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山西中考热点题归纳——圆 试卷
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这是一份山西中考热点题归纳——圆 试卷，共25页。
山西中考热点题归纳——圆
【题型一】与圆有关的性质问题
【题型二】与圆有关的位置关系
【题型三】与圆有关的计算问题
【题型四】与圆有关的综合题
【题型一】与圆有关的性质问题
【典例分析】
1.（2023•沙坪坝区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上的两点，连接AC、OD、CD，且AC∥OD，若AB＝6，∠ACD＝15°，则AC的长为（ ）
A．22 B．4 C．32 D．33
【提分秘籍】
1．垂径定理及其应用
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧（优弧与劣弧）．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧（优弧与劣弧）．在应用垂径定理及其推论进行计算时，通常利用圆的半径r，弦心距d，拱高h，弦长a这几个量来构造直角三角形，然后利用勾股定理及r=d+h来求有关量．根据上述公式，在a，d，r，h这些量中，知道其中任何两个量就可以求出其余两个量．
在圆中，一般利用垂径定理，过圆心作弦的垂线段，连接半径，把半径、垂线段及弦的一半构造在一个直角三角形中，以便运用勾股定理求解．
2．圆心角、弧、弦之间关系的应用问题
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么这两条弧所对的弦相等，所对的圆心角、圆周角也都相等．运用这些相等关系，可以实现线段相等与角相等之间的相互转化．
3．圆周角定理的应用问题
（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，在同圆中可以利用圆周角定理进行角的转化；
（2）在证明圆周角相等或弧相等时，通常“由等角找等弧”或“由等弧找等角”；
（3）当已知圆的直径时，常构造直径所对的圆周角．
4．圆的轴对称性有关的多解问题：圆是轴对称图形，当题目中没有明确说明点在圆上的具体位置或弦与弦的具体位置时，应注意分情况进行讨论．
【变式演练】
(2022·湖北荆门·统考中考真题)
2．如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD，垂足为E，若AB＝12，BE＝3，则四边形ACBD的面积为( )
A．36 B．24 C．18 D．72
(2022·云南·统考中考真题)
3．如图，已知AB是⊙O的直径，CD是OO的弦，AB⟂CD．垂足为E．若AB=26，CD=24，则∠OCE的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝（ ）
A． B．4 C． D．5
【题型二】与圆有关的位置关系
【典例分析】
5. 如图，P为⊙O外一点，过点P作⊙O的切线PC、PD，与过圆心O的直线交于A、B两点，点C、D为切点，线段OB交⊙O于点E．若∠APB＝90°，tanA=52，BE=29−2，则OP的长度为（ ）
A．2 B．1229 C．22 D．4329
【提分秘籍】
1．圆的内接四边形问题：主要是根据圆内接四边形对角互补及圆内接四边形的每个外角等于它的内对角这些性质求解．
2．三角形外接圆的问题：任何一个三角形都有一个外接圆，外接圆的圆心叫三角形的外心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等．三角形外接圆的相关问题，多为与圆有关的概念和性质的综合题，通常利用垂径定理、圆周角定理等知识解决．
3．切线性质的应用问题：圆的切线垂直于过切点的半径．当题目已知一条直线切圆于某一点时，通常作的辅助线是连接切点与圆心．根据切线的性质可得半径与切线垂直，从而利用垂直关系进行有关的计算或证明．
4．切线的判定问题：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．判定一条直线是圆的切线时，若直线与圆的公共点已知，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“连半径，证垂直”；若直线与圆的公共点没有明确，可过圆心作直线的垂线段，再证明圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂直，证半径”．
5．切线长定理的应用问题：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，该点与圆心的连线平分两条切线的夹角．切线长定理经常用来证明线段相等，通常要连接圆心与切点构造直角三角形来求解．
6．三角形的内切圆问题
任何一个三角形都有一个内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，实质上，三角形的内心是三角形三个内角的角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等．解三角形的内切圆问题，通常分别连接．内切圆的圆心与切点、圆心与三角形的顶点来构造直角三角形，以便利用直角三角形的知识进行求解．对于直角三角形的内切圆半径的简便求法，可以利用直角三角形内切圆半径r与直角三角形三边的关系 为直角边，c为斜边）直接求解．
【变式演练】
6.如图，AB是⊙O的直径，CD是一条弦．过点A作DC延长线的垂线，垂足为点E．连接AC，AD．
(1)证明：△ABD∽△ACE；
(2)若AB=510，BD=5，CD=9．
①求EC的长．
②延长CD，AB交于点F，点G是弦CD上一点，且∠CAG=∠F，求CG的长．
7.（2023·安徽合肥·合肥市庐阳中学校考一模）如图，已知⊙O是Rt△ABC的外接圆，点D是Rt△ABC的内心，BD的延长线与⊙O相交于点E，过E作直线l∥AC．
(1)求证：l是⊙O的切线；
(2)连接CE，若AB=3，AC=4，求CE的长．
8.如图，在中，，是边上一点，以为圆心，为半径的圆与相交于点，连接，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
【题型三】与圆有关的计算问题
【典例分析】
(2022·四川攀枝花·统考中考真题)
9．如图，的直径垂直于弦于点F，点P在的延长线上，与相切于点C．
(1)求证：；
(2)若的直径为4，弦平分半径，求：图中阴影部分的面积．
【提分秘籍】
1．正多边形与圆的计算问题：正n边形的外接圆半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形，而每个直角三角形都集中地反映了这个正n边形各元素间的关系，故可以把正n边形的计算转化为解直角三角形，再利用勾股定理即可完成计算．
2．孤长公式的应用问题
（1）在利用弧长公式计算弧长时，应首先确定弧所在圆的半径R和弧所对的圆心角的度数n°；（2）在弧长公式中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量．
3．扇形面积公式的应用问题
在利用扇形面积公式求面积时，关键是明确扇形所在圆的半径、扇形的圆心角的度数或扇形的弧长，然后直接代入公式或 中求解即可．
4．不规则图形的面积问题：求不规则图形的面积，通常是根据图形的特点，弄清阴影部分的构成，然后将不规则图形的面积转化为与其面积相等的规则图形的面积的和或差求解．
5．圆锥的侧面展开图问题：在解决有关圆锥及其侧面展开图的计算题时，常借助圆锥底面圆的周长等于侧面展开图扇形的弧长，即来建立圆锥底面圆的半径r、圆锥母线R和侧面展开图扇形圆心角n°之间的关系，有时也根据圆锥的侧面积计算公式（其中r为底面圆半径，l为母线长）来解决问题．
【变式演练】
10.（2023·河北石家庄·统考模拟预测）如图，在△ABC中，∠C=90°，AE平分∠BAC并交BC于点E，点O在AB上，经过点A，E的半圆O分别交AC，AB于点F，D，连接ED．
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)判断∠DEB和∠EAB的数量关系，并说明理由；
(3)若⊙O的半径为5，AC=8，求点E到直线AB的距离．
(2022·内蒙古通辽·统考中考真题)
11．如图，在中，，以为圆心，的长为半径的圆交边于点，点在边上且，延长交的延长线于点．
(1)求证：是圆的切线；
(2)已知，，求长度及阴影部分面积．
(2022·湖北施恩·统考中考真题)
12．如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，切点分别为A、B，直线PO交⊙O于点D、E，交AB于点C．
(1)求证：∠ADE=∠PAE．
(2)若∠ADE=30°，求证：AE=PE．
(3)若PE=4，CD=6，求CE的长．
【题型四】与圆有关的综合题
【典例分析】
13.如图1，四边形内接于，为直径，过点作于点，连接．（1）求证：；（2）若是的切线，，连接，如图2．
①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；②当AB=2时，求AD， AC与围成阴影部分的面积．
【提分秘籍】
1.垂径定理，圆周角定理是解决圆中问题的关键.在圆中，一般利用垂径定理，过圆心作弦的垂线段，连接半径，把半径、垂线段及弦的一半构造在一个直角三角形中，以便运用勾股定理求解．当已知圆的直径时，常构造直径所对的圆周角，在同圆中可以利用圆周角定理进行角的转化.
