数学九年级上册湖北省黄冈市蕲春县九年级（上）期中数学试卷

这是一份数学九年级上册湖北省黄冈市蕲春县九年级（上）期中数学试卷，共22页。试卷主要包含了填空题．，选择题，解答题．等内容，欢迎下载使用。
湖北省黄冈市蕲春县九年级（上）期中数学试卷
　
一、填空题（每小题3分，共30分）．
1．（3分）已知1是关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，那么m+n=　　．
2．（3分）平面直角坐标系中，一点P（﹣2，3）关于原点的对称点P′的坐标是　　．
3．（3分）抛物线y=2x2﹣3x+4与y轴的交点坐标是　　．
4．（3分）若分式的值为0，则x=　　．
5．（3分）已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴为直线x=2，则线段AB的长为　　．
6．（3分）如图，有正方形ABCD，把△ADE顺时针旋转到△ABF的位置．其中AD=4，AE=5，则BF=　　．

7．（3分）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，若AB=4cm，OC=2cm，则⊙O的半径长是　　．

8．（3分）刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数：a2+b﹣1，例如把（3，﹣2）放入其中，就会得到32+（﹣2）﹣1=6．现将实数对（m，﹣2m）放入其中，得到实数2，则m=　　．
9．（3分）已知二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+m（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2）．如图所示，则能使y1＞y2成立的x的取值范围是　　．

10．（3分）在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，…，如此作下去，则△B2015A2016B2016的顶点A2016的坐标是　　．

　
二、选择题（每小题3分，共30分）
11．（3分）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
12．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣6x+2k=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
13．（3分）已知函数 y=（m+2）是二次函数，则m等于（　　）
A．±2 B．2 C．﹣2 D．±1
14．（3分）如图，将△ABC绕点P顺时针旋转90o得到△A'B'C'，则点P的坐标是（　　）

A．（1，1） B．（1，2） C．（1，3） D．（1，4）
15．（3分）抛物线y=3x2先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得的抛物线为（　　）
A．y=3（x+3）2﹣2 B．y=3（x+3）2+2 C．y=3（x﹣3）2﹣2 D．y=3（x﹣3）2+2
16．（3分）如图，A、B、C是⊙O上的三点，已知∠O=60°，则∠C=（　　）

A．20° B．25° C．30° D．45°
17．（3分）如图，在半径为5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（　　）

A．3 B．4 C．3 D．4
18．（3分）已知关于x的方程x2+bx+a=0的一个根是﹣a（a≠0），则a﹣b值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
19．（3分）给出下列四个函数：①y=﹣x；②y=x；③y=﹣x2；④y=x2．当x＜0时，y随x的增大而减小的函数有（　　）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
20．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=﹣1，下列结论：
①abc＜0；②2a+b=0；③a﹣b+c＞0；④4a﹣2b+c＜0
其中正确的是（　　）

A．①② B．只有① C．③④ D．①④
　
三、解答题．（共60分）
21．（8分）解下列方程：
（1）x（x﹣3）+x﹣3=0
（2）x2﹣4x+1=0．
22．（6分）如图，在平面直角坐标系中，A（0，1），B（﹣3，5），C（﹣3，1）．
（1）在图中画出△ABC以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转90o后的图形△AB1C1，并写出B1、C1两点的坐标；
（2）在图中画出与△ABC关于原点对称的图形△A2B2C2，并写出B2、C2两点的坐标．

23．（7分）已知二次函数的顶点坐标为（1，4），且其图象经过点（﹣2，﹣5），求此二次函数的解析式．
24．（9分）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
25．（8分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．
（1）求证：∠B=∠D；
（2）若AB=4，BC﹣AC=2，求CE的长．

26．（10分）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价一元，日销售量将减少20千克．
（1）现要保证每天盈利6000元，同时又要让顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
（2）若该商场单纯从经济角度看，那么每千克应涨价多少元，能使商场获利最多．
27．（12分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点P在抛物线上，且S△AOP=4SBOC，求点P的坐标；
（3）如图b，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大值．
　

