2023年河北省邢台市名校联盟高考数学模拟试卷（3月份）（二）（含答案解析）

2023年河北省邢台市名校联盟高考数学模拟试卷（3月份）（二）

1.  已知全集，集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  若复数z满足，则z的虚部是(    )

A. i B. 1 C.  D.

3.  下表是足球世界杯连续八届的进球总数：

则进球总数的第40百分位数是(    )

A. 147 B. 154 C. 161 D. 165

4.  将英文单词“rabbit”中的6个字母重新排列，其中字母b不相邻的排列方法共有(    )

A. 120种 B. 240种 C. 480种 D. 960种

5.  (    )

A.  B.  C.  D.

6.  在四棱台中，底面是边长为4的正方形，其余各棱长均为2，设直线与直线的交点为P，则四棱锥的外接球的体积为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知点，圆M：，过点的直线l与圆M交于A，B两点，则的最大值为(    )

A.  B. 12 C.  D.

8.  已知函数是定义在R上的奇函数，且的一个周期为2，则(    )

A. 1为的周期 B. 的图象关于点对称
C.  D. 的图象关于直线对称

9.  函数，在一个周期内的图象如图所示，则(    )

A.
B.
C.
D.

10.  在棱长为4的正方体中，点E，F分别是棱BC，的中点，则(    )

A.  B. 平面DEF
C. 平面与平面DEF相交 D. 点B到平面DEF的距离为

11.  已知椭圆E：的左焦点为F，B为E的上顶点，A，C是E上两点.若，，构成以d为公差的等差数列，则(    )

A. d的最大值是
B. 当时，
C. 当A，C在x轴的同侧时，的最大值为
D. 当A，C在x轴的异侧时与B不重合，

12.  已知，函数，则(    )

A. 对任意a，b，存在唯一极值点
B. 对任意a，b，曲线过原点的切线有两条
C. 当时，存在零点
D. 当时，的最小值为1

13.  已知是等比数列的前n项和，，，则______ .

14.  某种食盐的袋装质量X服从正态分布，随机抽取10000袋，则袋装质量在区间的约有______ 袋质量单位：
附：若随机变量X服从正态分布，则，，

15.  已知，，且，则的最小值为______ .

16.  已知抛物线C：的焦点为F，经过F的直线l，l与C的对称轴不垂直，l交C于A，B两点，点M在C的准线上，若为等腰直角三角形，则______ .

17.  已知数列的前n项和为，满足
求；
令，证明：，…

18.  如图，在三棱柱中，侧面和侧面均为正方形，D为棱BC的中点.
证明：平面平面；
若直线与平面所成角为，求平面与平面夹角的余弦值.

19.  如图，在平面四边形ABCD中，，，
若，求的面积；
若，求

20.  为弘扬体育精神，营造校园体育氛围，某校组织“青春杯”3V3篮球比赛，甲、乙两队进入决赛.规定：先累计胜两场者为冠军，一场比赛中犯规4次以上的球员在该场比赛结束后，将不能参加后面场次的比赛.在规则允许的情况下，甲队中球员M都会参赛，他上场与不上场甲队一场比赛获胜的概率分别为和，且每场比赛中犯规4次以上的概率为
求甲队第二场比赛获胜的概率；
用X表示比赛结束时比赛场数，求X的期望；
已知球员M在第一场比赛中犯规4次以上，求甲队比赛获胜的概率.

21.  已知双曲线过点，且P与E的两个顶点连线的斜率之和为
求E的方程；
过点的直线l与双曲线E交于A，B两点异于点设直线BC与x轴垂直且交直线AP于点C，若线段BC的中点为N，证明：直线MN的斜率为定值，并求该定值.

