第二十七章 相似【题型专练】——2022-2023学年人教版数学九年级下册单元综合复习（原卷版+解析版）

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第二十七章 相似
考查题型一 相似图形
典例1．（2021·重庆市巴川小班实验中学校九年级阶段练习）观察下列每组图形，是相似图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据相似图形的定义进行判断即可．
【详解】A．两图形形状相同，是相似图形，故A正确；
B．两图形形状不同，不是相似图形，故B错误；
C．两图形形状不同，不是相似图形，故C错误；
D．两图形形状不同，不是相似图形，故D错误．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了相似图形的定义，熟练掌握形状相同的两个图形为相似图形，是解题的关键．
变式1-1．（2022·山西省运城市运康中学校九年级阶段练习）在下列各组图形中，一定相似的是（   ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案．
【详解】解：A．形状不相同，不符合相似图形的定义，此选项不符合题意；
B．形状不相同，不符合相似图形的定义，此选项不符合题意；
C．形状不相同，不符合相似图形的定义，此选项不符合题意；
D．形状相同，但大小不同，符合相似图形的定义，此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是相似图形的定义，即图形的形状相同，但大小不一定相同的两个图形是相似图形，掌握相似图形的定义是解题的关键．
变式1-2．下列每个选项的两个图形，不是相似图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据相似图形的定义，即可求解．
【详解】解：A．形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意；
B．形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意；
C．形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意；
D．形状不相同，不符合相似形的定义，此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是相似形的定义，熟练掌握图形的形状相同，但大小不一定相同的两个图形是相似图形是解题的关键．
变式1-3．（2022·湖南·九年级单元测试）下列图形中，不是相似图形的一组是（   ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据相似图形的定义，对各选项进行一一分析，即可得出结论．
【详解】解：A.两个图形的形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意；
B.两个图形的形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意；
C.两个图形的形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意；
D.形状不相同，不符合相似形的定义，此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了相似图形的定义，掌握相似图形的定义并能结合具体图形进行准确判断是解题的关键．
考查题型二 平行线分线段成比例
典例2．（2022·山东·东营市东营区实验中学九年级阶段练习）如图，，则下列结论不正确的是（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】用平行线分线段成比例定理，可得到比例式，再对各选项逐一判断．
【详解】解：∵，
∴ ， 故A选项不符合题意；
∵，
∴ ， 故B选项不符合题意；
∵，
∴ ，
∴， 故C选项符合题意；
∵，
∴，故D选项不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．熟知该定理是解题的关键．
变式2-1．（2022·安徽安庆·九年级阶段练习）如图，，与交于点，过点作，交线段于点，则下列各式错误的是（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平行线分线段成比例定理一一判断即可．
【详解】解：对A、B选项．∵，，
∴，
∴，，故AB正确，不符合题意；
C．∵，，
∴，故C正确，不符合题意；
D．∵，而，
∴，故D错误，不符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型．
变式2-2．（2022·安徽·合肥市五十中学东校九年级阶段练习）如图，DEBC，EFAB，若AD＝3，BD＝4，CF＝2，则BF的长为（　　）

A． B．2 C． D．3
【答案】A
【分析】根据平行线分线段成比例定理计算即可．
【详解】解：∵DEBC，EFAB，

，
∵
∴，即．
故选：A．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例，掌握这一定理是解题得关键．
变式2-3．（2022·广西·南宁市三美学校九年级阶段练习）如图，直线，直线和被，，所截，如果，，，那么的长是（    ）

A．2 B． C．1 D．
【答案】B
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可．
【详解】解：∵直线，
∴，
∵AB＝2，BC＝3，EF＝2，
∴，
∴DE＝，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，找准对应线段是解题的关键．
考查题型三 由平行截线求线段的长或比值
典例3．（2022·辽宁·鞍山市第二中学九年级阶段练习）如图，在中，，，，，则的长为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】根据平行线分线段成比例定理求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
解得：，
∴．
故选：D
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解本题的关键．平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，截得的对应线段的长度成比例．
变式3-1．（2022·北京市新英才学校九年级阶段练习）如图，在中，，，若，则BC的值为（　　）

