第5章 二次函数【知识梳理】——2022-2023学年苏科版数学九年级下册单元综合复习课件PPT

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掌握二次函数的概念、图像与性质，能快速确定顶点式、一般式、交点式这三种形式下函数的开口、顶点坐标、对称轴、增减性等
理解二次函数的图像与系数的关系；能根据几何变换确定新的二次函数解析式
熟悉顶点式、一般式、交点式这三种形式的相互转化；熟练运用待定系数法求二次函数解析式
理解二次函数与一元二次方程的关系；能利用直线与抛物线的位置关系求不等式（组）
能利用二次函数解决实际问题
知识点1：二次函数的概念
1、定义：一般地，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)的函数叫做二次函数，其中x是自变量，y是因变量
2、注意点：（1）通常，自变量x是任意实数（2）实际问题中，要注意x的取值范围
4、特殊形式：（1）y=ax2(b=c=0，且a≠0)——只含二次项（2）y=ax2+bx(c=0，且a≠0，b≠0)——不含常数项（3）y=ax2+c(b=0，且a≠0，c≠0)——不含一次项
3、结构特征（三要素）：（1）等号左边是因变量y，右边是关于自变量x的整式（2）等号右边自变量x的最高次数是2（3）等号右边可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项，即a≠0
例1-2、若函数y=(m+2)x2+3mx+1是二次函数，则（　　）A．m≥-2B．m≠2C．m≠-2D．m=-2
【分析】根据二次函数的定义，可得：m2+m-4=2且m-2≠0
知识点2：二次函数的图像与性质
1、顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)
2、一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)
3、交点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)
例2-1、二次函数y=-(x-1)2+2(x-1)-3开口向______，图象的顶点坐标为_____________．
【分析】y=-(x-1)2+2(x-1)-3=-(x-2)2-2
（2，-2）
例2-2、抛物线y=x2-tx+1的对称轴为直线x=3，则t=________．
例2-3、已知二次函数y=x2-2mx+3，当x＞2时，y随x的增大而增大；当x＜2时，y随x的增大而减小，则m的值为________．
【分析】对称轴x=2
例2-4、二次函数y=3x2+12x-1的最小值是（　　）A．11B．-11C．13D．-13
【分析】对称轴x=-2当x=-2时，y取最小值
知识点3：二次函数的图像与系数的关系
1、y=ax2+bx+c(a≠0)中a的作用（1）a决定抛物线的形状：若|a|相等，则形状相同（2）a决定抛物线的开口方向：a>0，开口向上；a<0，开口向下；（3）a决定抛物线的开口大小：|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大
2、y=ax2+bx+c(a≠0)中a、b的作用——决定对称轴的位置
3、y=ax2+bx+c(a≠0)中c的作用抛物线与y轴有且只有一个交点，即（0，c）
4、y=ax2+bx+c(a≠0)中a、b、c的作用——决定抛物线与x轴的交点个数
5、x取特殊值时，y与a、b、c之间的关系式
【分析】a决定抛物线的形状：若|a|相等，则形状相同
例3-2、已知函数y1=a1x2，y2=a2x2，y3=a3x2如图所示，则a1，a2，a3由小到大的顺序为__________．
【分析】（1）a2、a3<0，a1>0（2）y2的开口>y3的开口→|a2|>|a3|
a2例3-3、如果在二次函数的表达式y=ax2+bx+c中，a＞0，b＜0，c＜0，那么这个二次函数的图象可能是（　　）A． B． C． D．
【分析】开口向上，对称轴在y轴右侧，与y轴交点坐标为（0，c）
例3-4、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（　　）A．abc＜0B．b=-4aC．4a+2b≥m(am+b)D．a-b+c＞0
【分析】（1）a<0，c>0，a、b异号（2）对称轴x=2（3）x=2时，y取最大值（4）x=-1时，y<0
知识点4：二次函数的图像与几何变换
1、平移口诀：左加右减自变量；上加下减常数项
2、特殊翻折：（1）将y=ax2+bx+c(a≠0)沿x轴翻折，得：y=-(ax2+bx+c)=-ax2-bx-c(a≠0)（2）将y=ax2+bx+c(a≠0)沿y轴翻折，得：y=a(-x)2+b(-x)+c=ax2-bx+c(a≠0)
3、特殊旋转：将y=ax2+bx+c(a≠0)沿原点O旋转180°，得：y=-ax2+bx-c(a≠0)
