单元复习05 导数及其应用【过习题】（考点练）-2022-2023学年高二数学单元复习（苏教版2019选择性必修第一册）

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单元复习05 导数及其应用
01 导数的概念及运算
一、单选题
1．曲线在点处的切线的倾斜角为（     ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据导数的几何意义得到点处切线的斜率，再根据斜率求倾斜角即可.
【解析】，所以在点处的切线的斜率为-1，倾斜角为.
故选：A.
2．若，则等于（　　）
A．﹣3 B．﹣6 C．﹣9 D．﹣12
【答案】D
【分析】先把等价转化为，从而导出其最终结果．
【解析】


故A，B，C错误.
故选：D．
3．已知函数，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据基本初等函数求导公式，可得答案.
【解析】由题意，，
故选：A.
4．已知，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据导数的运算法则求出函数的导函数，再代入求值即可.
【解析】解：因为，
所以，所以，
解得；
故选：B
5．已知是定义在上的函数，且函数的图象关于直线对称，当时，，则曲线在处的切线方程是（     ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题目所给的对称性得到，进一步得到，再求出时的解析式，再求导代入即可.
【解析】因为函数的图象关于直线对称，
所以，即.
用代换上式中的，即可得到，所以关于直线对称.
由得，若，则，
当时，，，
，，
所以曲线在处的切线方程是:
,即.
故选：C.
【点睛】函数的对称性与分段函数的解析式求解结合的问题逻辑推理要求高，平时对于函数关于直线的对称问题要注重推理与积累.

二、多选题
6．若当，满足，则下列结论正确的是（    ）
A．
B．
C．曲线上点处的切线斜率为
D．曲线上点处的切线斜率为
【答案】AD
【分析】根据导数的定义和几何意义依次判断各个选项即可.
【解析】由得：，即，
曲线上点处的切线斜率为，C错误；D正确；
，A正确；B错误.
故选：AD.
7．下列求导运算正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则计算可得.
【解析】解：对于A：，故A错误；
对于B：，故B正确；
对于C：，故C错误；
对于D：，故D正确；
故选：BD
8．已知函数在上有定义，记为函数的导函数，又是奇函数，则以下判断一定正确的有（    ）
A．是奇函数
B．是奇函数
C．是偶函数
D．是偶函数
【答案】BCD
【分析】利用特殊值排除错误选项，利用奇偶性的定义证明正确选项.
【解析】若，则为奇函数，
而为非奇非偶函数，所以A选项错误.
由于是奇函数，所以，
对于函数，
，
所以是奇函数，B选项正确.
对于函数，
，
所以函数是偶函数，C选项正确.
对于D选项，先证明奇函数的导数是偶函数：
若是定义在上的奇函数，则，
两边求导得，即，
即，所以奇函数的导数是偶函数.
然后证明为奇函数：
由于，所以为奇函数，
所以是偶函数，D选项正确.
故选：BCD

三、填空题
9．已知点M在函数的图象上，且在第二象限内，若的图象在点M处的切线斜率为1，则点M的坐标为______．
【答案】
【分析】设，对函数求导后由题意可得，求出，再代入原函数中可求出，从而可求得结果.
【解析】设点（），
因为，
所以，
因为的图象在点M处的切线斜率为1，
所以，，得，
又，
所以点M的坐标为．
故答案为：
10．已知函数，其中，此函数在区间上的平均变化率为，则实数m的值为__________．
【答案】
【分析】根据题意，求出函数在区间上的平均变化率，进而可得，解出方程可得的值，即可得答案.
【解析】解：根据题意，函数在区间上的平均变化率为：


解得：
故答案为：2.

四、解答题
11．（1）已知曲线，点是曲线上一点，求曲线在点处的切线方程.
（2）已知抛物线，求过点且与抛物线相切的直线方程.
【答案】（1）；（2）或
【分析】根据导数的几何意义即得.
【解析】（1）由可得，
所以在点处的切线的斜率为，
切线方程为，即；
（2）设切线的斜率为，直线与抛物线相切的切点坐标为，则直线方程为，
因为，所以，
又点在切线上，
所以，
解得或，
则或，
所以直线方程为或，
即或.
12．求下列函数的导数
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)

【分析】（1）（2）利用导数运算法则可求得原函数的导数；
（3）（4）利用复合函数的求导法则以及导数的运算法则可求得原函数的导数.
（1）
解：.
（2）
解：.
（3）
解：.
（4）
解：.
13．设函数（，），曲线在点处的切线方程为.
(1)求；
(2)求函数的解析式.
【答案】(1)
(2)

【分析】根据导数的几何意义可得出关于、的方程组，结合、为整数可求得、的值，即可求得函数的解析式及.
（1）
因为，则，
由已知可得，解得，因此，.
所以.
（2）
由（1）可知.

02 导数的应用1
一、单选题
1．若函数在区间上不是单调函数，则实数k的取值范围是（    ）
A．或或 B．或
C． D．不存在这样的实数
【答案】B
【分析】利用导数求出函数的单调区间，即可得到函数的极值点，依题意函数的极值点在区间上，即可得到不等式组，解得即可；
【解析】解：
，
令，解得，或，所以当或时，
当时，所以在和上单调递增，在上单调递减，
即函数极值点为，
若函数在区间上不是单调函数，
则或，
所以或，
解得或
故选：B．
2．已知的导函数图象如图所示，那么的图象最有可能是图中的（    ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题意，根据导数与函数单调性的关系，可得答案.
【解析】由题意，可得在和上单调递减，在上单调递增，
只有选项A符合，
故选：A.
3．设函数，若在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数单调性与导数的关系可知，在内存在解，即可解出．
【解析】由题可知，在内存在解，因为，所以在内存在解，等价于在内存在解，易知函数在上递增，在上递减，所以，当且仅当时取得，所以．
故选：D．
4．函数的定义域为，导函数在内的图像如图所示，则下列命题不正确的是（    ）．

A．函数在内一定不存在最小值
B．函数在内只有一个极小值点
C．函数在内有两个极大值点
D．函数在内可能没有零点
【答案】A
【分析】根据导函数图象得到函数的单调区间，即可判断函数的极值，从而得解；
【解析】解：设的根为，，，且，
则由图可知，函数在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增，在内单调递减；
所以函数在区间内有极小值，
当，时，是函数在区间内的最小值，所以A错误，B正确；
函数在区间内有极大值、，所以C正确；
当，，时，函数在内没有零点，所以D正确．
故选：A．
5．已知函数，若，则实数的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用导数判断出函数的单调性，即可根据单调性的定义解出．
【解析】因为，所以，即函数单调递增，由可得，，解得．
故选：D．
6．对于函数，给出命题：
①是增函数，无极值；
②是减函数，无极值；
③的递增区间为，，递减区间为；
④是极大值，是极小值．其中正确的命题有（    ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】求出函数的导函数，即可求出函数的单调区间，从而得到函数的极值；
【解析】解：对于函数，所以，令，解得或，
当时，函数在上单调递增，
当时，函数在上单调递减，
当时，函数在上单调递增，
所以在处取得极大值，在处取得极小值，
且，，
故①、②错误，③、④正确；
故选：B．

二、多选题
7．设函数，则下列结论错误的是（    ）
A．函数在上单调递增
B．函数在上单调递减
C．若，则函数的图象在点处的切线方程为
D．若，则函数的图象与直线只有一个公共点
【答案】ABD
【分析】求定义域，求导，得到函数的单调区间，从而判断出AB错误；
C选项，利用导函数的几何意义求出切线斜率，进而写出切线方程；
D选项，研究函数的单调区间和极值情况，画出函数图象，数形结合得到结论.
【解析】，定义域为R，
，
当或时，，当时，，
所以函数在上不单调，AB错误；
时，，，
所以函数的图象在点处的切线方程为，C正确；
时，，，
由A选项所求可知，在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，在处取得极小值，
且，，
画出的图象如图所示，

显然函数的图象与直线有3个公共点，D错误.
故选：ABD
8．已知函数，则（    ）
A．函数的极大值点为 B．函数的极小值点为
C．函数在上单调递增 D．函数在上单调递减
【答案】AD
【分析】先求出函数的导数，然后由导数的正负求出函数的单调区间，从而可求出函数的极值.
【解析】定义域为
由，得