2.圆的内接四边形问题：主要是根据圆内接四边形对角互补及圆内接四边形的每个外角等于它的内对角这些性质求解．三角形外接圆的相关问题，多为与圆有关的概念和性质的综合题，通常利用垂径定理、圆周角定理等知识解决．
3.切线性质的应用问题，通常作的辅助线是连接切点与圆心.切线的判定问题，“连半径，证垂直”、“作垂直，证半径”
4.解三角形的内切圆问题，通常分别连接．内切圆的圆心与切点、圆心与三角形的顶点来构造直角三角形，以便利用直角三角形的知识进行求解
5.综合性问题要综合相似三角形判定性质，勾股定理等知识解决.
【变式演练】
14.如图，已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，sin∠BAC＝，O是边AC上一点，以点O为圆心，OA为半径的圆O与边AC的另一个交点是点D，与边AB的另一个交点是点E，过点O作AB的平行线与圆O相交于点P，与BC相交于点Q，DP的延长线交AB于点F，联结FQ．
（1）求证：DP＝EP；
（2）设OA＝x，△FPQ的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（3）如果△FPQ是以FQ为腰的等腰三角形，求AO的长．
答案：D
【解答】解：如图，连接BC，
∵∠ACD＝15°，
∴∠AOD＝2∠ACD＝30°，
∵AC∥OD，
∴∠BAC＝∠AOD＝30°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴cos∠BAC=ACAB=AC6=32，
∴AC＝33．
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质、平行线的性质，正确应用圆周角定理推论是解题的关键.
2.答案：A
【分析】连接OC，首先根据题意可求得OC=6，OE=3，根据勾股定理即可求得CE的长，再根据垂径定理即可求得CD的长，据此即可求得四边形ACBD的面积．
【详解】解：如图，连接OC，
∵AB＝12，BE＝3，
∴OB＝OC＝6，OE＝3，
∵AB⊥CD，
∴在Rt△COE中，，
∴CD＝2CE＝6，
∴四边形ACBD的面积＝．
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，垂径定理，熟练掌握和运用垂径定理是解决本题的关键．
3．答案：B
【分析】先根据垂径定理求出，再根据余弦的定义进行解答即可．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，AB⟂CD．
∴，OC==13，
∴．
故选：B．
【点睛】此题考查的是垂径定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握垂径定理，锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
4．答案：D
【分析】连接，过点作于点，如图所示，先利用垂径定理求得，然后在中求得，再在中，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：连接，过点作于点，如图所示，
则，，
∵PA＝4，PB＝6，
∴，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
故选：D
【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理的运用，构造直角三角形是解题的关键．
5.答案C
【解答】解：连接OD、OC，
∵PC、PD为⊙O的切线，
∴OD⊥PB，OC⊥PA，PD＝PC，
∵∠APB＝90°，
∴四边形PDOC为正方形，
设OC＝r，
∵tanA=52，
∴OCAC=52，
∴AC=25r，
∴PA=75r，
∵tanA=52，
∴PBPA=52，
∴PB=72r，
∴AB=PA2+PB2=72910r，
在Rt△AOC中，OA=AC2+AC2=295r，
∴BE=72910r−295r﹣r，
则72910r−295r﹣r=29−2，
解得：r＝2，
∴OP=2OC＝22，
故选：C．
【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理三角函数，熟练掌握切线性质，三角函数是解题的关键.