22.  已知，证明：
；

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】解：全集，集合，
，
则
故选：
求出集合A，B，利用交集定义能求出
本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

2.【答案】D 

【解析】解：因为，
所以，
故z的虚部是
故选：
根据复数的除法运算求得复数z，即可确定答案．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
 

3.【答案】C 

【解析】解：将连续八届的进球总数从小到大排列为：141，145，147，161，169，171，171，172，
由于，故进球总数的第40百分位数是第4个数据
故选：
将数据从小到大排列，计算，根据第40百分位数的含义，即可确定答案．
本题主要考查百分位数的定义，属于基础题．
 

4.【答案】B 

【解析】解：由题意可先排除b之外的其余四个字母，有种排法，
再从这四个字母排完后的5个空中选2个放入b，有种放法，
故字母b不相邻的排列方法共有种，
故选：
先排除b之外的其余四个字母，再从这四个字母排完后的5个空中选2个放入b即可．
本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．
 

5.【答案】A 

【解析】解：由，
得，
即，
又，
所以
故选：
利用二倍角的正切公式计算即可．
本题主要考查了二倍角公式的应用，属于基础题．
 

6.【答案】A 

【解析】解：设AC与BD相交于点因为四棱台为正四棱台，直线与直线的交点为P，
所以四棱锥为正四棱锥，
所以平面
四棱锥的外接球的球心O在直线上，连接BO，
设该外接球的半径为
因为平行于，
所以，，
所以，即，
解得，
则四棱锥的外接球的体积为
故选：
先确定四棱锥为正四棱锥，从而得出外接球的球心O在直线上，再由勾股定理确定半径，进而得出四棱锥的外接球的体积．
本题考查四棱锥外接球的体积计算，考查运算求解能力，属于中档题．
 

7.【答案】B 

【解析】解：圆M：，
则圆心，圆M的半径为4，
设AB的中点，
则，即，
又，
所以，即点D的轨迹方程为E：，圆心，半径为1，
所以的最大值为，
因为，
所以的最大值为
故选：
利用中点坐标求出AB的中点的轨迹方程为圆心、半径为1的圆，得的最大值，结合即可求解．
本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于中档题．
 

8.【答案】C 

【解析】解：因为为定义域为R奇函数，周期为2，
故函数满足条件，
令可得，，
函数的最小正周期为4，对称中心为，，
函数没有对称轴，
A错误，B错误，D错误；
因为函数是定义在R上的奇函数，
所以，
取可得，，
因为的一个周期为2，
所以，
取可得，，
由可得，函数为周期为4的函数，
所以，C正确；
故选：
举例判断A，B，D错误，再由条件结合奇函数的性质和周期函数的性质列关系式论证C正确．
本题主要考查了抽象函数的应用，考查了函数的奇偶性、对称性和周期性，属于中档题．
 

9.【答案】BD 

【解析】解：由图象可知，，，选项错误，D选项正确；
又由图象可得，
，又，，选项正确；
，
又，，
，又，
，
，错误．
故选：
观察图象确定函数的最值，根据最值求A，k，观察函数的周期，根据周期公式求，最后找点代入求，由此确定正确选项．
本题考查根据三角函数的图象求函数的解析式，三角函数的图象性质，属中档题．
 

10.【答案】BCD 

【解析】解：建系如图，则根据题意可得：
，，，，，
，，，，，
对A选项，，，
，与DF不垂直，选项错误；
对B选项，，，，
设平面DEF的法向量为，
则，取，
，平面DEF，选项正确；
对C选项，，，
又由B选项分析知平面DEF的法向量为，
设平面的法向量为，
则，取，
，与不平行，
平面与平面DEF相交，选项正确；
对D选项，，
又由B选项分析知平面DEF的法向量为，
点B到平面DEF的距离为，选项正确，
故选：
建系，利用空间垂直向量的坐标表示判断A；利用线面平行的向量法判断B；利用面面平行的向量法判断C；利用向量法求出点到平面的距离公式判断
本题考查向量法判断线线垂直问题，向量法判断线面平行问题，向量法判断面面平行问题，向量法求解点面距问题，属中档题．
 

