2023年 九年级数学中考复习几何综合压轴题专题提升训练附答案

这是一份2023年 九年级数学中考复习几何综合压轴题专题提升训练附答案，共47页。试卷主要包含了圆中最长的弦是　 　；，问题情境，综合与实践，已知等内容，欢迎下载使用。
2023年春九年级数学中考复习《几何综合压轴题》专题提升训练（附答案）
1．（I）圆中最长的弦是　 　；
（Ⅱ）如图①，AB是⊙O的弦，AB＝8，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°，若点M、N分别是AB、AC的中点，求MN长度的最大值；
（Ⅲ）如图②，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝4，D是边BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O，分别交AB、AC于点E、F，连接EF，求线段EF长度的最小值．

2．如图，AB为⊙O直径，C为圆上一点，AC＝2，BC＝4，E为直径AB上一动点（不与点A、B重合），CE延长线交⊙O于D，PC⊥CD交DB延长线于点P．
（1）求证：△ABC∽△DPC；
（2）当CD⊥AB时，求CP的长；
（3）CP长是否存在最大值？若存在，求出CP的最大值；若不存在，说明理由．

3．如图，等腰Rt△ABO的斜边OB在x轴上，O是坐标原点，点A在第一象限内，BO＝2，点C（t，0）是线段OB上一动点（不与O，B重合），△OAC的外接圆⊙P与y轴的另一交点为D．
（1）求证：OD＝BC；
（2）当t为何值时，线段CD长度最小，并求出最小值；
（3）过点A作⊙P的切线分别交x轴、y轴于E，F，
①求证：OD•OE＝OC•OF；
②设W＝AE•AF，探索W的值是否随t的改变而改变？若是，则用含t的代数式表示W，并求W的取值范围；若不是，则求W的值．


4．如图，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D是直线AB上一动点（不包含点A，B），过点B作BE⊥CD于点E，连接EA．

（1）如图1，当点D在线段AB上时，直接写出线段CE，BE，AE的数量关系：　 　．
（2）如图2，当点D在线段AB的延长线上时，判断线段CE，BE，AE的数量关系，并加以证明．
（3）如图3，当点D在线段BA的延长线上时，并将已知条件中的“AB＝AC”改成；AC＝AB，其它条件不变，若CE＝1，AE＝，请直接写出线段BE的长．

5．已知等腰△ABC中，AB＝AC，点D在直线AB上，DE∥BC，交直线AC于点E，且BD＝BC，CH⊥AB，垂足为H．

（1）当点D在线段AB上时，如图①，求证DH＝BH+DE；
（提示：在DH上截取HM＝BH，连接CM，CD．）
（2）当点D在线段BA延长线上时，如图②；当点D在线段AB延长线上时，如图③，直接写出线段DH，BH，DE之间的数量关系，不需要证明；
（3）在（1）、（2）条件下，若CE＝7，BH＝3DE，则DH＝　 　．



6．问题情境：数学活动课上，老师提出了一个问题：如图①，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为直线AB上的一动点（点D不与点A，B重合）连接CD，以点C为旋转中心，将CD逆时针旋转90°得到CE，连接BE，试探索线段AB，BD，BE之间的数量关系．
小组展示：“希望”小组展示如下：解：线段AB，BD，BE之间的数量关系是AB＝BE+BD．
证明：如图①∵∠ACB＝90°，∠DCE＝90°
∴∠ACB＝∠DCE
∴∠ACB＝∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB
即∠ACD＝∠BCE
∵CE是由CD旋转得到．
∴CE＝CD
则在△ACD和△BCE中，

∴△ACD≌△BCE（依据1）
∴AD＝BE（依据2）
∵AB＝AD+BD
∴AB＝BE+BD
反思与交流：
（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：
依据1：　 　
依据2：　 　
（2）“腾飞”小组提出了与“希望”小组不同的意见，认为还有两种情况需要考虑，你根据他们的分类情况直接写出发现的结论：
①如图②，当点D在线段AB的延长线上时，三条线段AB，BD，BE之间的数量关系是　 　．
②如图③，当点D在线段BA的延长线上时，三条线段AB，BD，BE之间的数量关系是　 　．
（3）如图④，当点D在线段BA的延长线上时，若CD＝4，线段DE的中点为F，连接FB，求FB的长度．

7．已知，在△ABC中，AB＝AC，在射线CA上截取线段CE，在射线AB上截取线段BD，连接DE，DE所在直线交直线BC于点M．
（1）如图1，当点E在线段AC上时，点D在AB的延长线上时，若BD＝CE，请判断线段MD和线段ME的数量关系，并证明你的结论．
（2）如图2，当点E在CA的延长线上，点D在AB的延长线上时，若BD＝CE，则（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由．
（3）如图3，当点E在CA的延长线上，点D在线段AB上（点D不与A、B重合），DE所在直线与直线BC交于点M，若CE＝mBD，（m＞1），请直接写出线段MD与线段ME的数量关系．

8．已知在等边△ABC中，点D为射线BA上一点，作DE＝CD，交直线BC于点E．
（1）当点D在线段AB上时（如图1），求证：CE＝AD+AC；
（2）当点D在线段BA延长线上时（如图2），判断线段CE、AD、AC之间的数量关系；
（3）在（2）的条件下，DE交AC于点F，且AF：FC＝1：8，CE＝6，过点E作GE⊥BC交AB于点G，GF交CD于点H，求FH的长．


9．综合与实践
问题情境
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于点D，点E是射线AB上一点，连接CE，过点B作BF⊥CE于点F，且交直线CD于点G．

