中考数学二轮复习第10讲 三角形与全等三角形（易错点梳理+微练习）（教师版）

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第10讲 三角形与全等三角形易错点梳理

易错点梳理

易错点01 对三角形中“三线”位置掌握不好
对三角形中“三线”位置掌握不好，导致出错三角形的角平分线、中线都在三角形内部，而三角形的高不一定在三角形内部.锐角三角形的高在三角形的内部；直角三角形的两条高与直角边重合，斜边上的高在三角形内部；钝角三角形的两条高在三角形外部。
易错点02 误用多边形的内角和公式及三角形外角的性质
n边形的内角和等于(n-2)·180°，而并非为n·180°对三角形外角的性质理解不透彻而出现错误，在应用三角形外角的性质时，不可忽略了“不相邻”这个条件。
易错点03 忽略三角形存在的条件而导致计算错误
进行等腰三角形的边长或周长计算时，一般需要分类讨论，但不可忽略三角形存在的条件，即任意两边之和大于第三边.对出现的情况需要逐一验证，确定取舍。
易错点04 对正多边形的概念理解有误导致判断失误
判断正多边形的两个条件——各个角都相等、各条边都相等，两者缺一不可，不要以为每个内角都相等的多边形便是正多边形。
易错点05 全等三角形的对应关系考虑不全面而出错
用“≌”表示两个三角形全等时，对应点放在对应位置，但用语言描述的两个三角形全等却不需要，不要形成固定思维.解决这类问题要考虑各种对应情况，避免出现考虑不全面，导致结果错误.
易错点06 错用“SSA”进行判定三角形全等
判定一般三角形全等的方法有“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”4种方法，不存在“SSA”的判定方法.
易错点07 运用角平分线的性质和判定时，误将斜线段当作距离
在运用角的平分线的性质和判定时，一定要注意“距离”必须有垂直的条件。
例题分析

考向01 三角形的三边关系
例题1：（2021·广东新丰·九年级期中）三角形的两边长分别是3和6，第三边的长是方程x2-7x +10 = 0的一个根，则这个三角形的周长是（ ）
A．11或14 B．14或16 C．14 D．11
【答案】C
【分析】
首先利用因式分解法求得一元二次方程x2-7x+10=0的两个根，又由三角形的两边长分别是3和6，利用三角形的三边关系，即可确定这个三角形的第三边长，然后求得周长即可．
【解析】解：∵x2-7x+10=0，
∴（x-5）（x-2）=0，
解得：x1=5，x2=2，
∵三角形的两边长分别是3和6，
当x=5时，3+5＞6，能组成三角形；
当x=2时，2+35，∴2，4，5能构成三角形
∴三角形的周长为2+4+5=11
故选B
【点拨】本题考查了解一元二次方程，注意用三角形三边关系验证是否能构成三角形是解决本题的关键．
3．（2021·吉林·长春市第五十二中学九年级期中）如图，在中，．按以下步骤作图：分别以点和为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点和；作直线交于点，连结．若，则的长可能是（ ）

A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
【答案】A
【分析】
由基本作图得到MN垂直平分AC，则DA=DC，根据三角形三边的关系得到BC＜CD+DB，然后对各选项进行判断．
【解析】解：由作法得MN垂直平分AC，
∴DA=DC，
∴CD+BD=DA+DB=AB=7，
∵BC＜CD+DB，
∴BC＜7．
故选：A．
【点拨】本题考查了作图-基本作图－作已知线段的垂直平分线．三角形三边关系，线段垂直平分线的性质，掌握三角形三边关系，线段垂直平分线的性质是解题关键．
4．（2021·江苏·宜兴市树人中学九年级期中）下列说法正确的是（ ）
A．三角形三条中线的交点是三角形重心 B．等弦所对的圆周角相等
C．长度相等的两条弧是等弧 D．三角形的外心到三边的距离相等
【答案】A
【分析】
根据重心，弦与圆周角之间的关系，等弧的定义以及外心的定义进行逐一判断即可．
【解析】解：A、三角形三条中线的交点是三角形重心，故此选项符合题意；
B、在同圆或等圆中，等弦所对的圆周角相等，故此选项不符合题意；
C、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故此说法不符合题意；
D、三角形的外心是三边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等，故此说法不符合题意；
故选A．
【点拨】本题主要考查了三角形重心，外心，以及圆中弦、弧的知识，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
5．（2021·浙江·杭州市天杭实验学校九年级期中）如图，⊙O的两条弦AB、CD所在的直线交于点P，AC、BD交于点E，∠AED＝105°，∠P＝55°，则∠ACD等于（ ）

