中考数学一轮复习考点梳理+单元突破练习专题09 不等式与不等式组(教师版)
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这是一份中考数学一轮复习考点梳理+单元突破练习专题09 不等式与不等式组(教师版),共24页。试卷主要包含了不等式的解,不等式的解集,不等式的性质,5,b=0,4,等内容,欢迎下载使用。
专题09 不等式与不等式组
知识点1:不等式
1.用符号“<”“>”“≤ ”“≥”表示大小关系的式子叫做不等式。
2.不等式的解:使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解。
3.不等式的解集:一个含有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式的解集。
4.不等式的性质:
不等式的基本性质1:不等式的两边都加上(或减去)同一个数(或式子),不等号的方向不变。
不等式的基本性质2:不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变。
不等式的基本性质3:不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变。
知识点2:一元一次不等式
一元一次不等式:不等式的左、右两边都是整式,只有一个未知数,并且未知数的最高次数是1,像这样的不等式,叫做一元一次不等式。
知识点3:一元一次不等式组
一元一次不等式组:一般地,关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起,就组成了一个一元一次不等式组。
本章内容要求学生经历建立一元一次不等式(组)这样的数学模型并应用它解决实际问题的过程,体会不等式(组)的特点和作用,掌握运用它们解决问题的一般方法,提高分析问题、解决问题的能力,增强创新精神和应用数学的意识。
【例题1】(2020•新疆)不等式组的解集是( )
A.0<x≤2 B.0<x≤6 C.x>0 D.x≤2
【答案】A
【解析】分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集.
,
解不等式①,得:x≤2,
解不等式②,得:x>0,
则不等式组的解集为0<x≤2。
【例题2】(2020•连云港)不等式组的解集在数轴上表示为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】先求出不等式组的解集,再在数轴上表示出来即可.
解不等式2x﹣1≤3,得:x≤2,
解不等式x+1>2,得:x>1,
∴不等式组的解集为1<x≤2,
表示在数轴上如下:
【例题3】(2020•凉山州)若不等式组恰有四个整数解,则a的取值范围是 .
【答案】a.
【解析】分别求出每一个不等式的解集,根据不等式组有4个整数解可得关于a的不等式组,解不等式组可得a的范围.
解不等式2x<3(x﹣3)+1,得:x>8,
解不等式x+a,得:x<2﹣4a,
∵不等式组有4个整数解,
∴12<2﹣4a≤13,
解得:a
【例题4】(2020•北京)解不等式组:
【答案】见解析。
【解析】分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集.
解不等式5x﹣3>2x,得:x>1,
解不等式,得:x<2,
则不等式组的解集为1<x<2.
【例题5】(2020•济宁)为加快复工复产,某企业需运输一批物资.据调查得知,2辆大货车与3辆小货车一次可以运输600箱;5辆大货车与6辆小货车一次可以运输1350箱.
(1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输多少箱物资;
(2)计划用两种货车共12辆运输这批物资,每辆大货车一次需费用5000元,每辆小货车一次需费用3000元.若运输物资不少于1500箱,且总费用小于54000元.请你列出所有运输方案,并指出哪种方案所需费用最少.最少费用是多少?
【答案】见解析。
【分析】(1)设1辆大货车一次运输x箱物资,1辆小货车一次运输y箱物资,由“2辆大货车与3辆小货车一次可以运输600箱;5辆大货车与6辆小货车一次可以运输1350箱”,可列方程组,即可求解;
(2)设有a辆大货车,(12﹣a)辆小货车,由“运输物资不少于1500箱,且总费用小于54000元”可列不等式组,可求整数a的值,即可求解.
【解析】(1)设1辆大货车一次运输x箱物资,1辆小货车一次运输y箱物资,
由题意可得:,
解得:,
答:1辆大货车一次运输150箱物资,1辆小货车一次运输100箱物资,
(2)设有a辆大货车,(12﹣a)辆小货车,
由题意可得:,
∴6≤a<9,
∴整数a=6,7,8;
当有6辆大货车,6辆小货车时,费用=5000×6+3000×6=48000元,
当有7辆大货车,5辆小货车时,费用=5000×7+3000×5=50000元,
当有8辆大货车,4辆小货车时,费用=5000×8+3000×4=52000元,
∵48000<50000<52000,
∴当有6辆大货车,6辆小货车时,费用最小,最小费用为48000元.
《不等式与不等式组》单元精品检测试卷
本套试卷满分120分,答题时间90分钟
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.(2020•株洲)下列哪个数是不等式2(x﹣1)+3<0的一个解?( )
A.﹣3 B. C. D.2
【答案】A
【解析】首先求出不等式的解集,然后判断哪个数在其解集范围之内即可.