湖北省黄冈市蕲春县九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、填空题（每小题3分，共30分）．
1．（3分）（2016秋•蕲春县期中）已知1是关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，那么m+n=　﹣1　．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=1代入关于x的一元二次方程x2+mx+n=0即可求得m+n的值．
【解答】解：∵1是关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，
∴x=1满足关于x的一元二次方程x2+mx+n=0，
∴1+m+n=0，
解得m+n=﹣1．
故答案是：﹣1．
【点评】此题主要考查了方程解的定义．此类题型的特点是，利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值．
　
2．（3分）（2015•武汉校级二模）平面直角坐标系中，一点P（﹣2，3）关于原点的对称点P′的坐标是　（2，﹣3）　．
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），从而可得出答案．
【解答】解：根据中心对称的性质，得点P（﹣2，﹣3）关于原点对称点P′的坐标是（2，﹣3）．
故答案为：（2，﹣3）．
【点评】本题考查关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题．记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．
　
3．（3分）（2008•浦东新区二模）抛物线y=2x2﹣3x+4与y轴的交点坐标是　（0，4）　．
【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征，将x=0代入函数解析式，求得y值．
【解答】解：根据题意，得
当x=0时，y=0﹣0+4=4，
即y=4，
∴该函数与y轴的交点坐标是（0，4）．
故答案是：（0，4）．
【点评】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征．二次函数图象上的点都在该函数的图象上．
　
4．（3分）（2016春•嵊州市校级期末）若分式的值为0，则x=　1　．
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
【解答】解：分式的值为0，得
x2﹣1=0且x+1≠0．解得x=1，
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
　
5．（3分）（2014•河南）已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴为直线x=2，则线段AB的长为　8　．
【分析】由抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=2，交x轴于A、B两点，其中A点的坐标为（﹣2，0），根据二次函数的对称性，求得B点的坐标，再求出AB的长度．
【解答】解：∵对称轴为直线x=2的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，
∴A、B两点关于直线x=2对称，
∵点A的坐标为（﹣2，0），
∴点B的坐标为（6，0），
AB=6﹣（﹣2）=8．
故答案为：8．
【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点．此题难度不大，解题的关键是求出B点的坐标．
　
6．（3分）（2016秋•蕲春县期中）如图，有正方形ABCD，把△ADE顺时针旋转到△ABF的位置．其中AD=4，AE=5，则BF=　3　．

【分析】据正方形的性质得到AB=AD=4，∠DAB=90°，由于△ADE旋转到△ABF的位置，即AD旋转到AB，旋转角为90°，根据旋转的性质得到AF=AE，∠FAE=∠DAB=90°，勾股定理可计算出BF的长．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD=4，
∵△ADE旋转到△ABF的位置，即AD旋转到AB，
∴AF=AE=5，∠ABF=∠D=90°，
∴BF==3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理．
　
7．（3分）（2016秋•蕲春县期中）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，若AB=4cm，OC=2cm，则⊙O的半径长是　2cm　．

【分析】根据垂径定理得AC=2cm，根据勾股定理即可求得圆的半径．
【解答】解：连接OA，如图所示，
∵OC⊥AB于点C，
∴AC=AB=2cm．
根据勾股定理，得
OA==2（cm）．
故答案为：2cm．

【点评】此题综合运用了垂径定理和勾股定理；熟练掌握垂径定理是解决问题的关键．
　
8．（3分）（2009•深圳）刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数：a2+b﹣1，例如把（3，﹣2）放入其中，就会得到32+（﹣2）﹣1=6．现将实数对（m，﹣2m）放入其中，得到实数2，则m=　3或﹣1　．
【分析】根据题意，把实数对（m，﹣2m）代入a2+b﹣1=2中，得到一个一元二次方程，利用因式分解法可求出m的值．
【解答】解：把实数对（m，﹣2m）代入a2+b﹣1=2中得m2﹣2m﹣1=2
移项得m2﹣2m﹣3=0
因式分解得（m﹣3）（m+1）=0
解得m=3或﹣1．
故答案为：3或﹣1．
【点评】根据题意，把实数对（m，﹣2m）代入a2+b﹣1=2中，并进行因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．
　
9．（3分）（2016秋•蕲春县期中）已知二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+m（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2）．如图所示，则能使y1＞y2成立的x的取值范围是　x＜﹣2或x＞8　．