A．60° B．70° C．80° D．90°
【答案】C
【分析】
由图可得：所对的圆周角相等，可得，在及中利用三角形内角和定理分别表示出，，由等式的性质可得：，对顶角相等可得：，根据四边形内角和为可得，由平角定义即可得出结果．
【解析】解：由图可得：所对的圆周角相等，即：
，
在中，
，
在中，
，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点拨】题目主要考查同弧所对的圆周角相等，三角形内角和定理及对顶角相等的性质，理解同弧所对圆周角相等是解题关键．
6．（2021·辽宁旅顺口·九年级期中）如图，将绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△，连接，若，则的度数是（ ）．

A．10° B．20° C．30° D．40°
【答案】B
【分析】
由旋转得，，求出，利用外角性质求出，由旋转的性质得到∠B的度数，再计算90°-∠B即可得到结果．
【解析】解：由旋转得，，
∴，
∵，
∴=∠1+，
由旋转得∠B=，
∴=90°-∠B=20°，
故选：B．
【点拨】此题考查三角形外角的性质，等边对等角求角的度数，直角三角形两锐角互余的性质，旋转的性质，熟记旋转的性质是解题的关键．
7．（2021·陕西师大附中九年级期中）如图所示，在中，，，将绕点C顺时针旋转得到，点恰好在AB上，交AC于F，在不添加其他线段的情况下，图中与相似的三角形有（ ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】
根据旋转的性质及相似三角形的判定方法进行分析，找出存在的相似三角形即可．
【解析】由题意得：，，，，，
∵∠A=30°，∠ACB=90°
∴∠B=60°
∵
∴是等边三角形
∴
∴，∠，
∴∥BC
∵∠ACB=90°
∴
∴与相似的三角形有CF、△ABC、、
所以有4个
故选：C
【点拨】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是关键．
8．（2021·重庆一中九年级期中）下列命题是真命题的是（ ）
A．三角形的外角大于它的任何一个内角 B．边形的外角和为
C．矩形的对角线互相垂直且平分 D．三角形的内心到三角形三个项点的距离相等
【答案】B
【分析】
根据三角形的性质、多边形外角的性质，以及矩形的性质，对选项逐个判断即可．
【解析】解：A、三角形的外角大于和它不相邻的任何一个内角，则选项错误，不符合题意；B、边形的外角和为，则选项正确，符合题意；C、矩形的对角线互相平分，但不一定垂直，则选项错误，不符合题意；D、三角形的内心到三角形三个边的距离相等，则选项错误，不符合题意；故选B
【点拨】本题考查的是真假命题的判断，同时考查三角形的外角的性质，多边形的外角和定理，矩形的性质，三角形内心的性质，掌握以上知识是解题的关键．
9．（2021·宁夏·银川市第十五中学九年级期中）如图，在平行四边形中，用直尺和圆规作的平分线交于点E；以点A为圆心，的长为半径画弧交于点F．若，则的长为（ ）

A．16 B．15 C．14 D．13
【答案】A
【分析】
连接，设交于点，根据平行四边形的性质和作图可知,，进而证明四边形是菱形，根据勾股定理求得的长，即可求得的长．
【解析】解：如图，连接，设交于点，

平分

四边形是平行四边形

，


又


四边形是平行四边形

四边形是菱形
，
在中，，


故选A
【点拨】本题考查了作角平分线，等角对等边，菱形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，勾股定理，证明是菱形是解题的关键．
10．（2021·黑龙江·大庆市第六十九中学九年级）如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D，E分别在边BC，AC上，且BD＝CE，连接AD，BE交于点F，连接CF，则CF的最小值是（　　）