11.【答案】ABC 

【解析】解：由椭圆方程可得，，
则，
对于选项A，由椭圆的性质可得，，又，，构成以d为公差的等差数列，
则d的最大值是，即选项A正确；
当时，设，，，又点A在椭圆上，
联立方程组解得或舍去，A的坐标为，
同理可得C的坐标为，A，C关于y轴对称，可得，可得，
当A，C关于原点对称时，可得，，故B正确；
，，构成以d为公差的等差数列，，C关于y轴对称，
设，，
当且仅当时取等号，故C正确；
当A，C在x轴的异侧时，可得A，C关于原点对称，
设，则，
，故D错误．
故选：
由椭圆的性质可得，，可得d的最大值判断A；由，可求A，C的坐标，进而可得，可判断B；由A，C关于y轴对称，可得，可求最大值判断C；设，则，，计算可判断
本题考查椭圆的几何性质，考查运算求解能力，属中档题．
 

12.【答案】ABD 

【解析】解：对于A，由已知，函数，可得，
令，所以，
则即在R上单调递增，
令，则，
当时，作出函数，的大致图象如图：

当时，作出函数，的大致图象如图：

可知，的图象总有一个交点，即总有一个根，
当时，；当时，，
此时存在唯一极小值点，故A正确；
对于B，由于，故原点不在曲线上，且，
设切点为，，则，
即，即，
令，，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
故，
当时，的值趋近于0，趋近于无穷大，故趋近于正无穷大，
当时，的值趋近于正无穷大，趋近于无穷大，故趋近于正无穷大，
故在和上各有一个零点，即有两个解，
故对任意a，b，曲线过原点的切线有两条，故B正确；
对于C，当时，，，
故，该函数为R上单调增函数，，，
故，使得，即，
结合A的分析可知，的极小值也即最小值为，
令，则，且为增函数，
当时，，当且仅当时取等号，
故当时，，则在上单调递增，
故，令，则，所以，
此时的最小值为，无零点，故C错误；
对于D，当时，为偶函数，考虑视情况；
此时，，，
结合A的分析可知在R上单调递增，，
故时，，则在上单调递增，
故在上单调递减，为偶函数，
故，故D正确．
故选：
对于A，求出函数导数，数形结合，判断导数正负，从而判断函数单调性，确定函数极值点；对于B，设切点为，，利用导数的几何意义可得方程，结合方程的根的个数，判断切线的条数；对于C，利用导数判断函数单调性，求函数最值，根据最值情况判断函数的零点情况；对于D，由于为偶函数，故先判断时函数的单调性，结合偶函数性质，即可判断的单调性，进而求得函数最值．
本题综合性较强，综合考查了导数的几何意义以及极值点、零点、最值问题，计算量较大；难点在于利用导数解决函数的零点问题时，要能构造恰当的函数，结合零点存在定理判断导数值的情况，从而判断函数的单调性，求得最值，解决零点问题．
 

13.【答案】 

【解析】解：设等比数列的公比为q，
由，，
可得，，
解方程得，或，
当时，，
当时，，
所以
故答案为：
由条件结合等比数列通项公式求首项和公比q，再利用求和公式求
本题主要考查了等比数列的通项公式和前n项和公式，属于基础题．
 

14.【答案】8186 

【解析】解：由题意知，，
所以，，
得

，
所以袋装质量在区间的约有袋．
故答案为：
根据正态分布的概率分布原则可得，，进而求出即可求解．
本题主要考查正态分布，属于中档题．
 

15.【答案】 

【解析】解：因为，解得：，
则，
当且仅当，时取等号．
故答案为：
利用等式求解b，代入计算，结合基本不等式，即可求得的最小值．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：抛物线的焦点为，准线方程为，
过点的斜率为0的直线与抛物线C有且只有一个交点，不满足条件，
设直线l的方程为，
联立，消x得，
，
设，，，，
设AB的中点为，
则，，，
所以，
因为为等腰直角三角形，
当点A为直角顶点时，
过点A作x轴的垂线，过点M作，垂足为，
过点B作，垂足为，
因为，，，
所以，
所以，，
所以，又，，，
所以，即，
所以，所以，，
所以，
当B为直角顶点时，同理可得，
当M为直角顶点时，则点M在以AB为直径的圆上，
因为AB的中点坐标为，
所以以AB为直径的圆的方程为，
取，可得，此时MN与x平行，与矛盾，
所以，
故答案为：
联立方程组，利用设而不求法，结合条件，通过讨论求出直线的斜率，由此可求弦长．
本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，平面几何知识的应用，设而不求法与韦达定理的应用，属中档题．
 

