中考数学二轮复习函数试题压轴题《几何问题》

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几何问题【知识纵横】    应用几何的判定与性质，解直角三角形的应用和方程思想解决几何问题。【典型例题】【例1】（重庆綦江）如图，等边△ABC中，AO是∠BAC的角平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边△CDE，连接BE．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）延长BE至Q，P为BQ上一点，连接CP、CQ使CP=CQ=5，若BC=8时，求PQ的长．【思路点拨】（1）证△ACD≌△BCE。（2）过点C作CH⊥BQ于H，求得∠DAC=30°，再求PQ的长。                 【例2】（山东济南）如图，点C为线段AB上任意一点(不与点A、B重合)，分别以AC、BC为一腰在AB的同侧作等腰△ACD和△BCE，CA＝CD，CB＝CE，∠ACD与∠BCE都是锐角，且∠ACD＝∠BCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连接CP．(1)求证：△ACE≌△DCB；(2)请你判断△ACM与△DPM的形状有何关系并说明理由； (3)求证：∠APC＝∠BPC．【思路点拨】（3）由(1)可得∠CAE＝∠CDB，从而点A、C、P、D四点共圆，可得∠APC＝∠ADC，再证明∠BPC＝∠BEC，即可。                     【例3】（广东广州）如图1，⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC＝45°，等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，点D在线段AC上．（1）证明：B、C、E三点共线；（2）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN＝OM；（3）将△DCE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°）后，记为△D1CE1（图2），若M1是线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，M1N1＝OM1是否成立？若是，请证明；若不是，说明理由．【思路点拨】（1）证明∠BCA＋∠DCE＝90°＋90°＝180°；（2）连接BD，AE，ON，延长BD交AE于F，先证明Rt△BCD≌Rt△ACE，再证△ONM为等腰直角三角形，即可得到结论。（3）证明的方法和（2）相同。                 【例4】（上海）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30，AB＝50．点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于E．点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM＝EN，．（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP＝，BN＝，求关于的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）若△AME∽△ENB（△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应），求AP的长． 【思路点拨】（2）根据EM＝EN，，得出△AEP∽△ABC，再求出 。（3）分点E在AC上和点E在BC上两种情况讨论。            【学力训练】1、（山东泰安）已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE=CG；（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明．                 2、（四川绵阳）已知△ABC是等腰直角三角形，∠A = 90，D是腰AC上的一个动点，过C作CE垂直于BD或BD的延长线，垂足为E，如图．（1）若BD是AC的中线，求的值；（2）若BD是∠ABC的角平分线，求的值；（3）结合（1）、（2），试推断的取值范围（直接写出结论，不必证明），并探究的值能小于吗？若能，求出满足条件的D点的位置；若不能，说明理由．                    3、（福建泉州）如图1，在第一象限内，直线y=mx与过点B（0，1）且平行于x轴的直线l相交于点A，半径为r的⊙Q与直线y=mx、x轴分别相切于点T、E，且与直线l分别交于不同的M、N两点．