（1）如图1，当点E在线段AD上时，求证：CG＝AE．
自主探究
（2）如图2，当点E在线段BD上时，其它条件不变，请猜想CG与AE之间的数量关系，并说明理由．
拓展延伸
（3）如图3，当点E在线段AB的延长线上时，其它条件不变，请直接写出CG与AE之间的数量关系．
10．已知：如图，点D是直线AB上一动点，连接CD，过点D作DE∥BC交直线AC于点E．

（1）如图（备用图2），当点D在线段AB上时，
①依题意，在备用图2中补全图形；
②若∠ABC＝100°，∠BCD＝20°，则∠ADC＝　 　度．
（2）当点D在线段AB的延长线上时，请写出∠ADC、∠ABC、∠BCD的数量关系，并证明．
（3）当点D在直线AB上时，请直接写出∠ADC、∠ABC、∠BCD的数量关系，不需证明．
11．如图1，△ABC中，点D在线段AB上，点E在线段CB延长线上，且BE＝CD，EP∥AC交直线CD于点P，交直线AB于点F，∠ADP＝∠ACB．
（1）图1中是否存在与AC相等的线段？若存在，请找出，并加以证明，若不存在，说明理由；
（2）若将“点D在线段AB上，点E在线段CB延长线上”改为“点D在线段BA延长线上，点E在线段BC延长线上”，其他条件不变（如图2）．当∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB＝2时，求线段PE的长．

12．在Rt△ABC中，BC＝AC，∠ACB＝90°，点D为射线AB上一点，连接CD，过点C作线段CD的垂线l，在直线l上，分别在点C的两侧截取与线段CD相等的线段CE和CF，连接AE、BF．
（1）当点D在线段AB上时（点D不与点A、B重合），如图1
①请你将图形补充完整；
②线段BF、AD所在直线的位置关系为　 　，线段BF、AD的数量关系为　 　；
（2）当点D在线段AB的延长线上时，如图2
①请你将图形补充完整；
②在（1）中②问的结论是否仍然成立？如果成立请进行证明，如果不成立，请说明理由．



13．等边三角形ABC的边AB在直线l上，动点D也在直线l上（不与A，B点重合），△ADE为等边三角形．
（1）如图①，当点D在线段BA的延长线上且△ADE与△ABC在直线l的同侧时，试猜想线段BE与CD的大小关系为　 　
（2）如图②，当点D在线段BA上且ADE与ABC在直线l异测时，（1）中的结论是否仍然成立？若不成立，请说明结论发生了怎样的变化；若成立，说明理由，并求出此时线段BE与CD所在直线的夹角α（0°＜α＜90°）
（3）当点D在线段AB的延长线上且△ADE与△ABC仍然在直线l的异测时，试在图中画③出相应的图形，并直接判断此时BE与CD的关系（不必说明理由）．

14．（1）等边三角形△ABC中，点D是AB边所在直线上的一动点（D与A、B不重合），连接DC，以DC为边在BC边上方作等边三角形△DCE，连接AE，
①如图1，当D在线段AB上时，∠ABC与∠EAC有怎样的数量关系，直接写出结论　 　；
②如图2，当D在BA延长线上时，求证：∠ABC＝∠EAC；
③如图3，当D在AB延长线上时，探究∠ABC与∠EAC的数量关系，直接写出结论　 　．
（2）等腰三角形△ABC中，AB＝AC，点D是AB边上一动点（D与A、B不重合），如图4，连接DC，以DC为边在BC边上方作等腰三角形△DCE，使顶角∠DEC＝∠BAC，连接AE，探究∠ABC与∠EAC的数量关系，给予证明．


15．已知△ABC是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点（点D不与点B、C重合），△ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线AB、AC于点F、G，连接BE．
（1）如图①，当点D在线段BC上时，求证：△AEB≌△ADC；
（2）如图②，当点D在BC的延长线上时，探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形并说明理由；
（3）在（2）的情况下，当点D运动到什么位置时，四边形BCGE是菱形？并说明理由．



16．已知：△ABC为等边三角形，点E为射线AC上一点，点D为射线CB上一点，AD＝DE．

（1）如图1，当E在AC的延长线上且CE＝CD时，AD是△ABC的中线吗？请说明理由；
（2）如图2，当E在AC的延长线上时，AB+BD等于AE吗？请说明理由；
（3）如图3，当D在线段CB的延长线上，E在线段AC上时，请直接写出AB、BD、AE的数量关系．



17．已知直线m，n相交于点B，点A，C分别为直线m，n上的点，AB＝BC＝1，且∠ABC＝60°，点E是直线m上的一个动点，点D是直线n上的一个动点，运动过程中始终满足DE＝CE．
（1）如图1，当点E运动到线段AB的中点，点D在线段CB的延长线上时，求BD的长．
（2）如图2，当点E在线段AB上运动，点D在线段CB的延长线上时，试确定线段BD与AE的数量关系，并说明理由．

18．已知：在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D为射线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边向上作正方形ADEF，连接CF．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，请直接写出CF、BC、BD三条线段之间的关系为　 　；
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，求证：BD⊥CF；
（3）如图3，当D在CB延长线上时，如图3所示，连接CE，取CE中点M，连接BM，FM，求证：BM＝FM．

