云南省曲靖市重点中学2023届高三下学期教学质量监测（五）数学试卷(含答案)

这是一份云南省曲靖市重点中学2023届高三下学期教学质量监测（五）数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
云南省曲靖市重点中学2023届高三下学期教学质量监测（五）数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题1、已知集合，.则(   )A. B. C. D.2、已知复数z在复平面内对应的点为，则(   )A. B. C. D.3、下列说法正确的是(   )A.将一组数据中的每一个数据都加上同一个常数后，平均数和方差都不变B.设具有线性相关关系的两个变量x，y的相关系数为r，则越接近于0，x和y之间的线性相关程度越强C.在一个列联表中，由计算得的值，则的值越小，判断两个变量有关的把握越大D.若，，则4、中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体(扇环是指圆环被扇形截得的部分)现有一个如图所示的曲池，垂直于底面，，底面扇环所对的圆心角为，弧AD的长度是弧BC长度的3倍，，则该曲池的体积为(   )A. B. C. D.5、将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若在上为增函数，则最大值为(   )A. B.2 C.3 D.6、某社区活动需要连续六天有志愿者参加服务，每天只需要一名志愿者，现有甲、乙、丙、丁、戊、己6名志愿者，计划依次安排到该社区参加服务，要求甲不安排第一天，乙和丙在相邻两天参加服务，则不同的安排方案共有(   )A.72种 B.81种 C.144种 D.192种7、已知双曲线的左、右焦点分别为，，一条渐近线为l，过点且与l平行的直线交双曲线C于点M，若，则双曲线C的离心率为(   )A. B. C. D.8、设，，则(   )A. B. C. D.二、多项选择题9、下列选项中正确的是(   )A.若向量，为单位向量，，则向量与向量的夹角为B.设向量，，若，共线，则C.若，，则在方向上的投影向量的坐标为D.若平面向量，满足，则的最大值是510、过点的直线l与圆交于A，B两点，线段MN是圆C的一条动弦，且，则(   )A.的最小值为 B.面积的最大值为C.面积的最大值为8 D.的最小值为11、如图，在棱长为1的正方体中，P为棱的中点，Q为正方形内一动点(含边界)，则下列说法中正确的是(   )A.若平面，则动点Q的轨迹是一条线段B.存在点Q，使得平面C.当且仅当点Q落在处时，三棱锥的体积最大D.若，那么点Q的轨迹长度为12、已知函数的定义域为，对任意的，都有，且，当时，，则(   )A.是偶函数B.C.当A，B是锐角的内角时，D.当，且，时，三、填空题13、若，则_________.14、已知AB是圆锥底面圆的直径，圆锥的母线，，则此圆锥外接球的表面积为__________.15、已知，则函数的最大值为__________.16、已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，且，则_____________；设点M是抛物线C上的任意一点，点N是C的对称轴与准线的交点，则的最大值为_________.四、解答题17、设为数列的前n项和，且满足：.(1)设，证明是等比数列；(2)求.18、在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.且.(1)求B；(2)若点D在AC边上，满足，且，，求BC边的长度.19、如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的菱形，，点D为棱AC上的动点，平面与棱交于点E.(1)求证；(2)若平面平面，，判断在线段AC上是否存在点D使得平面与平面所成的锐二面角为，并说明理由.20、北京冬奥会的举办使得人们对冰雪运动的关注度和参与度持续提高.某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据：(1)从这10所学校中随机抽取2所，在抽取的2所学校参与“单板滑雪”的人数超过30人的条件下，求这2所学校参与“自由式滑雪”的人数超过30人的概率；(2)“自由式滑雪”参与人数超过40人的学校可以作为“基地学校”，现在从这10所学校中随机抽取3所，记X为选出“基地学校”的个数，求X的分布列和数学期望；(3)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”.已知在一轮集训测试的3个动作中，甲同学每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响且每轮测试互不影响.如果甲同学在集训测试中获得“优秀”次数的平均值不低于8次，那么至少要进行多少轮测试?21、在平面直角坐标系Oxy中，动圆P与圆内切，且与圆外切，记动圆圆心P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)设曲线C的左、右两个顶点分别为，，T为直线上的动点，且T不在x轴上，直线与C的另一个交点为M，直线与C的另一个交点为N，F为曲线C的左焦点，求证：的周长为定值.22、已知函数(，e为自然对数的底数)，.(1)若，求曲线在点处的切线方程；(2)若有两个零点，求实数a的取值范围；(3)若不等式对，恒成立，求实数b的取值范围.