6.【答案】(1)见解析
(2)①EC的长为3；②CG的长为154．
【分析】（1）利用圆内接四边形的性质求得∠ACD+∠ABD=180°，推出∠ABD=∠ACE，即可证明；
（2）①由△ABD∽△ACE，推出AE=3CE，在Rt△ADE中，利用勾股定理求解即可；
②证明△EAG∽△EDA，利用三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵AB是⊙O的直径，AE⊥CE，
∴∠AEC=∠ADB=90°，
∵四边形ABDC是圆内接四边形，
∴∠ACD+∠ABD=180°，
又∠ACE+∠ACD=180°，
∴∠ABD=∠ACE，
∴△ABD∽△ACE；
（2）解：①在Rt△BDA中，AB=510，BD=5，
∴AD=AB2−BD2=15，
∵△ABD∽△ACE，
∴BDAD=CEAE，即515=CEAE，
∴AE=3CE，
在Rt△ADE中，AD2=AE2+DE2，
∴152=(3CE)2+(9+CE)2，
解得：CE=-245(舍去)或CE=3；
∴EC的长为3；
②∵△ABD∽△ACE，
∴∠BAD=∠CAE，
∵∠CAG=∠F，∠EAG=∠CAE +∠CAG，∠EDA=∠BAD+∠F，
∴∠EAG=∠EDA，
∴△EAG∽△EDA，
∴AEED=GEAE，
∴AE2=GE•ED，即AE2=(EC+CG)•ED，
∵CE=3，
∴AE=3CE=9，
∴92=(3+CG) ×12，
∴CG=154．
【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，证得△ABD∽△ACE和△EAG∽△EDA是解题的关键．
7.【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】（1）连接OE，根据内心的性质得到∠ABE=∠CBE，根据等边对等角得到∠OBE=∠OEB，则有∠ABE=∠OEB，即可判定出AB∥OE，再利用直径所对的圆周角是直角可得AB⊥AC，结合l∥AC可推出OE⊥l，即可证明；
（2）利用勾股定理求出BC，得到半径，再利用垂径定理求出CG，可得OG，结合半径求出EG，最后利用勾股定理即可求出结果．
【详解】（1）解：如图，连接OE，
∵D为△ABC的内心，
∴∠ABE=∠CBE，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∴∠ABE=∠OEB，
∴AB∥OE，
∵BC为直径，
∴∠A=90°，即AB⊥AC，
∴OE⊥AC，
∵l∥AC，
∴OE⊥l，即l是⊙O的切线；
（2）设OE与AC交于G，
∵AB=3，AC=4，∠A=90°，
∴BC=32+42=5，
∴OE=OC=OB=52，
∵OE⊥AC，
∴AG=CG=12AC=2，
∴OG=OC2−CG2=32，
∴EG=OE−OG=1，
∴CE=EG2+CG2=5．
【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，内心的应用，勾股定理，垂径定理，等边对等角等知识点，有一定难度，解题的关键是利用内心的性质得到∠ABE=∠CBE．
8.(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接OD．由等腰三角形的性质及圆的性质可得∠A＝∠ADC，∠B＝∠BDO．再根据余角性质及三角形的内角和定理可得∠ODC＝180°﹣（∠ADC+∠BDO）＝90°．最后由切线的判定定理可得结论；
（2）根据等边三角形的判定与性质可得∠DCO＝∠ACB﹣∠ACD＝30°．再由解直角三角形及三角形内角和定理可得∠BOD的度数，最后根据弧长公式可得答案．
【详解】（1）证明：连接OD．
∵AC＝CD，
∴∠A＝∠ADC．
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠BDO．
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°．
∴∠ADC+∠BDO＝90°．
∴∠ODC＝180°﹣（∠ADC+∠BDO）＝90°．
又∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：∵AC＝CD，∠A＝60°，
∴△ACD是等边三角形．
∴∠ACD＝60°．
∴∠DCO＝∠ACB﹣∠ACD＝30°．
在Rt△OCD中，OD＝CDtan∠DCOtan30°＝2．
∵∠B＝90°﹣∠A＝30°，OB＝OD，
∴∠ODB＝∠B＝30°．
∴∠BOD＝180°﹣（∠B+∠BDO）＝120°．
∴的长．
【点睛】此题考查的是切线的判定与性质、直角三角形的性质、弧长公式，正确作出辅助线是解决此题的关键．
9．(1)见解析
(2)
【分析】(1)首先可证得，由圆周角定理得：，可得，再根据切线的性质，可得，根据垂直的定义可得，据此即可证得；
(2)首先由弦平分半径，，可得，，，再根据，可得，即可证得，最后由即可求得．
【详解】（1）证明：如图，连接，
，
，
由圆周角定理得：，
，
与相切，
，
，
，
，
；
（2）解：如图：连接，
弦平分半径，，
，在中，，
，
，
，
，
，，
，
．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，直角三角形的性质，扇形的面积公式，作出辅助线是解决本题的关键．
10.【答案】(1)见详解
(2)∠DEB=∠EAB，理由见详解
(3)4
【分析】（1）连接OE，根据AE平分∠BAC，可得∠BAC=2∠EAB，根据∠EOD=∠OAE+∠OEA=2∠OAE，即有∠EOD=∠CAB，则AC∥OE，问题随之得解；
（2）结合∠BED+∠AEC=90°，∠CAE+∠AEC=90°，可得∠BED=∠CAE，再根据AE平分∠BAC，可得∠DEB=∠EAB，问题得解；
（3）过E点作EM⊥AD于M，根据角平分线的性质定理可得EM=CE，再证明△ACE∽△AED，问题随之得解．
【详解】（1）连接OE，如图，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠EAB，
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
∴∠EOD=∠OAE+∠OEA=2∠OAE，
∴∠EOD=∠CAB，
∴AC∥OE，
∵∠C=90°，
∴∠OEB=90°，
∴OE⊥BC，
∵OE为圆O的半径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）∠DEB=∠EAB，理由如下：
∵AD半圆O的直径，
∴∠AED=90°，
∴∠BED+∠AEC=90°，
∵∠CAE+∠AEC=90°，
∴∠BED=∠CAE，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE，
∴∠DEB=∠EAB；
（3）过E点作EM⊥AD于M，如图，
根据题意有：AD=5×2=10，
∵AE平分∠BAC，EM⊥AD，∠C=90°，
∴AC⊥CE，
∴EM=CE，
∵∠BAE=∠CAE，∠C=∠AED=90°，
∴△ACE∽△AED，
∴ACAE=AEAD，
∵AC=8，AD=10，
∴AE2=AD×AC=80，
∴CE=AE2−AC2=4，
∴EM=CE=4，
∴点E到直线AB的距离为4．
【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理以及相似三角形的判定与性质等知识，掌握切线的判定是解答本题的关键．．
11．(1)证明见详解；
(2)AC=3，阴影部分面积为．
【分析】（1）连接OD，证明∠ODE=90°即可；