19．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y＝﹣x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2﹣6ax过线O、A交直线AB于点C，且C点的纵坐标比横坐标大4．
（1）如图1，求a的值；
（2）如图2，动点D在线段OB上，点E在线段AB上，DE∥x，点F在线段DC的延长线上，EF∥y轴，交x轴于点G，当点F恰好落在抛物线上时，求点D、F的坐标；
（3）在（2）的条件下，点P在第一象限内的抛物线上，PH⊥CD于点H，若tan，求点P的坐标．

20．如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．
（1）观察猜想
图1中，线段PM与PN的数量关系是　 　，∠MPN的度数是　 　；
（2）探究证明
把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸
把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝8，请直接写出△PMN面积的取值范围．







参考答案
1．解：（Ⅰ）直径是圆中最长的弦，
故答案为：直径；
（Ⅱ）如图1，∵点M，N分别是AB，AC的中点，

∴MN＝BC，
∴当BC取得最大值时，MN就取得最大值，当BC是直径时，BC最大，
连接BO并延长交⊙O于点C′，连接AC′，
∵BC′是⊙O的直径，
∴∠BAC′＝90°．
∵∠ACB＝45°，AB＝8，
∴∠AC′B＝45°，
∴BC′＝，
∴MN最大＝4．
故答案为：4；
（Ⅲ）由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，
如图2
，
连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，
∵在Rt△ADB中，∠ABC＝45°，AB＝4，
∴AD＝BD＝2，即此时圆的直径为2，
由圆周角定理可知∠EOH＝∠EOF＝∠BAC＝60°，
∴在Rt△EOH中，EH＝OE•sin∠EOH＝×＝，
由垂径定理可知EF＝2EH＝．
故答案为：．
2．（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵PC⊥CD，
∴∠DCP＝90°，
∴∠ACB＝∠DCP，
∵∠A＝∠D，
∴△ABC∽△DPC；
（2）解：在Rt△ACB中，
∵AB＝＝＝2，且CD⊥AB，
∴CE＝＝＝，
∴CD＝2CE＝，
∵由（1）已证△ABC∽△DPC，
∴＝，
∴＝，
解得：CP＝；
（3）解：存在，
由（1）已证△ABC∽△DPC，且＝，
即CP＝＝CD＝2CD，
∵当CD最大时，CP也就最大，CD最大时为直径，
∴当CD＝AB＝2时，CP最大值＝2CD＝4．
3．（1）证明：连接AD，如图，
∵△OAB为等腰直角三角形，
∴OA＝OB，∠AOB＝∠ABO＝45°，
∴∠AOD＝45°，
在△AOD和△ABC中，
，
∴△AOD≌△ABC（AAS），
∴OD＝BC；
（2）解：∵BO＝2，点C坐标为（t，0）
∴OC＝t，BC＝2﹣t（0＜t＜2），
∴OD＝BC＝2﹣t，
在RtOCD中，CD＝＝＝，
当t＝1时，CD有最小值，最小值为；
（3）①连接PA，如图，
∵EF为⊙O的切线，
∴PA⊥EF，
∵∠APD＝2∠AOD＝2×45°＝90°，
∴PA⊥DC，
∴DC∥EF，
∴OD：OF＝OC：OE，
∴OD•OE＝OC•OF；
②W的值随t的改变而改变．
作AH⊥OB于H，如图，
∵△OAB为等腰直角三角形，OB＝2，
∴AH＝OH＝1，
设OE＝x，则EC＝x﹣t，HE＝x﹣1，
∵EA2＝EC•EO，
∴EA2＝（x﹣t）•x，
∵EA2＝AH2+HE2，
∴x（x﹣t）＝1+（x﹣1）2，解得x＝
∴OE＝，
∵OD：OF＝OC：OE，
∴OF：OE＝（2﹣t）：t，
∴OF＝OE＝•＝，
W＝AE•AF＝
＝（EF2﹣EC•EO﹣FD•OF）
＝{OE2+OF2﹣（EO﹣t）•EO﹣[OF﹣（2﹣t）]}
＝[t•OE+（2﹣t）•FO]
＝[t•+（2﹣t）•]
＝
＝
＝﹣2，
∵﹣（t﹣1）2+1≤1，
∴W≥2．


4．解：（1）结论：EC﹣BE＝AE．
理由：如图1中，作AF⊥AE交CE于F．

∵BE⊥EC，
∴∠BED＝∠CAD＝90°，
∵∠EDB＝∠ADC，
∴∠EBD＝∠ACD，
∵∠EAF＝∠BAC＝90°，
∴∠EAB＝∠CAF，
∵AB＝AC，
∴△EAB≌△FAC（ASA），
∴BE＝CF，AE＝AF，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∵EF＝AE，
∴EC﹣CF＝EC﹣BE＝EF＝AE，
∴EC﹣BE＝AE．

（2）如图2中，结论：BE+EC＝AE．

理由：作AH⊥CD于H，AG⊥EB于G．
∵∠BEC＝∠BAC＝90°，
∴∠BAC+∠CEB＝180°，
∴A，B，E，C四点共圆，
∴∠AEC＝∠ABC＝45°，∠AEB＝∠ACB＝45°，
∴∠AEB＝∠AEC，
∵AH⊥EC，AG⊥GE，
∴AG＝AH，
∵AB＝AC，∠AGB＝∠AHC＝90°，
∴Rt△AGB≌Rt△AHC（HL），
∴BG＝CH，
∵∠AEH＝∠EAH＝∠AEG＝∠EAG＝45°，
∴AG＝EG＝AH＝EH，
∴EC+EB＝EH+CH+EG﹣GB＝2EH＝AE．