【分析】直接根据函数的图象即可得出结论．
【解答】解：∵由函数图象可知，当x＜﹣2或x＞8时，一次函数的图象在二次函数的上方，
∴能使y1＞y2成立的x的取值范围是x＜﹣2或x＞8．
故答案为：x＜﹣2或x＞8．
【点评】本题考查的是二次函数与不等式，能利用数形结合求解是解答此题的关键．
　
10．（3分）（2016秋•蕲春县期中）在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，…，如此作下去，则△B2015A2016B2016的顶点A2016的坐标是　（4031，﹣）　．

【分析】首先根据△OA1B1是边长为2的等边三角形，可得A1的坐标为（1，），B1的坐标为（2，0）；然后根据中心对称的性质，分别求出点A2、A3、A4的坐标各是多少；最后总结出An的坐标的规律，求出A2016的坐标是多少即可．
【解答】解：∵△OA1B1是边长为2的等边三角形，
∴A1的坐标为（1，），B1的坐标为（2，0），
∵△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，
∴点A2与点A1关于点B1成中心对称，
∵2×2﹣1=3，2×0﹣=﹣，
∴点A2的坐标是（3，﹣），
∵△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，
∴点A3与点A2关于点B2成中心对称，
∵2×4﹣3=5，2×0﹣（﹣）=，
∴点A3的坐标是（5，），
∵△B3A4B4与△B3A3B2关于点B3成中心对称，
∴点A4与点A3关于点B3成中心对称，
∵2×6﹣5=7，2×0﹣=﹣，
∴点A4的坐标是（7，﹣），
…，
∵1=2×1﹣1，3=2×2﹣1，5=2×3﹣1，7=2×3﹣1，…，
∴An的横坐标是2n﹣1，
当n为奇数时，An的纵坐标是，当n为偶数时，An的纵坐标是﹣，
∴△B2015A2016B2016的顶点A2016的坐标是（4031，﹣），
故答案为：（4031，﹣）．
【点评】此题主要考查了坐标与图形变化﹣旋转问题，要熟练掌握中心对称的两点坐标变化规律，解答此题的关键是分别判断出An的横坐标、纵坐标各是多少．
　
二、选择题（每小题3分，共30分）
11．（3分）（2015•重庆）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义和图形的特点即可求解．
【解答】解：由中心对称图形的定义知，绕一个点旋转180°后能与原图重合，只有选项B是中心对称图形．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
　
12．（3分）（2010•潍坊）关于x的一元二次方程x2﹣6x+2k=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【分析】关于x的一元二次方程x2﹣6x+2k=0有两个不相等的实数根，即判别式△=b2﹣4ac＞0，即可确定k的取值范围．
【解答】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac＞0，即（﹣6）2﹣4×2k＞0，
解得k＜，故选B．
【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
　
13．（3分）（2010•淮北模拟）已知函数 y=（m+2）是二次函数，则m等于（　　）
A．±2 B．2 C．﹣2 D．±1
【分析】根据二次函数的定义，令m2﹣2=2，且m+2≠0，即可求出m的取值范围．
【解答】解：∵y=（m+2）是二次函数，
∴m2﹣2=2，且m+2≠0，
∴m=2，
故选B．
【点评】本题考查了二次函数的定义，要注意，二次项系数不能为0．
　
14．（3分）（2016秋•蕲春县期中）如图，将△ABC绕点P顺时针旋转90o得到△A'B'C'，则点P的坐标是（　　）

