间向量法求角解决即可.

【详解】（1）

证明：如图，过点在平面内作垂直于，交的延长线于点，连接．

因为，，

所以．

又，平面，且，

所以平面．

又平面，

所以，即．

因为，，

所以

又因为，

所以，故．

因为为等边三角形，所以．

又，

所以．

又，

所以．

又平面，且，

所以平面，

所以点为点在平面的正投影，

又点在直线上，

所以点在平面的正投影在直线上．

（2）由（1）得两两垂直，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系．

由题意可得．

又，

所以，，，，

所以，，．

设为平面的法向量，

所以 ，即，

令，可得．

设为平面的法向量，

所以，即，

令，可得，

所以，

所以平面与平面夹角的余弦值为．

20．某工厂一台设备生产一种特定零件，工厂为了解该设备的生产情况，随机抽检了该设备在一个生产周期中的100件产品的关键指标（单位：），经统计得到下面的频率分布直方图：

(1)由频率分布直方图估计抽检样本关键指标的平均数和方差．（用每组的中点代表该组的均值）

(2)已知这台设备正常状态下生产零件的关键指标服从正态分布，用直方图的平均数估计值作为的估计值，用直方图的标准差估计值s作为估计值．

（i）为了监控该设备的生产过程，每个生产周期中都要随机抽测10个零件的关键指标，如果关键指标出现了之外的零件，就认为生产过程可能出现了异常，需停止生产并检查设备．下面是某个生产周期中抽测的10个零件的关键指标：

利用和判断该生产周期是否需停止生产并检查设备．

（ii）若设备状态正常，记X表示一个生产周期内抽取的10个零件关键指标在之外的零件个数，求及X的数学期望．

参考公式：直方图的方差，其中为各区间的中点，为各组的频率．

参考数据：若随机变量X服从正态分布，则，，，，．

【答案】(1)

(2)（i）需停止生产并检查设备；（ii），

【分析】（1）根据频率分布直方图结合平均数的计算公式，即可求得，继而结合方差的计算公式求得；

（2）（i）根据，，确定，，判断抽查的零件关键指标有无在之外的情况，即可得结论；（ii）求出抽测一个零件关键指标在之外的概率，确定，根据二项分布的概率公式以及期望公式，即可求得答案.

【详解】（1）由频率分布直方图，得．

．

（2）（i）由（1）可知，，

所以，，

显然抽查中的零件指标，故需停止生产并检查设备．

（ii）抽测一个零件关键指标在之内的概率为，

所以抽测一个零件关键指标在之外的概率为，

故，所以，

X的数学期望．

21．已知分别为椭圆的左、右焦点，椭圆E的离心率为，过且不与坐标轴垂直的直线与椭圆E交于A，B两点，的周长为8．

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)过且与垂直的直线与椭圆E交于C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值．

【答案】(1)

(2)．

【分析】（1）根据题意得到，结合椭圆的定义求得，再由，求得，即可求得椭圆E的标准方程；

（2）直线的方程为，联立方程组得到，，利用弦长公式求得，再由由直线的方程为，联立方程组得到，， 求得， 进而得出四边形的面积，结合基本不等式，即可求解.

【详解】（1）解：由题意，椭圆的离心率为，可得，

又由椭圆的定义，可知，所以，所以，

又因为，所以，

所以椭圆E的标准方程为．

（2）解：设，直线的方程为，

由，整理得，

则有，，

故，

又由直线的方程为，设，，

联立方程组，整理得，

则有，，

则，

所以四边形的面积：

，

因为，

当且仅当时，等号成立，

所以，

综上，四边形ACBD面积的最小值为．

【点睛】方法技巧：求解圆锥曲线的最值问题的解答策略与技巧：

1、几何方法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆、圆锥曲线的定义、图形，以及几何性质求解；

2、代数方法：当题目给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个目标函数的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式；③单调性法；④三角换元法；⑤导数法等，要特别注意自变量的取值范围.

22．已知函数．

(1)证明：函数只有一个零点；

(2)在区间上函数恒成立，求a的取值范围．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由题意可判断，然后说明当时无零点；当时，利用导数判断函数单调性，进而说明函数零点只有一个；

（2）将变为，从而构造函数，再利用导数判断函数的单调性，分时和时两种情况讨论不等式是否恒成立，结合，即可求得答案.

【详解】（1）证明：由可得，

当时，，，所以，

故，故在区间上无零点．

当时，，而，，且等号不会同时取到，

所以，

所以当时，函数单调递增，所以，

故函数在区间上有唯一零点0，

综上，函数在定义域上有唯一零点.

（2）由在区间上恒成立，得，

即在区间上恒成立．

设，则在区间上恒成立，

而，

，则．

设，则，当时，，

所以函数在区间上单调递增，故在区间上，，

即在区间上，

设函数，则，

所以函数在区间上单调递增，

故在区间上，即在区间上，，

所以在区间上，，即，

所以在区间上函数单调递增．

当时，，故在区间上函数，

所以函数在区间上单调递增．

又，故，即函数在区间上恒成立．

当时，，

，

故在区间上函数存在零点，即，

又在区间上函数单调递增，

故在区间上函数，所以在区间上函数单调递减，

又，所以在区间上函数，与题设矛盾．

综上，a的取值范围为.

【点睛】方法点睛：解答函数不等式恒成立问题的方法：（1）分离参数，即将不等式中所含参数分离出来，然后构造函数，将问题转化为利用导数求函数的最值问题；（2）将不等式变形为不等式一侧为0，直接构造函数，利用导数判断该函数的单调性，利用函数单调性解决恒成立问题；（3）将不等式变形，再利用放缩法转化为较常见形式的不等式，结合导数解决问题.