（3）如图3中，作AF⊥AE交BE于F．

在Rt△ABC中，∵tan∠ABC＝＝，
∴∠ABC＝60°，∠ACB＝30°，
∵∠BAC＝∠BEC＝90°，
∴A，B，C，E四点共圆，
∴∠AEF＝∠ACB＝30°，
∴AE＝AF，
∴＝，
∵∠BAC＝∠EAF＝90°，
∴∠BAF＝∠CAE，
∴△BAF∽△CAE，
∴＝＝，
∴BF＝，
∵AE＝，
∴AF＝1，
∴EF＝＝2，
∴BE＝BF+EF＝+2
5．解：（1）如图：在线段DH上截取HM＝BH，连接CM，CD

∵AB＝AC
∴∠B＝∠ACB
∵DE∥BC
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠ACB，∠EDC＝∠DCB
∴∠ADE＝∠AED＝∠B＝∠ACB
∵BD＝BC
∴∠BDC＝∠BCD，且∠EDC＝∠DCB
∴∠BDC＝∠EDC
∵BH＝HM，∠MHC＝∠BHC＝90°，CH＝CH
∴△BHC≌△HMC
∴∠B＝∠BMC且∠B＝∠AED
∴∠BMC＝∠AED
∴∠DMC＝∠DEC，且CD＝CD，∠BDC＝∠EDC
∴△DMC≌△DEC
∴DM＝DE
∵DH＝DM+HM＝BH+DE
（2）当点D在线段BA延长线上时，DH＝BH﹣DE
如图：在BA的延长线上截取MH＝BH，连接CM，DC

∵AB＝AC
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠DCB
∵DE∥BC
∠E＝∠ACB＝∠B＝∠EDB
∵CH＝CH，BH＝MH，∠BHC＝∠CHM
∴△BHC≌△CHM
∴∠B＝∠M
∴∠E＝∠M
∵∠MDC＝∠B+∠DCB，∠EDC＝∠BDC+∠EDB
∴∠MDC＝∠EDC
又∵∠E＝∠M，DC＝CD
∴△DEC≌△DMC
∴DE＝DM
∵DH＝MH﹣DM
∴DH＝BH﹣DE
当点D在线段AB延长线上时，DE＝BH+DH

如图在线段AB上截取BH＝HM，连接CM，CD
∵BH＝HM，CH＝CH，∠CHB＝∠MHC＝90°
∴△MHC≌△BHC
∴∠ABC＝∠BMC
∵AB＝AC
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BD＝BC
∴∠BDC＝∠BCD
∵BC∥DE
∴∠BCD＝∠CDE，∠ACB＝∠AED
∴∠BDC＝∠CDE，∠BMC＝∠AED，且CD＝CD
∴△CDM≌△CDE
∴DE＝DM
∵DM＝DH+HM
∴DE＝DH+BH
（3）∵DE∥BC
∴∠ABC＝∠ADE，∠ACB＝∠AED
∵∠ABC＝∠ACB
∴∠ADE＝∠AED
∴AD＝AE，且AB＝AC
∴BD＝CE＝7
①当点D在线段AB上时，DH＝BH+ED，且BH＝3DE
∴DH＝4DE，
∵BD＝BH+DH＝7DE＝7
∴DE＝1即DH＝4
②当点D在线段BA延长线上时，DH＝BH﹣DE且BH＝3DE
∴DH＝2DE
∵BD＝BH+DH＝5DE＝7
∴DE＝即DH＝
③当点D在线段AB延长线上时，DE＝BH+DH，且BH＝3DE
∴这样的点D不合题意舍去
故答案为4或
6．解：（1）依据1：SAS，依据2：全等三角形对应边相等；

（2）①BD，BE之间的数量关系是 AB＝BE﹣BD．
②BD，BE之间的数量关系是 AB＝BD﹣BE．

（3）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠ABC＝∠BAC＝45°
∵∠ACD＝90°﹣∠ACE，∠BCE＝90°﹣∠ACE，
∴∠ACD＝∠BCE，
∵在△ADC和△BEC中，

∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CAD＝∠CBE，
∵∠CAB＝45°，
∴∠CAD＝135°，
∴∠CBE＝135°，
又∵∠ABC＝45°
∴∠DBE＝∠CBE﹣∠ABC＝135°﹣45°＝90°
∴△DBE是直角三角形
∵线段DE的中点为点F，
∴BF＝DE，
因为在Rt△DCE中，CD＝CE＝4，
∴DE＝，
∴BF＝2．
7．（1）DM＝EM；（1分）
证明：过点E作EF∥AB交BC于点F，（2分）
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C；
又∵EF∥AB，∴∠ABC＝∠EFC，∴∠EFC＝∠C，
∴EF＝EC．又∵BD＝EC，∴EF＝BD．
又∵EF∥AB，∴∠ADM＝∠MEF．
在△DBM和△EFM中，
∴△DBM≌△EFM，∴DM＝EM．（4分）

（2）成立；（5分）
证明：过点E作EF∥AB交CB的延长线于点F，（6分）
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C；
又∵EF∥AB，∴∠ABC＝∠EFC，
∴∠EFC＝∠C，∴EF＝EC．
又∵BD＝EC，∴EF＝BD．
又∵EF∥AB，∴∠ADM＝∠MEF．
在△DBM和△EFM中
∴△DBM≌△EFM；∴DM＝EM；（8分）
（3）过点E作EF∥AB交CB的延长线于点F，
∴△DBM∽△EFM，
∴BD：EF＝DM：ME，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵∠F＝∠ABC，
∴∠F＝∠C，
∴EF＝EC，
∴BD：EC＝DM：ME＝1：m，
∴．（10分）

