(通用版)中考数学一轮复习考点练习17 二次函数综合题 （教师版）

这是一份(通用版)中考数学一轮复习考点练习17 二次函数综合题 （教师版），共46页。
考点十七 二次函数综合题
【命题趋势】
在中考中，二次函数综合题每年必考点，特别是跟几何结合，经常在压轴题中出现。

【中考考查重点】
一、 线段问题
二、 面积问题
三、 等腰、直角三角形问题
四、 特殊四边形问题
五、 相似三角形问题
六、 与角度有关问题



考点一：线段问题

1．（2021秋•龙沙区期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），抛物线的顶点为D，连接BC，P为线段BC上的一个动点（P不与B、C重合），过点P作PF∥y轴，交抛物线于点F，交x轴于点G．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当PG＝2PF时，求点P的坐标；

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3 （2）P（，）
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）代入y＝ax2+bx+c，
∴，
∴，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b'，
∴，
∴，
∴y＝﹣x+3，
设P（t，﹣t+3），则F（t，﹣t2+2t+3），G（t，0），
∴PG＝﹣t+3，PF＝﹣t2+2t+3+t﹣3＝﹣t2+3t，
∵PG＝2PF，
∴﹣t+3＝﹣2t2+6t，
∴t＝或t＝3（舍），
∴P（，）；

考点二：面积问题
2．（2021秋•梅里斯区期末节选）如图，在平面直角坐标系中，已知直线y＝x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A、B两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于另一点C（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）探究：在抛物线上直线AB下方是否存在一点P，使△ABP面积最大？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；


【答案】（1） y＝x2﹣x﹣2 ，（，﹣）（2）P（2，﹣3）
【解答】解：（1）直线y＝x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（4，0）、B（0，﹣2），
将A、B、C点坐标分别代入二次函数解析式y＝ax2+bx+c，
∴，
∴，
∴二次函数解析式为：y＝x2﹣x﹣2，
化成顶点式为：y＝（x﹣）2﹣，
∴抛物线的顶点坐标为（，﹣）；
（2）存在，理由如下：
设P点坐标为（x，x2﹣x﹣2）（0＜x＜4），
过点P作PD⊥AC于点D，交AB于点E，则E的坐标表示为（x，x﹣2），
∴S△ABP＝
＝×4×（x﹣2﹣x2+x+2）
＝﹣x2+4x
＝﹣（x﹣2）2+4，
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＝2时S△ABP有最大值，求得P（2，﹣3）；


考点三： 等腰、直角三角形问题
3．（2021秋•龙凤区校级期末）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣8的图象与x轴交于A（2，0）和B（﹣8，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点F是直线BC下方抛物线上的一点，当△BCF的面积最大时，在抛物线的对称轴上找一点P，使得△BFP的周长最小，请求出点F的坐标和点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点Q（0，m），使得△BFQ为等腰三角形？如果有，请直接写出点Q的坐标；如果没有，请说明理由．


【答案】（1） （2） F（﹣4，﹣12），P（﹣3，﹣10）
（3）Q1（0，﹣4）或或或Q4（0，0）．
【解答】解：（1）将A（2，0）、B（﹣8，0）代入解析式，得
，解得：，
∴．
（2）当x＝0时，y＝﹣8，
∴C（0，﹣8），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，则
，解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x﹣8，
设，
如图1，作FG垂直于x轴交BC于G，则G（n，﹣n﹣8），
∴，
∵＝4FG，
∴当FG取得最大值时，S△BCF取得最大值，
∴当时，FG取得最大值8，S△BCF取得最大值32，
∴F（﹣4，﹣12），
作F关于对称轴对称的点F'，
∴F'（﹣2，﹣12），
当F'、B、P共线时，PB+PF有最小值，此时C△BFP有最小值，
设yBF'＝ax+b，则
，解得：，
∴yBF'＝﹣2x﹣16，
又∵xp＝﹣3，
∴P（﹣3，﹣10），
综上所述，F（﹣4，﹣12），P（﹣3，﹣10）.
（3）存在，理由如下，
①如图2，以BF为底边时，点Q1在BF的中垂线上，
∴BF的中垂线与y轴交点即为所求，
连接BQ1，FQ1，作FN垂直于y轴，
∵Q1B＝Q1F，
设OQ1＝t，则Q1N＝12﹣t，
∵FN＝4，BO＝8，，
∴42+（12﹣t）2＝82+t2，
解得：t＝4，
∴Q1（0，﹣4）；
②以BF为腰时，，
（i）当BF＝BQ2时，
设OQ2＝s，则，
∴160＝82+s2，
解得：，
当时，，
当时，；
（ii）当BF＝FQ4时：
∵B（﹣8，0），F（﹣4，﹣12），O（0，0），
∴F在线段BO的中垂线上，
∴FB＝FO，
∴Q4（0，0）；
由Q4关于N点对称得Q5（0，﹣24），
∵FN⊥y轴，
∴FO＝BF＝FQ5，
但此时B、F、Q5三点共线，不合题意；
综上所述，点Q的坐标为Q1（0，﹣4）或或或Q4（0，0）．

