单元复习02 常用逻辑用语【过习题】（分级培优练）- 2022-2023学年高一数学单元复习（苏教版2019必修第一册）

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单元复习02 常用逻辑用语
01 命题及其否定
一、单选题
1．给出下列语句：①x>1．②3比5大．③这是一棵大树．④求证：3是无理数．⑤二次函数的图象太美啦！⑥4是集合1,2,3,4中的元素．其中是命题的个数为（       ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】根据命题的定义逐个分析判断即可.
【解析】命题是指可以判断真假的陈述句，所以②⑥是命题，
①不能判断真假，不是命题；
③“大树”没有界定标准，不能判断真假，不是命题；
④是祈使句，不是命题；
⑤是感叹句，不是命题．
故选：A
2．命题：“若|x|+|y|=0，则x=0或y=0”的逆否命题是（       ）
A．若|x|+|y|=0，则x=0且y≠0 B．若x+y≠0，则x≠0或y≠0
C．若x=0且y=0，则x+y≠0 D．若x≠0且y≠0，则x+y≠0
【答案】D
【分析】由逆否命题的定义判断即可.
【解析】命题：“若|x|+|y|=0，则x=0或y=0”的逆否命题是若x≠0且y≠0，则x+y≠0
故选：D
3．命题“∃x>0，x2-2x+3<0”的否定是（       ）
A．∃x≤0，x2-2x+3<0 B．∀x≤0，x2-2x+3<0
C．∃x>0，x2-2x+3≥0 D．∀x>0，x2-2x+3≥0
【答案】D
【分析】将特称命题否定为全称命题即可.
【解析】命题“∃x>0，x2-2x+3<0”的否定是“∀x>0，x2-2x+3≥0”，
故选：D
4．设a、b、c∈R，下列四个命题中真命题的是（       ）
A．“若a2+b2=0，则ab=0” 的否命题 B．“若a>b，则a2>b2” 的逆否命题
C．若a-1b-2=0，则a=1且b=2 D．“若a>b，则ac2>bc2”的逆命题
【答案】D
【分析】对于AB，举例判断，对于C，直接解方程，对于D，由不等式的性质判断
【解析】对于A，命题“若a2+b2=0，则ab=0”的否命题为““若a2+b2≠0，则ab≠0”，若a=0,b=1，则ab=0，所以A错误，
对于B，命题“若a>b，则a2>b2” 的逆否命题为“若a≤b，则a2≤b2” ，若a=-2,b=1，则a2=4>b2=1，所以B错误，
对于C，若a-1b-2=0，则a=1或b=2，所以C错误，
对于D，“若a>b，则ac2>bc2”的逆命题为“若ac2>bc2，则a>b”，因为ac2>bc2，所以c2>0，所以a>b，所以D正确，
故选：D
5．已知命题p:∃x∈R,x2+2x+1-a=0为真命题，则实数a的值不能是（       ）
A．1 B．0 C．3 D．-3
【答案】D
【分析】由题意求出a的取值范围，判断选项
【解析】由题意得，Δ=4-4(1-a)≥0，解得a≥0
故选：D
6．在实数集R中定义一种运算“*”，具有以下三条性质：（1）对任意a∈R，0*a=a；（2）对任意a，b∈R，a*b=b*a；（3）对任意a，b，c∈R，a*(b*c)=c*(ab)+(a*c)+(b*c)-2c.给出下列三个结论：
①2*(0*2)=0；
②对任意a，b，c∈R，a*(b*c)=b*(c*a)；
③存在a，b，c∈R，(a+b)*c≠(a*c)+(b*c)；
其中，所有正确结论的序号是（       ）
A．② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】C
【分析】根据新运算的性质化简2*(0*2)判断①，将②等式两边展开判断是否相等，将a=b=0且c≠0代入③，根据运算性质化简等号两侧即可判断.
【解析】①2*(0*2)=2*(2*0)=0*4+2*0+2*0-0=4+2+2=8，错误；
②a*(b*c)=c*(ab)+(a*c)+(b*c)-2c，而b*(c*a)=b*(a*c)=c*(ab)+(b*c)+(a*c)-2c，故a*(b*c)=b*(c*a)，正确；
③当a=b=0且c≠0时，(a+b)*c=0*c=c，而(a*c)+(b*c)=(0*c)+(0*c)=2c，显然(a+b)*c≠(a*c)+(b*c)成立，正确.
故选：C

二、多选题
7．下列命题为真命题的是（       ）
A．集合{x|x2+2x+1=0}有两个子集
B．若a∈N，则-a∉N
C．集合{x∈Q|12x∈N}里面有6个元素
D．平面直角坐标系中第二、四象限的点的集合可以表示为{(x,y)|xy<0}
【答案】AD
【分析】A解方程根据解集元素的个数判断正误即可；B当a=0∈N出现矛盾；C注意集合中的分数，若x∈N时集合有6个元素，而x∈Q有无数个元素；D根据点在二、四象限的横纵坐标的符号即可判断正误.
【解析】A：{x|x2+2x+1=0}={1}，则有2个子集，正确；
B：当a=0∈N，则-a=0∈N，故错误；
C：{x∈Q|12x∈N}的自然数元素有1,2,3,4,6,12，而12,13,...∈{x∈Q|12x∈N}，共有无数个元素，错误；
D：若点坐标为(x,y)，第二象限的点有x<0,y>0，第四象限的点有x>0,y<0，故第二、四象限的点的集合可以表示为{(x,y)|xy<0}，正确.
故选：AD
8．下列说法正确的是（       ）
A．命题“∀x∈R,x2>-1”的否定是“∃x∈R,x2<-1”
B．命题“∃x∈-3,+∞,x2≤9”的否定是“∀x∈-3,+∞,x2>9”
C．“x2>y2”是“x>y”的必要而不充分条件；
D．“关于x的不等式mx2-mx+12>0对任意x∈R恒成立”的充要条件是“0≤m<2”
【答案】BD
【分析】根据全称命题和特称命题互为否定，即可判断选项A，B是否正确；根据x2>y2⇔x>y即可判断选项C是否正确；根据m=0和m≠0两种情况，结合二次函数的性质，即可判断D是否正确.
【解析】对于选项A：命题“∀x∈R,x2>-1”的否定是“∃x∈R,x2≤-1”故A错误．
对于选项B：命题“∃x∈-3,+∞,x2≤9”的否定是“∀x∈-3,+∞,x2>9”故B正确．
对于选项C：因为x2>y2⇔x>y，所以“x2>y2”是“x>y”的既不必要又不充分条件，故C错误．
对于选项D：当m=0时，显然成立；当m≠0时，关于x的不等式mx2-mx+12>0对任意x∈R恒成立，则m>0Δ=m2-2m<0，即00对任意x∈R恒成立”的充要条件是“0≤m<2”，故D正确．
故选：BD．

