河南省部分学校2023届高三下学期4月高考仿真适应性测试数学（理）试卷(含答案)

河南省部分学校2023届高三下学期4月高考仿真适应性测试数学（理）试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、已知全集，集合，，则集合中的子集个数为(   )

A.1 B.2 C.16 D.无数个

2、已知复数，其中i为虚数单位，且，则复数z的模的最大值为(   )

A.1 B.2 C.3 D.4

3、已知是第二象限角，则点所在的象限是(   )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

4、关于椭圆，有下面四个命题：

甲：长轴长为4；乙：短轴长为2；丙：离心率为；丁：.

如果只有一个假命题，则该命题是(   )

A.甲 B.乙 C.丙 D.丁

5、执行如图所示的程序框图，输出的结果是S，若，则m的值为(   )

A. B. C.-2 D.

6、数学与生活密不可分，在一次数学讨论课上，老师安排5名同学讲述圆、椭圆、双曲线、抛物线在实际生活中的应用，要求每位学生只讲述一种曲线，每种曲线至少有1名学生讲述，则可能的安排方案的种数为(   )

A.240 B.480 C.360 D.720

7、在正方体中，下列说法不正确的是(   )

A.直线与直线垂直

B.直线与平面垂直

C.三棱锥的体积是正方体的体积的三分之一

D.直线与直线垂直

8、已知向量，，且，则实数的值为(   )

A.8 B.-8 C.4 D.-4

9、点P是棱长为2的正方体外接球球面上的任意一点，则四棱锥的体积的最大值为(   )

A. B. C. D.

10、已知数列满足，，若，则(   )

A.10 B.15 C.20 D.25

11、已知函数的最小正周期为T，若，且的图象关于对称，则(   )

A.-1 B.1 C.3 D.

12、已知，且，则实数t的最小值为(   )

A.1 B. C.2 D.

二、填空题

13、直线与抛物线交于A，B两点，则________.

14、已知圆C经过抛物线与x轴的交点，且过点，则圆C的方程为_________.

15、若二项式的常数项为-80，则______.

16、已知函数，若函数，则函数的图象的对称中心为______；若数列为等差数列，，则______.

三、解答题

17、在中，D是边BC上的点，AD平分，的面积是的面积的两倍.

(1)如图1，若，且，求的面积；

(2)如图2，若点E在边AB上，且，，求的值.

18、在四棱锥中，底面ABCD是正方形，若，，.

(1)证明：平面平面ABCD；

(2)若点P为四棱锥的侧面QCD内(包含边界)的一点，且四棱锥的体积为，求BP与平面ABCD所成角的正弦值的最小值.

19、为了探讨学生的物理成绩y与数学成绩x之间的关系，从某校高三学生中抽取10名学生，他们的成绩(，2，…，10)如下表：

(1)请用相关数据说明该组数据中y与x间的关系是否可用线性回归模型拟合；

(2)求物理成绩y关于数学成绩x的线性回归方程；(结果保留三位小数)

(3)从统计的10名学生中随机抽取2名，求至少有一名学生物理成绩不少于60分的概率.

附：参考数据与参考公式

相关系数，，.

20、已知双曲线的离心率为，且双曲线C过点，直线交双曲线C于P，Q两点(异于点A)，直线AP，AQ的倾斜角互补.

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)求证：直线l与直线平行.

21、已知函数.

(1)讨论函数的单调性；

(2)讨论函数的零点个数，并证明你的结论.

22、［选修4-4：坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系xOy中，已知直线的参数方程为(t为参数)，抛物线C的极坐标方程为.

(1)求直线l和抛物线C的直角坐标方程；

(2)求直线l被抛物线C截得的弦长.

23、［选修4-5：不等式选讲]

已知a，b，c是正实数，且.求证：

(1)；

(2).

参考答案

1、答案：B

解析：先求，，所以，则，所以子集的个数为2.

2、答案：C

解析：，则表示的是以为圆心，1为半径的圆，则的最大值为3.

3、答案：D

解析：因为，，所以，，在第四象限.

4、答案：D

解析：假设甲、乙都正确，则，，所以，所以，，则丙正确，丁错误.

5、答案：C

解析：由程序框图可知，本题要求的是先求的值，即求，然后再求，故.

6、答案：A

解析：先选出2人讲同一种曲线，再全排列，.

7、答案：D

解析：设正方体的棱长为1，以C为原点，以CB，CD，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

则，，，

，，.

所以，，，

所以，，

即，，

又，所以平面，故A，B正确.

.所以与不垂直，所以D错误，.

所以，故C正解.

8、答案：A

解析：因为，，.