A．12 B．10 C．9 D．8
【答案】C
【分析】先根据得出，再根据平行线分线段成比例定理列出比例式，将代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
变式3-2．（2022·江苏·阳山中学九年级阶段练习）如图，在△ABC中，，若AD∶DB=3∶2，AE=6cm，则AC的长为（    ）

A．6cm B．5cm C．4cm D．10cm
【答案】D
【分析】根据平行线分线段成比例，即可求解．
【详解】解∶∵，AD∶DB=3：2，
∴AD∶DB=AE∶EC=3∶2，
∵AE=6cm，
∴6∶EC=3∶2，
∴EC=4cm，
∴AC=AE+EC=10cm．
故选：D
【点睛】本题主要考查了成比例线段，熟练掌握平行线分线段成比例基本事实是解题的关键．
变式3-3．（2022·湖南·长沙市北雅中学模拟预测）如图，在 中，点 是 上一点，过 作 交 于点 ， ， ，则 与 的比是（　　）

A．3：2 B．3：5 C．9：16 D．9：4
【答案】B
【分析】根据平行线分线段成比例定理列式计算即可．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴，
∴ 与 的比是 ，
故选：．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
考查题型四 相似三角形的判定
典例4．（2022·上海·新区川沙新镇江镇中学九年级阶段练习）如图，分别以下列选项作为一个已知条件，不一定能得到△AOB与△COD相似的是（    ）

A． B． C． D．∠BAC＝∠BDC
【答案】A
【分析】根据相似三角形的判定方法对各选项进行判断即可得出答案．
【详解】解：A．若，因为只知道∠AOB＝∠COD，不符合两边及其夹角的判定，不一定能得到△AOB∽△DOC，故本选项符合题意；
B．若，结合∠AOB＝∠COD，可得△AOB∽△COD，故本选项不符合题意；
C．若，结合∠AOB＝∠COD，根据两边及其夹角的方法可得△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意；
D．若∠BAC＝∠BDC，结合∠AOB＝∠COD，可得△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形判定的三种方法．
变式4-1．如图，D是△ABC一边BC上的一点，△ABC∽△DBA的条件是（    ）

A． B．＝BD·BC C．AB2＝CD·BC D．
【答案】D
【解析】略
变式4-2．如图，点在的边上，添加一个条件，不能判断与相似的是（   ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据三角形相似判定即可选出答案．
【详解】解：A、，，两组对应角相等的三角形相似，选项正确，不符合题意．
B、CD与AB不是对应边，不能说明相似，选项错误，符合题意．
C、，，两组对应角相等的三角形相似，选项正确，不符合题意．
D、，，两组对边成比例，夹角相等的三角形相似，选项正确，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形相似判定．三组对应边成比例的三角形相似；两组对应边成比例，夹角相等的三角形相似；两组对应角相等的三角形相似．
变式4-3．如图所示，网格中相似的两个三角形是（    ）

A．①与② B．①与③ C．③与④ D．②与③
【答案】B
【分析】分别根据网格的特点求得各三角形三边的长，根据三边对应成比例判断两三角形相似即可．
【详解】解：根据网格的特点，①号三角形的三边长分别为：，2，，
②号三角形的三边长分别为：，，3，
③号三角形的三边长分别为：2，，，
④号三角形的三边长分别为：，3，，
，
①与③相似，故B选项正确，符合题意；其他选项不正确
故选：B．
【点睛】本题考查了网格中判断相似三角形，分别求得各三角形的边长是解题的关键．
考查题型五 相似三角形的性质
典例5．（2022·河南·南阳市第二十一学校九年级阶段练习）如图，在中，，为边上的中线，于点．

(1)求证：；
(2)若，，求线段的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，，即可解决问题；
（2）先利用等腰三角形的性质和勾股定理求出的长，由得，即可求解．
（1）
证明：∵，为边上的中线，
∴，，，
∵，
∴，
∴；
（2）
解：∵，，，为边上的中线，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴线段的长为．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识．理解和掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
变式5-1．（2022·福建·宁德市博雅培文学校九年级阶段练习）如图，Rt中，，，垂足为D．

(1)求证．
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见详解
(2)