A．（1，1） B．（1，2） C．（1，3） D．（1，4）
【分析】利用网格特点，作CC′和AA′的垂直平分线，它们的交点为P点，然后写出P点坐标．
【解答】解：如图，P点坐标为（1，2）．

【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
　
15．（3分）（2015秋•浦城县期末）抛物线y=3x2先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得的抛物线为（　　）
A．y=3（x+3）2﹣2 B．y=3（x+3）2+2 C．y=3（x﹣3）2﹣2 D．y=3（x﹣3）2+2
【分析】先得到抛物线y=3x2的顶点坐标为（0，0），然后分别确定每次平移后得顶点坐标，再根据顶点式写出最后抛物线的解析式．
【解答】解：抛物线y=3x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y=3x2向上平移2个单位，再向右平移3个单位后顶点坐标为（3，2），此时解析式为y=3（x﹣3）2+2．
故选：D．
【点评】主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
　
16．（3分）（2010•嘉兴）如图，A、B、C是⊙O上的三点，已知∠O=60°，则∠C=（　　）

A．20° B．25° C．30° D．45°
【分析】欲求∠C，又已知一圆心角，可利用圆周角与圆心角的关系求解．
【解答】解：∵∠C和∠O是同弧所对的圆周角和圆心角；
∴∠C=∠O=30°；
故选C．
【点评】此题主要考查的圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半．
　
17．（3分）（2012•陕西）如图，在半径为5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（　　）

A．3 B．4 C．3 D．4
【分析】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD，首先利用勾股定理求得OM的长，然后判定四边形OMPN是正方形，求得正方形的对角线的长即可求得OM的长．
【解答】解：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD，
由垂径定理、勾股定理得：OM=ON==3，
∵弦AB、CD互相垂直，
∴∠DPB=90°，
∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，
∴∠OMP=∠ONP=90°
∴四边形MONP是矩形，
∵OM=ON，
∴四边形MONP是正方形，
∴OP=3
故选：C．

【点评】本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解题的关键是正确地作出辅助线．
　
18．（3分）（2011•济宁）已知关于x的方程x2+bx+a=0的一个根是﹣a（a≠0），则a﹣b值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】由一元二次方程的根与系数的关系x1•x2=、以及已知条件求出方程的另一根是﹣1，然后将﹣1代入原方程，求a﹣b的值即可．
【解答】解：∵关于x的方程x2+bx+a=0的一个根是﹣a（a≠0），
∴x1•（﹣a）=a，即x1=﹣1，
∴1﹣b+a=0，
∴a﹣b=﹣1．
故选A．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解．解答该题时，还借用了一元二次方程的根与系数的关系x1•x2=．
　
19．（3分）（2016秋•蕲春县期中）给出下列四个函数：①y=﹣x；②y=x；③y=﹣x2；④y=x2．当x＜0时，y随x的增大而减小的函数有（　　）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【分析】由正比例函数的解析式可判断①、②，由抛物线解析式可分别判断其开口方向，结合增减性可求得答案．
【解答】解：
在y=﹣x中，k=﹣1，y随x的增大而减小，
在y=x中，k=1，y随x的增大而增大，
在y=﹣x2中，抛物线开口向下，当x＜0时，y随x的增大而增大，
在y=x2中，抛物线开口向上，当x＜0时，y随x的增大而减小，
∴当x＜0时，y随x的增大而减小的函数有①④，
故选B．
【点评】本题主要考查正比例函数和二次函数的性质，掌握函数的增减性是解题的关键．
　
20．（3分）（2015•巴中）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=﹣1，下列结论：
①abc＜0；②2a+b=0；③a﹣b+c＞0；④4a﹣2b+c＜0
其中正确的是（　　）