，
当或时，，当或时，，
所以函数在和上递增，在和上递减，
所以当为极大值点，为极小值点，
所以AD正确，BC错误，
故选：AD

三、填空题
9．已知函数．
①的最大值为； ②的最小值为； ③在上是减函数；④为的极大值．
那么上面命题中真命题的序号是_____．
【答案】①④
【分析】求出函数的导数，根据给定条件探讨导数值的正负即可判断作答.
【解析】由求导得：，显然函数在上单调递减，而，
因此，当时，，当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减，
的最大值为，为的极大值，①④正确，②③不正确，
所以给定命题中真命题的序号是①④.
故答案为：①④
10．已知函数.
①在上单调递减，在上单调递增；
②在上仅有一个零点；
③若关于的方程有两个实数解，则；
④在上有最大值，无最小值.
上述说法正确的是___________.
【答案】②④
【分析】求出函数的导数，根据导数研究函数的单调性和极值，即可根据选项逐一求解.
【解析】函数的导数，令得，，
由得，由得，故在上单调递增，在上单调递减，故①错误，
由①知当时，函数取得极大值，
当时，恒成立，当时，恒成立，
即在上仅有一个零点，故②正确，
由②知若关于的方程有两个实数解，则，故③错误，
由①②知在上有最大值，无最小值，故④正确，
故答案为：②④

四、解答题
11．已知函数.点是函数图象上一点.
(1)求过点作函数图像的切线方程；
(2)求函数的单调递减区间.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再由点斜式求出切线方程；
（2）解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调递减区间.
【解析】（1）解：因为，所以，，
所以，即切点为，切线的斜率，
所以切线方程为，即；
（2）解：定义域为，且，
令，解得，
所以的单调递减区间为.
12．已知函数为奇函数，且在处取极大值2．
(1)求函数的解析式；
(2)记，讨论函数的单调性；
【答案】(1)；
(2)答案见解析.

【分析】（1）根据为奇函数求得，再根据函数极值点和极值求得，则问题得解；
（2）求得 ，对参数分类讨论，利用导数的正负即可判断函数的单调性.
【解析】（1）因为为奇函数，故对任意的恒成立，
即，恒成立，故；
则，；
当时，恒成立，在上单调递增，不满足题意，故舍去；
当时，令，解得
显然在单调递增，在单调递减，
根据题意无解，不满足题意；
当时，恒成立，在上单调递减，不满足题意，故舍去；
当时，令，解得
显然在单调递减，在单调递增，
根据题意，即，又，解得，
故.
（2）根据（1）可得：，，
当时，则，在恒成立，此时在单调递减；
当时，令，解得（舍）或，
故此时在单调递增，在单调递减；
综上所述，当时，在单调递减；
当时，在单调递增，在单调递减.
13．设函数，其中常数m为整数，
(1)当m为何值时，；
(2)定理：若函数在上连续，且与异号，则至少存在一点，使．试用上述定理证明：当整数时，方程在内有两个实根．
【答案】(1)整数时
(2)证明见解析