参考答案1、答案：B解析：因为，，所以或，所以.故选B.2、答案：A解析：因为复数z在复平面内对应的点为，所以，则，所以.故选：A.3、答案：D解析：对于A，方差反映一组数据的波动大小，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变，但平均数变化，故A错误，对于B，具有线性相关关系的两个变量x，y的相关系数为r，则越接近于1，x和y之间的线性相关程度越强，故B错误，对于C，在一个列联表中，由计算得的值，则的值越大，判断两个变量有关的把握越大，故C错误，对于D，，.故D正确.4、答案：D解析：设弧AD所在圆的半径为R，弧BC所在圆的半径为r，弧AD长度是弧BC长度的3倍，，即，，解得：，，该曲池的体积.故选：D.5、答案：B解析：函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则，又因为在上为增函数，所以，且，解得：，故的最大值为2.故选：B.6、答案：D解析：若乙和丙在相邻两天参加服务，不同的排法种数为，若乙和丙在相邻两天且甲安排在第一天参加服务，不同的排法种数为，由间接法可知，满足条件的排法种数为种.故选：D.7、答案：C解析：设，则点M位于第四象限，由双曲线定义知：，；设过点且与l平行的直线的倾斜角为，则，，；在中，由余弦定理得：，即，整理可得：，.故选：C.8、答案：A解析：设.因为，所以当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，所以当，且时，，即.所以，，所以最小，又因为，所以.综上可知，.故选：A.9、答案：BCD解析：A选项，由，以及，可得，则，即，又，所以夹角.对于B，因为，，且，共线，则解得.所以B正确.C选项，在方向上的投影向量为，故C正确，对于D，因为，所以，所以的最大值是5，所以D正确.10、答案：ABD解析：即，圆心，半径，在圆C内，，设圆心C到直线AB的距离为d，由题意得，，，故A正确；，当时，，故B正确，C错误，取MN的中点E，则，又，则，点E的轨迹是以为圆心，半径为3的圆.因为，且，所以的最小值为，故D正确.故选：ABD.11、答案：ACD解析：取、中点E、F，连接、、、，由且知是平行四边形，，平面，平面，平面，同理可得平面，，平面平面，则Q点的轨迹为线段EF，A选项正确；如图，建立空间直角坐标系，则，，，设，，，则，，.设为平面的一个法向量，则即得.取，则.若平面，则，即存在，使得，则，解得，故不存在点Q使得平面，B选项错误；的面积为定值，当且仅当Q到平面的距离d最大时，三棱锥的体积最大.，①，，则当时，d有最大值1；②，，则当时，d有最大值；综上，当，即Q和重合时，三棱锥的体积最大，C选项正确；平面，，，，Q点的轨迹是半径为，圆心角为的圆弧，轨迹长度为，D选项正确.故选：ACD.12、答案：BCD解析：令，则，所以为奇函数，故A错误.令，得，故B正确.任取，且，则.因为，所以，所以.因为，，所以，，即在上单调递增.因为A，B是锐角的内角，所以，所以，所以.因为，，所以，故C正确.因为，且，所以.令，则，令，则，所以.因为，所以是首项为1，公比为2的等比数列，所以，故D正确.故选：BCD.13、答案：34解析：依题意，令，得，令，得.故.14、答案：解析：如图所示，连接PO，则，解得，即，此圆锥外接球的球心为O，半径为2，表面积为.15、答案：解析：，，令，因为，所以，所以，所以，所以，对称轴，所以在单调递增，所以当时，，即当，时，有最大值.