2023届西藏拉萨市高三下学期第一次模拟数学（文）试题含答案

  拉萨市2023届高三第一次模拟考试

文科数学

本卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则

A.   B.   C.   D.

2.设复数满足，则

A.   B.   C.   D.

3.已知函数，则

A.2   B.3   C.4   D.5

4.已知点F是抛物线C：的焦点，A是抛物线C上的一点，若，，则点A的纵坐标为

A.   B.   C.   D.

5.某生物实验室对某种动物注射某种麻醉药物，下表是注射剂量（单位：mL）与注射4h后单位体积血液药物含量相对应的样本数据，得到变量与的线性回归方程为，则的值为

A.12.2   B.12.5   C.12.8   D.13

6.已知实数，满足，则的最小值为

A.   B.   C.   D.

7.位于徐州园博园中心位置的国际馆（一云落雨），使用现代科技雾化“造云”，打造温室客厅，如图，这个国际馆中3个展馆的顶部均采用正四棱锥这种经典几何形式，表达了理性主义与浪漫主义的对立与统一.其中最大的是3号展馆，其顶部所对应的正四棱锥底面边长为19.2m，高为9m，则该正四棱锥的侧面面积与底面面积之比约为（参考数据：）

A.2   B.1.71   C.1.37   D.1

8.执行如图所示的程序框图，则输出的T的值是

A.32   B.48   C.64   D.72

9.过点作斜率不为0的直线与圆：交于A，B两点，若，则直线的斜率

A.   B.   C.   D.

10.已知，满足，，则

A.   B.   C.   D.

11.已知函数，则下列说法正确的是

A.函数的最小正周期是

B.函数的最大值为

C.函数的图象关于直线对称

D.函数在上单调递增

12.已知，，，则，，的大小关系是

A.   B.

C.   D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若实数，满足约束条件，则的最小值为_________.

14.已知平面向量，在网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则_________.

15.已知的斜边，，现将绕边旋转到的位置，使，则所得四面体外接球的表面积为__________.

16.已知双曲线：与双曲线有相同的渐近线，是双曲线右支上任一点，过点作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为M，N，O是坐标原点，若的最小值是，则当取最小值时，的面积是__________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）

已知数列的前项和为，且满足.

（1）求数列的通项公式;

（2）令，求数列的前项和.

18.（12分）

某地足球协会为了调查球迷对第二十二届世界杯的了解情况，组织了一次相关知识测试活动，并从中抽取了50位球迷的测试成绩（取正整数，满分100分）进行统计，按照，，，，进行分组并作出频率分布直方图，如图所示.

（1）求a的值，并估计参与本次活动的球迷测试成绩的中位数;

（2）规定测试成绩不低于80分的为“真球迷”，测试成绩不低于90分的为“狂热球迷”，现从该样本中的“真球迷”中随机抽取2人，求抽取的2人中恰有1人为“狂热球迷”的概率.

19.（12分）

如图，在直三棱柱中，，，，为棱的中点.

（1）求证：平面；

（2）若，求三棱锥的体积.

20.（12分）

已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点且斜率为k的直线与椭圆交于A，B两点.当A为椭圆E的上顶点时，.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）当时，试判断以AB为直径的圆是否经过点，并说明理由.

21.（12分）

己知函数.

（1）当时，求曲线在处的切线方程;

（2）若有两个不同的极值点，，且，求的取值范围.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

（1）求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程；

（2）设P，Q分别为曲线和直线上的任意一点，求的最小值.

23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知函数，.

（1）请在图中画出和的图象；

（2）证明：.

拉萨市2023届高三第一次模拟考试

文科数学·全解全析及评分标准

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.3

14.2

15.

16.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）

【解析】（1）当时，，则.

当时，由①，得②，

①-②，得，

∴，即，

∴数列是以为首项，-2为公比的等比数列，

∴，当时也满足上式，∴.

（2）由（1）得，

∴.

说明：

第一问：

1.5分段没有说明为等比数列直接得出通项公式不扣分.

2.利用求解也按相应步骤给分.

第二问：1.12分段将也正确，不扣分.

18.（12分）

【解析】（1）测试成绩在内的频率为，

所以.

设测试成绩的中位数为分，因为，

所以，所以，解得，

所以，参与本次活动的球迷测试成绩的中位数约为71.5分.

（2）由题意，知测试成绩在内的球迷有人，记这6人分别为，，，，，；

测试成绩在内的球迷有人，记这2人分别为，.

所以样本中共有8名“真球迷”，其中“狂热球迷”有2名，从“真球迷”中随机抽取2人的所有情况有28种，

分别为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，

其中抽取的2人中恰有1人为“狂热球迷”的情况有12种，分别为：，，，，，，，，，，，，

故所求概率.

说明：

1.第一问中式子对，而结果不对，扣1分.