解不等式2(x﹣1)+3<0,得,
因为只有﹣3,所以只有﹣3是不等式2(x﹣1)+3<0的一个解,
2.(2020•贵阳)已知a<b,下列式子不一定成立的是( )
A.a﹣1<b﹣1 B.﹣2a>﹣2b
C.a+1b+1 D.ma>mb
【答案】D
【解析】根据不等式的基本性质进行判断.
A.在不等式a<b的两边同时减去1,不等号的方向不变,即a﹣1<b﹣1,原变形正确,故此选项不符合题意;
B.在不等式a<b的两边同时乘以﹣2,不等号方向改变,即﹣2a>﹣2b,原变形正确,故此选项不符合题意;
C.在不等式a<b的两边同时乘以,不等号的方向不变,即ab,不等式ab的两边同时加上1,不等号的方向不变,即a+1b+1,原变形正确,故此选项不符合题意;
D.在不等式a<b的两边同时乘以m,不等式不一定成立,即ma>mb,或ma<mb,或ma=mb,原变形不正确,故此选项符合题意.
3.(2020•株洲)在平面直角坐标系中,点A(a,2)在第二象限内,则a的取值可以是( )
A.1 B. C. D.4或﹣4
【答案】B
【解析】根据第二象限内点的坐标特点列出关于a的不等式,求出a的取值范围即可.
∵点A(a,2)是第二象限内的点,
∴a<0,
四个选项中符合题意的数是
4.(2020•衢州)不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】分别解两个不等式,然后求它们的公共部分即可得到原不等式组的解集,再在数轴上表示出来即可求解.
,
由①得x≤1;
由②得x>﹣1;
故不等式组的解集为﹣1<x≤1,
在数轴上表示出来为:.
5.(2020•苏州)不等式2x﹣1≤3的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】先求出不等式的解集,再在数轴上表示出来即可.
移项得,2x≤3+1,
合并同类项得,2x≤4,
x的系数化为1得,x≤2.
在数轴上表示为:
.
6.(2020•广元)关于x的不等式的整数解只有4个,则m的取值范围是( )
A.﹣2<m≤﹣1 B.﹣2≤m≤﹣1 C.﹣2≤m<﹣1 D.﹣3<m≤﹣2
【答案】C
【解析】先求出每个不等式的解集,根据已知不等式组的整数解得出关于m的不等式组,求出不等式组的解集即可.
不等式组整理得:,
解集为m<x<3,
由不等式组的整数解只有4个,得到整数解为2,1,0,﹣1,
∴﹣2≤m<﹣1
7.(2020•天水)若关于x的不等式3x+a≤2只有2个正整数解,则a的取值范围为( )
A.﹣7<a<﹣4 B.﹣7≤a≤﹣4 C.﹣7≤a<﹣4 D.﹣7<a≤﹣4
【答案】D
【解析】先解不等式得出x,根据不等式只有2个正整数解知其正整数解为1和2,据此得出23,解之可得答案.
∵3x+a≤2,
∴3x≤2﹣a,
则x,
∵不等式只有2个正整数解,
∴不等式的正整数解为1、2,
则23,
解得:﹣7<a≤﹣4
8.(2020•广东)不等式组的解集为( )
A.无解 B.x≤1 C.x≥﹣1 D.﹣1≤x≤1
【答案】D
【解析】分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集.
解不等式2﹣3x≥﹣1,得:x≤1,
解不等式x﹣1≥﹣2(x+2),得:x≥﹣1,
则不等式组的解集为﹣1≤x≤1
9.(2020•重庆)小明准备用40元钱购买作业本和签字笔.已知每个作业本6元,每支签字笔2.2元,小明买了7支签字笔,他最多还可以买的作业本个数为( )
A.5 B.4 C.3 D.2
【答案】B
【解析】设还可以买x个作业本,根据总价=单价×数量结合总价不超过40元,即可得出关系x的一元一次不等式,解之取其中的最大整数值即可得出结论.
设还可以买x个作业本,
依题意,得:2.2×7+6x≤40,
解得:x≤4.
又∵x为正整数,
∴x的最大值为4.
10.(2020•杭州)若a>b,则( )
A.a﹣1≥b B.b+1≥a C.a+1>b﹣1 D.a﹣1>b+1
【答案】C
【解析】举出反例即可判断A、B、D,根据不等式的传递性即可判断C.