8．解：（1）作DF∥BC交AC于F，如图1所示，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，
∴∠DBE＝120°，
∵DF∥BC，
∴∠ADF＝∠ABC＝60°，
∠AFD＝∠ACB＝60°，∠FDC＝∠DCE，
∴∠A＝∠ADF＝∠AFD，∠DFC＝120°，
∴△ADF是等边三角形，∠DFC＝∠DBE，
∴DF＝AD，
∵DE＝DC，
∴∠E＝∠DCE，
∴∠FDC＝∠E，
在△DFC和△EBD中，
，
∴△DFC≌△EBD（AAS），
∴DF＝BE，
∴BE＝AD，
∴BE+BC＝AD+AC，CE＝AD+AC；

（2）过D作DF∥AC交BC延长线于F，如图2所示，
则∠BDF＝∠，BAC＝60°，∠F＝ACB＝60°，
∴∠BDF＝∠F＝∠ABC，
∴BD＝BF，
∴AD＝CF，
∵DE＝DC，
∴∠DEC＝∠DCE，
∴∠DBE＝∠DCF，
在△BDE和△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（AAS），
∴BE＝CF，
∴BE＝AD，
∴CE＝BC﹣BE＝AC﹣AD；

（3）作DI∥AC，交BC的延长线于I，交GH的延长线于点N，
设AF＝k，
∵AF：FC＝1：8，
∴AC＝9k，
∵AC∥DI，
∴∠I＝∠ACB＝60°，∵∠B＝60°，
∴△DBI是等边三角形，
∴BD＝BI，∵BA＝BC，
∴AD＝CI＝BE，
∵BD＝DI，∠B＝∠I，BE＝CI，
∴△DBE≌△DIC，
∴∠BDE＝∠CDI＝∠DCA，
∵∠DAF＝∠DAC，
∴△CAD∽△DAF，
∴DA2＝AF×AC＝9k2，
∴DA＝3k，
∴BE＝CI＝3k，
则3k+6＝9k，
解得：k＝1，
∴BE＝AD＝3，
在Rt△BGE中，BG＝2BE＝6，
∵AB＝AC＝9，
∴AG＝AD＝3，
作GM⊥AC于M．
在Rt△AGM中，易知AM＝，GM＝，
∵AF＝1，
∴FM＝，
在Rt△FGM中，FG＝＝，
∵AG＝AD，AF∥DN，
∴GF＝FN＝，GN＝2，DN＝2，
∴由DN：FC＝NH：HF
得到：FH＝．

9．综合与实践
解：（1）AE＝CG，理由如下：
∵在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠ABC＝45°．
∵点D是AB的中点，
∴∠BCG＝∠ACB＝45°，
∴∠A＝∠BCG．
∵BF⊥CE，
∴∠CBG+∠BCF＝90°．
∵∠ACE+∠BCF＝90°，
∴∠CBG＝∠ACE，
在△ACE和△CBG中，
，
∴△ACE≌△CBG（ASA），
∴AE＝CG；

自主探究
（2）AE＝CG；理由如下：
∵在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠ABC＝45°．
∵点D是AB的中点，
∴∠BCG＝∠ACB＝45°，
∴∠A＝∠BCG．
∵BF⊥CE，
∴∠CBG+∠BCF＝90°．
∵∠ACE+∠BCF＝90°，
∴∠CBG＝∠ACE，
在△ACE和△CBG中，
，
∴△ACE≌△CBG（ASA），
∴AE＝CG；

拓展延伸
（3）CG＝AE．
证明：同（1）（2）可得∠A＝∠GCB＝45°，
∵BF⊥CE，
∴∠GDB＝∠BFE＝90°，
∵∠DBG＝∠FBE，
∴∠CGB＝∠AEC，
，
∴△ACE≌△CBG（AAS），
∴CG＝AE．
10．解：（1）①补全图形；

②∵DE∥BC，
∴∠BCD＝∠CDE＝20°，∠ADE＝∠ABC＝100°
∴∠ADC＝∠ADE+∠CDE＝120°．
故答案为120．

（2）结论：∠ADC＝∠ABC﹣∠BCD．
理由：如图2中，

∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC
∠CDE＝∠BCD，
又∵∠ADC＝∠ADE﹣∠CDE，
∴∠ADC＝∠ABC﹣∠BCD，

（3）①当点D在线段AB上时，∠ADC＝∠ABC+∠BCD，
②当点D在线段AB的延长线上时，∠ADC＝∠ABC﹣∠BCD，
③当点D在线段BA的延长线上时，∠ADC+∠ABC+∠BCD＝180°．
11．解：（1）AC＝BF．证明如下：
如图1，∵∠ADP＝∠ACD+∠A，∠ACB＝∠ACD+∠BCD，∠ADP＝∠ACB，
∴∠BCD＝∠A，
又∵∠CBD＝∠ABC，
∴△CBD∽△ABC，
∴＝，①
∵FE∥AC，
∴＝，②
由①②可得，＝，
∵BE＝CD，
∴BF＝AC；

