江苏省南通市2023届高三下学期数学二模试题含答案

 高三下学期二模数学模拟试题

一、单选题

1．已知P，Q为R的两个非空真子集，若，则下列结论正确的是（　　）

A．， B．，

C．， D．，

2．已知，则的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

3．将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数能组成成等差数列的概率为（　　）

A． B． C． D．

4．已知复数z的实部和虚部均为整数，则满足的复数z的个数为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

5．1471年米勒提出了一个问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆看上去最长即可见角最大后人称其为“米勒问题”.我们把地球表面抽象为平面，悬杆抽象为直线l上两点A，，则上述问题可以转化为如下模型：如图1，直线l垂直于平面，l上的两点A，B位于平面同侧，求平面上一点C，使得最大.建立图2所示的平面直角坐标系.设，当最大时，（　　）

A．2ab B．

C． D．ab

6．在三棱锥中，平面BCD，，则已知三棱锥外接球表面积的最小值为（　　）

A． B． C． D．

7．双曲线和椭圆的右焦点分别为，，，分别为上第一象限内不同于的点，若，，则四条直线的斜率之和为（　　）

A．1 B．0 C． D．不确定值

8．函数的定义域均为，且，关于对称，，则的值为（　　）

A．-24 B．-32 C．-34 D．-40

二、多选题

9．下列命题中正确是（　　）

A．中位数就是第50百分位数

B．已知随机变量X~，若，则

C．已知随机变量~，且函数为偶函数，则

D．已知采用分层抽样得到的高三年级男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数172，方差为120，女生样本平均数165，方差为120，则总体样本方差为

10．重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为下图的扇形COD，其中，，动点P在上（含端点），连结OP交扇形OAB的弧于点Q，且，则下列说法正确的是（　　）

A．若，则 B．若，则

C． D．

11．在长方体中，，则下列命题为真命题的是（　　）

A．若直线与直线所成的角为，则

B．若经过点的直线与长方体所有棱所成的角相等，且与面交于点，则

C．若经过点的直线与长方体所有面所成的角都为，则

D．若经过点的平面与长方体所有面所成的二面角都为，则

12．过平面内一点P作曲线两条互相垂直的切线、，切点为、、不重合，设直线、分别与y轴交于点A、B，则（　　）

A．、两点的纵坐标之积为定值

B．直线的斜率为定值

C．线段AB的长度为定值

D．面积的取值范围为

三、填空题

13．若函数的最大值为，则常数的值为　     　．

14．的展开式中的系数为　     　.（用数字作答）.

15．若对于任意的x，．不等式恒成立，则b的取值范围为　            　．

16．弓琴（如图），也可称作“乐弓”，是我国弹弦乐器的始祖．古代有“后羿射十日”的神话，说明上古生民对善射者的尊崇，乐弓自然是弓箭发明的延伸．在我国古籍《吴越春秋》中，曾记载着：“断竹、续竹，飞土逐肉”．弓琴的琴身下部分可近似的看作是半椭球的琴腔，其正面为一椭圆面，它有多条弦，拨动琴弦，音色柔弱动听，现有某研究人员对它做出改进，安装了七根弦，发现声音强劲悦耳．下图是一弓琴琴腔下部分的正面图．若按对称建立如图所示坐标系，为左焦点，均匀对称分布在上半个椭圆弧上，为琴弦，记，数列前n项和为，椭圆方程为，且，则取最小值时，椭圆的离心率为　     　.

四、解答题

17．如图，在三棱锥中，为等腰直角三角形，，，为正三角形，D为AC的中点..

（1）证明：平面平面；

（2）若二面角的平面角为锐角，且三棱锥的体积为，求二面角的正弦值.

18．在数列 中， . 

（1）求 的通项公式. 

（2）设 的前n项和为 ，证明： . 

19．设是一个二维离散型随机变量，它们的一切可能取的值为，其中i，，令，称是二维离散型随机变量的联合分布列．与一维的情形相似，我们也习惯于把二维离散型随机变量的联合分布列写成下表形式：现有个相同的球等可能的放入编号为1，2，3的三个盒子中，记落下第1号盒子的球的个数为X，落入第2号盒子中的球的个数为

（1）当时，求的联合分布列；

（2）设，且，求

20．记的内角，，的对边分别为，，，已知.

（1）若，证明：；

（2）若，证明：.

21．已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距与短轴长均为4．

（1）求E的方程；

（2）设任意过的直线为l交E于M，N，分别作E在点M，N上的两条切线，并记它们的交点为P，过作平行于l的直线分别交于A，B，求的取值范围．

22．设连续正值函数定义在区间上，如果对于任意，都有，则称为“几何上凸函数”．已知，．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若，试判断是否为上的“几何上凸函数”，并说明理由．

1．B

2．B

3．A

4．C

5．B

6．B

7．B

8．C

9．A,C,D

10．A,B,D

11．A,B,C

12．B,C,D

13．

14．-42

15．

16．

17．（1）证明：∵，D为AC中点，∴.

又为等边三角形，，∴.

∵，BD，平面PDB，∴平面PDB.

∵平面PAC，∴平面平面.

（2）解：∵为正三角形，，∴的面积为，设三棱锥的底面上的高为，

，作于O，由(1)平面，所以，又，所以，

所以O是DB的中点，记的中点为，以为轴，建立空间直角坐标系，

则，，，

∴，，

设是平面PAB的一个法向量

，取

设是平面PBC的一个法向量

取

，设二面角的平面角为，

则.

18．（1）解：∵ ，∴ ， 

又 ，∴数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，

从而 ，

则

（2）证明：∵ ， 

∴ .

设 ，则 ，

两式相减得 ，

从而 ，

故 .

19．（1）解：由题意知，的可能取值为，的可能取值为

则，

，

，

，

，

，

，

所以的联合分布列为：

（2）解：当时，，

所以

，

所以，

设，则由二项分布的期望公式得.

20．（1）证明：由正弦定理可得，，所以，

由余弦定理及其推论可得，，，

所以，由已知可得，，

即，

因为，所以.

（2）证明：由已知得，，

又由正弦定理可得，，

因为，所以.

由（1）知，，则，

又由正弦定理可得，

，

又，则，

将以及代入可得，

，

整理可得，，

因为，，，所以，则.

令，则，，

则，

所以，当，恒成立，所以在上单调递减.

所以，，即.

综上所述，.

21．（1）解：由题意，，，解得，，故椭圆

（2）解：由题意，，显然的斜率不为0，故设的方程为，，

则，即，故，.联立过的切线方程，即，

相减可得，即，

化简可得.代入可得，故.

设的中点为，则，，故.因为，，故，

所以三点共线.又作平行于l的直线分别交于A，B，易得，取中点，根据三角形的性质有四点共线，

结合椭圆的对称性有，当且仅当时取等号.

故

22．（1）解：定义域为，的导函数

当时，，故在单调递减；

当时，得：；由得：；

于是在单调递减，在单调递增，

综上，当时，在单调递减；

当时，在单调递减，在单调递增．

（2）解：是上的几何上凸函数，证明如下：

由（1）可知，当时，在单调递减，在单调递增．

故，故为连续正值函数

由于，

要证是上的几何上凸函数．

需证，

即证，

而

，

则，

需证

由，

故只需证

下面给出证明：设，则，

即在上，递减，

所以，

即．

综上，成立，

故，得证．