【分析】（1）结合题意易知，再结合，利用“两角对应相等，两个三角形相似”证出；
（2）根据相似三角形的性质“相似三角形对应边的比相等”，可知，代入数值并求解即可计算的长．
（1）
证明：∵，，
∴，
又∵，
∴；
（2）
解：∵，，
∴，
∵，
∴，即，
整理，得，解得或（不合题意，舍去），
∴的长为．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
变式5-2．（2022·江苏·姜堰区实验初中九年级阶段练习）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，CB＝5，D是BC边上一点，且DB＝1，点E是AC边上的一个点，且AE，过点E作交AD于点F．

(1)求EF的长．
(2)求证：△DEF∽△ABD．
【答案】(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）利用，证明△AEF∽△ACD，根据对应边对应成比例进行计算即可；
（2）利用勾股定理求出AD，利用，求出AF，利用求出DF，从而得出，在利用外角的性质，得到，即可得证．
（1）
解：∵CB＝5，DB＝1，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴△AEF∽△ACD，
∴，即：，
∴；
（2）
证明：∵∠C＝90°，AC＝3，CD＝4，
∴，
∵∴△AEF∽△ACD，
∴，即：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴△DEF∽△ABD
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质．熟练掌握相似三角形的判定方法，证明两个三角形相似是解题的关键．
变式5-3．（2022·福建省安溪第一中学九年级阶段练习）如图，与相交于点，点在线段上，且．若，，．

(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据，得，得，根据，，即可求出；
（2）由（1）得，根据，得，得，即可求出．
（1）
∵
∴，
∴
∴，即
又∵且
∴
∴．
（2）
∵
∴，
∴
∴
∵，
∴
故．
【点睛】本题考查相似三角形的知识，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
考查题型六 相似三角形中动点问题
典例6．如图，在Rt中，，，，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB运动；同时，点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设点P、Q运动时间为．当与相似时，的值是多少？

【答案】的值是或
【分析】分两种情况讨论，由相似三角形的性质，列出等式，即可求解．
【详解】解：当△PBQ∽△ABC时，
，
即，
解得，
经检验：是方程的解，
当△PBQ∽△CBA时，
，
即，
解得，
经检验：是方程的解，
∴的值是或．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．
变式6-1．（2022·江苏·无锡市天一实验学校九年级阶段练习）如图，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从点A出发，沿AB以4cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点C出发，沿CA以3cm/s的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为xs．

(1)当时，求x的值．
(2)△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)能，AP＝cm或20cm

【分析】（1）利用平行线分线段对应成比例，列比例式进行计算即可；
（2）分类讨论：①△APQ∽△CQB，②当△APQ∽△CBQ，利用相似的性质，对应边对应成比例，列式计算即可．
（1）
解：当时，AP：AB＝AQ：AC，
∵AP＝4x，AQ＝30－3x，
∴，
解得：x＝；
（2）
解：∵BA＝BC
∴，
①当△APQ∽△CQB时，有，
即：，
解得：，
∴（cm），
②当△APQ∽△CBQ时，有，
即：，
解得：x＝5或x＝－10（舍去），
∴PA＝4x＝20（cm），
综上所述，当AP＝cm或20cm时，△APQ与△CQB相似．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，以及相似三角形的判定和性质．熟练掌握相关知识点是解题的关键．
变式6-2．（2022·山东省济南燕山中学九年级阶段练习）如图，直线与x轴交于A点，与y轴交于B点，动点P从A点出发，沿方向向点匀速运动，同时动点从B点出发，沿BA方向向点A匀速运动，P、Q两点的运动速度都是每秒1个单位，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，连接PQ，设运动时间为．
问：当为何值时，以点A、P、Q为项点三角形与相似．