【分析】（1）由导数判断单调性，得最小值后列式求解，
（2）构造函数由导数证明，再由所给定理证明，
【解析】（1），，
由得，
当时，，当时，，
则在单调递减，在单调递增，
，，
故当整数时，．
（2）由（1）得，
而，
，
设，，
当时，，则在上单调递增，
，即，
由所给定理知存在，存在，使得，
而在单调递减，在单调递增，
故方程在内有两个实根
03 导数的应用2
一、单选题
1．设，，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】令，则，构造函数，利用的单调性得出；又得，从而得出答案．
【解析】令，则，
设，则，
当时，，所以在上单调递增，故，即；
又因为，所以，
综上，．
故选：D．
2．已知，则下列结论不正确的是（    ）
A．是奇函数 B．在区间上单调递增
C．有3个零点 D．，
【答案】B
【分析】对于A，先求出，然后根据函数奇偶性的定义判断，对于B，利用导数判断，对于C，由求解其零点，对于D，分别考查. ，的取值范围，结合不等式性质得到结果.
【解析】显然，的定义域为，的定义域为，且
，
记，则有
，
故是奇函数，因此选项A正确.
令，则有，即或，
解得或，即，，或，故有3个零点，因此选项C正确.
，，而，所以，即，故选项D正确.
因此，选项B不正确.事实上，，
且，，故存在，使得，从而当时，，故在区间上单调递减.
故选：B
3．已知函数，则下列说法不正确的是（　　）
A．只有一个极值点
B．设，则与的单调性相同
C．在上单调递增
D．有且只有两个零点
【答案】B
【分析】对于A：求导分析的符号，进而可得f（x）的单调性，即可得出f（x）的极值点，可判断A是否正确；
对于B：根据题意可得＝x4﹣sin2x，求导分析g（x）的单调性，极值点，即可判断B是否正确；
对于C：由于y＝x2与y＝sinx在[0，]上单调递增，即可判断f（x）在[0，]上单调性，即可判断C是否正确；
对于D：由上可知f（x）有且只有一个极值点x0，x0∈（，0）且f（0）＝0，则f（x）在（﹣∞，x0）和（x0，+∞）上各有一个零点，即可判断D是否正确．
【解析】解：对于A：＝2x+cosx，
令g（x）＝2x+cosx，
g′（x）＝2﹣sinx＞0，
所以f′（x）＝2x+cosx在R上单调递增，
又f′（0）＝1，f′（）＝﹣1+cos0，
所以存在x0∈（，0），使得f′（x0）＝0，
所以函数f（x）在（﹣∞，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，
所以f（x）有且只有一个极值点，故A正确；
对于B：因为f（﹣x）＝x2﹣sinx，
所以＝x4﹣sin2x，
则g′（x）＝4x3﹣2sinxcosx＝4x3﹣sin2x，
所以g′（0）＝0，即g（x）的一个极值点为0，
所以g（x）与f（x）的单调性不相同，故B错误；
对于C：y＝x2与y＝sinx在[0，]上单调递增，
所以f（x）＝x2+sinx在[0，]上单调递增，故C正确；
对于D：因为f（x）有且只有一个极值点x0，x0∈（，0）且f（0）＝0，
所以f（x）在（﹣∞，x0）和（x0，+∞）上各有一个零点，
所以f（x）有且只有两个零点，故D正确．
故选：B．
4．已知函数的零点为，零点为，则的最大值为（    ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据和的零点求得的关系式，由此化简，再结合导数求得的最大值.
【解析】由题意，可得，所以
则，所以.
，得，
则，
对于函数，，
所以在区间上，函数单调递增，所以，
所以，令，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以．
故选：B
【点睛】本题中，和的零点与之间的关系是求解问题的突破口，解题过程中，需要根据零点、对数运算以及结合导数来进行求解.
5．已知函数和，若，现有下列4个说法：①；②；③；④．其中所有正确说法的序号为（    ）
A．①②④ B．①②③ C．②③ D．①③④
【答案】A
【分析】利用零点存在定理及函数单调性可得，令，结合条件可得，进而可得，构造函数，利用导数判断函数的单调性进而可得.
【解析】∵函数为增函数，
又，
∴，故②正确；
由，可得，
令，则，
∴，即，
∴，即，故①正确；
由，可得，故③错误；
由上可知，令，
则，故函数在上单调递增，
∴，故④正确；
所以正确说法的序号为①②④.
故选：A.
【点睛】本题考察函数零点问题的处理，本题较难是④解决问题的关键是构造函数，进而利用导数研究函数的单调性即得.