A、设a=0.5,b=0.4,a>b,但是a﹣1<b,不符合题意;
B、设a=3,b=1,a>b,但是b+1<a,不符合题意;
C、∵a>b,∴a+1>b+1,∵b+1>b﹣1,∴a+1>b﹣1,符合题意;
D、设a=0.5,b=0.4,a>b,但是a﹣1<b+1,不符合题意.
11.(2019甘肃省陇南市)不等式2x+9≥3(x+2)的解集是( )
A.x≤3 B.x≤﹣3 C.x≥3 D.x≥﹣3
【答案】A
【解析】先去括号,然后移项、合并同类项,再系数化为1即可.
去括号,得2x+9≥3x+6,
移项,合并得﹣x≥﹣3
系数化为1,得x≤3。
【点拨】本题属于一元一次不等式的解集问题。
12.从﹣3,﹣1,,1,3这五个数中,随机抽取一个数,记为a,若数a使关于x的不等式组无解,且使关于x的分式方程﹣=﹣1有整数解,那么这5个数中所有满足条件的a的值之和是( )
A.﹣3 B.﹣2 C.﹣ D.
【答案】B.
【解析】根据不等式组无解,求得a≤1,解方程得x=,于是得到a=﹣3或1,即可得到结论.
解:得,
∵不等式组无解,
∴a≤1,
解方程﹣=﹣1得x=,
∵x=为整数,a≤1,
∴a=﹣3或1,
∴所有满足条件的a的值之和是﹣2
【点评】本题属于不等式无解的问题,但也考查了解分式方程,解一元一次不等式组,熟练掌握解分式方程和一元一次不等式组的方法是解题的关键.
二、填空题(每空3分,共30分)
13.(2020•鄂州)关于x的不等式组的解集是 .
【答案】2<x≤5.
【解析】先求出其中各不等式的解集,再求出这些解集的公共部分.
由①得:x>2,
由②得:x≤5,
所以不等式组的解集为:2<x≤5,
故答案为2<x≤5.
14.(2019•铜仁)如果不等式组的解集是x<a﹣4,则a的取值范围是 .
【答案】a≥﹣3.
【解析】解这个不等式组为x<a﹣4,
则3a+2≥a﹣4,
解这个不等式得a≥﹣3
故答案a≥﹣3.
【点拨】本题属于明确不等式组解集,求范围问题。
15.(2020•攀枝花)世纪公园的门票是每人5元,一次购门票满40张,每张门票可少1元.若少于40人时,一个团队至少要有 人进公园,买40张门票反而合算.
【答案】33.
【解析】先求出购买40张票,优惠后需要多少钱,然后再利用5x>160时,求出买到的张数的取值范围再加上1即可.
设x人进公园,
若购满40张票则需要:40×(5﹣1)=40×4=160(元),
故5x>160时,
解得:x>32,
则当有32人时,购买32张票和40张票的价格相同,
则再多1人时买40张票较合算;
32+1=33(人).
则至少要有33人去世纪公园,买40张票反而合算.
16.(2020•岳阳)不等式组的解集是 .
【答案】﹣3≤x<1.
【解析】分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集.
解不等式x+3≥0,得:x≥﹣3,
解不等式x﹣1<0,得:x<1,
则不等式组的解集为﹣3≤x<1
17.(2020•黑龙江)若关于x的一元一次不等式组有2个整数解,则a的取值范围是 .
【答案】6<a≤8.
【解析】分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:大小小大中间找确定不等式组的解集,再结合不等式组的整数解的个数得出关于a的不等式组,解之可得答案.
解不等式x﹣1>0,得:x>1,
解不等式2x﹣a<0,得:x,
则不等式组的解集为1<x,
∵不等式组有2个整数解,
∴不等式组的整数解为2、3,
则34,
解得6<a≤8
18.(2020•滨州)若关于x的不等式组无解,则a的取值范围为 .
【答案】a≥1.
【解析】分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:大大小小无解了可得答案.
解不等式x﹣a>0,得:x>2a,
解不等式4﹣2x≥0,得:x≤2,
∵不等式组无解,
∴2a≥2,
解得a≥1
19.(2020•哈尔滨)不等式组的解集是 .
【答案】x≤﹣3.
【解析】分别求出各不等式的解集,再求出其公共解集即可.
,
由①得,x≤﹣3;
由②得,x<﹣1,
故此不等式组的解集为:x≤﹣3.
20.(2020•黔东南州)不等式组的解集为 .
【答案】2<x≤6.
【解析】先根据解不等式的基本步骤求出每个不等式的解集,再根据“大小小大中间找”可确定不等式组的解集.
解不等式5x﹣1>3(x+1),得:x>2,
解不等式x﹣1≤4x,得:x≤6,
则不等式组的解集为2<x≤6
21.(2020•遂宁)若关于x的不等式组有且只有三个整数解,则m的取值范围是 .