（2）如图2，∵∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，
∴∠ACB＝30°＝∠ADP，
∴∠BCD＝60°，∠ACD＝60°﹣30°＝30°，
∵PE∥AC，
∴∠E＝∠ACB＝30°，∠CPE＝∠ACD＝30°，
∴CP＝CE，
∵BE＝CD，
∴BC＝DP，
∵∠ABC＝90°，∠D＝30°，
∴BC＝CD，
∴DP＝CD，即P为CD的中点，
又∵PF∥AC，
∴F是AD的中点，
∴FP是△ADC的中位线，
∴FP＝AC，
∵∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，
∴AB＝AC，
∴FP＝AB＝2，
∵DP＝CP＝BC，CP＝CE，
∴BC＝CE，即C为BE的中点，
又∵EF∥AC，
∴A为FB的中点，
∴AC是△BEF的中位线，
∴EF＝2AC＝4AB＝8，
∴PE＝EF﹣FP＝8﹣2＝6．

12．解：（1）①见图1所示．
②证明：∵CD⊥EF，
∴∠DCF＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DCF，
∴∠ACD＝∠BCF
∵BC＝AC，CD＝CF，
∴△ACD≌△BCF，
∴AD＝BF，∠BAC＝∠FBC，
∴∠ABF＝∠ABC+∠FBC＝∠ABC+∠BAC＝90°，
即BF⊥AD．
故答案为：垂直、相等．
（2）①见图2所示．
②成立．理由如下：
证明：∵CD⊥EF，
∴∠DCF＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DCF+∠BCD＝∠ACB+∠BCD，
即∠ACD＝∠BCF，
∵BC＝AC，CD＝CF，
∴△ACD≌△BCF，
∴AD＝BF，∠BAC＝∠FBC，
∴∠ABF＝∠ABC+∠FBC＝∠ABC+∠BAC＝90°，
即BF⊥AD．


13．解：（1）BE＝CD
∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，AD＝DE＝AE，∠ABC＝∠BCA＝∠BAC＝∠DAE＝∠ADE＝∠AED＝60°．
∴∠BAC+∠EAC＝∠DAE+∠CAE，
即∠BAE＝∠DAC，
在△BAE和△CAD中，
，
∴△BAE≌△CAD，
∴BE＝CD．
故答案为：BE＝CD．
（2）（1）中的结论仍然成立，BE＝CD．
∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，AD＝DE＝AE，∠ABC＝∠BCA＝∠BAC＝∠DAE＝∠ADE＝∠AED＝60°．
在△BAE和△CAD中，

∴△BAE≌△CAD，
∴BE＝CD．∠ACD＝∠ABE．
延长CD到F交BE于点F，
∴∠BCD+∠DBE＝60°，
∴∠BFC＝60°．
∴线段BE与CD所在直线的夹角α为60°．
（3）如图③BE＝CD，
∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，AD＝DE＝AE，∠ABC＝∠BCA＝∠BAC＝∠DAE＝∠ADE＝∠AED＝60°，
∴∠BAE＝∠DAC＝120°．
在△BAE和△CAD中，
，
∴△BAE≌△CAD，
∴BE＝CD．

14．（1）①证明：∵△ABC、△CDE是等边三角形，
∴AB＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠BCD＝∠ACE，
∵在△BCD和△ACE中，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴∠ABC＝∠EAC；
故答案为：∠ABC＝∠EAC；

②解：结论∠ABC＝∠EAC仍成立；
理由如下：∵△ABC、△CDE是等边三角形，
∴AB＝AC，CD＝CE，∠BCA＝∠DCE＝60°，
∴∠BCD＝∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴∠ABC＝∠EAC；
③∵△ABC、△CDE是等边三角形，
∴∠ACB＝∠DCE＝∠ABC＝60°，
∴∠ACE＝∠BCD，
在△BCD和△ACE中，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴∠DBC＝∠EAC，
∵∠ABC+∠DBC＝180°，
∴∠ABC+∠EAC＝180°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠EAC＝120°＝2∠ABC．
故答案为：∠ABC+∠EAC＝180°或∠EAC＝2∠ABC
（2）解：方法1、∠ABC＝∠EAC；
理由如下：∵AB＝AC，ED＝EC，顶角∠BAC＝∠DEC，
∴底角∠ACB＝∠ECD，
∴△ABC∽△EDC，
∴，
又∵∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD，∠ACE＝∠DCE﹣∠ACD，
∴∠BCD＝∠ACE，
∴△BCD∽△ACE，
∴∠ABC＝∠CAE．


方法2、如图2，过点E作EN⊥BA交BA的延长线于N，EM⊥AC于M，
∴∠END＝∠EMC＝90°，
∵∠AOD＝∠EOC，∠BAC＝∠DEC，
∴∠ADE＝∠ACE，
∵△DEC是顶角为∠DEC的等腰三角形，
∴ED＝EC，
在△END和△EMC中，，
∴△END≌△EMC
∴∠EAN＝∠EAM，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠NAC＝∠ABC+∠ACB，
∴∠EAN+∠EAM＝∠ABC+∠ACB，
∴∠EAM＝∠ABC，
即：∠ABC＝∠EAC．

15．解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵△ADE是等边三角形，
∴AE＝AD，∠DAE＝60°，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠BAD＝∠DAE﹣∠BAD，
∴∠DAC＝∠BAE，
∴△AEB≌△ADC（SAS）；

（2）四边形BCGE是平行四边形，
理由：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∴∠BCG＝180°﹣∠ACB＝120°，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠AED＝∠ADE＝60°，
∵FG∥BC，
∴∠EGC＝∠ACB＝60°，∠DEG＝∠BDE，
同（1）的方法得，△AEB≌△ADC（SAS），
∴∠AEB＝∠ADC，
∴∠AEB+∠DEG＝∠ADC+∠BDE＝∠ADE＝60°，
∴∠BEG＝∠AEB+∠DEG+∠AED＝60°+60°＝120°，
∴∠BEG+∠EGC＝180°，
∴BE∥CG，
∵FG∥BC，
∴四边形BCGE是平行四边形；