二、多选题
6．关于函数,下列说法正确的是（    ）
A．若过点可以作曲线的两条切线,则
B．若在R上恒成立,则实数的取值范围为
C．若在上能成立,则
D．若函数有且只有一个零点,则实数的范围为
【答案】ABC
【分析】根据图像性质可以判断A的正误,用半分离只需图像恒在图像上方,临界条件为相切时,关于选项C,用全分离,求导求单调性,求最值即可,关于选项D,由C选项的单调性,画出函数图像,只需与原函数有且只有一个交点即可,可判断D的正误.
【解析】解：由题知,对于选项A,画出曲线的图像,
根据图可判定点在曲线下方和轴上才可以作出两条切线,
故,
故A正确；

对于选项B,在R上恒成立,
等价于在R上恒在上方,
设的切点坐标为,
其切线方程为,
对应的切线经过坐标原点,
将代入解得,
其切线的斜率,
故实数的取值范围为,
故B正确；
对于选项C,若在[1.3]上恒成立,
则在上恒成立,
即,
设,
令,解得,
所以在单调递增,在上单调递减,
所以,所以,故C正确；
对于D,由C,画出函数的图像如下:

可知或,有且只有一个零点,故D错误．
故选:ABC.
7．已知函数，则下列结论正确的是（    ）
A．当时，曲线在点处的切线方程为
B．在定义域内为增函数的充要条件是
C．当时，既存在极大值又存在极小值
D．当时，恰有3个零点，且
【答案】BC
【分析】A按照导数几何意义解决；B证明导数为正值即可；C以极值定义去判定；D
构造函数去证明.
【解析】选项A: 当时，曲线,
则，切线斜率
又，
故曲线在点处的切线方程为.
A选项错误；
选项B:
令，
则
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
在处取得最小值
当时，对任意恒成立，
则对任意恒成立，
故当时，在定义域内为增函数.B选项正确；
选项C:
由以上分析知道：
在处取得最小值
当时，必有二根，
不妨设为
则当时，，，为增函数，
当时，，，为减函数，
当时，，，为增函数，
故既存在极大值又存在极小值. C选项正确；
选项D: 由上面分析可知既存在极大值又存在极小值，
不妨设的极大值点为m，极小值点为n,且，
在上单调递减，又
故极大值为正值，极小值为负值，
当时，；当时，
故函数有三个零点，不妨设为，
又


故有，则
即当时，恰有3个零点，且，故D错误.
故选：BC

三、填空题
8．已知定义在上的函数满足，且是的导函数，当时，，则不等式的解集为________．
【答案】
【分析】令，进而结合题意得函数为上的偶函数，在上单调递增，在上单调递减，，进而根据单调性和奇偶性解不等式即可.
【解析】解：令，则
因为，即，
所以，即函数为偶函数，
因为，当时，
所以，当时，，函数为单调递减函数，
因为函数为上的偶函数
所以，函数在上单调递增，在上单调递减，
因为，所以
因为可变形为，即，
因为函数为上的偶函数，在上单调递增，在上单调递减，
所以，或，即或，
所以，不等式的解集为
故答案为：
9．已知函数若在区间上存在个不同的数，，，…，，使得成立，则的最大值为______．
【答案】4
【分析】由导数判断单调性后作出图象，数形结合求解
【解析】，
当时，，令，得，
当时，，当时，，
在单调递增，在单调递减，
作出图象，数形结合可得与在最多有4个交点，
故答案为：4


四、解答题
10．已知函数（）．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数在上恰有两个零点，求函数在上的最小值．
【答案】(1)答案不唯一，具体见解析
(2)

【分析】（1）求导，分类讨论导函数的正负即可求解，
（2）根据第一问可知的单调性，进而可判断在上恰有两个零点 ，满足，根据零点存在性定理即可列不等式求解.
【解析】（1）由题意得．   
当时，由，函数在上单调递增．
当时，令,令或
故函数在上单调递减，在和上单调递增．  
当时，令，令或
函数在(k，4)上单调递减，在，上单调递增．
（2）当或时，函数在(0，3)上为单调函数，最多只有一个零点．
当时，函数在(0，k)上单调递增，在(k，3)上单调递减．
要使函数在(0，3)上有两个零点，则需满足：
且 解得．
∴．
又，
∴当时，；当时，．
又 ，∴
11．已知函数的图像在x＝1处的切线与直线垂直．
(1)求的解析式；
(2)若在内有两个零点，求m的取值范围；
(3)若对任意的，不等式恒成立，求实数k的最大值．
【答案】(1)；
(2)；
(3)3