三、填空题
9．已知下列三个论断：①a是正数，②b是负数，③a+b是负数．选择其中两个作为条件，一个作为结论，写出一个真命题：__________________．
【答案】若a是正数且a+b是负数，则b是负数．
【分析】共有3个命题，只有一个正确的命题，即得解.
【解析】解：如果a是正数且a+b是负数，则b一定是负数．
故答案为：若a是正数且a+b是负数，则b是负数．
10．命题“若x>1，则x≥1”是____________命题（填“真”或“假”其中一个）.
【答案】真
【分析】直接利用两数集的关系判断即可
【解析】因为当x>1时，x≥1一定成立，
所以此命题为真命题，
故答案为：真
11．命题“如果x>2，那么x≥2”的否命题是___________.
【答案】如果x≤2，那么x<2
【分析】将条件和结论同时否定即可.
【解析】命题“如果x>2，那么x≥2”的否命题是 “如果x≤2，那么x<2”.
故答案为：如果x≤2，那么x<2
12．下列命题正确的有：________.
①13m4⋅m=m-23；
②已知x,y∈R，若|x+y|=|x|+|y|，则xy≥0.
③用反证法证明“已知x,y∈R，且x2+y2=0，求证：x=y=0.”时，应假设“x≠0且y≠0”；
④命题“若x2-3x+2=0，则x=1”的逆否命题是“若x≠1，则x2-3x+2≠0”.
【答案】①②④
【分析】根据指数幂的运算即可判断①是否正确；对|x+y|=|x|+|y|两边平方化简整理，即可判断②是否正确；根据命题的否定写法即可判断③是否正确；根据逆否命题的概念即可判断④是否正确.
【解析】对于①，13m4⋅m=13m4⋅m12=1m9213=1m32=m-23，故①正确；
对于②，若|x+y|=|x|+|y|，两边平方，可得xy=|xy|，所以xy≥0；故②正确；
对于③，用反证法证明“已知x,y∈R，且x2+y2=0，求证：x=y=0.”时，应假设“x≠0或y≠0”；故③错误；
对于④，命题“若x2-3x+2=0，则x=1”的逆否命题是“若x≠1，则x2-3x+2≠0”.故④正确.
故答案为：①②④.

四、解答题
13．指出下列各组命题中，p是q的什么条件？q是p的什么条件？
(1)p：a∈A∩B，q：a∈A∪B；
(2)p：x>1或x<-1；q：x<-1；
(3)p：a能被6整除，q：a能被3整除．
【答案】(1)p是q的充分非必要条件，q是p的必要非充分条件
(2)p是q的必要非充分条件，q是p的充分非必要条件
(3)p是q的充分非必要条件，q是p的必要非充分条件

【分析】（1）根据集合的交、并运算以及利用充分条件、必要条件的定义即可得出结果.
（2）由利用充分条件、必要条件的定义即可得出结果.
（3）由利用充分条件、必要条件的定义即可得出结果.
(1)
若a∈A∩B，可以推出a∈A∪B，反之不一定成立，
即p⇒ q，q⇏p.
所以p是q的充分非必要条件，q是p的必要非充分条件     p，
(2)
x>1或x<-1，推不出x<-1，反之成立，
即p⇏q，q⇒p，
所以p是q的必要非充分条件，q是p的充分非必要条件
(3)
a能被6整除，推出a能被3整除，反之不一定成立，
即p⇒ q，q⇏p.
所以p是q的充分非必要条件，q是p的必要非充分条件.
14．判断下列两个命题的真假，并写出这两个命题的否定.
(1)命题p:存在整数x，使得x<4；
(2)命题q:∀x∈R，x-6x+8>0.
【答案】(1)命题p是真命题，p的否定：对任意整数x，x≥4恒成立；
(2)命题q是假命题，q的否定：∃x∈R，x-6x+8≤0.

【分析】（1）取x=3可判断命题p的真假，利用特称命题的否定可得出命题p的否定；
（2）取x=2可判断命题q的真假，利用全称命题的否定可得出命题q的否定.
(1)
解：当x=3时，3<4，则命题p是真命题，
p的否定：对任意整数x，x≥4恒成立.
(2)
解：当x=2时，x-6x+8=-2<0，则命题q是假命题，
q的否定：∃x∈R，x-6x+8≤0.
15．已知命题A“∃x∈R,x2+(a-1)x+1<0”．
(1)写出命题A的否定；
(2)若命题A是假命题，求出实数a的取值范围．
【答案】(1)∀x∈R，x2+(a-1)x+1⩾0
(2)-1⩽a⩽3

【分析】（1）特称命题的否定为全称命题
（2）由题设知∀x∈R，x2+(a-1)x+1⩾0，即Δ=(a-1)2-4⩽0，由此能求出实数a的取值范围．
(1)
命题A的否定：∀x∈R，x2+(a-1)x+1⩾0
(2)
∵∃x∈R，x2+(a-1)x+1<0为假命题，
∴∀x∈R，x2+(a-1)x+1⩾0，
即Δ=(a-1)2-4⩽0，
解得-1⩽a⩽3

02 充要条件
一、单选题
1．下列p是q的必要条件的是（       ）
A．p：a＝1，q：|a|＝1
B．p：－1 C．p：a D．p：a>b，q：a>b＋1
【答案】D
【分析】根据必要条件的定义,对每一选项进行依次判断即可.
【解析】满足p是q的必要条件，即q⇒p
对A，a=1，则a=±1,不能得出a=1；不满足题意.
对B，a<1,不能得出-1 对C，a 对D，a>b+1,即a-b>1 ，则可得出a-b>0，即能得出a>b
所以此时p是q的必要条件，满足题意.
故选:D．
2．使“x≤－12或x≥3”成立的一个充分不必要条件是（       ）
A．x＜0 B．x≥0
C．x∈{－1， 3， 5} D．x≤－12或x≥3
【答案】C
【分析】利用充分不必要条件的概念即得.
【解析】对于A，x<0不能推出x≥3或x≤-12，反之也不能，是其既不充分也不必要条件；
对于B，x≥0不能推出x≥3或x≤-12，反之也不能，是其既不充分也不必要条件；
对于C，x∈-1,3,5可以推出x≥3或x≤-12，反之不能，是其充分不必要条件；
对于D，x≤-12或x≥3，是其充要条件
故选：C.
3．集合A，B的关系如图所示，则x∈A是x∈B的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据韦恩图判断集合间的包含关系，进而判断题设条件的充分、必要关系.
【解析】由韦恩图知：A⊂≠B，
∴x∈A是x∈B的充分不必要条件.
故选：A
4．设P､Q是非空集合，命题甲为：P∩Q=P∪Q；命题乙为：P ⊆ Q，那么甲是乙的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由P∩Q =P∪Q ⇒P=Q⇒P⊆ Q，反之不成立，即可得结论.
【解析】解：∵P∩Q =P∪Q ⇒P=Q⇒P⊆ Q，反之P⫋ Q时，P∩Q≠P∪Q，
∴甲是乙的充分不必要条件，
故选：A.
5．若命题p：(x+y)(x-y)=0，q：x=y，则p是q的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可；
【解析】解：由(x+y)(x-y)=0得x+y=0或x-y=0，即x=-y或x=y，所以由x=y能够得到(x+y)(x-y)=0，由(x+y)(x-y)=0得不到x=y，即p推不出q，q推得出p，所以p是q的必要不充分条件；
故选：B
6．设U=R，已知两个非空集合，P，Q满足CUP∪Q=R，则下列说法正确的是（       ）
A．“x∈P”是“x∈Q”的充分条件
B．“x∈P”是“x∈Q”的必要条件
C．“x∈P”是“x∈Q”的充要条件
D．“x∈P”既不是“x∈Q”的充分条件也不是“x∈Q”的必要条件
【答案】A
【分析】根据题意，可以判断P是Q的子集，从而得出x∈P是x∈Q的充分条件.
【解析】解：因为U=R，非空集合P，Q满足CUP∪Q=R，
所以P是Q的子集，即P⊆Q，
所以x∈P是x∈Q的充分条件，
故选：A.
7．已知a>0，设p：-a≤x≤3a；q：-1 A．{a|1 C．{a|0 【答案】C
【分析】根据充分不必要条件的定义求得参数取值范围即可.
【解析】因为p是q的充分不必要条件，所以-a>-1，3a<6，a>0．解得0 故选：C
8．设集合U=x,yx∈R,y∈R，若集合A=x,y2x-y+m>0,m∈R，B=x,yx+y-n≤0,n∈R，则2,3∈A∩∁UB的充要条件是（       ）
A．m>-1，n<5 B．m<-1，n<5
C．m>-1，n>5 D．m<-1，n>5
【答案】A
【分析】先根据集合的运算，求得A∩∁UB=x,y2x-y+m>0x+y-n>0，结合2,3∈A∩∁UB，列出不等式组，即可求解.
【解析】由题意，可得A∩∁UB=x,y2x-y+m>0x+y-n>0，
因为2,3∈A∩∁UB，所以2×2-3+m>02+3-n>0，解得m>-1,n<5，反之亦成立，
所以2,3∈A∩∁UB的充要条件是m>-1,n<5．
故选：A．

二、多选题
9．已知R是实数集，集合A=x1 A．x∈A是x∈B的充分不必要条件 B．x∈A是x∈B的必要不充分条件
C．x∈∁RA是x∈∁RB的充分不必要条件 D．x∈∁RA是x∈∁RB的必要不充分条件
【答案】AD
【分析】
根据题意得到AÜB，且∁RBÜ∁RA，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【解析】由题意，集合A=x1 可得AÜB，且∁RBÜ∁RA，
所以x∈A是x∈B的充分不必要条件，且x∈∁RA是x∈∁RB的必要不充分条件成立.
故选：AD.
10．已知p是r的充分条件而不是必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件.下列命题中正确的是（       ）
A．s是q的充要条件
B．p是q的充分条件而不是必要条件
C．r是q的必要条件而不是充分条件
D．¬p是¬s的必要条件而不是充分条件
【答案】ABD
【分析】根据充分不必要条件、充分条件、必要条件的定义进行求解即可.
【解析】将四个条件写成：p⇒r，且r不能推出p；q⇒r；r⇒s；s⇒q，所以q⇒r⇒s，所以s⇔q，故A正确；p⇒r⇒s⇒q,q⇒r不能推出p，故B正确；r⇒s⇒q，又q⇒r，故r是q的充要条件，故C错误；由p⇒r⇒s，可得¬ s ⇒ ¬ p，由s⇒q⇒r不能推出p，可得¬ p不能推出¬ s，故D正确.
故选：ABD

三、填空题
11．已知a∈R,，且“x>a”是“x2>2x”的充分不必要条件，则a的取值范围是___________.
【答案】[2,+∞)
【分析】先确定x2>2x的充要条件，再由充分不必要条件的定义求解，
【解析】x2>2x等价于x<0或x>2，
而且“x>a”是“x2>2x”的充分不必要条件，则a≥2．
故答案为：[2,+∞)．
12．已知集合A=x|x<-1，或x>2}，B=x|2a≤x≤a+3，若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，则实数a的取值范围是___________．
【答案】-∞,-4∪1,+∞
【分析】根据充分条件和必要条件的概念可得集合A与B的包含关系，画出数轴即可得不等式组从而求出a的范围．
【解析】∵“x∈A”是x∈B”的必要条件，∴B⊆A，
当B=∅时，2a>a+3，则a>3；
当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，

由图可知a+3>2aa+3<-1或a+3>2a2a>2，解得a<-4或1 综上可得，实数a的取值范围为-∞,-4∪1,+∞．

四、解答题
13．下列各题中，p是q的什么条件？
(1)p:a>b，q:a>b+1；
(2)p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形；
(3)p:x=1或x=2，q:x-1=x-1；
(4)p:m<-1，q:x2-x-m=0无实根．
【答案】(1)p是q的必要不充分条件；
(2)p是q的必要不充分条件；
(3)p是q的充要条件；
(4)p是q的充分不必要条件．

【分析】（1）由q⇒p，反之不成立，即可判断出关系；
（2）利用矩形的对角线的性质即可判断出结论；
（3）解出x-1=x-1，即可判断出结论；
（4）若方程x2-x-m=0无实根，则Δ<0，解得m范围即可判断出结论．
(1)
解：∵a>b推不出a>b+1
而a>b+1⇒a>b
∴p是q的必要不充分条件．
(2)
解：∵四边形的对角线相等推不出四边形是矩形，
而四边形是矩形⇒四边形的对角线相等，
∴p是q的必要不充分条件．
(3)
解：由x-1=x-1，x-1⩾0，化为：(x-1)(x-2)=0，解得x=1或x=2，
∴x=1或x=2⇔x-1=x-1，
∴p是q的充要条件．
(4)
解：若方程x2-x-m=0无实根，
则Δ=1+4m<0，即m<-14．
∵m<-1⇒m<-14，
而m<-14推不出m<-1，
∴p是q的充分不必要条件．
14．已知命题α：1≤x≤2，命题β：1≤x≤a．
(1)若α是β必要非充分条件，求实数a的取值范围；
(2)求证：a≥2是α⟹β成立的充要条件．
【答案】(1){a|a＜2}
(2)证明见解析

【分析】（1）设A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a}，由α是β必要非充分条件，得到B是A的真子集，分类讨论，求出实数a的取值范围；
（2）分别证明充分性和必要性即可．
【解析】解：（1）设A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a}，
若α是β必要非充分条件，则B是A的真子集，
当B＝∅时，a＜1，此时满足B是A的真子集，符合题意，
当B≠∅时，若B是A的真子集，则a≥1a＜2，解得1≤a＜2，
综上所述实数a的取值范围为{a|a＜2}，
证明：（2）充分性（若a≥2，则α⟹β）．
若a≥2，则{x|1≤x≤2}⊆{x|1≤x≤a}，
所以命题α：1≤x≤2可得出命题β：1≤x≤a，故充分性成立，
必要性（若α⟹β，则a≥2）．
若命题α：1≤x≤2可得出命题β：1≤x≤a，
则{x|1≤x≤2}⊆{x|1≤x≤a}，所以a≥2，故必要性成立，
综上所述：a≥2是α⟹β成立的充要条件．
15．设集合A=x-10}．
(1)若a=2，求A∪B，A∩B；
(2)设命题p:x∈A，命题q:x∈B，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
【答案】(1)A∪B=x-1 (2)0,1

【分析】（1）代入a=2，得集合B，利用交集与并集的定义求解；
（2）由题意判断出B⊊A，因为B≠∅，故根据集合端点满足的条件列式求解即可.
(1)
因为a=2，所以B=x0 (2)
因为p是q成立的必要不充分条件，所以B⊊A.又a>0，故B不为空集，故-1≤2-a,2+a≤3，得0 所以实数a的取值范围0,1.
16．已知集合A={x|x≥1或x≤-4}，集合B={x|0 (1)若C={x|2a (2)已知集合D={x|m≤x≤m+12,x∈R}，若x∈A∩B是x∈D的必要不充分条件，判断实数m是否存在，若存在求m的范围
【答案】(1)a≥12；
(2)存在，1≤m≤32.

【分析】（1）由集合交运算可得A∩B={x|1≤x≤2}，根据集合的包含关系并讨论C是否为空集，列不等式组求参数范围；
（2）由题意D⊂≠(A∩B)，列不等式组求参数m范围.
(1)
由题设A∩B={x|1≤x≤2}，又C⊆(A∩B)，
当C≠∅时，{2a≥11+a≤21+a>2a，可得12≤a<1.
当C=∅时，1+a≤2a，可得a≥1.
综上，a的范围a≥12.
(2)
由题意D⊂≠(A∩B)，而m+12>m，
所以，结合（1）有{m≥1m+12≤2(等号不同时成立)，可得1≤m≤32.
故存在实数m且1≤m≤32.
03 全称量词命题与存在量词命题
一、单选题
1．下列结论中正确的个数是（       ）
①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；
②命题“∀x∈R,x2+1<0”是全称量词命题；
③命题“∃x∈R,x2+2x+1≤0”的否定为“∀x∈R,x2+2x+1≤0”；
④命题“a>b是ac2>bc2的必要条件”是真命题；
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】根据存在量词命题、全称量词命题的概念，命题的否定，必要条件的定义，分析选项，即可得答案.
【解析】对于①：命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，故①错误；
对于②：命题“∀x∈R，x2+1<0”是全称量词命题；故②正确；
对于③：命题p:∃x∈R,x2+2x+1≤0，则¬p:∀x∈R,x2+2x+1>0，故③错误；
对于④：ac2>bc2可以推出a>b，所以a>b是ac2>bc2的必要条件，故④正确；
所以正确的命题为②④，
故选：C
2．命题“∀1≤x≤2，x2-2a≤0”是真命题的一个必要不充分条件是（       ）
A．a≥1 B．a≥3 C．a≥2 D．a≤4
【答案】A
【分析】求出当命题“∀1≤x≤2，x2-2a≤0”是真命题时，实数a的取值范围，结合题意可得出合适的选项.
【解析】命题“∀1≤x≤2，x2-2a≤0”是真命题，则a≥x22max=2，
因此，命题“∀1≤x≤2，x2-2a≤0”是真命题的一个必要不充分条件是a≥1.
故选：A.
3．下列命题正确的是（       ）
A．命题“∀x，y∈R，x2+y2≥0”的否定是“∃x，y∈R，x2+y2<0”
B．“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件
C．命题“∃x∈R，x2+x+1<1”的否定是“∃x∈R，x2+x+1≥1”
D．命题“存在x∈R，使得x2+x+1<0”的否定是“对任意x∈R，均有x2+x+1<0”
【答案】A
【分析】对A，正确；对B，应为充分不必要条件；对C，没改写全称符号；对D，结论没否定.
【解析】对选项A，命题“∀x，y∈R，x2+y2≥0”的否定是“∃x，y∈R，x2+y2<0”，选项A正确；
对选项B，∵x2-5x-6=0，∴x=-1或6，故“x=-1”是“x2-5x-6=0”的充分不必要条件，选项B不正确；
由存在量词命题的否定为全称量词命题知选项C不正确；
对选项D，命题“存在x∈R，使得x2+x+1<0”的否定是“对任意x∈R，均有x2+x+1≥0”，选项D不正确，
故选：A．
4．若命题p：∀x∈R，x2+x+1>0；命题q：∃x∈1,2，x2-1<0，则（       ）
A．p真q真 B．p真q假 C．p假q真 D．p假q假
【答案】B
【分析】判断每一个命题的真假，即得解.
【解析】对命题p：∀x∈R，x2+x+1>0，因为x2+x+1=x+122+34>0，故命题p是真命题；
对命题q：∃x∈1,2，x2-1<0，由x2-1<0，解得-1 故选：B.
5．若命题“∀x∈R，使得ax2-(a-1)x-1≤0”是真命题，则实数a的取值集合是（       ）
A．-1,0 B．-1 C．-1,0 D．∅
【答案】B
【分析】讨论a=0时是否符合题意，当a≠0时，不等式恒成立的等价条件为a<0且Δ≤0即可求解.
【解析】当a=0时，ax2-(a-1)x-1≤0等价于x-1≤0不满足对于∀x∈R恒成立，不符合题意；
当a≠0时，若ax2-(a-1)x-1≤0对于∀x∈R恒成立，
则a<0Δ=a-12-4a×-1≤0即a<0a+12≤0可得：a=-1，
综上所述：实数a的取值集合是-1，
故选：B.
6．已知命题p：∃x∈R，x2-x+1≥0；命题q：若a2 A．p∧q B．p∧¬q C．¬p∧q D．¬p∧¬q
【答案】B
【分析】先判断出命题p,q的真假，然后逐项判断含有逻辑联结词的复合命题的真假.
【解析】解：命题p:∃x=0，使x2-x+1≥0成立，故命题p为真命题；
当a=1，b=-2时，a2 故命题p∧q，¬p∧q，¬p∧¬q均为假命题，命题p∧¬q为真命题．
故选：B．
7．若命题p：“∃x∈R，k2-1x2+41-kx+3≤0”是假命题，则k的取值范围是（       ）
A．k1 【答案】B
【分析】首先根据存在量词命题的否定为全称量词命题写出命题的否定，再根据全称量词命题为真求出参数的取值范围．
【解析】解：命题“∃x∈R，(k2-1)x2+4(1-k)x+3⩽0”是假命题，
则命题“∀x∈R，(k2-1)x2+4(1-k)x+3>0”是真命题，
当k=1时，3>0恒成立．
当k=-1时，8x+3>0不恒成立．
当k≠±1时，则k2-1>0Δ=16(1-k)2-12(k2-1)<0，解得1 故k的取值范围为：1⩽k<7，即k1≤k<7．
故选：B．
8．已知a>0，函数y=ax2+bx+c，若m满足关于x的方程2ax+b=0，当x=m时的函数值记为M，则下列选项中的命题为假命题的是（       ）
A．∃x∈R，ax2+bx+c≤M B．∃x∈R，ax2+bx+c≥M
C．∀x∈R，ax2+bx+c≤M D．∀x∈R，ax2+bx+c≥M
【答案】C
【解析】由a>0知抛物线开口向上，x=m是其对称轴，且M为函数的最小值，进而对选项进行判断.
【解析】方程2ax+b=0的解为m=-b2a.由当x=m时的函数记为M知A、B为真命题；
∵a>0，∴函数y=ax2+bx+c在x=-b2a=m处取得最小值.
∴M是函数y=ax2+bx+c的最小值，因此D为真命题，C为假命题.
故选：C.
【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定、一元二次函数的最值，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意命题与命题的否定真假性相反.

二、多选题
9．下列有关命题的说法正确的是（       ）
A．命题“若x=1，则x2=1”的逆否命题是真命题；
B．命题“若x=1，则x2=1”的否命题是“若x=1，则x2≠1”
C．命题“∀x>0，都有x2>0”的否定是“∃x>0，使得x2≤0”
D．若p∧q为假命题，则p、q都为假命题
【答案】AC
【分析】利用四种命题的关系，全称命题的否定形式，复合命题的真假判断，判断选项
【解析】A正确，原命题与其逆否命题同真同假，命题“若x=1，则x2=1”是真命题，所以其逆否命题是真命题；
B错误，命题“若x=1，则x2=1”的否命题是“若x≠1，则x2≠1”，不正确；
C正确，命题“∀x>0，都有x2>0”的否定是“∃x>0，使得x2≤0”；
D错误，若p∧q为假命题，则p、q至少有一个为假命题．
故选：AC
10．下列命题中正确的是（       ）
A．已知集合M,P满足命题“∀x1∈M,∃x2∈P,x1-x2=0”为真命题，则M⊆P
B．已知集合M,P满足命题“∀x1∈M,∃x2∈P,x12-x22=0”为真命题，则M⊆P
C．已知集合M满足命题“∃x∈M,x2-x<2”为真命题，则M⊆x-1 D．已知集合M满足命题“∃x∈M,x-1≥1”为假命题，则M⊆x0 【答案】AD
【分析】结合命题的真假性对选项进行分析，由此确定正确选项.
【解析】A， “∀x1∈M,∃x2∈P,x1-x2=0”为真命题，x2=x1,则M⊆P，A正确.
B，“∀x1∈M,∃x2∈P,x12-x22=x1+x2x1-x2=0”为真命题，x2=x1或x2=-x1，所以M,P不一定有包含关系，B错误.
C，“∃x∈M,x2-x<2”为真命题，x2-x-2=x-2x+1<0,-1 D，“∃x∈M,x-1≥1”为假命题，“∀x∈M,x-1<1”为真命题，-1 故选：AD

三、填空题
11．某中学采用小组合作学习模式，高一某班某组王小一同学给组内王小二同学出题如下:若命题“∃x∈R，x2+2x+m≤0”是假命题，求实数m的取值范围. 王小二略加思索，反手给了王小一一道题:若命题“∀x∈R，x2+2x+m>0”是真命题，求实数m的取值范围. 你认为两位同学题中所求实数m的取值范围一致吗?答:___________.(填“一致”或“不一致”)
【答案】一致
【分析】根据全称命题与存在命题的关系，以及命题的否定之间的逻辑关系，即可得到结论.
【解析】根据全称命题与存在性命题的关系，
可得命题“∃x∈R，x2+2x+m≤0”的否定为“∀x∈R，x2+2x+m>0”，
因为命题“∃x∈R，x2+2x+m≤0”是假命题与命题“∀x∈R，x2+2x+m>0”是真命题等价，所以两位同学题中所求实数m的取值范围是一致的.
故答案为：一致.
12．下列四个命题：
①命题“若a=0，则ab=0”的否命题是“若a=0，则ab≠0”；
②若命题p:∃x0∈R,x02+x0+1<0，则¬p:∀x∈R,x2+x+1≥0；
③若¬p是q的充分条件，则p是¬q的必要条件；
④若命题“¬p”与命题“p或q”都是真命题，则命题q一定是真命题．
其中叙述正确的命题是__（填序号）
【答案】②③④
【分析】①写出否命题并进行判断；②根据含一个量词的命题的否定方法：修改量词，否定结论，进行判断；③根据逆否命题同真假，由此得到¬q⇒p并进行判断；④先判断出p的真假，然后根据含逻辑联结词的命题的真假判断出q的真假.
【解析】解：对于①，命题“若a=0，则ab=0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”；所以①不正确；
对于②，若命题p:∃x0∈R,x02+x0+1<0，则¬p:∀x∈R,x2+x+1≥0；满足命题的否定形式，所以②正确；
对于③，若¬p是q的充分条件，其等价命题为¬q⇒p，故p是¬q的必要条件，故③正确；
对于④，若命题“¬p”与命题“p或q”都是真命题，所以p是假命题，则命题q一定是真命题．所以④正确．
故答案为：②③④．
13．已知命题p：“∀x∈1,2，a≥x+1”，命题q：“∃x∈R，2x2+5x+a=0”，p的否定是假命题，q是真命题，则实数a的取值范围是___________.
【答案】3,258
【分析】根据给定的全称量词命题和存在量词命题都是真命题分别求出a的取值范围，再求其公共部分即可得解.
【解析】由∀x∈1,2，a≥x+1得，a≥3，因p的否定是假命题，则p是真命题，于是得a≥3，
因∃x∈R，2x2+5x+a=0，即方程2x2+5x+a=0有实根，则Δ=25-8a≥0，解得a≤258，
又q是真命题，则a≤258，
因此，由p是真命题，q也是真命题，可得3≤a≤258，
所以实数a的取值范围是3,258.
故答案为：3,258
14．已知命题p:∃m∈{m∣-1≤m≤1}，a2-5a+3 【答案】{a|a≤0或a≥5}
【解析】根据命题p为假命题，转化为∀m∈{m∣-1≤m≤1}，a2-5a+3≥m+2恒成立，即可求解.
【解析】因为命题“p:∃m∈{m∣-1≤m≤1}，a2-5a+3 可得命题“¬p:∀m∈{m|-1≤m≤1}，a2-5a+3≥m+2”为真命题，
即∀m∈{m∣-1≤m≤1}，a2-5a+3≥m+2恒成立，
可得a2-5a+3≥3，即a2-5a≥0，解得a≤0或a≥5，
即实数a的取值范围是{a|a≤0或a≥5}.
故答案为：{a|a≤0或a≥5}.
【点睛】本题主要考查了利用命题的真假求解参数的取值范围，其中解答中熟记全称命题与存在性命题的关系，以及恒成立问题的求解方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.

四、解答题
15．对下列含有量词的命题作否定，并判断其真假：
(1)∀x∈R，x2-2x+1≥0；
(2)∃x∈Q，x2=2；
(3)∃x∈R，x2-3=0；
(4)∀x≠0，x+1x∈2,+∞；
(5)任意三角形都有内切圆；
(6)任意两个直角三角形都是相似三角形．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
(4)答案见解析
(5)答案见解析
(6)答案见解析

【分析】（1）利用全称量词命题的否定可写出原命题的否定，利用配方法可判断原命题否定的真假；
（2）利用存在量词命题的否定可写出原命题的否定，解方程x2=2可判断原命题的真假，进可得出其否定的真假；
（3）利用存在量词命题的否定可写出原命题的否定，判断原命题的真假，可得出其否定的真假；
（4）利用全称量词命题的否定可写出原命题的否定，利用特殊值法可判断原命题否定的真假；
（5）利用全称量词命题的否定可写出原命题的否定，直接判断原命题否定的真假；
（6）利用全称量词命题的否定可写出原命题的否定，直接判断原命题否定的真假.
（1）
解：原命题的否定为：∃x∈R，x2-2x+1<0.
因为x2-2x+1=x-12≥0，故原命题的否定为假命题.
（2）
解：原命题的否定为：∀x∈Q，x2≠2.
因为当x2=2时，x=±2，原命题为假命题，原命题的否定为真命题.
（3）
解：原命题的否定为：∀x∈R，x2-3≠0.
当x=±3时，x2-3=0，原命题为真命题，原命题的否定为假命题.
（4）
解：原命题的否定为：∃x≠0，x+1x∈-∞,2.
取x=-1，则x+1x=-2∈-∞,2，原命题的否定为真命题.
（5）
解：原命题的否定为：有些三角形没有内切圆.原命题的否定为假命题.
（6）
解：原命题的否定为：存在两个直角三角形不是相似三角形，原命题的否定为真命题.
16．已知命题p:∀1≤x≤3，都有m≥x，命题q:∃1≤x≤3，使m≥x，若命题p为真命题，命题q的否定为假命题，求实数m的取值范围．
【答案】3,+∞
【分析】根据¬q为假命题，可判断q为真命题，再根据全称量词命题及存在量词命题为真求出参数的取值范围，最后取公共解即可；
【解析】因为¬q为假命题，所以q为真命题，
命题p:∀1≤x≤3，都有m≥x， 为真命题，则m≥xmax，即m≥3
命题q:∃1≤x≤3，使m≥x，为真命题，则m≥xmin，即m≥1
因为命题p、q同时为真命题，所以m≥3m≥1，解得m≥3，
故实数m的取值范围是3,+∞．
17．已知集合A=x-2≤x≤5，B=xm+1≤x≤2m-1，且B≠∅．
(1)若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题q：“∃x∈A，x∈B”是真命题，求实数m的取值范围。
【答案】(1)2≤m≤3
(2)2≤m≤4

【分析】（1）命题p可转化为B⊆A，又B≠∅，列出不等式控制范围，即得解；
（2）命题q可转化为A∩B≠∅，先求解A∩B=∅，且B≠∅时，实数m的范围，再求解对应范围的补集，即得解
（1）
因为命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，所以B⊆A，又B≠∅，
所以m+1≤2m-1m+1≥-22m-1≤5，解得2≤m≤3
（2）
因为B≠∅，所以m+1≤2m-1，得m≥2．
又命题q：“∃x∈A，x∈B”是真命题，所以A∩B≠∅，
若A∩B=∅，且B≠∅时，则2m-1<-2或m+1>5，且m≥2
即m>4
故若A∩B≠∅，且B≠∅时，有2≤m≤4
故实数m的取值范围为2≤m≤4
18．已知a∈R，设p:∀x∈[2,3],(a+1)x-1>0恒成立，命题q:∃x0∈R，使得x02+ax0+1<0.
（1）若p∧q是真命题，求a的取值范围；
（2）若p∧(¬q)为假，p∨(¬q)为真，求a的取值范围.
【答案】（1）(2,+∞)；（2）{a|-2≤a≤12或a>2}.
【分析】（1）由p为真，求得a>-12，由q为真，求得a>2或a<-2，结合p∧q是真命题，得出p,q为真，即可求解；
（2）由p∧(¬q)为假，p∨(¬q)为真，得出p，q同真同假，分类讨论，即可求解.
【解析】（1）若p为真，即p:∀x∈[2,3],(a+1)x-1>0恒成立，
可得2(a+1)-1>03(a+1)-1>0，解得a>-12，
若q为真，即q:∃x0∈R，使得x02+ax0+1<0，
则Δ=a2-4>0，解得a>2或a<-2，
若p∧q是真命题，则p,q为真，可得a>-12a<-2或a>2，所以a>2，
所以a的取值范围(2,+∞).
（2）因为p∧(¬q)为假，p∨(¬q)为真，所以p,(¬q)一真一假，即p，q同真同假，
当p,q都真时，由（1）知a>2，
当p,q都假时，a≤-12-2≤a≤2，即-2≤a≤12，
综上可得-2≤a≤12或a>2，故a的范围为{a|-2≤a≤12或a>2}.
19．已知集合A=x|-1≤x≤2,B=y|y=ax+3,x∈A，C=y|y=2x+3a,x∈A，
（1）若∀y1∈B，∀y2∈C，总有y1≤y2成立，求实数a的取值范围；
（2）若∀y1∈B，∃y2∈C，使得y1≤y2成立，求实数a的取值范围；
【答案】（1）a≥5；（2）a≥-14.
【分析】（1）设y1=ax+3，y2=2x+3a，由题设可得y1max≤y2min，建立不等式组，解之可得答案.
（2）由题设可得y1max≤y2max，建立不等式组，解之可得答案.
【解析】（1）设y1=ax+3，y2=2x+3a，其中-1≤x≤2，
由题设可得y1max≤y2min，即y1max≤3a-2，故-a+3≤-2+3a2a+3≤-2+3a，
解得a≥5.
（2）由题设可得y1max≤y2max，故-a+3≤4+3a2a+3≤4+3a，解得a≥-14.
20．设命题p: ∃x0∈R,ax02-x0+1=0成立；命题q: ∀x∈(0,+∞),x2-ax+1>0成立，如果命题p或q为真命题，命题p且q为假命题，求实数a的取值范围.
【答案】14 【解析】分析：先利用一元二次方程有解得到命题p为真命题对应的数集，再利用一元二次不等式恒成立化简命题q对应的数集，再利用真值表进行判定求解.
详解：对于命题∃x0∈R,ax02-x0+1=0成立，若p为真，
（1）当a=0时，-x0+1=0,x0=1，符合题意，
（2）当a≠0时，∃x0∈R,ax02-x0+1=0⇔ax2-x+1=0在R有解，
⇔Δ=1-4a≥0，得到a≤14,a≠0，
所以，命题p为真，有a≤14 ；
对于命题q：∀x∈(0,+∞),x2-ax+1>0成立⇔∀x∈(0,+∞),a x∈(0,+∞),x+1x≥2,x=1取等号，
对于命题q为真，有a<2，
如果或为真，且为假，则它们两个一真一假，
若真假，则有a≤14且a≥2，得到a∈ϕ，
若假真，则有a>14且a<2，得到14 点睛：在研究一元二次不等式恒成立问题或一元二次方程有解的问题时，若二次项系数含有字母，要注意讨论该字母是否为0，避免漏解..
21．设A为非空集合，令A×A=x,y|x,y∈A，则A×A的任意子集R都叫做从A到A的一个关系(Relation)，简称A上的关系．例如A=0,1,2时，R1={0，2}，R2= A×A，R3=∅，R1={(0，0)，(2，1)}等都是A上的关系．设R为非空集合A上的关系．给出如下定义：
①(自反性)若∀x∈A，有x,x∈R，则称R在A上是自反的；
②(对称性)若∀x,y∈R，有y,x∈R，则称R在A上是对称的；
③(传递性)若∀x,y,y,z∈R，有x,z∈R，则称R在A上是传递的；
如果R同时满足这3条性质，则称R为A上的等价关系．
(1)已知A=0,1,2，按要求填空：
①用列举法写出A×A=______________________；
②A上的关系有____________个(用数值做答)；
③用列举法写出A上的所有等价关系：{(0，0)，(1，1)，(2，2)}，{(0，0)，(1，1)，(2，2)，(0，1)，(1，0)}，{(0，0)，(1，1)，(2，2)，(0，2)，(2，0)}，_______________，_______________，共5个．
(2)设R1和R2是某个非空集合A上的关系，证明：
①若R1，R2是自反的和对称的，则R1∪R2也是自反的和对称的；
②若R1，R2是传递的，则R1∩R2也是传递的．
(3)若给定的集合A有n个元素(n≥4)，A1，A2，．．．，Am2≤m≤n为A的非空子集，满足A1∪A2∪...∪Am=A且两两交集为空集．求证：R=A1×A1∪A2×A2∪...∪(Am×Am)为A上的等价关系．
【答案】(1)①答案见解析；②512；③答案见解析；
(2)①证明见解析；②证明见解析；
(3)证明见解析．