（1）当点A的坐标为（，p）时，①填空：p=___ ，m= ___，∠AOE= ___．②如图2，连接QT、QE，QE交MN于点F，当r=2时，试说明：以T、M、E、N为顶点的四边形是等腰梯形； （2）在图1中，连接EQ并延长交⊙Q于点D，试探索：对m、r的不同取值，经过M、D、N三点的抛物线y=ax2+bx+c，a的值会变化吗？若不变，求出a的值；若变化．请说明理由。             4、（福建莆田）已知菱形ABCD的边长为1．∠ADC=60°，等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F。（1）（4分）特殊发现：如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点．求证：菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边△AEF的外心；（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动．记等边△AEF的外心为点P．    ①（4分）猜想验证：如图2．猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；②（6分）拓展运用：如图3，当△AEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于点M，交边DC的延长线于点N，试判断是否为定值．若是．请求出该定值；若不是．请说明理由。    几何问题的参考答案【典型例题】【例1】（重庆綦江）解：（1）∵△ABC与△DCE是等边三角形，∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°。∴∠ACD+∠DCB=∠ECB+∠DCB=60°。∴∠ACD=∠BCE。∴△ACD≌△BCE（SAS）。（2）过点C作CH⊥BQ于H，∵△ABC是等边三角形，AO是角平分线，∴∠DAC=30°∵△ACD≌△BCE，∴∠QBC=∠DAC=30°。∴CH=BC=×8=4，∵PC=CQ=5，CH=4，∴PH=QH=3。∴PQ=6。【例2】（山东济南）解：(1) 证：∵∠ACD＝∠BCE，∴∠ACE＝∠DCB。又∵CA＝CD，CE ＝CB，∴△ACE≌△DCB（ASA）。           （2）△ACM∽△DPM。理由如下：              ∵△ACE≌△DCB，∴∠CAE＝∠CDB，即∠CAM＝∠PDM。              又∵∠CMA＝∠PMD，∴△ACM∽△DPM。           （3）证：∵∠CAE＝∠CDB，∴点A、C、P、D四点共圆。                    ∴∠APC＝∠ADC。                   同理，∠BPC＝∠BEC。                   又∵等腰△ACD和△BCE，CA＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE，                   ∴∠ADC＝∠BEC。                   ∴∠APC＝∠BPC。【例3】（广东广州）解：（1）证明：∵AB是直径， ∴∠BCA＝90°。            而等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，∴∠BCA＋∠DCE＝90°＋90°＝180°，∴B、C、E三点共线。（2）连接BD，AE，ON，延长BD交AE于F，如图，                ∵CB＝CA，CD＝CE，∴Rt△BCD≌Rt△ACE（SAS）。                ∴BD＝AE，∠EBD＝∠CAE。                ∴∠CAE＋∠ADF＝∠CBD＋∠BDC＝90°。                 即BD⊥AE。                又∵M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，而O为AB的中点，                 ∴ON＝BD，OM＝AE，ON∥BD，AE∥OM。               ∴ON=OM，ON⊥OM。即△ONM为等腰直角三角形。  ∴MN＝OM。（3）成立．理由如下：和（2）一样，易证得Rt△BCD1≌Rt△ACE1，同理可证BD1⊥AE1， △ON1M1为等腰直角三角形， 从而有M1N1＝OM1。 【例4】解：（1）∵∠ACB=90°，∴AC= 。∵CP⊥AB，∴ △ABC∽△CPB。∴ ，即。∴CP=24。∴CM=。（2）∵ ，∴设EP=12，则EM=13，PM=5。∵EM=EN，∴EN=13，PN=5。∵△AEP∽△ABC，∴ ，即 。