【答案】1≤m<4.
【解析】解不等式组得出其解集为﹣2<x,根据不等式组有且只有三个整数解得出12,解之可得答案.
解不等式,得:x>﹣2,
解不等式2x﹣m≤2﹣x,得:x,
则不等式组的解集为﹣2<x,
∵不等式组有且只有三个整数解,
∴12,
解得1≤m<4
22.(2020•黔西南州)不等式组的解集为 .
【答案】﹣6<x≤13.
【解析】首先分别计算出两个不等式的解集,再确定不等式组的解集即可.
,
解①得:x>﹣6,
解②得:x≤13,
不等式组的解集为:﹣6<x≤13
三、解答题(8个小题,共54分)
23.(5分)(2020•武威)解不等式组:,并把它的解集在数轴上表示出来.
【答案】见解析。
【解析】分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集.
解不等式3x﹣5<x+1,得:x<3,
解不等式2(2x﹣1)≥3x﹣4,得:x≥﹣2,
则不等式组的解集为﹣2≤x<3,
将不等式组的解集表示在数轴上如下:
24.(5分)(2020•上海)解不等式组:
【答案】见解析。
【解析】先求出不等式组中每一个不等式的解集,再求出它们的公共部分即可求解.
,
解不等式①得x>2,
解不等式②得x<5.
故原不等式组的解集是2<x<5.
25.(5分)(2020•扬州)解不等式组并写出它的最大负整数解.
【答案】见解析。
【解析】分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:同小取小确定不等式组的解集,从而得出答案.
解不等式x+5≤0,得x≤﹣5,
解不等式2x+1,得:x≤﹣3,
则不等式组的解集为x≤﹣5,
所以不等式组的最大负整数解为﹣5.
26.(6分)(2020•苏州)如图,“开心”农场准备用50m的护栏围成一块靠墙的矩形花园,设矩形花园的长为a(m),宽为b(m).
(1)当a=20时,求b的值;
(2)受场地条件的限制,a的取值范围为18≤a≤26,求b的取值范围.
【答案】见解析。
【分析】(1)由护栏的总长度为50m,可得出关于b的一元一次方程,解之即可得出结论;
(2)由a的取值范围结合a=50﹣2b,即可得出关于b的一元一次不等式,解之即可得出结论.
【解析】(1)依题意,得:20+2b=50,
解得:b=15.
(2)∵18≤a≤26,a=50﹣2b,
∴,
解得:12≤b≤16.
答:b的取值范围为12≤b≤16.
27.(6分)(2020•辽阳)某校计划为教师购买甲、乙两种词典.已知购买1本甲种词典和2本乙种词典共需170元,购买2本甲种词典和3本乙种词典共需290元.
(1)求每本甲种词典和每本乙种词典的价格分别为多少元?
(2)学校计划购买甲种词典和乙种词典共30本,总费用不超过1600元,那么最多可购买甲种词典多少本?
【答案】见解析。
【分析】(1)设每本甲种词典的价格为x元,每本乙种词典的价格为y元,根据“购买1本甲种词典和2本乙种词典共需170元,购买2本甲种词典和3本乙种词典共需290元”,即可得出关于x,y的二元一次方程组,解之即可得出结论;
(2)设学校购买甲种词典m本,则购买乙种词典(30﹣m)本,根据总价=单价×数量结合总费用不超过1600元,即可得出关于m的一元一次不等式,解之取其中的最大值即可得出结论.
【解析】(1)设每本甲种词典的价格为x元,每本乙种词典的价格为y元,
依题意,得:,
解得:.
答:每本甲种词典的价格为70元,每本乙种词典的价格为50元.
(2)设学校购买甲种词典m本,则购买乙种词典(30﹣m)本,
依题意,得:70m+50(30﹣m)≤1600,
解得:m≤5.
答:学校最多可购买甲种词典5本.
28.(8分)(2020•长沙)今年6月以来,我国多地遭遇强降雨,引发洪涝灾害,人民的生活受到了极大的影响.“一方有难,八方支援”,某市筹集了大量的生活物资,用A,B两种型号的货车,分两批运往受灾严重的地区.具体运输情况如下:
第一批
第二批
A型货车的辆数(单位:辆)
1
2
B型货车的辆数(单位:辆)
3
5
累计运输物资的吨数(单位:吨)
28
50
备注:第一批、第二批每辆货车均满载
(1)求A、B两种型号货车每辆满载分别能运多少吨生活物资?