故答案为：.16、答案：；解析：设过点的直线l为，，，联立方程消去x得，可得，，则可得：，可得，解得，过点M作准线的垂线，垂足为D，则可得，若取到最大值即最小，此时直线MN与抛物线C相切，，即，则，设，则切线斜率，切线方程为，切线过，代入得，解得，即，则，，即则的最大值为，故答案为：；.17、答案：(1)证明见解析(2)解析：(1)因为①，故②，②-①可得.整理可得，即，().因为，.故是等比数列.(2)当时，，解得，又，.18、答案：(1)(2)解析：(1)因为，由正弦定理，可得，即，所以.因为，所以，即.因为，所以，所以，即.(2)法一：因为点D在AC边上，满足，所以，所以，因为，，，所以，即，解得，即.法二：由已知得，设，.，，，即①，又，，即，由方程①②解得，即.19、答案：(1)证明见解析(2)上不存满足题意的点，理由见解析解析：(1)，且平面，平面，平面，又平面，且平面平面，；(2)连结，取AC中点O，连结，，在菱形中，，是等边三角形，又O为AC中点，，平面平面，平面平面，平面，且，平面，平面，，又，，以点O为原点，，，为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，假设存在点D，满足题意，设，，，，，，，设平面的一个法向量为，则，所以，令，则，，故，设平面的法向量为，，，，，令，则，，故，，解，所以点D在点C的位置时，平面与平面所成锐角为.由于D不与A、C重合，故上不存满足题意的点.20、答案：(1)(2)分布列见解析，数学期望为(3)至少要进行11轮测试解析：(1)由题可知10个学校，参与“自由式滑雪”的人数依次为27，15，43，41，32，26，56，36，49，20，参与“单板滑雪”的人数依次为46，52，26，37，58，18，25，48，33，30，其中参与“单板滑雪”的人数超过30人的学校有6个，参与“单板滑雪”的人数超过30人，且“自由式滑雪”的人数超过30人的学校有4个，记“这10所学校中随机选取2所学校参与“单板滑雪”的人数超过30人”为事件A，“这10所学校中随机选取2所学校参与“自由式滑雪”的人数超过30人”为事件B，则，，所以.(2)参与“自由式滑雪”人数在40人以上的学校共4所，X的所有可能取值为0，1，2，3，所以，，，，所以X的分布列如下表：X0123P所以.(3)记“甲同学在一轮测试中获得“优秀””为事件C，则，由题意，甲同学在集训测试中获得“优秀”的次数服从二项分布，由题意列式，得，因为，所以n的最小值为11，故至少要进行11轮测试.21、答案：(1)(2)证明见解析解析：(1)设动圆P的半径为R，圆心P的坐标为，由题意可知：圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为.动圆P与圆内切，且与圆外切，，动圆P的圆心的轨迹C是以，为焦点的椭圆，设其方程为：，其中，，，，从而轨迹C的方程为：.(2)由题意可知，，，设，，如图所示，直线的方程为，直线的方程为，联立方程，消去y得，，即，则，，联立方程，消去y得，，即，则，，，直线MN的方程为，即，，故直线MN过定点，所以的周长为定值8，当时，，或，，过焦点，此时的周长为定值，综上所述，的周长为定值8.22、答案：(1)(2)实数a的取值范围为(3)实数b的取值范围为解析：(1)，，，，又，在处的切线方程为.(2)有两个零点，关于x的方程有两个相异实根，，，有两个零点即有两个相异实根.令，则，得，得，在单调递增，在单调递减，，又，当时，，当时，，当时，，有两个零点时，实数a的取值范围为；(3)，，所以，原命题等价于对一切恒成立，对一切恒成立，令，，，令，，则，在上单增，又，，使，即①，当时，，即在递减，当时，，即在递增，，由(1)知，，函数在单调递增，即，，，实数b的取值范围为.