（3）由（2）知，四边形BCGE是平行四边形，
∵四边形BCGE是菱形，
∴BE＝BC，
∵△AEB≌△ADC（SAS），
∴BE＝CD，
∴BC＝CD，
即：当CD＝BC时，四边形BCGE是菱形．
16．（1）解：如图1，结论：AD是△ABC的中线．理由如下：

∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，
∵CD＝CE，
∴∠CDE＝∠E，
∵∠ACD＝∠CDE+∠E＝60°，
∴∠E＝30°，
∵DA＝DE，
∴∠DAC＝∠E＝30°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠DAB＝∠CAD，∵AB＝AC，
∴BD＝DC，
∴AD是△ABC的中线．

（2）结论：AB+BD＝AE，理由如下：
如图2，在AB上取BH＝BD，连接DH，

∵BH＝BD，∠B＝60°，
∴△BDH为等边三角形，
∴∠BHD＝60°，BD＝DH，
∵AD＝DE，
∴∠E＝∠CAD，
∴∠BAC﹣∠CAD＝∠ACB﹣∠E即∠BAD＝∠CDE，
∵∠BHD＝60°，∠ACB＝60°，
∴180°﹣∠BHD＝180°﹣∠ACB即∠AHD＝∠DCE，
∵∠BAD＝∠CDE，AD＝DE，∠AHD＝∠DCE，
在△AHD和△DCE，
，
∴△AHD≌△DCE（AAS），
∴DH＝CE，
∴BD＝CE，
∴AE＝AC+CE＝AB+BD．

（3）AB＝BD+AE，
如图3，在AB上取AF＝AE，连接DF，

∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝∠ABC＝60°，
∴△AFE是等边三角形，
∴∠FAE＝∠FEA＝∠AFE＝60°，
∴EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DEF，
∵AD＝DE，
∴∠DEA＝∠DAE，
∴∠DEF＝∠DAF，
∵DF＝DF，AF＝EF，
在△AFD和△EFD中，
，
∴△AFD≌△EFD（SSS）
∴∠ADF＝∠EDF，∠DAF＝∠DEF，
∴∠FDB＝∠EDF+∠EDB，∠DFB＝∠DAF+∠ADF，
∵∠EDB＝∠DEF，
∴∠FDB＝∠DFB，
∴DB＝BF，
∵AB＝AF+FB，
∴AB＝BD+AE．
17．解：（1）∵∠ABC＝60°，AB＝BC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵点E是线段AB的中点，
∴∠ECB＝∠ACB＝30°，
∵DE＝CE，
∴∠EDB＝∠ECB＝30°，
∵∠ABC＝∠EDB+∠DEB，
∴∠DEB＝30°＝∠EDB，
∴BD＝DE＝AB＝；
（2）BD＝AE；理由如下：
过点E作EF∥BC交AC于点F，如图所示：
∵EF∥BC，
∴∠AFE＝∠ACB＝60°，
∴∠EFC＝120°，∠AFE＝∠A，
∴EF＝EA，
∵∠ABC＝60°，
∴∠EBD＝120°，
∴∠EFC＝∠EBD，
∵CE＝DE，
∴∠EDB＝∠ECB，
∵∠EDB+∠DEB＝∠ECB+∠ECF＝60°，
∴∠DEB＝∠ECF，
在△EDB和△CEF中，，
∴△EDB≌△CEF（AAS），
∴BD＝EF，
∵EF＝EA，
∴BD＝AE．

18．（1）解：CF、BC、BD三条线段之间的关系为：CF＝BC+BD．
如图1，延长BA至G，使AG＝BD，连接FG，

∵∠ABC＝90°，
∴∠BAD+∠BDA＝90°，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD＝AF，∠DAF＝90°，
∴∠BAD+∠GAF＝90°，
∴∠BDA＝∠GAF，
在△ABD和△FGA中，
，
∴△ABD≌△FGA，
∴AB＝FG，且∠AGF＝90°，
又∵AB＝BC，
∴BC＝FG，FG⊥BG，
又∵BC⊥BG，
∴FG∥BC，
∴四边形BCFG是矩形，
∴CF＝BG＝AB+AG，
又∵AB＝BC，AG＝BD，
∴CF＝BC+BD．
（2）证明：如图2所示，延长CB至G使BG＝BC，连接AG，
∵∠ABC＝90°，BG＝BC，AB＝BC，
∴AG＝AC，∠G＝∠ACB＝45°，∠GAC＝90°，
∴∠GAD＝∠GAC+∠CAD，∠CAF＝∠CAD+∠DAF，
∴∠GAD＝∠CAF，
在△GAD和△CAF中，
，
∴△GAD≌△CAF，
∴∠ACF＝∠G＝45°，
∴∠BCF＝∠BCA+∠ACF＝90°，
∴BD⊥CF．
（3）证明：如图3，作EH⊥BD于点H，