（2）在Rt△OCD中，由勾股定理求出OC、OD、CD，在Rt△OCE中，由勾股定理求出OE，用△OCE的面积减扇形面积即可得出阴影部分面积．
【详解】（1）证明：连接OD
∵OD=OB
∴∠OBD=∠ODB
∵AC=CD
∴∠A=∠ADC
∵∠ADC=∠BDE
∴∠A=∠EDB
∵∠AOB=90°
∴∠A+∠ABO=90°
∴∠ODB+∠BDE=90°
即OD⊥CE，
又D在上
∴是圆的切线；
（2）解：由（1）可知，∠ODC=90°
在Rt△OCD中，
∴设OD=OB=4x，则OC=5x，
∴
∴AC=3x
∴OA=OC+AC=8x
在Rt△OAB中：
即：
解得，（-1舍去）
∴AC=3，OC=5，OB=OD=4
在在Rt△OCE中，
∴设OE=4y，则CE=5y，
∵
解得，（舍去）
∴
∴阴影部分面积为．
【点睛】本题考查切线的判断和性质、勾股定理、三角函数、阴影部分面积的求法，解题的关键在于灵活运用勾股定理和三角函数求出相应的边长，并能将阴影部分面积转化为三角形与扇形面积的差．
12．(1)见解析
(2)见解析
(3)CE的长为2．
【分析】（1）连接OA，根据切线的性质得到∠OAE+∠PAE=90°，根据圆周角定理得到∠OAE+∠DAO=90°，据此即可证明∠ADE=∠PAE；
（2）由（1）得∠ADE=∠PAE =30°，∠AED =60°，利用三角形外角的性质得到∠APE=∠AED-∠PAE =30°，再根据等角对等边即可证明AE=PE；
（3）证明Rt△EAC∽Rt△ADC，Rt△OAC∽Rt△APC，推出DC×CE=OC×PC，设CE=x，据此列方程求解即可．
【详解】（1）证明：连接OA，
∵PA为⊙O的切线，
∴OA⊥PA，即∠OAP=90°，
∴∠OAE+∠PAE=90°，
∵DE为⊙O的直径，
∴∠DAE=90°，即∠OAE+∠DAO=90°，
∴∠DAO=∠PAE，
∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ADE，
∴∠ADE=∠PAE；
（2）证明：∵∠ADE=30°，
由（1）得∠ADE=∠PAE =30°，∠AED=90°-∠ADE=60°，
∴∠APE=∠AED-∠PAE =30°，
∴∠APE=∠PAE =30°，
∴AE=PE；
（3）解：∵PA、PB为⊙O的切线，切点分别为A、B，直线PO交AB于点C．
∴AB⊥PD，
∵∠DAE=90°，∠OAP=90°，
∴∠DAC+∠CAE=90°，∠OAC+∠PAC=90°，
∵∠DAC+∠D=90°，∠OAC+∠AOC=90°，
∴∠CAE=∠D，∠PAC=∠AOC，
∴Rt△EAC∽Rt△ADC，Rt△OAC∽Rt△APC，
∴
∴AC2=DC×CE，AC2=OC×PC，
即DC×CE=OC×PC，
设CE=x，则DE=6+x，OE=3+，OC=3+-x=3-，PC=4+x，
∴6x=(3-)( 4+x)，
整理得：x2+10x-24=0，
解得：x=2(负值已舍)．
∴CE的长为2．
【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
13.1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠D+∠ABC=，
∵∠EBC+∠ABC=，∴∠D=∠EBC，
∵AD为⊙O直径，∴∠ACD=，∴∠D+∠CAD=，
∵CE⊥AB，∴∠ECB+∠EBC=，∴∠CAD=∠ECB；
（2）①四边形ABCO是菱形，理由如下：
∵CE是⊙O的切线，∴OC⊥EC，∵AB⊥EC，∴∠OCE=∠E=，
∴∠OCE+∠E=18，∴OC∥AE，∴∠ACO=∠BAC，
∵OA=OC，∴∠ACO=∠CAD，∴∠BAC=∠CAD，
∵∠CAD=∠ECB，∠CAD=30°，∴∠EBC=90°-30°=60°，
∴∠BAO=∠EBC =60°，∴BC∥AO，∴四边形ABCO是平行四边形，
∵OA=OC，∴四边形ABCO是菱形；
②∵四边形ABCO是菱形，∴AO=AB=2，AD=4，
∵∠CAD=30°，∴CD=AD=2，AC=2，过点C作CF⊥AD于点F，
∴CF=，∴，
∵OC∥AE，∴∠DOC=∠BAO=60°，∴，
∴阴影部分的面积为．
14.【分析】（1）联结OE，由平行线的性质得出∠DOP＝∠A，∠POE＝∠OEA，由等腰三角形的性质得出∠A＝∠OEA，证出∠DOP＝∠POE，则可得出结论；
（2）过点O作OM⊥AB，过点F作FN⊥PQ，垂足分别为M、N，由△OCQ∽△CAB证出，得出，求出OQ和PQ，则可得出答案；
（3）分两种情况，若FQ＝PQ，若FQ＝FP，由等腰三角形的性质列出方程即可得出答案．
【解答】（1）证明：联结OE，EP，
∵OP∥AB，
∴∠DOP＝∠A，∠POE＝∠OEA，
∵OA＝OE，
∴∠A＝∠OEA，
∴∠DOP＝∠POE，
∴DP＝EP．
（2）解：过点O作OM⊥AB，过点F作FN⊥PQ，垂足分别为M、N，
∵OQ∥AB，OM⊥AB，FN⊥PQ，
∴四边形OMFN是矩形，
∴OM＝FN，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，sin∠BAC＝，
∴BC＝6，AC＝8，
在△AMO中，∠AMO＝90°，
∴OM＝OA•sin∠BAC＝x，
∴FN＝x，
∵OQ∥AB，
∴△OCQ∽△CAB，
∴，
∴，
∴OQ＝10﹣x，
∴PQ＝OQ﹣OP＝10﹣x，
∴y＝（10﹣x）•x，
即y＝﹣+3x（0＜x≤4）．
（3）解：若△FPQ是以FQ为腰的等腰三角形，可分两种情况：
①若FQ＝PQ，
∴∠QPF＝∠QFP＝∠OPD＝∠ODP，
∴QF∥AC，
∴四边形AFQO是平行四边形，
∴AF＝QO，
∵∠ADF＝∠OPD＝∠AFD，
∴AF＝AD＝2x，
∴OQ＝2x，
∴2x＝10﹣x，
∴x＝．
②若FQ＝FP，
如图3，过点O作OM⊥AB，过点F作FN⊥PQ，垂足分别为M、N，则四边形OMFN是矩形，
在△AMO中，∠AMO＝90°，OM＝x，AM＝x，
∴MF＝ON＝2x﹣x，
∴PN＝x，PQ＝x，OQ＝x，
∴x，
解得：x＝．
综上所述，若△FPQ是以FQ为腰的等腰三角形，AO的长为或．
【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
山西中考热点题归纳——圆
【题型一】与圆有关的性质问题
【题型二】与圆有关的位置关系
【题型三】与圆有关的计算问题
【题型四】与圆有关的综合题
【题型一】与圆有关的性质问题
【典例分析】
1.（2023•沙坪坝区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上的两点，连接AC、OD、CD，且AC∥OD，若AB＝6，∠ACD＝15°，则AC的长为（ ）
A．22 B．4 C．32 D．33
【提分秘籍】
1．垂径定理及其应用
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧（优弧与劣弧）．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧（优弧与劣弧）．在应用垂径定理及其推论进行计算时，通常利用圆的半径r，弦心距d，拱高h，弦长a这几个量来构造直角三角形，然后利用勾股定理及r=d+h来求有关量．根据上述公式，在a，d，r，h这些量中，知道其中任何两个量就可以求出其余两个量．
在圆中，一般利用垂径定理，过圆心作弦的垂线段，连接半径，把半径、垂线段及弦的一半构造在一个直角三角形中，以便运用勾股定理求解．
2．圆心角、弧、弦之间关系的应用问题
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么这两条弧所对的弦相等，所对的圆心角、圆周角也都相等．运用这些相等关系，可以实现线段相等与角相等之间的相互转化．
3．圆周角定理的应用问题