【分析】（1）①根据A×A的定义直接写出；②求出A×A的子集的个数即得；③由等价关系的定义求解；
（2）①根据自反和对称的定义证明；②利用传递的定义证明；
（3）根据定义证明R具有自反性，对称性、传递性．
(1)
①由题意A×A={(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2)}；
②由①知A×A中有9个元素，它的子集个数为29=512，所以A上的关系有512个；
③A上的所有等价关系：{(0，0)，(1，1)，(2，2)}，{(0，0)，(1，1)，(2，2)，(0，1)，(1，0)}，{(0，0)，(1，1)，(2，2)，(0，2)，(2，0)}，{(0，0)，(1，1)，(2，2)，(1，2)，(2，1)}，{(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2)}，共5个．
(2)
①因为R1，R2是在A上自反的，所以∀x∈A，(x,x)∈R1，(x,x)∈R2，因此(x,x)∈R1∪R2，所以R1∪R2是自反的，
设(x,y)∈R1∪R2，则(x,y)∈R1或(x,y)∈R2，
因为R1,R2都在A上是对称的册，所以(y,x)∈R1或(y,x)∈R2，从而(y,x)∈R1∪R2，
所以R1∪R2在A上是对称的；
②若R1,R2都是传递的，设(x,y)∈R1∩R2，(y,z)∈R1∩R2，
则(x,y)∈R1且(x,y)∈R2，(y,z)∈R1且(y,z)∈R2，
因为R1,R2都是传递的，所以(x,z)∈R1且(x,z)∈R2，从而(x,z)∈R1∩R2，
所以R1∩R2也是传递的；
(3)
①对任意的x∈A，
因为A1，A2，．．．，Am2≤m≤n为A的非空子集，满足A1∪A2∪...∪Am=A且两两交集为空集．则x∈A1或x∈A2，…，或x∈Am，其中有且仅有一个正确，设x∈Ai(i是1,2，…，m中的一个），则(x,x)∈Ai×Ai，
而R=A1×A1∪A2×A2∪...∪(Am×Am)，所以(x,x)∈R，所以R是A上自反的，
②因为A1，A2，…，Am2≤m≤n为A的非空子集，满足A1∪A2∪...∪Am=A且两两交集为空集．所以A1×A1，A2×A2，…，Am×Am的两两交集为空集，
设(x,y)∈R，则(x,y)属于A1×A1，A2×A2，…，Am×Am中的一个集合，设(x,y)∈Ai×Ai（i是1,2，…，m中的一个），则(y,x)∈Ai×Ai，
从而(y,x)∈R=A1×A1∪A2×A2∪...∪(Am×Am)，所以R是A上对称的；
③设(x,y)∈R，(y,z)∈R，由②知(x,y)属于A1×A1，A2×A2，…，Am×Am中的一个集合，设(x,y)∈Ai×Ai（i是1,2，…，m中的一个），(y,z)属于A1×A1，A2×A2，…，Am×Am中的一个集合，设(x,y)∈Ai×Ai（i是1,2，…，m中的一个），
不妨设(x,y)∈Ai×Ai，(y,z)∈Aj×Aj，
所以x,y∈Ai，y,z∈Aj，而A1，A2，．．．，Am2≤m≤n为A的非空子集，满足A1∪A2∪...∪Am=A且两两交集为空集．所以i=j，
即x,y,z∈Ai，从而(x,z)∈Ai×Ai，所以(x,z)∈R，
所以R是A上传递的．
综上，R=A1×A1∪A2×A2∪...∪(Am×Am)为A上的等价关系．
【点睛】本题集合的新定义，集合的新运算．解题关键是正确理解新定义并运用新定义解决问题．证明问题的思路就是根据自反性、对称性、传递性的定义一一检验证明即可．考查了学生的创新意识．