∵EH⊥BD，
∴∠EHD＝90°，
∴∠EDH+∠DEH＝90°，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD＝DE，∠ADE＝90°，
∴∠ADB+∠EDH＝90°，
∴∠ADB＝∠DEH，
在△ABD和△DHE中，
，
∴△ABD≌△DHE，
∴AB＝DH，BD＝HE，
又∵AB＝BC，
∴BC＝DH，
∴CH＝BD，
又∵BD＝HE，
∴CH＝HE，
∴△EHC是等腰直角三角形，
∴∠HCE＝∠HEC＝45°，
又∵M是CE的中点，
∴HM⊥CE，且HM＝CM＝EM，
∴∠HMC＝90°，∠CHM＝90°﹣45°＝45°．
∵∠ADH+∠DAB＝90°，∠FAB+∠DAB＝90°，
∴∠ADH＝∠FAB，
在△ADH和△FAB中，
，
∴△ADH≌△FAB，
∴AH＝BF，∠AHD＝∠FBA，
∴∠BAH+∠ABH＝∠CBF+∠ABC，
∴∠BAH＝∠CBF，
在△BAH和△CBF中，
，
∴△BAH≌△CBF，
∴HB＝CF，∠BCF＝∠ABH＝90°，
∴∠FCM＝90°﹣45°＝45°，
在△BHM和△FCM中，
，
∴△BHM≌△FCM，
∴BM＝FM．

19．解：设C（x，﹣x+6），
∵C点的纵坐标比横坐标大4，
∴x+4＝﹣x+6，
∴x＝1，
∴C（1，5），
∵点C在抛物线y＝ax2﹣6ax上，
∴a﹣6a＝5，
∴a＝﹣1，
（2）设D（0．m）
∵C（1，5），
∴直线CD解析式为y＝（5﹣m）x+m，
∵DE∥x轴，
∴E的纵坐标为m，
∵点E在y＝﹣x+6上，
∴E（6﹣m，m）
∴点F的横坐标为6﹣m，
∵点F在直线CD解析式为y＝（5﹣m）x+m上，
∴F（6﹣m，m2﹣10m+30），
由（1）得，抛物线解析式为y＝﹣x2+6x，
∴m2﹣10m+30＝﹣（6﹣m）2+6（6﹣m），
∴m＝5（舍）或m＝3，
∴D（0，3），F（3，9），
（3）如图，

过点F作FK⊥y轴，连接AD，AF，AF交PH于N，PH交PG于M，过点P作PL⊥y轴交AF于L，
∵F（3，9），D（0，3），A（6，0），
∴FK＝OD＝3，DK＝OA＝6，
∵∠FKD＝∠DOA＝90°，
∴△FKD≌△DOA，
∴∠DFK＝∠ADO，AD＝DF，
∵∠DFK+∠KDF＝90°，
∴∠ADO+∠HDF＝90°，
∴∠ADF＝180°﹣90°＝90°，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∵PH⊥CD，
∴PH∥AD，
∴∠AFD＝45°，
设AD交FG于Q，
∵G（3，0），A（6，0），
∴OG＝AG，
∵FG∥y轴，
∴AQ＝OQ，
∵PH∥AD，
∴，
∴HM＝MN，
∵∠AFD＝45°，
∴CF＝HN，
∵tan∠FPH＝，
∴PN＝MN，
∵PL∥FH，
∴，
∵F（3，9），A（6，0），D（0，3），
∴直线AD解析式为y＝﹣x+3，
直线AF解析式为y＝﹣3x+18，
设P（t，﹣t2+6t），
∴直线PH解析式为y＝﹣x﹣t2+t，
∴M（3，﹣t2+t﹣），
∴FM＝9﹣（﹣t2+t﹣）＝t2﹣t+，
∵PL＝﹣t2+9t﹣18，
∴3（﹣t2+9t﹣18）＝2（t2﹣t+），
∴t＝3（舍）或t＝5，
∴P（5，5）．
20．解：（1）∵点P，N是BC，CD的中点，
∴PN∥BD，PN＝BD，
∵点P，M是CD，DE的中点，
∴PM∥CE，PM＝CE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BD＝CE，
∴PM＝PN，
∵PN∥BD，
∴∠DPN＝∠ADC，
∵PM∥CE，
∴∠DPM＝∠DCA，
∵∠BAC＝120°，
∴∠ADC+∠ACD＝60°，
∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCA+∠ADC＝60°，
故答案为：PM＝PN，60°；

（2）△PMN是等边三角形．
由旋转知，∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，
利用三角形的中位线得，PN＝BD，PM＝CE，
∴PM＝PN，
∴△PMN是等腰三角形，
同（1）的方法得，PM∥CE，
∴∠DPM＝∠DCE，
同（1）的方法得，PN∥BD，
∴∠PNC＝∠DBC，
∵∠DPN＝∠DCB+∠PNC＝∠DCB+∠DBC，
∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCE+∠DCB+∠DBC
＝∠BCE+∠DBC＝∠ACB+∠ACE+∠DBC
＝∠ACB+∠ABD+∠DBC＝∠ACB+∠ABC，
∵∠BAC＝120°，
∴∠ACB+∠ABC＝60°，
∴∠MPN＝60°，
∴△PMN是等边三角形；
（3）由（2）知，△PMN是等边三角形，PM＝PN＝BD，
∴PM最大时，△PMN面积最大，PM最小时，△PMN面积最小
∴点D在BA的延长线上，△PMN的面积最大，
∴BD＝AB+AD＝12，
∴PM＝6，
∴S△PMN最大＝PM2＝×62＝9，
当点D在线段AB上时，△PMN的面积最小，
∴BD＝AB﹣AD＝4，
∴PM＝2，
S△PMN最小＝PM2＝×22＝，
∴≤S△PMN≤9．