【答案】当s或s时，以点A、P、Q为项点三角形与相似
【分析】由题意可知，当或时，以点A、P、Q为项点三角形与相似，根据相似的性质，进行分情况讨论进行计算求t值，注意t的取值范围．
【详解】解：若以点A、P、Q为项点三角形与相似，
则在中，或，
由题意可知，点A的坐标为（8，0），点B的坐标为（0,6），
∴OA=8，OB=6，AB=10，
∵运动时间为，
∴AP=BQ=t，
则AQ=10-t，
①当时，
，
则，
∴，
解得：（符合题意）；
②当，
，
则，
∴，
解得：（符合题意），
综上所述，当s或s时，以点A、P、Q为项点三角形与相似．
【点睛】本题主要考查的是相似与一次函数的综合，利用相似的性质求值是本题解题的重点，同时需注意分情况讨论．
变式6-3．（2022·河南·南阳市实验学校九年级阶段练习）如图，在中，，，点P从点A出发，沿边以的速度向点B匀速运动；点Q从点B出发，沿边以的速度向点C匀速运动，如果P、Q同时出发，当Q点到达C点时，P点随之停止运动．当中有一个内角等于时，求运动时间t（s）的值．

【答案】或
【分析】过A点作，根据等腰三角形的性质得出，，然后分两种情况进行讨论即可得出答案．
【详解】解：过A点作于点D，如图，

∵，
∴，，
∵，
∴当时，，则，即，解得；
当时，，则，即，解得，
综上所述，运动时间t的值为或．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的动点问题，解题的关键是作出辅助线，进行分类讨论．
考查题型七 相似三角形的应用
典例7．（2022·山东·济南育秀中学九年级阶段练习）如图所示，某测量工作人员头顶A与标杆顶点F、电视塔顶端E在同一直线上，已知此人眼睛距地面的长为，标杆的长为，且的长为，的长为，求电视塔的高．

【答案】
【分析】过点A作交于点G，交于点H，构造相似三角形．利用相似三角形对应边成比例解答即可．
【详解】解：如图，过点A作交于点G，交于点H，

根据题意得：，
∴，，，，
∴，
∴，即，
解得：，
∴，
答：电视塔的高为．
【点睛】本题考查相似三角形的应用，关键是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比列出方程，通过解方程求解即可．
变式7-1．（2022·福建·泉州七中九年级阶段练习）古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：如图所示，为了测量金字塔的高度，先竖一根已知长度的木棒，比较棒子的影长与金字塔的影长，即可近似算出金字塔的高度．如果，，，求金字塔的高度．

【答案】金字塔的高度为米．
【分析】根据太阳光是平行光线，得出，再利用相似三角形的性质求出即可．
【详解】解：由于太阳光是平行光线， ∴，
又∵，
∴，
∴而，，，
∴（米）．
答：金字塔的高度为米．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出，进而得出比例式是解题关键．
变式7-2．（2022·山东·济南市天桥区泺口实验学校九年级阶段练习）如图，小明同学用自制的直角三角形DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线，DE=0.4m，EF=0.3m，测得边DF离地面高度AC=1.5m，CD=10m，求树高AB．

【答案】AB=9m．
【分析】先证得△DEF∽△DCB，可得，再根据DE=0.4m，EF=0.3m，CD=10m可得BC＝7.5m，即可求解．
【详解】解：∵∠DEF=∠DCB=90°，∠EDF=∠CDB
∴△DEF∽△DCB
∴=
∴=，
∴BC=7.5，
∴AB=AC+BC=9（m）．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
变式7-3．（2022·陕西师大附中九年级阶段练习）小明想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意图．小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在地上的影子高度，，（点A、E、C在同一直线上）．已知小明的身高是1.7m．请你帮小明求出楼高．

【答案】楼高AB为19.95（m）
【分析】此题属于实际应用问题，解题的关键是将实际问题转化为数学问题进行解答；解题时要注意构造相似三角形，利用相似三角形的性质解题．
【详解】解：过点D作DG⊥AB，分别交AB、EF于点G、H，

∵ABCD，DG⊥AB，AB⊥AC，
∴四边形ACDG是矩形，
∴EH＝AG＝CD＝1.2，DH＝CE＝0.8，DG＝CA＝30，
∵EFAB，
∴，
∴，
由题意，知FH＝EF−EH＝1.7−1.2＝0.5，
∴，
解得，BG＝18.75（m），
∴AB＝BG＋AG＝18.75＋1.2＝19.95（m）．
∴楼高AB为19.95（m）．
【点睛】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求解即可，体现了转化的思想．