2.第一问中“，参与本次活动的球迷测试成绩的中位数约为71.5分”，最后没有回答不扣分.

3.第二问没有列出基本事件，只给出基本事件的个数，扣2分.

19.（12分）

【解析】（1）因为为直三棱柱，所以平面.

又平面，所以.

因为为棱的中点，，所以.

因为平面，平面，，所以平面.

又平面，所以.

因为为棱的中点，所以.

又，所以，同理，所以.

因为平面，平面，，

所以平面.

（2）因为，，，

所以，，

所以.

由（1）知平面，

所以，

即三棱锥的体积为.

说明：

第一问：

1.3分段没有“平面，平面，”不扣分.

2.5分段没有“平面，平面，”不扣分.

第二问：

1.8分段得出，.

2.10分段得出.

3.12分段得出.

20.（12分）

【解析】（1）由题意，得椭圆的半焦距，

当A为椭圆E的上顶点时，，设，

则，.

由，得，，∴，

将点B的坐标代入椭圆E的方程，得.

又，∴，

∴椭圆的标准方程是.

（2）以AB为直径的圆不经过点，理由如下：

依题意，知直线的方程为.

联立，消去，并整理，得.

设，，则由根与系数的关系，得，.

易知，直线，的斜率都存在且不为0.

若以为直径的圆经过点，则，所以直线，的斜率之积为-1，即，

而

，

所以以AB为直径的圆不经过点.

说明：

1.第二问中直接回答“以AB为直径的圆不经过点”得1分.

2.第二问8分后若用去验证也给分.

21.（12分）

【解析】（1）当时，，

所以，所以所求的切线斜率为.

又，所以切点为，

所以曲线在处的切线方程为，即.

（2）对函数求导，得.

函数有两个不同的极值点，，等价于有两个零点，，且零点两侧的函数值异号，

即有两个零点，.

令，则.

i）当时，，在上单调递增，不可能有两个零点；

ii）当时，由，得，即在上单调递增.

由，得，即在上单调递减.

要使有两个零点，则，即，解得.

此时，，，.

令，则.因为在上单调递增，所以，

所以在上单调递增，则，即，

所以当时，有两个零点且两个零点，分别位于区间，内.

所以.令，则，所以，即，解得.

令，则.

令，则，

所以在上单调递增，所以，即，

所以在上单调递增，所以，即.

又，令，则，

当时，，所以在区间上单调递增，

所以，即.

令，则.

因为对任意恒成立，

所以在上单调递增，则，

所以，即，

所以，即的取值范围为.

说明：

第一问：

1.1分段写出时的解析式.

2.2分段求，并求出切线斜率.

3.3分段写出切点坐标.

4.4分段写出切线方程，切线方程写成不扣分.

第二问：

1.5分段将函数极值点问题转化为导函数的零点问题.

2.6分段得出不满足题意.

3.7分段讨论当时，的单调性.

4.8分段将有两个零点转化为得出.

5.9分段得出的两个零点所在区间.

6.10分段解出.

7.11分段把看成的函数，求出的取值范围.

8.12分段由前提条件与求出的的取值范围取交集得出的取值范围.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

【解析】（1）由，消去，得或.

由，得，

将，代入，得.

故曲线的普通方程为或，直线的直角坐标方程为.

（2）设是曲线上任一点，

则点到直线的距离为，

所以当，即时，点到直线的距离最小，即取得最小值，为.

说明：

第一问：

1.式子“”中，没有写“”，扣1分.

2.没有写“，”不扣分.

第二问另解：

由题意，知当曲线C在点P处的切线与直线平行时，两平行线之间的距离为所求的最小值.

设：与相切，

则由，消去，整理得，

由，得，

所以：，

所以的最小值为.

23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）

【解析】（1），

画出，的图象如图所示：

（2）要证，即证，

只需证.

∵，

当且仅当，即时，等号成立.

同理，，

当且仅当，即时，等号成立.

又，当且仅当时，等号成立，

∴，当且仅当时，等号成立，

∴成立.

说明：

第一问：

1.1分段将化为分段函数时有错不得分.

2.2分段将化为分段函数时有错不得分.

3.5分段正确作出的图象得2分，正确作出的图象得1分.

作图时函数图象形状大致正确，但关键点不正确扣1分.

4.只画图不写出和分段函数形式扣2分.

第二问：

1.6分段将和代入.

2.7分段将不等式拆解成系数为1的含5个绝对值的不等式，并利用绝对值三角不等式得出的最小值及等号成立的条件.

3.8分段利用绝对值三角不等式得出的最小值及等号成立的条件.

4.9分段得出等号成立的条件.

5.10分段得出原不等式等号成立的条件，从而证出原不等式.

6.第（2）问如果通过平移作图证明，此问也可得5分.