A．①② B．只有① C．③④ D．①④
【分析】根据开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点，确定a、b、c的符号，根据对称轴和图象确定y＞0或y＜0时，x的范围，确定代数式的符号．
【解答】解：∵抛物线的开口向上，
∴a＞0，
∵﹣＜0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＜0，①正确；
∵对称轴为直线x=﹣1，
∴﹣=﹣1，即2a﹣b=0，②错误；
∴x=﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，③错误；
∴x=﹣2时，y＜0，
∴4a﹣2b+c＜0，④正确；
故选D．
【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线的对称性和抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式．
　
三、解答题．（共60分）
21．（8分）（2016秋•蕲春县期中）解下列方程：
（1）x（x﹣3）+x﹣3=0
（2）x2﹣4x+1=0．
【分析】（1）首先提取公因式（x﹣3）得到（x﹣3）（x+1）=0，然后解一元一次方程即可；
（2）先移项，再配方得到（x﹣2）2=3，然后开方解方程即可．
【解答】解：（1）∵x（x﹣3）+x﹣3=0，
∴（x﹣3）（x+1）=0，
∴x﹣3=0或x+1=0，
∴x1=3，x2=﹣1．

（2）∵x2﹣4x+1=0，
∴（x﹣2）2=3，
∴x﹣2=，
∴x1=2+，x2=2﹣．
【点评】本题主要考查了因式分解法和配方法解一元二次方程的知识，解答本题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程的步骤以及配方的步骤，此题难度不大．
　
22．（6分）（2016秋•蕲春县期中）如图，在平面直角坐标系中，A（0，1），B（﹣3，5），C（﹣3，1）．
（1）在图中画出△ABC以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转90o后的图形△AB1C1，并写出B1、C1两点的坐标；
（2）在图中画出与△ABC关于原点对称的图形△A2B2C2，并写出B2、C2两点的坐标．

【分析】（1）首先确定B、C两点以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转90o后的位置，然后再确定坐标；
（2）首先根据△ABC的位置确定A、B、C三点位置，然后再确定三点关于原点对称的对称点位置，再连接即可．
【解答】解：（1）如图所示：
B1（4，4），C1（0，4）；

（2）如图所示：
B2（3，﹣5），C2（3，﹣1）．

【点评】此题主要考查了旋转作图，关键是掌握找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
　
23．（7分）（2014秋•静宁县期末）已知二次函数的顶点坐标为（1，4），且其图象经过点（﹣2，﹣5），求此二次函数的解析式．
【分析】已知二次函数的顶点坐标为（1，4），设抛物线的顶点式为y=a（x﹣1）2+4（a≠0），将点（﹣2，﹣5）代入求a即可．
【解答】解：设此二次函数的解析式为y=a（x﹣1）2+4（a≠0）．
∵其图象经过点（﹣2，﹣5），
∴a（﹣2﹣1）2+4=﹣5，
∴a=﹣1，
∴y=﹣（x﹣1）2+4=﹣x2+2x+3．
【点评】本题考查了用顶点式求抛物线解析式的一般方法，必须熟练掌握抛物线解析式的几种形式．
　
24．（9分）（2014•株洲）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
【分析】（1）直接将x=﹣1代入得出关于a，b的等式，进而得出a=b，即可判断△ABC的形状；
（2）利用根的判别式进而得出关于a，b，c的等式，进而判断△ABC的形状；
（3）利用△ABC是等边三角形，则a=b=c，进而代入方程求出即可．
【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形；
理由：∵x=﹣1是方程的根，
∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，
∴a+c﹣2b+a﹣c=0，
∴a﹣b=0，
∴a=b，
∴△ABC是等腰三角形；

（2）∵方程有两个相等的实数根，
∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，
∴4b2﹣4a2+4c2=0，
∴a2=b2+c2，
∴△ABC是直角三角形；

（3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理为：
2ax2+2ax=0，
∴x2+x=0，
解得：x1=0，x2=﹣1．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用以及根的判别式和勾股定理逆定理等知识，正确由已知获取等量关系是解题关键．
　
25．（8分）（2013•温州）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．
（1）求证：∠B=∠D；
（2）若AB=4，BC﹣AC=2，求CE的长．

【分析】（1）由AB为⊙O的直径，易证得AC⊥BD，又由DC=CB，根据线段垂直平分线的性质，可证得AD=AB，即可得：∠B=∠D；
（2）首先设BC=x，则AC=x﹣2，由在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，可得方程：（x﹣2）2+x2=42，解此方程即可求得CB的长，继而求得CE的长．
【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
又∵DC=CB，
∴AD=AB，
∴∠B=∠D；

（2）解：设BC=x，则AC=x﹣2，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，
∴（x﹣2）2+x2=42，
解得：x1=1+，x2=1﹣（舍去），
∵∠B=∠E，∠B=∠D，
∴∠D=∠E，
∴CD=CE，
∵CD=CB，
∴CE=CB=1+．

【点评】此题考查了圆周角定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题难度适中，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．
　
26．（10分）（2016秋•蕲春县期中）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价一元，日销售量将减少20千克．
（1）现要保证每天盈利6000元，同时又要让顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
（2）若该商场单纯从经济角度看，那么每千克应涨价多少元，能使商场获利最多．
【分析】（1）设每千克应涨价x元，则每千克盈利（10+x）元，每天可售出（500﹣20x）千克，根据利润=每千克盈利×日销售量，列方程解出即可，根据要让顾客得到实惠，所以涨价要选择最小的，即每千克应涨价为5元；
（2）设每千克应涨价x元，利润为w元，根据（1）的等量关系列函数解析式，配方求最值即可．
【解答】解：（1）设每千克应涨价x元，
根据题意得：（10+x）（500﹣20x）=6000，
解得：x1=10，x2=5，
∵要让顾客得到实惠，
∴x=10舍去，即x=5，
答：每千克应涨价为5元；
（2）设每千克应涨价x元，利润为w元，
根据题意得：w=（10+x）（500﹣20x）=﹣20x2+300x+5000，
w=﹣20（x﹣7.5）2+6125，
∵﹣20＜0，
∴w有最大值，
即当x=7.5时，w有最大利润为6125元，
答：若该商场单纯从经济角度看，每千克应涨价7.5元，商场获利最多为6125元．
【点评】本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，属于销售利润问题，明确利润=每千克盈利×日销售量是本题的关键，重点理解“每千克涨价一元，日销售量将减少20千克”根据所设的未知数表示此时的销售量，与二次函数的最值结合，求出结论．
　
27．（12分）（2015•阜新）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点P在抛物线上，且S△AOP=4SBOC，求点P的坐标；
（3）如图b，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大值．
【分析】（1）把点A、C的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数的方程组，通过解方程组求得系数的值；
（2）设P点坐标为（x，﹣x2﹣2x+3），根据S△AOP=4S△BOC列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标；
（3）先运用待定系数法求出直线AC的解析式为y=x+3，再设Q点坐标为（x，x+3），则D点坐标为（x，x2+2x﹣3），然后用含x的代数式表示QD，根据二次函数的性质即可求出线段QD长度的最大值．
【解答】解：（1）把A（﹣3，0），C（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，得
，
解得．
故该抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3．


（2）由（1）知，该抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3，则易得B（1，0）．
∵S△AOP=4S△BOC，
∴×3×|﹣x2﹣2x+3|=4××1×3．
整理，得（x+1）2=0或x2+2x﹣7=0，
解得x=﹣1或x=﹣1±2．
则符合条件的点P的坐标为：（﹣1，4）或（﹣1+2，﹣4）或（﹣1﹣2，﹣4）；

（3）设直线AC的解析式为y=kx+t，将A（﹣3，0），C（0，3）代入，
得，
解得．
即直线AC的解析式为y=x+3．
设Q点坐标为（x，x+3），（﹣3≤x≤0），则D点坐标为（x，﹣x2﹣2x+3），
QD=（﹣x2﹣2x+3）﹣（x+3）=﹣x2﹣3x=﹣（x+）2+，
∴当x=﹣时，QD有最大值．
【点评】此题考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质以及三角形面积、线段长度问题．此题难度适中，解题的关键是运用方程思想与数形结合思想．