（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，在同圆中可以利用圆周角定理进行角的转化；
（2）在证明圆周角相等或弧相等时，通常“由等角找等弧”或“由等弧找等角”；
（3）当已知圆的直径时，常构造直径所对的圆周角．
4．圆的轴对称性有关的多解问题：圆是轴对称图形，当题目中没有明确说明点在圆上的具体位置或弦与弦的具体位置时，应注意分情况进行讨论．
【变式演练】
(2022·湖北荆门·统考中考真题)
2．如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD，垂足为E，若AB＝12，BE＝3，则四边形ACBD的面积为( )
A．36 B．24 C．18 D．72
(2022·云南·统考中考真题)
3．如图，已知AB是⊙O的直径，CD是OO的弦，AB⟂CD．垂足为E．若AB=26，CD=24，则∠OCE的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝（ ）
A． B．4 C． D．5
【题型二】与圆有关的位置关系
【典例分析】
5. 如图，P为⊙O外一点，过点P作⊙O的切线PC、PD，与过圆心O的直线交于A、B两点，点C、D为切点，线段OB交⊙O于点E．若∠APB＝90°，tanA=52，BE=29−2，则OP的长度为（ ）
A．2 B．1229 C．22 D．4329
【提分秘籍】
1．圆的内接四边形问题：主要是根据圆内接四边形对角互补及圆内接四边形的每个外角等于它的内对角这些性质求解．
2．三角形外接圆的问题：任何一个三角形都有一个外接圆，外接圆的圆心叫三角形的外心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等．三角形外接圆的相关问题，多为与圆有关的概念和性质的综合题，通常利用垂径定理、圆周角定理等知识解决．
3．切线性质的应用问题：圆的切线垂直于过切点的半径．当题目已知一条直线切圆于某一点时，通常作的辅助线是连接切点与圆心．根据切线的性质可得半径与切线垂直，从而利用垂直关系进行有关的计算或证明．
4．切线的判定问题：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．判定一条直线是圆的切线时，若直线与圆的公共点已知，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“连半径，证垂直”；若直线与圆的公共点没有明确，可过圆心作直线的垂线段，再证明圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂直，证半径”．
5．切线长定理的应用问题：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，该点与圆心的连线平分两条切线的夹角．切线长定理经常用来证明线段相等，通常要连接圆心与切点构造直角三角形来求解．
6．三角形的内切圆问题
任何一个三角形都有一个内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，实质上，三角形的内心是三角形三个内角的角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等．解三角形的内切圆问题，通常分别连接．内切圆的圆心与切点、圆心与三角形的顶点来构造直角三角形，以便利用直角三角形的知识进行求解．对于直角三角形的内切圆半径的简便求法，可以利用直角三角形内切圆半径r与直角三角形三边的关系 为直角边，c为斜边）直接求解．
【变式演练】
6.如图，AB是⊙O的直径，CD是一条弦．过点A作DC延长线的垂线，垂足为点E．连接AC，AD．
(1)证明：△ABD∽△ACE；
(2)若AB=510，BD=5，CD=9．
①求EC的长．
②延长CD，AB交于点F，点G是弦CD上一点，且∠CAG=∠F，求CG的长．
7.（2023·安徽合肥·合肥市庐阳中学校考一模）如图，已知⊙O是Rt△ABC的外接圆，点D是Rt△ABC的内心，BD的延长线与⊙O相交于点E，过E作直线l∥AC．
(1)求证：l是⊙O的切线；
(2)连接CE，若AB=3，AC=4，求CE的长．
8.如图，在中，，是边上一点，以为圆心，为半径的圆与相交于点，连接，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
【题型三】与圆有关的计算问题
【典例分析】
(2022·四川攀枝花·统考中考真题)
9．如图，的直径垂直于弦于点F，点P在的延长线上，与相切于点C．
(1)求证：；
(2)若的直径为4，弦平分半径，求：图中阴影部分的面积．
【提分秘籍】
1．正多边形与圆的计算问题：正n边形的外接圆半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形，而每个直角三角形都集中地反映了这个正n边形各元素间的关系，故可以把正n边形的计算转化为解直角三角形，再利用勾股定理即可完成计算．
2．孤长公式的应用问题
（1）在利用弧长公式计算弧长时，应首先确定弧所在圆的半径R和弧所对的圆心角的度数n°；（2）在弧长公式中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量．
3．扇形面积公式的应用问题
在利用扇形面积公式求面积时，关键是明确扇形所在圆的半径、扇形的圆心角的度数或扇形的弧长，然后直接代入公式或 中求解即可．
4．不规则图形的面积问题：求不规则图形的面积，通常是根据图形的特点，弄清阴影部分的构成，然后将不规则图形的面积转化为与其面积相等的规则图形的面积的和或差求解．
5．圆锥的侧面展开图问题：在解决有关圆锥及其侧面展开图的计算题时，常借助圆锥底面圆的周长等于侧面展开图扇形的弧长，即来建立圆锥底面圆的半径r、圆锥母线R和侧面展开图扇形圆心角n°之间的关系，有时也根据圆锥的侧面积计算公式（其中r为底面圆半径，l为母线长）来解决问题．
【变式演练】
10.（2023·河北石家庄·统考模拟预测）如图，在△ABC中，∠C=90°，AE平分∠BAC并交BC于点E，点O在AB上，经过点A，E的半圆O分别交AC，AB于点F，D，连接ED．
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)判断∠DEB和∠EAB的数量关系，并说明理由；
(3)若⊙O的半径为5，AC=8，求点E到直线AB的距离．
(2022·内蒙古通辽·统考中考真题)
11．如图，在中，，以为圆心，的长为半径的圆交边于点，点在边上且，延长交的延长线于点．
(1)求证：是圆的切线；
(2)已知，，求长度及阴影部分面积．
(2022·湖北施恩·统考中考真题)
12．如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，切点分别为A、B，直线PO交⊙O于点D、E，交AB于点C．
(1)求证：∠ADE=∠PAE．
(2)若∠ADE=30°，求证：AE=PE．
(3)若PE=4，CD=6，求CE的长．
【题型四】与圆有关的综合题
【典例分析】
13.如图1，四边形内接于，为直径，过点作于点，连接．（1）求证：；（2）若是的切线，，连接，如图2．
①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；②当AB=2时，求AD， AC与围成阴影部分的面积．
【提分秘籍】
1.垂径定理，圆周角定理是解决圆中问题的关键.在圆中，一般利用垂径定理，过圆心作弦的垂线段，连接半径，把半径、垂线段及弦的一半构造在一个直角三角形中，以便运用勾股定理求解．当已知圆的直径时，常构造直径所对的圆周角，在同圆中可以利用圆周角定理进行角的转化.