4．（2021秋•黄埔区期末）如图，抛物线y＝mx2﹣4mx﹣5m（m＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
（1）求抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示），A，B两点的坐标；
（2）是否存在使△BCM为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）A，B两点的坐标为（﹣1，0）、（5，0） （2）和
【解答】解：（1）∵y＝m（x﹣2）2﹣9m，
∴抛物线顶点M的坐标为（2，﹣9m），
∵抛物线与x轴交于A、B两点，
∴当y＝0时，mx2﹣4mx﹣5m＝0，
∵m＞0，
∴x2﹣4x﹣5＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝5，
∴A，B两点的坐标为（﹣1，0）、（5，0），
（2）存在使△BCM为直角三角形的抛物线．
过点C作CN⊥DM于点N，则△CMN为直角三角形，CN＝OD＝2，DN＝OC＝5m，

∴MN＝DM﹣DN＝4m，
∴CM2＝CN2+MN2＝4+16m2，
在Rt△OBC中，BC2＝OB2+OC2＝25+25m2，
在Rt△BDM中，BM2＝BD2+DM2＝9+81m2．
①如果△BCM是直角三角形，且∠BMC＝90°时，CM2+BM2＝BC2，
即4+16m2+9+81m2＝25+25m2，解得　，
∵m＞0，
∴．
∴存在抛物线使得△BCM是直角三角形；
②如果△BCM是直角三角形，且∠BCM＝90°时，BC2+CM2＝BM2．
即25+25m2+4+16m2＝9+81m2，解得　，
∵m＞0，
∴．
∴存在抛物线使得△BCM是Rt△；
③∵25+25m2＞4+16m2，9+81m2＞4+16m2，
∴以∠CBM为直角的直角三角形不存在，
综上，存在抛物线和使△BCM是直角三角形．
特
考点四： 特殊四边形问题
5．（2021秋•龙江县期末节选）已知抛物线y＝ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C，连接AC，有一动点D在线段AC上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F，AB＝4，设点D的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当m＝﹣2时，在平面内是否存在点Q，使以B，C，E，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．


【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3 （2）Q点为（3，0）或（﹣1，0）或（﹣3，6）
【解答】解：（1）∵点B（1，0），AB＝4，
∴A（﹣3，0），
将B（1，0），A（﹣3，0）代入y＝ax2+bx+3，
∴，
∴，
∴y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）存在，理由如下：
∵m＝﹣2，
∴E（﹣2，3），
设Q（n，t），
①当BC为平行四边形的对角线时，
，
解得，
∴Q（3，0）；
②当BE为平行四边形的对角线时，
，
解得，
∴Q（﹣1，0）；
③当BQ为平行四边形的对角线时，
，
解得，
∴Q（﹣3，6）；
综上所述：当Q点为（3，0）或（﹣1，0）或（﹣3，6）时，以B，C，E，Q为顶点的四边形为平行四边形．
6．（2021秋•江西月考）如图，抛物线y＝﹣x2+3x+m与x轴的一个交点为A（4，0），另一交点为B，且与y轴交于点C，连接AC．
（1）求m的值及该抛物线的对称轴；
（2）若点P在直线AC上，点Q是平面内一点，是否存在点Q，使以点A、点B、点P、点Q为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）m＝4 y＝﹣（x﹣）2+（2）（4，5）或（，﹣）．
【解答】解：（1）把A（4，0）代入二次函数y＝﹣x2+3x+m得：
∴﹣16+12+m＝0，
解得：m＝4，
∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣）2+，
∴二次函数对称轴为直线x＝；
（2）存在，理由：
①当AB是正方形的边时，此时，对应的正方形为ABP′Q′，

∵A（4，0），AB＝5，
∴点Q′的坐标为（4，5）；
②当AB是正方形的对角线时，此时，对应的矩形为APBQ，
∵AB、PQ是正方形对角线，
∴线段AB和线段PQ互相垂直平分，
∴点Q在抛物线对称轴上，且到x轴的距离为，
∴点Q的坐标为（，﹣），
故点Q的坐标为（4，5）或（，﹣）．


考点五： 相似三角形问题

7．（2021秋•建华区期末节选）抛物线y＝x2+bx+c经过A、B（1，0）、C（0，﹣3）三点．点D为抛物线的顶点，连接AD、AC、BC、DC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在线段AC上找一点M，使△AOM∽△ABC，请你直接写出点M的坐标；

