专题01 平面向量的基本运算与线性表示-2022-2023学年高一数学下学期期中期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

专题01 平面向量的基本运算与线性表示

【考点预测】

知识点一、向量的有关概念

知识点二、向量的线性运算

知识点三、平面向量基本定理

1、平面向量基本定理

如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合．

知识点四、平面向量的坐标运算

1、平面向量坐标的加法、减法和数乘运算

知识点五、平面向量共线

（1）线性表示

向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使得

（2）坐标表示

设，其中，则

知识点六、两个向量的夹角

1、定义

已知两个非零向量和，作，则叫做向量与的夹角．

2、范围

向量夹角的范围是，与同向时，夹角；与反向时，夹角．

3、向量垂直

如果向量与的夹角是，则与垂直，记作．

知识点七、平面向量的数量积

1、已知两个非零向量与，则数量叫做与的数量积，记作，即，其中是与的夹角．

规定．

当时，，这时

2、的几何意义：

数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积．

知识点八、数量积的运算律

（1）交换律：．

（2）分配律：．

（3）对．

知识点九、向量数量积的性质

1、如果是单位向量，则．

2、．

3、，

4、．（为与的夹角）

5、．

知识点十、数量积的坐标运算

设，则：

1、．

2、．

3、．

4、（为与的夹角）

【典型例题】

例1．（2023·辽宁·高一大连二十四中校联考期末）如图，在中，，，直线交于点，若，则（    ）

A． B． C． D．

例2．（2023·辽宁锦州·高一统考期末）已知向量，，且，则为（    ）

A． B． C． D．

例3．（2023·北京·高一北京师大附中校考期末）已知平面向量，是非零向量，，，则向量在向量方向上的投影为（    ）

A．​ B．1 C．​ D．2

例4．（2023·江苏无锡·高一无锡市第一中学校考期末）已知外接圆圆心为，半径为，，且，则向量在向量上的投影向量为(    )

A． B． C． D．

例5．（2023·北京·高一北京师大附中校考期末）已知，，则（    ）

A．1 B． C．2 D．或2

例6．（多选题）（2023·辽宁营口·高一校联考期末）设，是两个非零向量，则下列描述错误的有（    ）

A．若，则存在实数，使得.

B．若，则.

C．若，则，反向.

D．若，则，一定同向

例7．（2023·江苏无锡·高一无锡市第一中学校考期末）如图,在平行四边形中,点E是CD的中点,点F为线段BD上的一个三等分点,且,若,则______.

例8．（2023·吉林·高一校考期末）设非零向量，满足，，则与的夹角为________.

例9．（2023·辽宁锦州·高一统考期末）在中，点，分别在边和边上，且，，交于点，设，.

(1)若，试用，和实数表示；

(2)试用，表示；

(3)在边上有点，使得，求证：，，三点共线.

例10．（2023·辽宁沈阳·高一校考期末）已知非零向量，不共线．

(1)如果，，，求证：，，三点共线；

(2)欲使和共线，试确定实数的值．

例11．（2023·辽宁沈阳·高一沈阳二十中校联考期末）已知向量，，．

(1)求；

(2)若，求实数的值．

例12．（2023春·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考期中）已知：、是同一平面内的两个向量，其中．

(1)若且与垂直，求与的夹角 ；

(2)若且与的夹角为锐角，求实数的取值范围．

【过关测试】

一、单选题

1．（2023·江西新余·高三统考期末）已知向量，，则“”是“”的（   ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2．（2023·云南·高一云南师大附中校考期末）设向量，，则“”是“”的（    ）条件

A．充分不必要 B．必要不充分

C．充要 D．既不充分也不必要

3．（2023·辽宁·高一校联考期末）如图，在等腰梯形ABCD中，，AD=2，AB=BC=CD=1，E为AD的中点．则下列式子不正确的是（    ）

A． B． C． D．

4．（2023·云南·高一云南师大附中校考期末）在正三角形△ABC中，，M，N分别为AB，AC的中点，则（    ）

A． B． C． D．

5．（2023·辽宁葫芦岛·高一统考期末）在中，D为AB边的中点，记，则 （    ）

A． B． C． D．

6．（2023·辽宁沈阳·高一沈阳市第十中学校考期末）已知向量，，，若与共线，则（    ）

A．4 B．3 C．2 D．1

7．（2023·辽宁沈阳·高一沈阳铁路实验中学校考期末）我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，已知，则（    ）

A． B． C． D．

8．（2023·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考期末）已知，，函数，当时，f（x）有最小值，则在上的投影向量为（    ）

A． B． C．－ D．－

二、多选题

9．（2023·辽宁·高一校联考期末）已知是直线l上的一个单位向量，与都是直线l上的向量，且，，则（    ）

A．的坐标为 B．

C．的坐标为5 D．

10．（2023·云南·高一云南师大附中校考期末）设，是互相垂直的单位向量，，，下列选项正确的是（    ）

A．若点C在线段AB上，则

B．若，则

C．当时，与共线的单位向量是

D．当时，在上的投影向量为

11．（2023·辽宁沈阳·高一沈阳二十中校联考期末）已知中，，，若与交于点，则（    ）

A． B．

C． D．

12．（2023·吉林·高一校考期末）已知A，B，C，是三个不同的点，，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．A，B，C三点共线

13．（2023·辽宁沈阳·高一沈阳铁路实验中学校考期末）在中，是中线，则下列等式中一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

三、填空题

14．（2023·辽宁鞍山·高一统考期末）在平行四边形ABCD中，点E满足，且O是边AB中点，若AE交DO于点M．且，则______．

15．（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期中）设，是两个不共线的向量，若向量与的方向相反，则实数k=___.

16．（2023春·浙江金华·高一统考期中）已知向量，，且，则__________.

17．（2023春·山西吕梁·高一校联考期中）已知向量，，若，则向量与夹角的余弦值为_________.

18．（2023春·吉林长春·高一校考期中）已知向量，则下列说法正确的是___________.

（1）

（2）

（3）向量在向量上投影向量的模长是

（4）与向量方向相同的单位向量是

四、解答题

19．（2023春·江苏苏州·高一校考期中）已知的夹角为，，当实数为何值时，

(1)

(2)

20．（2023春·浙江宁波·高一校考期中）设两个非零向量与不共线．

(1)若，，求证三点共线．

(2)试确定实数，使和共线．

21．（2023·广东阳江·高一阳江市第一中学校考期中）已知向量满足，且.

(1)求；

(2)记向量与向量的夹角为，求.

22．（2023春·广西·高一校考期中）已知两个不共线的向量、的夹角为，且，，为正实数．

(1)若与垂直，求；

(2)若，求的最小值及对应的的值.

23．（2023春·浙江·高一期中）如图，在△ABC中，，，，，．

(1)设，求x，y的值，并求；

(2)求的值．

24．（2023春·广西桂林·高一校考期末）如图所示，在中，，，与相交于点，设，.

(1)试用向量表示；

(2)过点作直线分别交线段于点，记，，求证：不论点在线段上如何移动，为定值.

25．（2023春·湖北·高一统考期末）如图，在△ABC中，点E是CD的中点，AE与BC相交于F，设，.

(1)用，表示，；

(2)若在平面直角坐标系xOy中，已知点，，，求.