2.圆的内接四边形问题：主要是根据圆内接四边形对角互补及圆内接四边形的每个外角等于它的内对角这些性质求解．三角形外接圆的相关问题，多为与圆有关的概念和性质的综合题，通常利用垂径定理、圆周角定理等知识解决．
3.切线性质的应用问题，通常作的辅助线是连接切点与圆心.切线的判定问题，“连半径，证垂直”、“作垂直，证半径”
4.解三角形的内切圆问题，通常分别连接．内切圆的圆心与切点、圆心与三角形的顶点来构造直角三角形，以便利用直角三角形的知识进行求解
5.综合性问题要综合相似三角形判定性质，勾股定理等知识解决.
【变式演练】
14.如图，已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，sin∠BAC＝，O是边AC上一点，以点O为圆心，OA为半径的圆O与边AC的另一个交点是点D，与边AB的另一个交点是点E，过点O作AB的平行线与圆O相交于点P，与BC相交于点Q，DP的延长线交AB于点F，联结FQ．
（1）求证：DP＝EP；
（2）设OA＝x，△FPQ的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（3）如果△FPQ是以FQ为腰的等腰三角形，求AO的长．
答案：D
【解答】解：如图，连接BC，
∵∠ACD＝15°，
∴∠AOD＝2∠ACD＝30°，
∵AC∥OD，
∴∠BAC＝∠AOD＝30°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴cos∠BAC=ACAB=AC6=32，
∴AC＝33．
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质、平行线的性质，正确应用圆周角定理推论是解题的关键.
2.答案：A
【分析】连接OC，首先根据题意可求得OC=6，OE=3，根据勾股定理即可求得CE的长，再根据垂径定理即可求得CD的长，据此即可求得四边形ACBD的面积．
【详解】解：如图，连接OC，
∵AB＝12，BE＝3，
∴OB＝OC＝6，OE＝3，
∵AB⊥CD，
∴在Rt△COE中，，
∴CD＝2CE＝6，
∴四边形ACBD的面积＝．
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，垂径定理，熟练掌握和运用垂径定理是解决本题的关键．
3．答案：B
【分析】先根据垂径定理求出，再根据余弦的定义进行解答即可．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，AB⟂CD．
∴，OC==13，
∴．
故选：B．
【点睛】此题考查的是垂径定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握垂径定理，锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
4．答案：D
【分析】连接，过点作于点，如图所示，先利用垂径定理求得，然后在中求得，再在中，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：连接，过点作于点，如图所示，
则，，
∵PA＝4，PB＝6，
∴，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
故选：D
【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理的运用，构造直角三角形是解题的关键．
5.答案C
【解答】解：连接OD、OC，
∵PC、PD为⊙O的切线，
∴OD⊥PB，OC⊥PA，PD＝PC，
∵∠APB＝90°，
∴四边形PDOC为正方形，
设OC＝r，
∵tanA=52，
∴OCAC=52，
∴AC=25r，
∴PA=75r，
∵tanA=52，
∴PBPA=52，
∴PB=72r，
∴AB=PA2+PB2=72910r，
在Rt△AOC中，OA=AC2+AC2=295r，
∴BE=72910r−295r﹣r，
则72910r−295r﹣r=29−2，
解得：r＝2，
∴OP=2OC＝22，
故选：C．
【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理三角函数，熟练掌握切线性质，三角函数是解题的关键.