【答案】（1）y＝x2+2x﹣3 （2）（，）
【解答】解（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过B（1，0）、C（0，﹣3），
∴，解得，
∴抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3．
（2）∵△AOM∽△ABC，
∴∠AOM＝∠ABC，
∴OM∥BC，
设直线BC的解析式为y＝mx+n，直线OM的解析式为y＝mx，
∴，解得，
∴直线BC的解析式为y＝3x﹣3，直线OM的解析式为y＝3x，
联立，解得，
∴点M的坐标为（，）；


考点六：与角度有关的问题
8．（2021秋•郧西县期末）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）Q为抛物线上一点，若∠ACQ＝45°，求点Q的坐标．

【答案】（1） y＝﹣x2+4x﹣3 （2）Q（，）
【解答】（1）把A（1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3，
得，
解得，
∴抛物线的解析式是y＝﹣x2+4x﹣3．
（2）如图2，点Q在抛物线上，且∠ACQ＝45°，
过点A作AD⊥CQ于点D，过点D作DF⊥x轴于点F，过点C作CE⊥DF于点E，
∵∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝∠DCA＝45°，
∴CD＝AD，
∵∠E＝∠AFD＝90°，
∴∠ADF＝90°﹣∠CDE＝∠DCE，
∴△CDE≌△DAF（AAS），
∴DE＝AF，CE＝DF，
∵∠E＝∠OFE＝∠COF＝90°，
∴四边形OCEF是矩形，
∴OF＝CE，EF＝OC＝3，
设DE＝AF＝n，
∵OA＝1，
∴CE＝DF＝OF＝n+1，
∵DF＝3﹣n，
∴n+1＝3﹣n，
解得n＝1，
∴DE＝AF＝1，
∴CE＝DF＝OF＝2，
∴D（2，﹣2），
设直线CQ的函数解析式为y＝px﹣3，则2p﹣3＝﹣2，
解得p＝，
∴直线CD的函数解析式为y＝x﹣3，
由，
得，（不符合题意，舍去），
∴点Q的坐标为（，）
3．（2021•郴州）将抛物线y＝ax2（a≠0）向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H：y＝a（x﹣h）2+k．抛物线H与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．已知A（﹣3，0），点P是抛物线H上的一个动点．
（1）求抛物线H的表达式；
（2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线H上运动（不与A，C重合），过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD交AC于点E．作PF⊥AC，垂足为F，求△PEF的面积的最大值；
（3）如图2，点Q是抛物线H的对称轴l上的一个动点，在抛物线H上，是否存在点P，使得以点A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】（1）y＝﹣（x+1）2+4 （2）m＝﹣时，S△PEF最大值＝×（）2＝
（3）P的坐标为（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）或（﹣2，3）
【解答】解：（1）由题意得抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），
∴抛物线H：y＝a（x+1）2+4，
将A（﹣3，0）代入，得：a（﹣3+1）2+4＝0，
解得：a＝﹣1，
∴抛物线H的表达式为y＝﹣（x+1）2+4；
（2）如图1，由（1）知：y＝﹣x2﹣2x+3，
令x＝0，得y＝3，
∴C（0，3），
设直线AC的解析式为y＝mx+n，
∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝x+3，
设P（m，﹣m2﹣2m+3），则E（m，m+3），
∴PE＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+，
∵﹣1＜0，
∴当m＝﹣时，PE有最大值，
∵OA＝OC＝3，∠AOC＝90°，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠ACO＝45°，
∵PD⊥AB，
∴∠ADP＝90°，
∴∠ADP＝∠AOC，
∴PD∥OC，
∴∠PEF＝∠ACO＝45°，
∵PF⊥AC，
∴△PEF是等腰直角三角形，
∴PF＝EF＝PE，
∴S△PEF＝PF•EF＝PE2，
∴当m＝﹣时，S△PEF最大值＝×（）2＝；
（3）①当AC为平行四边形的边时，则有PQ∥AC，且PQ＝AC，
如图2，过点P作对称轴的垂线，垂足为G，设AC交对称轴于点H，
则∠AHG＝∠ACO＝∠PQG，
在△PQG和△ACO中，
，
∴△PQG≌△ACO（AAS），
∴PG＝AO＝3，
∴点P到对称轴的距离为3，
又∵y＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
设点P（x，y），则|x+1|＝3，
解得：x＝2或x＝﹣4，
当x＝2时，y＝﹣5，
当x＝﹣4时，y＝﹣5，
∴点P坐标为（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）；
②当AC为平行四边形的对角线时，
如图3，设AC的中点为M，
∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴M（﹣，），
∵点Q在对称轴上，
∴点Q的横坐标为﹣1，设点P的横坐标为x，
根据中点公式得：x+（﹣1）＝2×（﹣）＝﹣3，
∴x＝﹣2，此时y＝3，
∴P（﹣2，3）；
综上所述，点P的坐标为（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）或（﹣2，3）．