17.【答案】解：因为，
所以由，
可得，
所以，，
即，
即
证明：，当时，
当时，，
故
综上，， 

【解析】利用，结合条件可得，再利用等差数列的求和公式计算即可．
结合可知，利用放缩，再结合裂项相消求和即可证明．
本题主要考查数列递推式，数列的求和，考查运算求解能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：证明：因为侧面、侧面均为正方形，
所以，，又，AB、平面ABC，
所以平面ABC，又，所以平面ABC，
又平面ABC，所以
由，D为棱BC的中点，所以，
又，BC、平面，
因此平面，又平面，
故平面平面；
由得是与侧面所成角，即，
令，所以，又，
所以，，，
则，，
以，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建系如图，
则，，
所以，，
设是平面的一个法向量，
则即取
易知是平面的一个法向量，
则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为 

【解析】根据线面垂直的判定定理可得平面ABC，即平面ABC，进而，再次利用线面垂直的判定定理可得平面，结合面面垂直的判定定理即可证明；
建立如图空间直角坐标系，利用向量法求出平面的法向量，结合面面角的向量求法即得．
本题考查线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，向量法求解面面角问题，向量夹角公式的应用，属中档题．
 

19.【答案】解：在中，由余弦定理可得，，
所以；
设，则，，
在中，由正弦定理可得，
即，
所以，，
于是，解得或舍，
所以，
故 

【解析】根据余弦定理求出，利用诱导公式求出，结合三角形的面积公式计算即可求解；
设，根据正弦定理和诱导公式可得、，解得，同角的三角函数关系求出即可求解．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：设为“第i场甲队获胜“，为“球员M第i场上场比赛“，，2，3，
根据全概率公式可得
；
由题意可得，3，
又，由知，
，，


，
，
；
，此时，
所求概率为：
 

【解析】根据全概率公式，即可求解；
由题意可得，3，从而再根据对立事件的概率与独立事件的概率公式，数学期望的概念，即可求解；
根据对立事件与独立事件的概率公式，条件概率公式，即可求解．
本题考查全概率公式，对立事件的概率公式，离散型随机变量的期望的求解，属中档题．
 

21.【答案】解：双曲线的两顶点为，所以，即，
将代入E的方程可得，，
故E的方程为；
证明：依题意，可设直线l：，，，
联立方程，整理得，
所以，，解得且，
，，所以，
又直线AP的方程为，所以C的坐标为，
由可得，，
从而可得N的纵坐标，
将式代入上式，得，即，
所以，
将式代入上式，得 

【解析】由P与E的两个顶点连线的斜率之和为4得出，再将代入E的方程得出E的方程；
联立直线l和双曲线方程结合韦达定理得出，再由点C坐标得出，最后由结合，证明直线MN的斜率为定值．
本题主要考查了双曲线的标准方程，考查了直线与双曲线的位置关系，属于中档题．
 

22.【答案】证明：令，则，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，等号仅当时成立，即，
从而，所以
综上，
显然时，，即成立．
令，，则，，
令，则，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以，等号仅当时成立，
从而可得，，所以在和上单调递减．
由知，时，；时，，
所以，即，
又当且时，，所以，
故时， 

【解析】利用导数研究函数的单调性可得，即证，进而，即证，原不等式即可证明；
易知时不等式成立；当时，利用二阶导数研究函数的单调性可得，即，变形即可证明．
本题主要考查不等式的证明，利用导数研究函数的最值，在解决类似的问题时，要熟练应用导数研究函数的单调性与最值，善于培养转化的数学思想，学会构造新函数，利用导数或二阶求导研究新函数的性质即可解决问题．