6.【答案】(1)见解析
(2)①EC的长为3；②CG的长为154．
【分析】（1）利用圆内接四边形的性质求得∠ACD+∠ABD=180°，推出∠ABD=∠ACE，即可证明；
（2）①由△ABD∽△ACE，推出AE=3CE，在Rt△ADE中，利用勾股定理求解即可；
②证明△EAG∽△EDA，利用三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵AB是⊙O的直径，AE⊥CE，
∴∠AEC=∠ADB=90°，
∵四边形ABDC是圆内接四边形，
∴∠ACD+∠ABD=180°，
又∠ACE+∠ACD=180°，
∴∠ABD=∠ACE，
∴△ABD∽△ACE；
（2）解：①在Rt△BDA中，AB=510，BD=5，
∴AD=AB2−BD2=15，
∵△ABD∽△ACE，
∴BDAD=CEAE，即515=CEAE，
∴AE=3CE，
在Rt△ADE中，AD2=AE2+DE2，
∴152=(3CE)2+(9+CE)2，
解得：CE=-245(舍去)或CE=3；
∴EC的长为3；
②∵△ABD∽△ACE，
∴∠BAD=∠CAE，
∵∠CAG=∠F，∠EAG=∠CAE +∠CAG，∠EDA=∠BAD+∠F，
∴∠EAG=∠EDA，
∴△EAG∽△EDA，
∴AEED=GEAE，
∴AE2=GE•ED，即AE2=(EC+CG)•ED，
∵CE=3，
∴AE=3CE=9，
∴92=(3+CG) ×12，
∴CG=154．
【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，证得△ABD∽△ACE和△EAG∽△EDA是解题的关键．
7.【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】（1）连接OE，根据内心的性质得到∠ABE=∠CBE，根据等边对等角得到∠OBE=∠OEB，则有∠ABE=∠OEB，即可判定出AB∥OE，再利用直径所对的圆周角是直角可得AB⊥AC，结合l∥AC可推出OE⊥l，即可证明；
（2）利用勾股定理求出BC，得到半径，再利用垂径定理求出CG，可得OG，结合半径求出EG，最后利用勾股定理即可求出结果．
【详解】（1）解：如图，连接OE，
∵D为△ABC的内心，
∴∠ABE=∠CBE，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∴∠ABE=∠OEB，
∴AB∥OE，
∵BC为直径，
∴∠A=90°，即AB⊥AC，
∴OE⊥AC，
∵l∥AC，
∴OE⊥l，即l是⊙O的切线；
（2）设OE与AC交于G，
∵AB=3，AC=4，∠A=90°，
∴BC=32+42=5，
∴OE=OC=OB=52，
∵OE⊥AC，
∴AG=CG=12AC=2，
∴OG=OC2−CG2=32，
∴EG=OE−OG=1，
∴CE=EG2+CG2=5．
【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，内心的应用，勾股定理，垂径定理，等边对等角等知识点，有一定难度，解题的关键是利用内心的性质得到∠ABE=∠CBE．
8.(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接OD．由等腰三角形的性质及圆的性质可得∠A＝∠ADC，∠B＝∠BDO．再根据余角性质及三角形的内角和定理可得∠ODC＝180°﹣（∠ADC+∠BDO）＝90°．最后由切线的判定定理可得结论；
（2）根据等边三角形的判定与性质可得∠DCO＝∠ACB﹣∠ACD＝30°．再由解直角三角形及三角形内角和定理可得∠BOD的度数，最后根据弧长公式可得答案．
【详解】（1）证明：连接OD．
∵AC＝CD，
∴∠A＝∠ADC．
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠BDO．
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°．
∴∠ADC+∠BDO＝90°．
∴∠ODC＝180°﹣（∠ADC+∠BDO）＝90°．
又∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：∵AC＝CD，∠A＝60°，
∴△ACD是等边三角形．
∴∠ACD＝60°．
∴∠DCO＝∠ACB﹣∠ACD＝30°．
在Rt△OCD中，OD＝CDtan∠DCOtan30°＝2．
∵∠B＝90°﹣∠A＝30°，OB＝OD，
∴∠ODB＝∠B＝30°．
∴∠BOD＝180°﹣（∠B+∠BDO）＝120°．
∴的长．
【点睛】此题考查的是切线的判定与性质、直角三角形的性质、弧长公式，正确作出辅助线是解决此题的关键．
9．(1)见解析
(2)
【分析】(1)首先可证得，由圆周角定理得：，可得，再根据切线的性质，可得，根据垂直的定义可得，据此即可证得；
(2)首先由弦平分半径，，可得，，，再根据，可得，即可证得，最后由即可求得．
【详解】（1）证明：如图，连接，
，
，
由圆周角定理得：，
，
与相切，
，
，
，
，
；
（2）解：如图：连接，
弦平分半径，，
，在中，，
，
，
，
，
，，
，
．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，直角三角形的性质，扇形的面积公式，作出辅助线是解决本题的关键．
10.【答案】(1)见详解
(2)∠DEB=∠EAB，理由见详解
(3)4
【分析】（1）连接OE，根据AE平分∠BAC，可得∠BAC=2∠EAB，根据∠EOD=∠OAE+∠OEA=2∠OAE，即有∠EOD=∠CAB，则AC∥OE，问题随之得解；
（2）结合∠BED+∠AEC=90°，∠CAE+∠AEC=90°，可得∠BED=∠CAE，再根据AE平分∠BAC，可得∠DEB=∠EAB，问题得解；
（3）过E点作EM⊥AD于M，根据角平分线的性质定理可得EM=CE，再证明△ACE∽△AED，问题随之得解．
【详解】（1）连接OE，如图，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠EAB，
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
∴∠EOD=∠OAE+∠OEA=2∠OAE，
∴∠EOD=∠CAB，
∴AC∥OE，
∵∠C=90°，
∴∠OEB=90°，
∴OE⊥BC，
∵OE为圆O的半径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）∠DEB=∠EAB，理由如下：
∵AD半圆O的直径，
∴∠AED=90°，
∴∠BED+∠AEC=90°，
∵∠CAE+∠AEC=90°，
∴∠BED=∠CAE，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE，
∴∠DEB=∠EAB；
（3）过E点作EM⊥AD于M，如图，
根据题意有：AD=5×2=10，
∵AE平分∠BAC，EM⊥AD，∠C=90°，
∴AC⊥CE，
∴EM=CE，
∵∠BAE=∠CAE，∠C=∠AED=90°，
∴△ACE∽△AED，
∴ACAE=AEAD，
∵AC=8，AD=10，
∴AE2=AD×AC=80，
∴CE=AE2−AC2=4，
∴EM=CE=4，
∴点E到直线AB的距离为4．
【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理以及相似三角形的判定与性质等知识，掌握切线的判定是解答本题的关键．．
11．(1)证明见详解；
(2)AC=3，阴影部分面积为．
【分析】（1）连接OD，证明∠ODE=90°即可；
（2）在Rt△OCD中，由勾股定理求出OC、OD、CD，在Rt△OCE中，由勾股定理求出OE，用△OCE的面积减扇形面积即可得出阴影部分面积．
【详解】（1）证明：连接OD
∵OD=OB
∴∠OBD=∠ODB
∵AC=CD
∴∠A=∠ADC
∵∠ADC=∠BDE
∴∠A=∠EDB
∵∠AOB=90°
∴∠A+∠ABO=90°
∴∠ODB+∠BDE=90°
即OD⊥CE，
又D在上
∴是圆的切线；
（2）解：由（1）可知，∠ODC=90°
在Rt△OCD中，
∴设OD=OB=4x，则OC=5x，
∴
∴AC=3x
∴OA=OC+AC=8x
在Rt△OAB中：
即：
解得，（-1舍去）
∴AC=3，OC=5，OB=OD=4
在在Rt△OCE中，
∴设OE=4y，则CE=5y，
∵
解得，（舍去）
∴
∴阴影部分面积为．
【点睛】本题考查切线的判断和性质、勾股定理、三角函数、阴影部分面积的求法，解题的关键在于灵活运用勾股定理和三角函数求出相应的边长，并能将阴影部分面积转化为三角形与扇形面积的差．
12．(1)见解析
(2)见解析
(3)CE的长为2．
【分析】（1）连接OA，根据切线的性质得到∠OAE+∠PAE=90°，根据圆周角定理得到∠OAE+∠DAO=90°，据此即可证明∠ADE=∠PAE；
（2）由（1）得∠ADE=∠PAE =30°，∠AED =60°，利用三角形外角的性质得到∠APE=∠AED-∠PAE =30°，再根据等角对等边即可证明AE=PE；
（3）证明Rt△EAC∽Rt△ADC，Rt△OAC∽Rt△APC，推出DC×CE=OC×PC，设CE=x，据此列方程求解即可．
【详解】（1）证明：连接OA，
∵PA为⊙O的切线，
∴OA⊥PA，即∠OAP=90°，
∴∠OAE+∠PAE=90°，
∵DE为⊙O的直径，
∴∠DAE=90°，即∠OAE+∠DAO=90°，
∴∠DAO=∠PAE，
∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ADE，
∴∠ADE=∠PAE；
（2）证明：∵∠ADE=30°，
由（1）得∠ADE=∠PAE =30°，∠AED=90°-∠ADE=60°，
∴∠APE=∠AED-∠PAE =30°，
∴∠APE=∠PAE =30°，
∴AE=PE；
（3）解：∵PA、PB为⊙O的切线，切点分别为A、B，直线PO交AB于点C．
∴AB⊥PD，
∵∠DAE=90°，∠OAP=90°，
∴∠DAC+∠CAE=90°，∠OAC+∠PAC=90°，
∵∠DAC+∠D=90°，∠OAC+∠AOC=90°，
∴∠CAE=∠D，∠PAC=∠AOC，
∴Rt△EAC∽Rt△ADC，Rt△OAC∽Rt△APC，
∴
∴AC2=DC×CE，AC2=OC×PC，
即DC×CE=OC×PC，
设CE=x，则DE=6+x，OE=3+，OC=3+-x=3-，PC=4+x，
∴6x=(3-)( 4+x)，
整理得：x2+10x-24=0，
解得：x=2(负值已舍)．
∴CE的长为2．
【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
13.1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠D+∠ABC=，
∵∠EBC+∠ABC=，∴∠D=∠EBC，
∵AD为⊙O直径，∴∠ACD=，∴∠D+∠CAD=，
∵CE⊥AB，∴∠ECB+∠EBC=，∴∠CAD=∠ECB；
（2）①四边形ABCO是菱形，理由如下：
∵CE是⊙O的切线，∴OC⊥EC，∵AB⊥EC，∴∠OCE=∠E=，
∴∠OCE+∠E=18，∴OC∥AE，∴∠ACO=∠BAC，
∵OA=OC，∴∠ACO=∠CAD，∴∠BAC=∠CAD，
∵∠CAD=∠ECB，∠CAD=30°，∴∠EBC=90°-30°=60°，
∴∠BAO=∠EBC =60°，∴BC∥AO，∴四边形ABCO是平行四边形，
∵OA=OC，∴四边形ABCO是菱形；
②∵四边形ABCO是菱形，∴AO=AB=2，AD=4，
∵∠CAD=30°，∴CD=AD=2，AC=2，过点C作CF⊥AD于点F，
∴CF=，∴，
∵OC∥AE，∴∠DOC=∠BAO=60°，∴，
∴阴影部分的面积为．
14.【分析】（1）联结OE，由平行线的性质得出∠DOP＝∠A，∠POE＝∠OEA，由等腰三角形的性质得出∠A＝∠OEA，证出∠DOP＝∠POE，则可得出结论；
（2）过点O作OM⊥AB，过点F作FN⊥PQ，垂足分别为M、N，由△OCQ∽△CAB证出，得出，求出OQ和PQ，则可得出答案；
（3）分两种情况，若FQ＝PQ，若FQ＝FP，由等腰三角形的性质列出方程即可得出答案．
【解答】（1）证明：联结OE，EP，
∵OP∥AB，
∴∠DOP＝∠A，∠POE＝∠OEA，
∵OA＝OE，
∴∠A＝∠OEA，
∴∠DOP＝∠POE，
∴DP＝EP．
（2）解：过点O作OM⊥AB，过点F作FN⊥PQ，垂足分别为M、N，
∵OQ∥AB，OM⊥AB，FN⊥PQ，
∴四边形OMFN是矩形，
∴OM＝FN，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，sin∠BAC＝，
∴BC＝6，AC＝8，
在△AMO中，∠AMO＝90°，
∴OM＝OA•sin∠BAC＝x，
∴FN＝x，
∵OQ∥AB，
∴△OCQ∽△CAB，
∴，
∴，
∴OQ＝10﹣x，
∴PQ＝OQ﹣OP＝10﹣x，
∴y＝（10﹣x）•x，
即y＝﹣+3x（0＜x≤4）．
（3）解：若△FPQ是以FQ为腰的等腰三角形，可分两种情况：
①若FQ＝PQ，
∴∠QPF＝∠QFP＝∠OPD＝∠ODP，
∴QF∥AC，
∴四边形AFQO是平行四边形，
∴AF＝QO，
∵∠ADF＝∠OPD＝∠AFD，
∴AF＝AD＝2x，
∴OQ＝2x，
∴2x＝10﹣x，
∴x＝．
②若FQ＝FP，
如图3，过点O作OM⊥AB，过点F作FN⊥PQ，垂足分别为M、N，则四边形OMFN是矩形，
在△AMO中，∠AMO＝90°，OM＝x，AM＝x，
∴MF＝ON＝2x﹣x，
∴PN＝x，PQ＝x，OQ＝x，
∴x，
解得：x＝．
综上所述，若△FPQ是以FQ为腰的等腰三角形，AO的长为或．
【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
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