1．（2021秋•长兴县月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0）和B（3，0），点D为线段BC上一点，过点D作y轴的平行线交抛物线于点E，连结BE．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当△BDE为直角三角形时，求线段DE的长度；
（3）在抛物线上是否存在这样的点P，使得∠ACP＝45°，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y＝﹣x2+4x﹣3 （2） DE的长度为2 （3）P（，﹣）
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0）和B（3，0），
∴，
解得：．
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x﹣3．
（2）令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3）．
设直线BC的解析式为y＝kx+n，
∴，
解得：．
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3．
∵点D为线段BC上一点，
∴设D（m，m﹣3），则点E（m，﹣m2+4m﹣3），
∴DE＝（﹣m2+4m﹣3）﹣（m﹣3）＝﹣m2+3m．
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴OB＝OC＝3．
∴∠OBC＝∠OCB＝45°．
∵DE∥y轴，
∴∠EDB＝∠OCB＝45°，
∴点D不可能是直角的顶点．
①当点B为直角的顶点时，设DE交x轴于点F，

∵∠BDE＝45°，∠EBD＝90°，
∴∠DEB＝45°．
∴△BED为等腰直角三角形．
∴EF＝FD＝DE．
∵DF＝3﹣m．
∴3﹣m＝（﹣m2+3m）．
解得：m＝2或3（m＝3不合题意，舍去）．
∴m＝2．
∴DE＝﹣22+3×2＝﹣4+6＝2．
②当点E为直角顶点时，此时边EB在x轴上，点E与点A重合，
∴m＝1．
∴DE＝﹣12+3×1＝﹣1+3＝2．
综上，当△BDE为直角三角形时，线段DE的长度为2．
（3）在抛物线上存在点P，使得∠ACP＝45°，理由：
∵A（1，0），
∴OA＝1．
∴ABOB﹣OA＝2．
∴AC＝＝．
延长CP交x轴于点F，如图，

由（2）知：∠OBC＝∠OCB＝45°，
∴∠AFC+∠FCB＝45°．
∵∠ACP＝45°，
∴∠ACB+∠FCB＝∠ACP＝45°．
∴∠AFC＝∠ACB．
∵∠FAC＝∠CAB，
∴△AFC∽△ACB．
∴．
∴．
∴AF＝5．
∴OF＝OA+AF＝6，
∴F（6，0）．
设直线CF的解析式为y＝dx+e，
∴，
解得：．
∴直线FC的解析式为y＝x﹣3．
∴，
解得：，．
∴点P的坐标为（，﹣）．
2．（2021秋•新荣区月考）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于C（0，4）．

（1）求该二次函数的解析式．
（2）二次函数位于x轴上方的图象上是否存在点P，使得S△BOP＝6S△AOC？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，D为线段BC上的一个动点，过点D作DE∥y轴，交二次函数的图象于点E，求线段DE长度的最大值．
【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4 （2） P（1，6）或 P（2，6）
（3）当m＝2时，ED有最大值4
【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）代入y＝ax2+bx+c，
得，
解得，
∴y＝﹣x2+3x+4；
（2）存在，理由如下：
∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4），
∴OB＝4，AO＝1，CO＝4，
∴S△ACO＝×1×4＝2，
∵S△BOP＝6S△AOC，
∴S△BOP＝12，
设P（t，﹣t2+3t+4），
∴S△BOP＝12＝×4×（﹣t2+3t+4），
解得t＝1或t＝2，
∴P（1，6）或 P（2，6）；
（3）设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+4，
设D（m，﹣m+4），则E（m，﹣m2+3m+4），
∴ED＝﹣m2+3m+4+m﹣4＝﹣m2+4m＝﹣（m﹣2）2+4，
∵D为线段BC上的一个动点，
∴0≤m≤4，
∴当m＝2时，ED有最大值4




1．（2021•内江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为（4，3）．
（1）求抛物线的解析式与直线l的解析式；
（2）若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接PA、PD，求当△PAD面积最大时点P的坐标及该面积的最大值；
（3）若点Q是y轴上的点，且∠ADQ＝45°，求点Q的坐标．

【答案】（1）y=﹣x2+x+3,y＝x+1 （2） △PAD的面积的最大值为，P（1，） （3）Q的坐标为（0，）或（0，﹣9）
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，
∴设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣6），
∵D（4，3）在抛物线上，
∴3＝a（4+2）×（4﹣6），
解得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+2）（x﹣6）＝﹣x2+x+3，
∵直线l经过A（﹣2，0）、D（4，3），
设直线l的解析式为y＝kx+m（k≠0），
则，
解得，，
∴直线l的解析式为y＝x+1；
（2）如图1中，过点P作PK∥y轴交AD于点K．设P（m，﹣m2+m+3），则K（m，m+1）．