(2)该市后续又筹集了62.4吨生活物资,现已联系了3辆A种型号货车.试问至少还需联系多少辆B种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地?
【答案】见解析。
【分析】(1)设A种型号货车每辆满载能运x吨生活物资,B种型号货车每辆满载能运y吨生活物资,根据前两批具体运算情况数据表,即可得出关于x,y的二元一次方程组,解之即可得出结论;
(2)设还需联系m辆B种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地,根据要求一次性运送62.4吨生活物资,即可得出关于m的一元一次不等式,解之取其中最小的整数值即可得出结论.
【解析】(1)设A种型号货车每辆满载能运x吨生活物资,B种型号货车每辆满载能运y吨生活物资,
依题意,得:,
解得:.
答:A种型号货车每辆满载能运10吨生活物资,B种型号货车每辆满载能运6吨生活物资.
(2)设还需联系m辆B种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地,
依题意,得:10×3+6m≥62.4,
解得:m≥5.4,
又∵m为正整数,
∴m的最小值为6.
答:至少还需联系6辆B种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地.
29.(9分)(2020•菏泽)今年史上最长的寒假结束后,学生复学,某学校为了增强学生体质,鼓励学生在不聚集的情况下加强体育锻炼,决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材.已知购买2根跳绳和5个毽子共需32元;购买4根跳绳和3个毽子共需36元.
(1)求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元?
(2)某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54,且购买的总费用不能超过260元;若要求购买跳绳的数量多于20根,通过计算说明共有哪几种购买跳绳的方案.
【答案】见解析。
【分析】(1)设购买一根跳绳需要x元,购买一个毽子需要y元,根据“购买2根跳绳和5个毽子共需32元;购买4根跳绳和3个毽子共需36元”,即可得出关于x,y的二元一次方程组,解之即可得出结论;
(2)设购买m根跳绳,则购买(54﹣m)个毽子,根据购买的总费用不能超过260元且购买跳绳的数量多于20根,即可得出关于m的一元一次不等式组,解之即可得出m的取值范围,结合m为正整数即可得出各购买方案.
【解析】(1)设购买一根跳绳需要x元,购买一个毽子需要y元,
依题意,得:,
解得:.
答:购买一根跳绳需要6元,购买一个毽子需要4元.
(2)设购买m根跳绳,则购买(54﹣m)个毽子,
依题意,得:,
解得:20<m≤22.
又∵m为正整数,
∴m可以为21,22.
∴共有2种购买方案,方案1:购买21根跳绳,33个毽子;方案2:购买22根跳绳,32个毽子.
30.(10分)(2020•自贡)我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观,形少数时难入微”,数形结合是解决数学问题的重要思想方法.例如,代数式|x﹣2|的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离:因为|x+1|=|x﹣(﹣1)|,所以|x+1|的几何意义就是数轴上x所对应的点与﹣1所对应的点之间的距离.
(1)发现问题:代数式|x+1|+|x﹣2|的最小值是多少?
(2)探究问题:如图,点A、B、P分别表示数﹣1、2、x,AB=3.
∵|x+1|+|x﹣2|的几何意义是线段PA与PB的长度之和,
∴当点P在线段AB上时,PA+PB=3,当点P在点A的左侧或点B的右侧时,PA+PB>3.
∴|x+1|+|x﹣2|的最小值是3.
(3)解决问题:
①|x﹣4|+|x+2|的最小值是 ;
②利用上述思想方法解不等式:|x+3|+|x﹣1|>4;
③当a为何值时,代数式|x+a|+|x﹣3|的最小值是2.
【答案】见解析。
【分析】观察阅读材料中的(1)和(2),总结出求最值方法;
(3)①原式变形﹣2和4距离x最小值为4﹣(﹣2)=6;
②根据题意画出相应的图形,确定出所求不等式的解集即可;
③根据原式的最小值为2,得到3左边和右边,且到3距离为2的点即可.
【解析】(1)发现问题:代数式|x+1|+|x﹣2|的最小值是多少?
(2)探究问题:如图,点A、B、P分别表示数﹣1、2、x,AB=3.
∵|x+1|+|x﹣2|的几何意义是线段PA与PB的长度之和,
∴当点P在线段AB上时,PA+PB=3,当点P在点A的左侧或点B的右侧时,PA+PB>3.
∴|x+1|+|x﹣2|的最小值是3.
(3)解决问题:
①|x﹣4|+|x+2|的最小值是6;
故答案为:6;
②如图所示,满足|x+3|+|x﹣1|>4的x范围为x<﹣3或x>1;
③当a为﹣1或﹣5时,代数式|x+a|+|x﹣3|的最小值是2.
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