所以.

所以.

9、答案：B

解析：由正方体与外接球的关系知，即.则四棱锥的亰的最大值为，所以四棱锥的体积的最大值为.

10、答案：A

解析：因为，所以，故数列是首项和公差均为2的等差数列，所以，

所以，解得.

11、答案：C

解析：因为，所以，即，

又因为的图象关于对称，所以，

，，所以，，

又因为，所以，所以.

12、答案：C

解析：因为可化成.又因为函数在R上单调递增，

所以，由的最小值是在时取得可知，.

13、答案：16

解析：由得，，

所以A，B两点的坐标为，)，所以

.

答案：16.

14、答案：

解析：设圆C的方程为，令，，则由圆C经过抛物线与x轴的交点可知方程与同解，所以，，所以圆C的方程为，又因为圆C过点，所以，所以，所以圆C的方程为.

15、答案：5

解析：由题意可知的通项为，

，且r，n为整数，可得

16、答案：；8088

解析：因为为奇函数，所以的图象关于成中心对称，由数列为等差数列可知，故与关于点对称，故.

17、答案：(1)的面积为

(2)的值为1

解析：(1)因为的面积是的面积的两倍，，且，平分.

所以，所以，

又因为

，

所以，所以，

所以的面积为；

(2)由(1)知.设，则，

又因为，

，

所以是以为直角的直角三角形，

在中，由正弦定理可得，

在中，由正弦定理可得

，

因为，所以，

又因为，均为锐角，

所以，所以的值为1.

18、答案：(1)证明见解析

(2)最小值为

解析：(1)取的中点为O，连接，.

因为，.则，而，，故.

在正方形中，因为，故，故，

因为，故，故为直角三角形且，

因为，故平面，

因为平面，故平面平面.

(2)在平面内，过作，交于T，则.

结合(1)中的平面，故可建如图所示的空间直角坐标系.

则，，，，

故，，.

因为，所以，

又因为点P为四棱锥的侧面内的一点(包含边界)，

所以点P的轨迹是的中位线，

设，则，，

设与平面所成角为，则，

所以与平面所成角的正弦值的最小值为.

19、答案：(1)可用线性回归模型拟合

(2)

(3)

解析：(1)因为，

而0.9964非常接近于1，所以可用线性回归模型拟合.

(2)因为，，

所以物理成绩y关于数学成绩x的线性回归方程为.

(3)记“从统计的10名同学中随机抽取2名，至少有一名同学物理成绩不少于60分的为事件A”，

则一次试验中所含有的基本事件的个数，

事件A中所含有的基本事件的个数.

所以从统计的10名同学中随机抽取2名，至少有一名同学物理成绩不少于60分的概率为.

20、答案：(1)

(2)证明见解析

解析：(1)因为双曲线的离心率为，所以双曲线的方程可表示为，又因为双曲线C过点，

所以，所以，，

所以双曲线的标准方程为；

(2)根据题意可知直线l的斜率一定存在，

故可设直线l的方程为，

将代入得，

所以，，

又因为直线，的倾斜角互补，

设P点坐标为，Q点坐标为，

所以，即，

所以，

所以，

化简得.

又因为，所以，

又因为，

所以，所以，

所以直线与直线平行.

21、答案：(1)见解析

(2)见解析

解析：(1)因为，

当时，，

所以在上单调递增，

当时，令，得，

所以的单调递增区间是，单调递减区间是；

(2)由(1)可知，当时，在上单调递增，，，

又因为在上是连续不间断的，所以在上有唯一零点，

所以当时，在上有唯一零点，

当时，在上有唯一零点，

当时，，所以在上没有零点；

当时，，

所以在上有唯一零点；

当时，.

又因为当时，在上恒成立，即在上恒成立，

所以在上恒成立，所以在上恒成立，

所以，

又因为，

所以，，

又因为在和上均是连续不间断的，

所以在和上各有唯一零点，

所以当，在上有两个不同的零点.

综上所述，当或时，在上有唯一零点；

当时，在上没有零点；

当，在上有两个不同的零点.

22、答案：(1)直线的直角坐标方程为；抛物线C的直角坐标方程为

(2)

解析：(1)因为，

所以直线的直角坐标方程为，

因为抛物线C的极坐标方程为，即，

所以抛物线C的直角坐标方程为；

(2)将直线的参数方程代入抛物线的方程得，即，

所以，所以截得的弦长为.

23、答案：(1)证明见解析

(2)证明见解析

解析：(1)因为a，b，c是正实数，所以，

所以(当且仅当时等式成立)，即；

(2)因为

，

所以，

即.