∵S△PAD＝•（xD﹣xA）•PK＝3PK，
∴PK的值最大值时，△PAD的面积最大，
∵PK＝﹣m2+m+3﹣m﹣1＝﹣m2+m+2＝﹣（m﹣1）2+，
∵﹣＜0，
∴m＝1时，PK的值最大，最大值为，此时△PAD的面积的最大值为，P（1，）．

（3）如图2中，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AT，则T（﹣5，6），

设DT交y轴于点Q，则∠ADQ＝45°，
∵D（4，3），
∴直线DT的解析式为y＝﹣x+，
∴Q（0，），
作点T关于AD的对称点T′（1，﹣6），
则直线DT′的解析式为y＝3x﹣9，
设DQ′交y轴于点Q′，则∠ADQ′＝45°，
∴Q′（0，﹣9），
综上所述，满足条件的点Q的坐标为（0，）或（0，﹣9）．
2．（2021•西藏）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点．与y轴交于点C．且点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，5）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图（甲）．若点P是第一象限内抛物线上的一动点．当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标；
（3）图（乙）中，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y＝﹣x2+4x+5 （2）P（，）
（3）M的坐标为：（3，8）或（﹣3，﹣16）或（7，﹣16）
【解答】解：（1）将A的坐标（﹣1，0），点C的坐（0，5）代入y＝﹣x2+bx+c得：
，解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+5；
（2）过P作PD⊥x轴于D，交BC于Q，过P作PH⊥BC于H，如图：

在y＝﹣x2+4x+5中，令y＝0得﹣x2+4x+5＝0，
解得x＝5或x＝﹣1，
∴B（5，0），
∴OB＝OC，△BOC是等腰直角三角形，
∴∠CBO＝45°，
∵PD⊥x轴，
∴∠BQD＝45°＝∠PQH，
∴△PHQ是等腰直角三角形，
∴PH＝，
∴当PQ最大时，PH最大，
设直线BC解析式为y＝kx+5，将B（5，0）代入得0＝5k+5，
∴k＝﹣1，
∴直线BC解析式为y＝﹣x+5，
设P（m，﹣m2+4m+5），（0＜m＜5），则Q（m，﹣m+5），
∴PQ＝（﹣m2+4m+5）﹣（﹣m+5）＝﹣m2+5m＝﹣（m﹣）2+，
∵a＝﹣1＜0，
∴当m＝时，PQ最大为，
∴m＝时，PH最大，即点P到直线BC的距离最大，此时P（，）；
（3）存在，理由如下：
抛物线y＝﹣x2+4x+5对称轴为直线x＝2，
设M（s，﹣s2+4s+5），N（2，t），而B（5，0），C（0，5），
①以MN、BC为对角线，则MN、BC的中点重合，如图：

∴，解得，
∴M（3，8），
②以MB、NC为对角线，则MB、NC的中点重合，如图：

∴，解得，
∴M（﹣3，﹣16），
③以MC、NB为对角线，则MC、NB中点重合，如图：

，解得，
∴M（7，﹣16）；
综上所述，M的坐标为：（3，8）或（﹣3，﹣16）或（7，﹣16）．
3．（2021•湘潭）如图，一次函数y＝x﹣图象与坐标轴交于点A、B，二次函数y＝x2+bx+c图象过A、B两点．
（1）求二次函数解析式；
（2）点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，点P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1） y＝x2﹣x﹣ （2） Q的坐标为：（1，﹣）或（﹣1，0）或（3，0）
【解答】解：（1）在y＝x﹣中，令x＝0得y＝﹣，令y＝0得x＝3，
∴A（3，0），B（0，﹣），
∵二次函数y＝x2+bx+c图象过A、B两点，
∴，解得，
∴二次函数解析式为y＝x2﹣x﹣；
（2）存在，理由如下：
由二次函数y＝x2﹣x﹣可得其对称轴为直线x＝＝1，
设P（1，m），Q（n，n2﹣n﹣），而B（0，﹣），
∵C与B关于直线x＝1对称，
∴C（2，﹣），
①当BC、PQ为对角线时，如图：

此时BC的中点即是PQ的中点，即，
解得，
∴当P（1，﹣），Q（1，﹣）时，四边形BQCP是平行四边形，
由P（1，﹣），B（0，﹣），C（2，﹣）可得PB2＝＝PC2，
∴PB＝PC，
∴四边形BQCP是菱形，
∴此时Q（1，﹣）；
②BP、CQ为对角线时，如图：

同理BP、CQ中点重合，可得，
解得，
∴当P（1，0），Q（﹣1，0）时，四边形BCPQ是平行四边形，
由P（1，0），B（0，﹣），C（2，﹣）可得BC2＝4＝PC2，
∴四边形BCPQ是菱形，
∴此时Q（﹣1，0）；
③以BQ、CP为对角线，如图：

BQ、CP中点重合，可得，
解得，
∴P（1，0），Q（3，0）时，四边形BCQP是平行四边形，
由P（1，0），B（0，﹣），C（2，﹣）可得BC2＝4＝PC2，
∴四边形BCQP是菱形，
∴此时Q（3，0）；
综上所述，Q的坐标为：（1，﹣）或（﹣1，0）或（3，0）．