A．3 B．2 C．4 D．3
【答案】B
【分析】
根据三角形全等的判定定理和性质可得：，，利用各角之间的数量关系可得：，作的外接圆，则点F在圆上运动，连接OB、OC，交劣弧于点F’，当点F与点F’重合时，CF的长度最小，由切线定理可得，，在中，利用三角函数的正切可得，再根据所对直角边是斜边的一半即可确定，即可求出CF的最小值．
【解析】解：在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
作的外接圆，则点F的运动轨迹为以O为圆心，OB为半径的圆，如图所示，连接OB、OC，交劣弧于点F’，当点F与点F’重合时，CF的长度最小，

由切线定理可得：BC与⊙O相切于点B,
∴，，
在中，
，
∴，
∴，
∴CF的最小值为，
故选：B．
【点拨】题目主要考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、圆的相关性质定理、正切三角函数等，添加辅助圆作出相应辅助线是解题关键．
11．（2021·陕西碑林·九年级期中）如图，平行四边形ABCD的周长为16，AC、BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则△DCE的周长为（ ）

A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【分析】
先证明AE＝EC，再求解AD+DC＝8，再利用三角形的周长公式进行计算即可.
【解析】解：∵平行四边形ABCD，
∴AD＝BC，AB＝CD，OA＝OC，
∵EO⊥AC，
∴AE＝EC，
∵AB+BC+CD+AD＝16，
∴AD+DC＝8，
∴△DCE的周长是：CD+DE+CE＝AE+DE+CD＝AD+CD＝8，
故选：C．
【点拨】本题考查的是平行四边形性质，线段垂直平分线的性质，证明AE＝EC是解本题关键.
12．（2021·湖北青山·九年级期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AD，∠BCD＝120°，E、F分别为BC、CD上一点，∠EAF＝30°，EF＝3，DF＝1．则BE的长为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
延长CB到H，使BH=DF=1，连接AH，则可证得△ABH≌△ADF，从而AH=AF，∠BAH=∠DAF，易证△AHE≌△AFE，可得HE=EF=3，则可求得BE的长．
【解析】延长CB到H，使BH=DF=1，连接AH，如图

∵四边形ABCD内接于⊙O
∴∠ABC+∠ADC=180゜
∵∠ABH+∠ABC=180゜
∴∠ABH=∠ADF
在△ABH和△ADF中

∴△ABH≌△ADF
∴AH=AF，∠BAH=∠DAF
∵∠BAD+∠BCD=180゜，∠BCD=120゜
∴∠BAD=180゜-∠BCD=60゜
∵∠EAF=30゜
∴∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=30゜
∴∠EAH=∠BAE+∠BAH=30゜
在△AHE和△AFE中

∴△AHE≌△AFE
∴HE=EF=3
∴BE=HE-BH=3-1=2
故选：B
【点拨】本题考查了圆内接四边形的性质，全等三角形的判定与性质，构造辅助线得到全等三角形的问题的关键与难点．
二、填空题
13．（2021·四川恩阳·九年级期中）点G为的重心，如果，，，则的面积为______．
【答案】72
【分析】
延长AG到，连接，使得，则，再证明是直角三角形即可得解；
【解析】如图所示，延长AG到，连接，使得，则，


∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是直角三角形，
∴，
∴；
故答案是：72．
【点拨】本题主要考查了三角形重心的性质和三角形全等判定与性质，准确计算是解题的关键．
14．（2021·上海交通大学附属第二中学九年级期中）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称作为这个平面图形的一条优美线．已知ΔABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D、E在边BC上，且 BD＝2，E为BC中点，过点D的优美线交过点E的优美线于F，那么线段AF的长等于_____．
【答案】
【分析】
作使得是ΔABC一条优美线，过点作于点，根据,，，，列出比例式，代入数值计算即可．
【解析】如图，ΔABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，
E为BC中点，
，，
是ΔABC的一条优美线


BD＝2，

作使得是ΔABC一条优美线，过点作于点，
则

,

，

设，则

解得



又
即
解得


故答案为：
【点拨】本题考查了相似三角形的性质与判定，找到优美线是解题的关键．
15．（2021·湖北·黄石经济技术开发区教研室九年级期中）如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA