（宁波卷）（参考答案）2023年中考数学第一模拟考试卷

2023年中考数学第一次模拟考试卷（宁波卷）

数学·参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

11．　如：﹣5（答案不唯一）　12．（3x﹣2）（3x+2）．

13． ．                 14． 0 

15． 3                    16． 4，．

三、解答题（本大题共8小题，共80分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（8分）（1）计算：2a（a+b）﹣（a+b）2

（2）解不等式组 ，并将解集在数轴上表示．

【详解 】（1）2a（a+b）﹣（a+b）2＝2a2+2ab﹣（a2+2ab+b2），

＝2a2+2ab﹣a2﹣2ab﹣b2，

＝a2﹣b2，

（2），

由①得：x＞﹣5，

由②得：x≤3，

在数轴上表示：

，

则不等式组的解集为：﹣5＜x≤3，

18．（8分）如图1是由边长为1的正方形构成的6×5的网格图，四边形ABCD的顶点都在格点上．

（1）求四边形ABCD的对角线AC的长；

（2）命题“对角线相等的四边形一定是矩形”是真命题还是假命题？如果是假命题，请在图2中画一个顶点都是格点的四边形说明；如果是真命题，请进行证明．

【详解 】（1）由题意可知，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，

∴AC＝＝＝5，

∴AC的长为5；

（2）对角线相等的四边形不一定是矩形，故命题“对角线相等的四边形一定是矩形”是假命题，如图：

在四边形ABCD中，AC＝BD，但四边形ABCD为等腰梯形．

19．（8分）某校积极落实“双减”政策，将要开设拓展课程．为让学生可以根据自己的兴趣爱好选择最喜欢的课程，进行问卷调查，问卷设置以下四种选项：A（综合模型）、B（摄影艺术）、C（音乐鉴赏）、D（劳动实践），随机抽取了部分学生进行调查，每名学生必须且只能选择其中最喜欢的一种课程，并将调查结果整理绘制成如下不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：

（1）此次被调查的学生人数为 　120　名；

（2）直接在答题卡中补全条形统计图；

（3）求拓展课程D（劳动实践）所对应的扇形的圆心角的度数；

（4）根据抽样调查结果，请你估计该校800名学生中，有多少名学生最喜欢C（音乐鉴赏）拓展课程．

【详解 】（1）此次被调查的学生人数为：12÷10%＝120（名），

故答案为：120；

（2）选择B的学生有：120﹣12﹣48﹣24＝36（名），

补全的条形统计图如图所示；

（3）360°×＝72°，

即拓展课程D（劳动实践）所对应的扇形的圆心角的度数是72°；

（4）800×＝320（名），

答：估计该校800名学生中，有320名学生最喜欢C（音乐鉴赏）拓展课程．

20．（10分）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知OA＝，tan∠AOC＝，点B的坐标为（m，﹣2）．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）求一次函数的解析式．

【详解 】（1）过A作AE⊥X轴于E，

tan∠AOE＝，

∴OE＝3AE，

∵OA＝，由勾股定理得：OE2+AE2＝10，

解得：AE＝1，OE＝3，

∴A的坐标为（3，1），

A点在双曲线上，

∴1＝，

∴k＝3，

∴双曲线的解析式y＝．

答：反比例函数的解析式是y＝．

（2）解：B（m，﹣2）在双曲y＝上，

∴﹣2＝，

解得：m＝﹣，

∴B的坐标是（﹣，﹣2），

代入一次函数的解析式得：，

解得：，

∴一次函数的解析式为：y＝x﹣1．

答：一次函数的解析式是y＝x﹣1．

21．（10分）某地一居民的窗户朝南．窗户的离地高度为0.8米，此地一年的冬至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最小为α，夏至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最大为β．若你是一名设计师，请你为教学楼的窗户设计一个直角形遮阳蓬BCD，要求它既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．根据测量测得∠α＝30°，∠β＝60°，AB＝1.5米．若同时满足下面两个条件：

（1）当太阳光与地面的夹角是α时，太阳光刚好射入室内．

（2）当太阳光与地面的夹角是β时，太阳光刚好不射入室内．请你求出直角形遮阳蓬BCD中CD的长、CD离地面的高度．

【详解 】设BC＝x米，

∵∠α＝30°，∠β＝60°，

∴∠CDB＝30°，∠CDA＝60°，

在Rt△BCD中，tan∠CDB＝＝tan30°＝＝，

∴CD＝x，

在Rt△ACD中，tan∠CDA＝tan60°＝＝＝，

∴CD＝，

∴＝x，

解得x＝，

∴CD＝（米），

CD离地面的高度0.8+1.5+＝3.05（米）．

答：直角形遮阳蓬BCD中CD的长为米，CD离地面的高度3.05米．

22．（10分）2022年北京冬奥会举办期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受广大人民的喜爱．某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元．

（1）直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；

（2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？

（3）该店主热心公益事业，决定从每天的利润中捐出200元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，求销售单价x的范围．

【详解 】（1）根据题意得：y＝300﹣10（x﹣44）＝﹣10x+740，

∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+740（44≤x≤52）；

（2）根据题意得：w＝（﹣10x+740）（x﹣40）＝﹣10x2+1140x﹣29600＝﹣10（x﹣57）2+2890，

∵﹣10＜0，

∴当x＜57时，w随x的增大而增大，

∵44≤x≤52，

∴当x＝52时，w有最大值，最大值为﹣10×（52﹣57）2+2890＝2640，

∴将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大，最大利润是2640元；

（3）依题意剩余利润为（w﹣200）元，

∵捐款后每天剩余利润不低于2200元，

∴w﹣200≥2200，即﹣10（x﹣57）2+2890﹣200≥2200，

由﹣10（x﹣57）2+2890﹣200＝2200得x＝50或x＝64，

∵﹣10＜0，44≤x≤52，

∴捐款后每天剩余利润不低于2200元，50≤x≤52，

答：捐款后每天剩余利润不低于2200元，销售单价x的范围是50≤x≤52．

23．（12分）[证明体验]（1）如图1，在△ABC和△BDE中，点A、B、D在同一直线上，∠A＝∠CBE＝∠D＝90°，求证：△ABC∽△DEB．

（2）如图2，图3，AD＝20，点B线段AD上的点，AC⊥AD，AC＝4，连结BC，M为BC中点，将线段BM绕点B顺时针旋转90°至BE，连结DE．

[思考探究]①如图2，当DE＝ME时，求AB的长．

[拓展延伸]②如图3，点G是CA延长线上一点，且AG＝8，连结GE，∠G＝∠D，求ED的长．

【解答】（1）证明：∵∠A＝∠CBE＝∠D＝90°，

∴∠C+∠CBA＝90°，∠CBA+∠DBE＝90°，

∴∠C＝∠DBE，

∴△ABC∽△DEB；

（2）解：①∵M绕点B顺时针旋转90°至E，M为BC的中点，

∴△BME为等腰直角三角形，，

∴BE＝，

又∵DE＝，

∴BE＝DE，

如图，过点E作EF⊥AD，垂足为F，

则BF＝DF，

∵∠A＝∠CBE＝∠BFE＝90°，

由（1）得△ABC∽△FEB，

∴，

∵AC＝4，

∴BF＝2，

∴AB＝AD﹣BF﹣FD＝20﹣2﹣2＝16；

②如图，过点M作AD的垂线交AD于点H，过点E作AD的垂线交AD于点F，过点D作DP⊥AD，过点E作NP⊥DP，交AC的延长线于N，

∵M为BC的中点，MH∥AC，

∴，

∴MH＝，BH＝AH，

∵∠MHB＝∠MBE＝∠BFE＝90°，

由（1）得：∠HBM＝∠FEB，

∵MB＝EB，

∴△MHB≌△BFE（AAS），

∴BF＝MH＝2，EF＝BH，

设EF＝x，则DP＝x，BH＝AH＝x，EP＝FD＝20﹣2﹣2x＝18﹣2x，GN＝x+8，AF＝2x+2，

∵∠G＝∠D，

∴∠GED＝∠GAH＝90°，

由（1）得△NGE∽△PED，

∴，

即，

解得x＝6或x＝﹣（舍去），

∴FD＝18﹣2x＝6，

∴ED＝＝6．

24．（14分）如图1，△ABC中，BC边上的中线AM＝AC，延长AM交△ABC的外接圆于点D，过点D作DE∥BC交圆于点E，延长ED交AB的延长线于点F，连接CE．

（1）若∠ACB＝60°，BC＝4，求MD和DF的长；

（2）①求证：BC＝2CE；

②设tan∠ACB＝x，＝y，求y关于x的函数表达式；

（3）如图2，作NC⊥AC交线段AD于N，连接EN，当△ABC的面积是△CEN面积的6倍时，求tan∠ACB的值．

【解答】（1）解：∵AM＝AC，∠ACB＝60°，

∴△AMC为等边三角形，

∴AM＝AC＝MC．

∵M是BC的中点，

∴CM＝BM＝BC＝2．

∴AM＝AC＝CM＝2，

∴AM＝BC，

∵BM＝MC，

∴△ABC为直角三角形，∠BAC＝90°，

∴点M为圆心，即AD为直径，

∴DM＝AM＝2；

∵DE∥BC，M为AD在中点，

∴BM为△AFD的中位线，

∴FD＝2BM＝4；

（2）①证明：连接BD，如图，

∵DE∥BC，

∴，

∴BD＝EC．

∵AM＝AC，

∴∠ACM＝∠AMC，

∵∠AMC＝∠BMD，∠ACM＝∠BDM，

∴∠BDM＝∠BMD，

∴BD＝BM，

∴BM＝CE，

∵BC＝2BM，

∴BC＝2EC；

②解：过点A作AH⊥CM于点H，如图，

∵∠AMC＝∠BMD，∠ACM＝∠BDM，

∴△AMC∽△BMD，

∴，

∵DE∥BC，

∴．

∵CM＝MB，

∴y＝＝＝＝，

设CM＝2a，则BM＝CM＝2a，

∵AM＝AC，AH⊥CM，

∴CH＝MH＝a，

∵tan∠ACB＝x＝，

∴AH＝ax，

∴AM＝AC＝＝＝a

∴＝，

∴y＝＝，

∴y关于x的函数表达式为：y＝；

（3）连接ME，设ME与CN交于点K，如图，

∵DE∥BC，

∴，

∴，BD＝EC，

∴∠CBD＝∠BCE，

在△BDM和△CEM中，

，

∴△BDM≌△CEM（SAS）．

∴DM＝CE．

∵NC⊥AC，

∴∠MCN＝90°﹣∠ACM，

∵AH⊥CM，

∴∠ACM＝90°﹣∠CAH＝90°﹣∠CAM，

∴∠MCN＝∠CAM，

∵∠CAM＝∠CBD，∠CBD＝∠BCD，

∴∠MCN＝∠MCE，

即：∠MCN＝∠ECN，

由（2）知：CM＝BM＝BD，

∵CE＝BD，

∴CM＝CE，

在△CMN和△CEN中，

，

∴△CMN≌△CEN（SAS）．

∴MN＝NE．

∵CM＝CE，

∴CN是ME的垂直平分线，

∴ME⊥CN，MK＝KE，

∵NC⊥AC，

∴ME∥AC．

∴，

∵△ABC的面积是△CEN面积的6倍，S△ABM＝S△ACM，

∴△ACM的面积是△CEN的3倍，

∵S△CEN＝S△CMN，

∴△ACM的面积是△CMN的3倍，

∴AM＝3MN，

∴，

∴＝，

∴＝，

∵ME＝MD，AC＝AM，

∴，

∴y＝，

∴，

解得：x＝，

∴tan∠ACB＝x＝．