4．（2021•济南）抛物线y＝ax2+bx+3过点A（﹣1，0），点B（3，0），顶点为C．
（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；
（2）如图1，点P在抛物线上，连接CP并延长交x轴于点D，连接AC，若△DAC是以AC为底的等腰三角形，求点P的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，点E是线段AC上（与点A，C不重合）的动点，连接PE，作∠PEF＝∠CAB，边EF交x轴于点F，设点F的横坐标为m，求m的取值范围．

【答案】（1） y= ﹣（x﹣1）2+4 ,C（1，4）（2）P（） （3）﹣1＜m≤
【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），点B（3，0）代入y＝ax2+bx+3得：
，
解得：．
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3．
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点C（1，4）．
（2）设AC交y轴于点F，连接DF，过点C作CE⊥x轴于点E，如图，

∵A（﹣1，0），C（1，4），
∴OA＝1，OE＝1，CE＝4．
∴OA＝OE，AC＝＝2．
∵FO⊥AB，CE⊥AB，
∴FO∥CE，
∴OF＝CE＝2，F为AC的中点．
∵△DAC是以AC为底的等腰三角形，
∴DF⊥AC．
∵FO⊥AD，
∴△AFO∽△FDO．
∴．
∴．
∴OD＝4．
∴D（4，0）．
设直线CD的解析式为y＝kx+m，
∴，
解得：．
∴直线CD的解析式为y＝﹣．
∴，
解得：，．
∴P（）．
（3）过点P作PH⊥AB于点H，如下图，

则OH＝，PH＝，
∵OD＝4，
∴HD＝OD﹣OH＝，
∴PD＝＝．
∴PC＝CD﹣PD＝5﹣＝．
由（2）知：AC＝2．
设AF＝x，AE＝y，则CE＝2﹣y．
∵DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C．
∵∠CAB+∠AEF+∠AFE＝180°，
∠AEF+∠PEF+∠CEP＝180°，
又∵∠PEF＝∠CAB，
∴∠CEP＝∠AFE．
∴△CEP∽△AFE．
∴．
∴．
∴x＝﹣+y＝﹣+．
∴当y＝时，x即AF有最大值．
∵OA＝1，
∴OF的最大值为﹣1＝．
∵点F在线段AD上，
∴点F的横坐标m的取值范围为﹣1＜m≤．


1．（2021•宝鸡模拟）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和B，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求此抛物线的解析式及点B的坐标；
（2）设抛物线的顶点为D，连接CD、DB、CB、AC．
①求证：△AOC∽△DCB；
②在坐标轴上是否存在与原点O不重合的点P，使以P、A、C为顶点的三角形与△DCB相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1） B（3，0） （2）①略，②点P的坐标为（9，0）或（0，﹣）．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0）、C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，
得，
解得，
∴此抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
当y＝0时，则﹣x2+2x+3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴B（3，0）．
（2）①如图1，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的顶点D的坐标为（1，4），
∵B（3，0），C（0，3），
∴CD2＝12+（4﹣3）2＝2，CB2＝32+32＝18，BD2＝（3﹣1）2+42＝20，
∴CD2+CB2＝BD2＝20，
∴△DCB是直角三角形，且∠DCB＝90°，
∴∠AOC＝∠DCB＝90°，
∵CD＝，CB＝＝3，OA＝1，OC＝3，
∴＝＝，＝＝，
∴＝，
∴△AOC∽△DCB．
②存在，
如图2，点P在x轴上，△COP∽△DCB，且∠COP＝∠DCB＝90°，∠OPC＝∠CBD，
∴＝，
∴OP＝＝＝9，
∴P（9，0）；
如图3，点P在y轴上，△PAC∽△DCB，且∠PAC＝∠DCB＝90°，∠ACP＝∠CBD，
∴，
∵AC＝＝＝，BD＝＝，
∴CP＝＝＝，
∴OP＝﹣3＝，
∴P（0，﹣），
综上所述，点P的坐标为（9，0）或（0，﹣）．

2．（2021•中山市模拟）如图，抛物线y＝﹣x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为（4，﹣3）．
（1）请直接写出A，B两点的坐标及直线l的函数表达式；
（2）若点P是抛物线上的点，点P的横坐标为m（m≥0），过点P作PM⊥x轴，垂足为M．PM与直线l交于点N，当点N是线段PM的三等分点时，求点P的坐标；
（3）若点Q是y轴上的点，且∠ADQ＝45°，求点Q的坐标．