∴=16，，∴BP=50－16，∴y=50－21，=50－21· ，=50－。由（1），当点E与点C重合时，AP=，∴函数的定义域是：0＜＜32。（3）①当点E在AC上时，如图2，由（2）知，AP=16，BN= y=50－，EN=EM=13，AM=AP－MP=16－5=11。∵△AME∽△ENB，∴ ，即。∴。 ∴AP=16×=22。②当点E在BC上时，如图，设EP=12，则EM=13，MP=NP=5，∵△EBP∽△ABC，∴，即。∴BP=9。∴BN=9－5=4，AM=50－9－5=50－14。∵△AME∽△ENB，，即。∴。∴AP=50－9×=42。综上所述，AP的长为：22或42。  【学力训练】1、（山东泰安）解：（1）证明：∵点D是AB中点，AC=BC，∠ACB=90°，∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°。∴∠CAD=∠CBD=45°。∴∠CAE=∠BCG。又BF⊥CE，∴∠CBG＋∠BCF=90。又∠ACE＋∠BCF=90°，∴∠ACE=∠CBG。∴△AEC≌△CGB（ASA）。∴AE=CG。（2）BE=CM，证明如下：∵CH⊥HM，CD⊥ED，∴∠CMA＋∠MCH=90°，∠BEC＋∠MCH=90°。∴∠CMA=∠BEC。又∵AC=BC，∠ACM=∠CBE=45°，∴△BCE≌△CAM（AAS）。∴BE=CM。2、（四川绵阳）解：设AB = AC = 1，CD = x，则0＜x≤1，BC =，AD = 1－x．在Rt△ABD中，BD2 = AB2 + AD2 = 1 +（1－x）2 = x2－2x + 2． 由已知可得 Rt△ABD∽Rt△ECD，∴， 即 ，∴。∴ ，0＜x≤1。（1）若BD是AC的中线，则CD = AD = x =，得。（2）若BD是∠ABC的角平分线，则Rt△ABD∽Rt△EBC，得，即，解得，。∴。（3）值的取值范围为≥1。若，则有 3x2－10x + 6 = 0，解得 。∴∴当时，的值小于。3、（福建泉州）解：（1） 1，，60°。（2）如图，连接TM，ME，EN，QN，QM ，∵OE和OP是⊙Q的切线，∴QE⊥x轴，QT⊥OT，即∠QTA=90°。而l∥x轴，∴QE⊥MN。∴MF=NF。又∵r=2，EF=1，∴QF=2－1=1。∴四边形QNEM为平行四边形，即QN∥ME。∴EN=MQ=EQ=QN，即△QEN为等边三角形。∴∠NQE=60°，∠QNF=30°。在四边形OEQT中，∠QTO=∠QEO=90°，∠TOE=60°，∴∠TQE=360°-90°－90°－60°=120°。∴∠TQE+∠NQE=120°+60°=180°。∴T、Q、N三点共线，即TN为直径。∴∠TMN=90°。∴TN∥ME，∴∠MTN=60°=∠TNE。∴以T、M、E、N为顶点的四边形是等腰梯形。（3）对m、r的不同取值，经过M、D、N三点的抛物线y=ax2+bx+c，a的值不会变化。理由如下：如图，连DM，ME，∵DM为直径，∴∠DME=90°。而DM垂直平分MN，∴Rt△MFD∽Rt△EFM。∴MF2=EF•FD。设D（h，k），（h＞0，k=2r），则过M、D、N三点的抛物线的解析式为：y=a（x-h）2+k。又∵M、N的纵坐标都为1，当y=1时，a（x-h）2+k=1，解得x1=，x2=。∴MN=2。∴MF=MN=。∴。∴ 。∴a=－1。∴对m、r的不同取值，经过M、D、N三点的抛物线y=ax2+bx+c，a的值会变化，a=－1。4、（福建莆田）解：（1）证明：如图1，分别连接OE、0F，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BD平分∠ADC．AO=DC=BC。∴∠COD=∠COB=∠AOD=90°，∠ADO= ∠ADC= ×60°=30°。又∵E、F分别为DC、CB中点，∴OE= CD，OF= BC，AO=AD。∴0E=OF=OA。∴点O即为△AEF的外心。（2）①猜想：外心P一定落在直线DB上。证明如下：如图2，分别连接PE、PA，过点P分别作PI⊥CD于I，PJ⊥AD于J，∴∠PIE=∠PJD=90°。∵∠ADC=60°，∴∠IPJ=360°－∠PIE－∠PJD－∠JDI=120°，∵点P是等边△AEF的外心，∴∠EPA=120°，PE=PA。∴∠IPJ=∠EPA。∴∠IPE=∠JPA，∴△PIE≌△PJA（AAS）。∴PI=PJ。∴点P在∠ADC的平分线上，即点P落在直线DB上。② 为定值2。当AE⊥DC时．△AEF面积最小，此时点E、F分别为DC、CB中点．连接BD、AC交于点P，由（1）可得点P即为△AEF的外心。如图3．设MN交BC于点G，设DM=x，DN=y（x≠0．y≠O），则CN=y－1。∵BC∥DA，∴△GBP≌△MDP。∴BG=DM=x．∴CG=1－x。∵BC∥DA，∴△GBP∽△NDM。∴ ，即。∴x＋y=2xy。∴ ，即 =2。