例4-1、如果将抛物线y=-x2向左平移4个单位，向上平移3个单位，则所得新抛物线的表达式是___________________．
y=-(x+4)2+3
例4-2、已知y=-3(x-2)2-7将它的图象沿着x轴对折后的函数表达式是___________________．
y=3(x-2)2+7
例4-3、将抛物线y=x2+2x-3关于y轴对称，所得到的抛物线解析式为___________________．
例4-4、在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2+2x-1绕原点旋转180°后，所得到的抛物线表达式是___________________．
知识点5：配方法（将一般式转化为顶点式）
知识点6：待定系数法求二次函数解析式
2、设二次函数的表达式——三种形式的选择：
例6-1、已知二次函数的图象经过（-1，10），（1，4），（2，7）三点，则该二次函数的表达式为__________________．
例6-2、已知二次函数的图象以A（-1，4）为顶点，且过点B（2，-5），则该二次函数的表达式为__________________．
解：由二次函数的图象以A（-1，4）为顶点，设二次函数的表达式为y=a(x+1)2+4(a≠0)，将B（2，-5）代入，解得：a=-1，∴y=-(x+1)2+4=-x2-2x+3，即y=-x2-2x+3．
例6-3、已知抛物线过A（-2，0）、B（1，0）、C（0，2）三点，则这条抛物线的解析式为__________________．
解：设抛物线解析式为y=a(x+2)(x-1)(a≠0)，把C（0，2）代入，解得：a=-1，∴抛物线解析式为y=-(x+2)(x-1)，即y=-x2-x+2．
注意交点式要化成一般式哦~
知识点7：二次函数与一元二次方程
1、二次函数与一元二次方程的关系：令二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中的y=0时，即一元二次方程ax2+bx+c=0
注意抛物线与x轴交点的横坐标，即一元二次方程的实数根
例7-1、如图是二次函数y=x2+2x+1的图象，则方程x2+2x+1=0（　　）A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根
例7-2、已知函数y=(k-1)x2-4x+4的图象与x轴有交点，则k的取值范围为________．
注意分类讨论【题目未说此函数一定是二次函数】
例7-3、抛物线y=ax2+bx+c交x轴于（-3，0）（1，0），则方程ax2+bx+c=0的根为__________________．
知识点8：直线与抛物线的交点问题
知识点9：二次函数与不等式（组）
1、借助二次函数y=ax2+bx+c的图像，可以找出不同不等式（组）的解：（1）观察抛物线和x轴的交点，可找出ax2+bx+c>0、ax2+bx+c<0的解（2）观察抛物线和y=m的交点，可找出ax2+bx+c>m、ax2+bx+ckx+b、ax2+bx+c2、对于同一坐标系里的两个函数图像有如下规律：上大下小
例9-1、观察抛物线y=x2-2x-3图象，直接写出一元二次不等式：x2-2x-3＜0的解集是_____________．
例9-2、如图，二次函数y=ax2+bx+c(a＞0)的图象与直线y=1交点坐标为（1，1），（3，1），则不等式ax2+bx+c-1＞0的解集为（　　）A．x＞1B．1＜x＜3C．x＜1或x＞3D．x＞3
例9-3、如图是二次函数y1=ax2+bx+c(a≠0)和一次函数y2=mx+n(m≠0)的图象，则不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是____________．
知识点10：用二次函数解决问题
例10、某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数关系m=162-3x.（1）请写出商场卖这种商品每天的销售利润y（元）与每件销售价x（元）之间的函数关系式．（2）商场每天销售这种商品的销售利润能否达到500元？如果能，求出此时的销售价格；如果不能，说明理由．
解：（1）由题意得：每件商品的销售利润为(x-30)元，则m件的销售利润为y=m(x-30)，又∵m=162-3x，∴y=(x-30)(162-3x)，即y=-3x2+252x-4860，∵x-30≥0且162-3x≥0，∴x≥30且x≤54，即30≤x≤54．∴y=-3x2+252x-4860（30≤x≤54）．
解：（2）不能，理由如下：由（1）得：y=-3x2+252x-4860=-3(x-42)2+432，∴售价定为42元时获得的利润最大，最大销售利润是432元，∵500＞432，∴商场每天销售这种商品的销售利润不能达到500元．答：商场每天销售这种商品的销售利润不能达到500元．