【答案】（1） y＝﹣x﹣1 （2）P的坐标为（3，﹣）或（0，﹣3）
（3）点Q的坐标为（0，9）或（0，﹣）
【解答】解：（1）令y＝0，得y＝x2﹣x﹣3＝0，
解得，x＝﹣2，或x＝6，
∴A（﹣2，0），B（6，0），
设直线l的解析式为y＝kx+b（k≠0），则，
解得，，
∴直线l的解析式为y＝﹣x﹣1；
（2）如图1，根据题意可知，点P与点N的坐标分别为P（m，m2﹣m﹣3），N（m，﹣m﹣1），

∴PM＝﹣m2+m+3，MN＝m+1，NP＝﹣m2+m+2，
分两种情况：
①当PM＝3MN时，得﹣m2+m+3＝3（m+1），
解得，m＝0，或m＝﹣2（舍），
∴P（0，﹣3）；
②当PM＝3NP时，得﹣m2+m+3＝3（﹣m2+m+2），
解得，m＝3，或m＝﹣2（舍），
∴P（3，﹣）；
∴综上所述：P的坐标为（3，﹣）或（0，﹣3）；
（3）∵直线l：y＝﹣x﹣1与y轴交于点E，
∴点E的坐标为（0，﹣1），
分两种情况：①如图2，当点Q在y轴的正半轴上时，记为点Q1，
过Q1作Q1H⊥AD于点H，则∠Q1HE＝∠AOE＝90°，
∵∠Q1EH＝∠AEO，
∴△Q1EH∽△AEO，
∴，即，
∴Q1H＝2HE，
∵∠Q1DH＝45°，∠Q1HD＝90°，
∴Q1H＝DH，
∴DH＝2EH，
∴HE＝ED，
连接CD，
∵C（0，﹣3），D（4，﹣3），
∴CD⊥y轴，
∴ED＝＝＝2，
∴HE＝ED＝2，Q1H＝2EG＝4，
∴Q1E＝＝10，
∴Q1O＝Q1E﹣OE＝9，
∴Q1（0，9）；
②如图3，当点Q在y轴的负半轴上时，
记为点Q2，过Q2作Q2G⊥AD于G，则∠Q2GE＝∠AOE＝90°，
∵∠Q2EG＝∠AEO，
∴△Q2GE∽△AOE，
∴，即，
∴Q2G＝2EG，
∵∠Q2DG＝45°，∠Q2GD＝90°，
∴∠DQ2G＝∠Q2DG＝45°，
∴DG＝Q2G＝2EG，
∴ED＝EG+DG＝3EG，
由①可知，ED＝2，
∴3EG＝2，
∴EG＝，
∴Q2G＝，
∴EQ2＝＝，
∴OQ2＝OE+EQ2＝，
∴Q2（0，﹣），
综上，点Q的坐标为（0，9）或（0，﹣）．
3．（2020•长春模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）、B（3，0）（点A在点B的左边），与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴，交抛物线于点D，过点D作DE∥y轴，交直线BC于点E，点P在抛物线上，过点P作PQ∥y轴交直线CE于点Q，连接PB，设点P的横坐标为m，PQ的长为d．
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）求直线BC的函数表达式；
（3）当0＜m＜4时，求d关于m的函数关系式；
（4）当△PQB是等腰三角形时，直接写出m的值．

【答案】（1） y＝﹣x2+4x﹣3 （2）y＝x﹣3
（3） 当0＜m＜3时，PQ＝﹣m2+3m，当3≤m＜4时，PQ＝m2﹣3m；
（4）m＝1或2或±
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），
∴
解得：
∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+4x﹣3；
（2）∵抛物线y＝﹣x2+4x﹣3与y轴交于点C，
∴点C（0，﹣3）
设直线BC解析式为：y＝kx﹣3，
∴0＝3k﹣3
∴k＝1，
∴直线BC解析式为：y＝x﹣3；
（3）∵设点P的横坐标为m，PQ∥y轴，
∴点P（m，﹣m2+4m﹣3），点Q（m，m﹣3），
当0＜m＜3时，PQ＝d＝﹣m2+4m﹣3﹣（m﹣3）＝﹣m2+3m，
当3≤m＜4时，PQ＝d＝（m﹣3）﹣（﹣m2+4m﹣3）＝m2﹣3m；
（4）B（3，0），点C（0，﹣3），
∴OB＝OC＝3，
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
∵PQ∥OC，
∴∠PQB＝45°，
若BP＝PQ，
∴∠PQB＝∠PBQ＝45°，
∴∠BPQ＝90°，即点P与点A重合，
∴m＝1，
若BP＝QB，
∴∠BQP＝∠BPQ＝45°，
∴∠QBP＝90°，
∴BP解析式为：y＝﹣x+3，
∴
解得：，
∴点P（2，1）
∴m＝2；
若PQ＝QB，
∴（3﹣m）2+（m﹣3﹣0）2＝（﹣m2+3m）2，或（3﹣m）2+（m﹣3﹣0）2＝（m2﹣3m）2，
∴m＝±，
综上所述：m＝1或2或±
4．（2021•黄冈二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+2（a＜0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（2，0），与y轴交于点C．