【分析】（1）利用导数的几何意义，求出，即可得出答案；
（2）求出，求出，利用导数研究在上的单调性和最值，列出关于m的不等式组，即可得出答案；
（3）利用分离变量法，分类讨论，构造函数，利用导数研究分别在x＜0，x＞0的单调性和最值，即可得出答案．
【解析】（1），则，
∵函数的图像在x＝1处的切线与直线x+3y﹣1＝0垂直，
∴，即，解得，
∴ ；
（2）由（1）得，则，
则，由得x＝1，
由得，由得，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴当时，取得极小值也是最小值，
要使在内有两个零点，只需满足，即，
解得，
故实数的取值范围为；
（3）对任意的，不等式恒成立，转化为对任意的，恒成立，
①当时，，显然成立，此时；
②当时， 恒成立，
令，则，
∵x＞0，∴恒成立，
由得，由得，由得0＜x＜1，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴当x＝1时，取得极小值也是最小值，且，
∴；
③当时， 恒成立，
令，此时m（x）＜0，
由②得（），令，
，∴在上单调递增，
又，
由零点存在定理得存在，使得，有，
即，由得，由得，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴当时，取得极大值也是最大值，且＝，
∴，
综上所述，实数k的取值范围为，
∴实数k的最大值为3．
12．设，已知函数，和.
(1)若与有相同的最小值，求a的值；
(2)设有两个零点，求a的取值范围.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）分别对两函数求导，求出函数的单调区间，从而可求出函数的最小值，再由两函数的最小值相等，列方程可求出a的值；
（2）由，可得，从而得，则将问题转化为在上有两个零点，则由（1）可得在上有一个零点，所以只要证当时，在上有一个零点即可.
（1）
，，令，则
所以在上单调递减，在上单调递增，则
因为，则的定义域为
，令，则
所以在上单调递减，在上单调递增，则
依题，
所以，
（2）
因为，
令，即，则
即，则
因为在上单调递增，则，
即在上有两个零点，
由（1）可得：，解得：
此时在上有一个零点，
当时，下证在上有一个零点，
取，则
令，则
所以在单调递减，则，即，
因为，令，则，
所以，
令，则，
令，则，
所以在上递增，所以，
所以，则，
所以在上单调递增，则，即，
所以在上有一个零点，
则的取值范围为
【点睛】关键点点睛：此题考查导数有综合应用，考查利用导数求函数的最值，考查利用导数解决函数零点问题，第（2）问解题的关键是将问题转化为在上有两个零点，而当时，在上有一个零点，所以只要再证明函数在上有一个零点即可，考查数转化思想，属于较难题.
13．设函数，，其中为实数.
(1)若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范围；
(2)若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论.
(3)若有两个零点，，证明.
【答案】(1)；
(2)当或时，零点有1个，当时，零点有2个，证明见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）对求导后分离参数，由函数最大值得a范围，利用导数求极小值点，列出不等式即可求a的范围，综上可得解；
（2）转化为函数为与图象交点的个数，利用导数研究函数性质，作出大致图象，数形结合求解；
（3）由题意可转化为求证，构造函数，利用函数单调性即可得证.
（1）
在上是单调减函数，
在上恒成立，即在上恒成立，
当时，，所以.
，
当时，，单调递增，所以在上无最小值，不符合题意；
当时，由，得，当时，；当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，又在上有最小值，所以，即，综上所述，.
（2）
因为在上是单调增函数，所以恒成立，
即在恒成立，
当时，，所以.
由可得，所以的零点个数即为与图象交点的个数，
，当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，所以时，，
又时，，当时，，据此作出的大致图象，如图，

由图可知，当或时，零点有1个，当时，零点有2个.
（3）
不妨设，令，则，
，，，
即证，只需证，即证.
令，则，令，
则，当时，，则在单调递增，
故，即，所以在上单调递增，
所以当时，，
即当时，成立，
所以成立.
【点睛】关键点点睛：第二问关键在于将函数零点问题转化为方程根的问题，再转化为两个函数图象交点个数问题，根据导数求出函数的单调性、极值，作出函数大致图象；第三问证明不等式可将零点代入转化为，，从而双变量问题转化为单变量，然后构造函数，利用导数求证即可.