统考版高中数学（文）复习7-4基本不等式学案

这是一份统考版高中数学（文）复习7-4基本不等式学案，共17页。学案主要包含了必记2个知识点，必明1个常用结论，必练4类基础题等内容，欢迎下载使用。

1．理解基本不等式ab≤a+b2(a，b>0)．
2．结合具体实例，能用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题．
·考向预测·
考情分析：利用基本不等式求最值、证明不等式、求参数的取值范围等仍是高考热点，多出现在解答题的运算中．
学科素养：通过基本不等式求最值的应用，考查数学运算、逻辑推理的核心素养．
积 累 必备知识——基础落实 赢得良好开端
一、必记2个知识点
1．基本不等式：ab≤a+b2
(1)基本不等式成立的条件：________．
(2)等号成立的条件：当且仅当________时取等号．
(3)其中a+b2叫做正数a，b的算术平均数，ab叫做正数a，b的几何平均数．
2．利用基本不等式求最值
已知x>0，y>0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当________时，和x＋y有最________值2p.(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当________时，积xy有最________值p24.(简记：和定积最大)
[提醒] 利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正，二定，三相等”．
二、必明1个常用结论
几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)ba+ab≥2(a，b同号)．
(3)ab≤a+b22 (a，b∈R)．
(4)a2+b22≥a+b22 (a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
三、必练4类基础题
(一)判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与a+b2≥ab成立的条件是相同的．( )
(2)(a＋b)2≥4ab.( )
(3)“x>0且y>0”是“xy+yx≥2”的充要条件．( )
(4)函数y＝sin x＋4sinx，x∈0，π2的最小值为4.( )
(二)教材改编
2．[必修5·P100练习T1改编]当x>1时，x＋1x-1的最小值为________．
3．[必修5·P100练习T2改编]若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.
(三)易错易混
4．(未注意等号成立的条件)当x≥2时，x＋4x+2的最小值为________．
5．(未注意字母的正负号)函数f(x)＝2x2+x+3x(x<0)的最大值为________．
(四)走进高考
6．[2019·天津卷]设x>0，y>0，x＋2y＝5，则x+12y+1xy的最小值为________．
提 升 关键能力——考点突破 掌握类题通法
考点一 利用基本不等式求最值 [综合性]
角度1 配凑法
[例1] (1)已知x>54，则f(x)＝4x－2＋14x-5的最小值为________．
(2)已知0听课笔记：
反思感悟 配凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用配凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：
(1)配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
(2)代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标；
(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．
角度2 常数代换法
[例2] 若正数m，n满足2m＋n＝1，则1m+1n的最小值为( )
A．3＋22 B．3＋2
C．2＋22 D．3
听课笔记：
反思感悟 常数代换法求最值的步骤
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；
(2)把确定的定值(常数)变形为1；
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；
(4)利用基本不等式求解最值.
角度3 消元法
[例3] 已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则
(1)x＋3y的最小值为________；
(2)xy的最大值为________．
听课笔记：
反思感悟 消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决的方法是代入消元后利用基本不等式求解．但应注意保留元的取值范围．
【对点训练】
1．已知函数f(x)＝22x-1＋xx<12，则( )
A．f(x)有最小值52 B．f(x)有最小值－32
C．f(x)有最大值－12 D．f(x)有最大值－32
2．已知x>0，y>0且x＋y＝5，则1x+1+1y+2的最小值为________．
考点二 基本不等式的综合应用 [综合性]
角度1 基本不等式与其他知识交汇的最值问题
[例4] (1)若直线2ax＋by－2＝0(a>0，b>0)平分圆x2＋y2－2x－4y－6＝0，则2a+1b的最小值是( )
A．2－2 B．2－1
C．3＋22 D．3－22
(2)设等差数列{an}的公差为d，其前n项和是Sn，若a1＝d＝1，则Sn+8an的最小值是________．
听课笔记：
反思感悟 基本不等式与函数、数列、解析几何结合的题目，往往先通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．
角度2 求参数值或取值范围
[例5] (1)对任意m，n∈(0，＋∞)，都有m2－amn＋2n2≥0，则实数a的最大值为( )
A．2 B．22
C．4 D．92
(2)[2021·江西吉安期中]设正数x，y满足x＋y＝1，若不等式1x+ay≥4对任意的x，y成立，则正实数a的取值范围是( )
A．[4，＋∞) B．(1，＋∞)
C．[1，＋∞) D．(4，＋∞)
听课笔记：
反思感悟 求参数的值或取值范围时，要观察题目的特点，利用基本不等式确定等号成立的条件，从而得到参数的值或取值范围．
【对点训练】
1．设x>0，y>0，且2x+3y＝1，若3x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－6]∪4，+∞
B．(－∞，－4]∪6，+∞
C．(－6，4)
D．(－4，6)
2．若△ABC的内角满足3sin A＝sin B＋sin C，则cs A的最小值是( )
A．23 B．79 C．13 D．59
考点三 基本不等式的实际应用 [应用性]
[例6] 小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售价格为(25－x)万元(国家规定大货车的报废年限为10年)．
(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？
(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)
听课笔记：
反思感悟 利用基本不等式解决实际问题的步骤
(1)根据题意设出相应变量，一般把要求最值的变量设为函数；
(2)建立相应的函数关系式，确定函数的定义域；
(3)在定义域内，求函数的最值；
(4)回到实际问题中，写出实际问题的答案．
【对点训练】
网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从2019年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式x＝3－2t+1.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是________万元．
微专题27 均值不等式的向量形式 交汇创新
我们知道，a2＋b2≥2ab(a，b∈R)以及a+b2≥ab(a，b∈R＋)是两个应用广泛的均值不等式，一种有趣的想法是：这两个不等式可以类比到向量中去吗？
由(a－b)2＝|a－b|2≥0不难得到a2＋b2≥2a·b，当且仅当a＝b时等号成立．
但将a+b2≥ab(a，b∈R＋)简单地类比为a+b2≥a·b就不行了，由于该不等式左边为向量，右边为数量，故其无意义，因此我们需要调整角度，看能否获得有用的结果．
注意到a+b2≥ab(a，b∈R＋)⇔a+b22≥ab(a，b∈R＋)，而不等式(a＋b)2≥a·b左右两边都是数量，因而可以比较大小．事实上，由(a＋b)2＝(a－b)2＋4a·b＝|a－b|2＋4a·b≥4a·b可得a+b22≥a·b，当且仅当a＝b时等号成立．
这样，我们就得到如下两个结论：
定理1 设a，b是两个向量，则a2＋b2≥2a·b，当且仅当a＝b时等号成立．
定理2 设a，b是两个向量，则a+b22≥a·b，当且仅当a＝b时等号成立．
[例1] 若平面向量a，b满足|2a－b|≤3，则a·b的最小值是________．
解析：方法一 由定理1得
32≥|2a－b|2＝(2a－b)2＝(－2a)2＋b2－4a·b≥2·(－2a·b)－4a·b＝－8a·b，
所以a·b≥－98，当且仅当b＝－2a时等号成立，
故a·b的最小值是－98.
方法二 由定理2得
2a·(－b)≤2a-b22＝2a-b24≤94，
则a·b≥－98，当且仅当b＝－2a时等号成立．
故a·b的最小值是－98.
答案：－98
说明 本题可推广至一般形式：若平面向量a，b满足：|λa＋b|≤m(m>0)，则当λ>0时，a·b的最大值为m24λ；当λ<0时，a·b的最小值为m24λ.
[例2] 已知a，b满足|a|＝1，(a＋b)·(a－2b)＝0，则|b|的最小值为________．
解析：引入正参数λ，
由(a＋b)·(a－2b)＝0得a2－a·b－2b2＝0，又|a|＝1，则1－2b2＝a·b，
1－2b2＝a·b≤12λa2+1λb2＝12λ+1λb2，
当且仅当λa2＝1λb2，即b2＝λ2时等号成立．
所以1－2λ2＝a·b≤12λa2+1λb2＝12λ+1λ·λ2，
解得λ＝|b|≥12，
故|b|的最小值为12.
答案：12
[例3] 已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，求|c|的最大值．
解析：由(a－c)·(b－c)＝0得
c2＝c·(a＋b)，
由定理1及已知条件得
c2＝c·(a＋b)≤12[c2＋(a＋b)2]
＝12(c2＋a2＋b2)＝12(c2＋2)，
解得|c|2≤2，故|c|的最大值是2.
拓展1 已知a，b是平面内夹角为θ的两个单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是1csθ2.
拓展2 已知a，b是平面内两个互相垂直的向量，且|a|＝m，|b|＝n，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是 m2+n2.
[例4] 平面上三点A，B，C满足AB·BC>0，求AC2＋1AB·BC的最小值．
解析：由定理2得0则AC2＋1AB·BC≥AC2＋4AC2＝|AC|2＋4AC2≥2·|AC|·2AC＝4，
故当且仅当AB＝BC，且|AC|＝2时，AC2＋1AB·BC取得最小值4.
[例5] 设a，b满足a2＋a·b＋b2＝3，求a2－a·b＋b2的取值范围．
解析：由定理1得a·b≤a2+b22，
所以a·b≤3-a·b2，
解得a·b≤1.
又由定理1得(－a)·b≤-a2+b22，
所以a·b≥－a2+b22＝－3-a·b2，
解得a·b≥－3.
所以－3≤a·b≤1.
因为a2－a·b＋b2＝(3－a·b)－a·b＝3－2a·b，
所以1≤a2－a·b＋b2≤9.
名师点评 以上五道例题从不同角度为我们初步展示了定理1、定理2的魅力，它们微小平凡，对破解难题却极其有效．不过，追求它们更广泛的应用前景固然让人心动，但更有价值的则是获得它们的思维过程．类比是打开发现之门的金钥匙，但如何用好这把钥匙却值得我们长久的思考．
第四节 基本不等式
积累必备知识
一、
1．(1)a>0，b>0 (2)a＝b
2．(1)x＝y 小 (2)x＝y 大
三、
1．答案：(1)× (2)√ (3)× (4)×
2．解析：当x>1时，x＋1x-1＝x－1＋1x-1＋1≥2x-1×1x-1＋1＝3，
当且仅当x－1＝1x-1，即x＝2时等号成立．
答案：3
3．解析：设一边长为x m，则另一边长可表示为(10－x) m，由题意可知0则面积S＝x(10－x)≤x+10-x22＝25，
当且仅当x＝10－x，即x＝5时等号成立，
故当矩形的长与宽相等，且都为5 m时面积取到最大值25 m2.
答案：25
4．解析：设x＋2＝t，则x＋4x+2＝t＋4t－2.
又由x≥2得t≥4，而函数y＝t＋4t－2在[4，＋∞)上是增函数，因此当t＝4时，t＋4t－2即x＋4x+2取得最小值，最小值为4＋44－2＝3.
答案：3
5．解析：因为x<0，所以f(x)＝2x2+x+3x＝2x＋3x＋1＝－(－2x＋3-x)＋1≤－2-2x·3-x＋1＝1－26，当且仅当－2x＝3-x，即x＝－62时，等号成立，所以f(x)的最大值为1－26.
答案：1－26
6．解析：x+12y+1xy＝2xy+x+2y+1xy＝2xy+6xy≥22xy·6xy＝43，当且仅当xy＝3，即x＝3，y＝1时等号成立．故所求的最小值为43.
答案：43
提升关键能力
考点一
例1 解析：(1)∵x>54，∴4x－5>0，
∴f(x)＝4x－2＋14x-5
＝(4x－5)＋14x-5＋3
≥2 4x-5·14x-5＋3
＝2＋3＝5
当且仅当4x－5＝14x-5，即x＝32时取等号，所以f(x)的最小值为5.
解析：(2)x(3－2x)＝12·2x(3－2x)≤122x+3-2x22＝98，
当且仅当2x＝3－2x，即x＝34时取等号．
答案：(1)5 (2)98
例2 解析：因为2m＋n＝1，
则1m+1n＝1m+1n·(2m＋n)＝3＋nm＋2mn≥3＋2nm·2mn＝3＋22，
当且仅当n＝2m，即m＝2-22，n＝2－1时等号成立，
所以1m+1n的最小值为3＋22，故选A.
答案：A
例3 解析：(1)方法一 (换元消元法)
由已知得9－(x＋3y)＝13·x·3y≤13·x+3y22，当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号．
即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0，
令x＋3y＝t，则t>0且t2＋12t－108≥0，
得t≥6，即x＋3y的最小值为6.
方法二 (代入消元法)
由x＋3y＋xy＝9，得x＝9-3y1+y，
所以x＋3y＝9-3y1+y＋3y＝9-3y+3y1+y1+y
＝9+3y21+y＝31+y2-61+y+121+y
＝3(1＋y)＋121+y－6≥231+y·121+y－6＝12－6＝6，
当且仅当3(1＋y)＝121+y，即y＝1，x＝3时取等号，
所以x＋3y的最小值为6.
(2)方法一 9－xy＝x＋3y≥23xy，
∴9－xy≥23xy，
令xy＝t，∴t>0，
∴9－t2≥23t，即t2＋23t－9≤0，
解得0∴xy≤3，∴xy≤3，
当且仅当x＝3，即x＝3，y＝1时取等号，
∴xy的最大值为3.
方法二 ∵x＝9-3y1+y，
∴x·y＝9-3y1+y·y＝9y-3y21+y
＝-3y+12+15y+1-12y+1
＝－3(y＋1)－12y+1＋15≤－23y+1·12y+1＋15＝3.
当且仅当3(y＋1)＝12y+1，即y＝1，x＝3时取等号．
∴xy的最大值为3.
答案：(1)6 (2)3
对点训练
1．解析：∵x<12，
∴12－x>0，f(x)＝22x-1＋x，＝1x-12＋x－12+12
＝－112-x+12-x+12≤－2＋12＝－32，
当且仅当112-x＝12－x，即x＝－12时取等号，故f(x)有最大值－32.
答案：D
2．解析：令x＋1＝m，y＋2＝n，
∵x>0，y>0，∴m>0，n>0，
则m＋n＝x＋1＋y＋2＝8，
∴1x+1+1y+2＝1m+1n＝1m+1n×18(m＋n)＝18nm+mn+2≥18(21＋2)＝12.
当且仅当nm＝mn，即m＝n＝4时等号成立．
∴1x+1+1y+2的最小值为12.
答案：12
考点二
例4 解析：(1)直线平分圆，即直线过圆的圆心，由题意可知圆心坐标(1，2)．
则2a＋2b－2＝0，即a＋b＝1
所以2a+1b＝(2a+1b)(a＋b)＝3＋(2ba+ab)≥3＋22
当且仅当2ba＝ab，即b＝2－1，a＝2－2时取等号．
解析：(2)an＝a1＋(n－1)d＝n，Sn＝n1+n2，
所以Sn+8an＝n1+n2+8n＝12n+16n+1≥12(2n·16n＋1)＝92，
当且仅当n＝16n，即n＝4时取等号，
所以Sn+8an的最小值是92.
答案：(1)C (2)92
例5 解析：(1)∵对任意m，n∈(0，＋∞)，都有m2－amn＋2n2≥0，
∴m2＋2n2≥amn，即a≤m2+2n2mn＝mn+2nm恒成立，
∵mn+2nm≥2mn·2nm＝22，当且仅当mn＝2nm，即m＝2n时取等号，∴a≤22，故实数a的最大值为22，故选B.
(2)∵x＋y＝1, 且x>0，y>0，a>0，∴1x+ay＝(1x+ay)(x＋y)＝a＋1＋yx+axy≥a＋1＋2a，
∴a＋2a＋1≥4，即a＋2a－3≥0，解得a≥1，故选C.
答案：(1)B (2)C
对点训练
1．解析：∵2x+3y＝1，
∴3x＋2y＝(3x＋2y)2x+3y＝12＋4yx+9xy
≥12＋24yx×9xy＝24，
当且仅当x=4，y=6时取等号，
∴m2＋2m<24，
∴－6答案：C
2．解析：由题意结合正弦定理有3a＝b＋c，结合余弦定理可得
cs A＝b2+c2-a22bc＝b2+c2-b+c322bc
＝89b2+89c2-29bc2bc＝89b2+89c22bc-19
≥2× 89 b ×8 9 c 2bc-19＝79.
当且仅当b＝c时等号成立．
综上可得，cs A的最小值是79.
答案：B
考点三
例6 解析：(1)设大货车运输到第x年年底，该车运输累计收入与总支出的差为y万元，
则y＝25x－[6x＋x(x－1)]－50＝-x2＋20x－50(0由－x2＋20x－50>0，可得10－52因为2<10－52<3，
所以大货车运输到第3年年底该车运输累计收入超过总支出．
(2)因为利润＝累计收入＋销售收入－总支出，
所以二手车出售后，
小王的年平均利润为y+25-xx＝19－x+25x≤19－225＝9，
当且仅当x＝25x，即x＝5时，等号成立，
所以小王应当在第5年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大．
对点训练
解析：由题意知t＝23-x－1(1当且仅当x＝114时取等号，即最大月利润为37.5万元．
答案：37.5