（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD、CD，OD交BC于点F，当S△COF：S△CDF＝2：1时，求点D的坐标；
（3）如图2，点E的坐标为（0，﹣1），在抛物线上是否存在点P，使∠OBP＝2∠OBE？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣x2+x+2 （2）D（1，2）
（3）点P的坐标为（）或（﹣）
【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），B（2，0），
∴把A（﹣1，0），B（2，0）代入y＝ax2+bx+2得，
，
解得，，
∴该抛物线的函数解析式为y＝﹣x2+x+2；
（2）如图1，过点D作DH∥y轴交BC于点H，交x轴于点G，

∵抛物线y＝﹣x2+x+2与y轴交于点C，
∴C（0，2），
设直线BC解析式为y＝kx+b，
则，解得，
∴直线BC解析式为y＝﹣x+2，
∵S△COF：S△CDF＝2：1，
∴OF：DF＝2：1，
∵DH∥OC，
∴△OFC∽△DFH，
∴＝2，
∴OC＝2DH，
设D（a，﹣a2+a+2），则H（a，﹣a+2），
∴DH＝﹣a2+a+2﹣（﹣a+2）＝﹣a2+2a，
∴2＝2（﹣a2+2a），
解得a＝1，
∴D（1，2）．
（3）①当点P在x轴上方时，
在y轴上取点G（0，1），连接BG，则∠OBG＝∠OBE，过点B作直线PB交抛物线于点P，交y轴于点M，使∠GBM＝∠GBO，
则∠OBP＝2∠OBE，
过点G作GH⊥BM，
∵E（0，﹣1），
∴OE＝OG＝GH＝1，
设MH＝x，则MG＝，
在Rt△OBM中，OB2+OM2＝MB2，
∴（+1）2+4＝（x+2）2，
解得：x＝，
故MG＝＝＝，
∴OM＝OG+MG＝1+＝，
∴点M（0，），
将点B（2，0）、M（0，）的坐标代入一次函数表达式y＝mx+n，
，
解得：，
∴直线BM的表达式为：y＝﹣x+，
∴，
解得：x＝或x＝2（舍去），
∴点P（，）；
②当点P在x轴下方时，
作点M（0，）关于x轴的对称点N（0，﹣），
求得直线BN的解析式为y＝x﹣，
∴，
解得，x＝﹣或x＝2（舍去），
∴点P（﹣，﹣）；
综合以上可得，点P的坐标为（）或（﹣）．
5．（2021•阳东区模拟）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0），与y轴相交于点N（0，3），抛物线的顶点为D，经过点A的直线y＝kx+1与抛物线y＝﹣x2+bx+c相交于点C．

（1）求抛物线的解析式；
（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，设点P的横坐标为t，过点P作y轴的平行线交AC于M，当t为何值时，线段PM的长最大，并求其最大值；
（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请直接写出点E的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】（1） y＝﹣x2+2x+3 （2） t＝时，线段PM的长最大，PM最大值＝
（3）E的坐标为（0，1）或（，）或（，）．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线相交于A（﹣1，0），N（0，3）两点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；

（2）如图1，将A（﹣1，0）代入直线AC的解析式为y＝kx+1，
得﹣k+1＝0，解得k＝1，
∴直线AC：y＝x+1，
∵点P的横坐标为t，且PM∥y轴，
∴P（t，﹣t2+2t+3），M（t，t+1），
∵点P在直线AC上方的抛物线上，
∴﹣1＜t＜3，
∴PM＝﹣t2+2t+3﹣（t+1）＝﹣t2+t+2＝﹣（t﹣）2+，
∵﹣1＜0，且﹣1＜＜3，
∴当t＝时，线段PM的长最大，PM最大值＝；

（3）能．
设点E的横坐标为t，则点F的横坐标为t，
当﹣1＜t＜3，如图2，由（2）得，EF＝﹣t2+t+2；
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴该抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点D的坐标为（1，4），
直线AC：y＝x+1，当x＝1时，y＝2，
∴B（1，2），
∴BD＝4﹣2＝2，
∵EF∥BD，
∴当EF＝BD＝2时，四边形BDNG是平行四边形，
∴﹣t2+t+2＝2，
解得t1＝0，t2＝1（不符合题意，舍去），
对于直线y＝x+1，当x＝0时，y＝1，
∴E（0，1）；
当x＜﹣1或x＞3时，如图3，EF∥BD或E′F′∥BD，则EF＝（t+1）﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣t﹣2，
∴t2﹣t﹣2＝2，
解得t1＝，t2＝，
直线y＝x+1，当x＝时，y＝；当x＝时，y＝，
∴E（，），E′（，），
综上所述，点E的坐标为（0，1）或（，）或（，）．