2023年辽宁省大连市高新园区名校联盟中考数学模拟试卷（4月份）（含解析）

2023年辽宁省大连市高新园区名校联盟中考数学模拟试卷（4月份）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  实数的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列几何体中，左视图是三角形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  冠状病毒因在显微镜下观察类似王冠而得名，新型冠状病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒，新型冠状病毒的半径约是米，将数用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当时，的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列各式中，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  如果一个多边形的内角和等于其外角和的倍，那么这个多边形是(    )

A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形

7.  已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则(    )

A.  B.  C.  D.

8.  一组数据的方差计算公式为，下列关于这组数据的说法错误的是(    )

A. 平均数是 B. 中位数是 C. 众数是 D. 方差是

9.  如图，已知，小妍同学进行以下尺规作图：
以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点；
以点为圆心，小于线段的长为半径作弧，与射线交于点，；
分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，交于点，直线交于点若，则的度数可以用表示为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图：图中的两条射线分别表示甲、乙两名同学运动的一次函数图象，图中和分别表示运动路程和时间，已知甲的速度比乙快，下列说法：射线表示甲的路程与时间的函数关系；甲的速度比乙快米秒；甲让乙先跑了米；秒钟后，甲超过了乙。其中正确的说法是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  不等式的解集是        ．

12.  一只不透明的袋子中装有个黄球、个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出个球，摸到红球的概率为        ．

13.  在平行四边形中，，，若，则平行四边形的面积为        ．

14.  如图，已知正方形的边长为，为边上一点，以点为中心，将按顺时针方向旋转得，则点所经过的路径长为______．

15.  孙子算经中有一道题，原文是“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”译文为：今有若干人乘车，每人共乘一车，最终剩余辆车；若每人共乘一车，最终剩余人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？若设共有辆车，则可列方程为______．

16.  如图，在矩形中，，，，将沿翻折，使点落在点处，作射线，交的延长线于点，则的长为        ．

三、解答题（本大题共10小题，共102.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
化简：．

18.  本小题分
为了帮助山区“留守儿童”，学生会组织全校名学生进行捐款，为他们购买生活用品，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如图所示的统计图和．
请根据相关信息，解答下列问题：
本次随机抽样调查的样本容量为        ，众数为        元，中位数为        元；
根据样本数据，估计该校本次活动捐款为元的学生人数．
 

19.  本小题分
如图，在菱形中，点，分别在边，上，求证．

20.  本小题分
学校为了奖励在“诗词大赛”中获奖同学，准备购买甲、乙两种奖品，已知购买件甲奖品、件乙奖品，共需元；购买件甲奖品、件乙奖品，共需元．
求每件甲奖品和每件乙奖品各多少元？
如果学校准备购买甲、乙两种奖品共件，总费用不超过元，那么至少购买多少件乙奖品？

21.  本小题分
某气球内充满一定质量的理想气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示．
写出这一函数的表达式；
当气体体积为时，气压是多少？
当气球内的气压大于时，气球将爆炸为了安全起见，气体的体积应不小于多少？

22.  本小题分
图是一台手机支架，图是其侧面示意图，，可分别绕点，转动，测得，，，．
在图中，过点作，垂足为填空：        ；
求点到的距离结果保留小数点后一位，参考数据：，，，

23.  本小题分
是的直径，点、均在上，连接、、、，过点作直线交的延长线于点．
如图，若直线与相切于点，求证：；
如图，若，，求的半径．
 

24.  本小题分
如图，中，，，，点从点出发，以的速度沿边向终点运动，过点作于点，并作关于直线对称的，设点的运动时间为，与的重叠面积为．
当点与点重合时，求的值；
求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围．

25.  本小题分
综合与实践
问题情境：数学活动课上，周老师出示了一个问题，如图，在中，，点在边上，过作于，且，求证：．
独立思考：请解答周老师提出的问题．
实践探究：在原有问题条件不变的情况下，周老师增加下面的条件，并提出新的问题，请你解答．
“如图，延长至点，使，连接，延长交于点，交于点，若，求证”
问题解决：数学活动小组同学对上述问题进行深入研究之后发现，若给出线段的长，则图中所有已经用字母标记的线段长均可求，该小组提出下面的问题，请你解答．
“在的条件下，若，求的长”
 

26.  本小题分
如图，抛物线与轴交于点、点在点的左侧，与轴交于点，直线经过、两点．
求点坐标及直线的解析式；
点是直线上方抛物线上一点，，求点的坐标；
在的条件下，抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：实数的相反数是：．
故选：．
直接利用相反数的定义得出答案．
此题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、正方形的左视图是正方形，故此选项不符合题意；
B、圆柱的左视图是长方形，故此选项不符合题意；
C、圆锥的左视图是三角形，故此选项符合题意；
D、三棱柱的左视图为长方形，故此选项不符合题意．
故选：．
利用左视图是从物体左面看，所得到的图形，进而分析得出即可．
本题考查了常见几何体的三视图，解题关键在于找准观察方位．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为．
 

4.【答案】 

【解析】解：直尺的两边互相平行，，
．
，
．
故选：．
先根据平行线的性质求出的度数，再由余角的定义即可得出结论．
本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
 

5.【答案】 

【解析】解：原式，所以选项不符合题意；
B.原式，所以选项不符合题意；
C.原式，所以选项符合题意；
B.原式，所以选项不符合题意．
故选：．
利用二次根式的加减法对进行判断；根据二次根式的除法法则对进行判断；根据平方差公式对进行判断；根据完全平方公式对进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和乘法公式是解决问题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：设这个多边形边数是，
根据题意得：，
解得：，
即这个多边形是六边形，故D正确．
故选：．
根据多边形的内角和的计算公式与外角和是列出方程，解方程即可．
本题主要考查的是多边形的内角和与外角和，一元一次方程的应用，掌握边形的内角和为、外角和是是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
解得．
故选：．
利用根的判别式的意义得到，然后解不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
 

8.【答案】 

【解析】解：由方差的计算公式知，这组数据为、、、，
所以这组数据的平均数为，
中位数为，
众数为，
方差，
所以这组数据的说法错误的是选项D．
故选：．
由方差的计算公式知，这组数据为、、、，再根据方差、众数、中位数及平均数的定义求解即可．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差、众数、中位数及平均数的定义．
 

9.【答案】 

【解析】解：由作图可知：，，
，，
，
，
，
，
，故D正确．
故选：．
由作图可知：，，所以，，则，所以，再根据平行线的性质得，即可由三角形内角和定理求解．
本题考查作线段等于已知线段，经过上点作直线的垂线，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握尺规基本作图和三角形内角和定理是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，能够通过图象得到随着自变量的增大，知道函数值是增大还是减小，通过图象得到函数是随自变量的增大或减小的快慢．根据函数图象上特殊点的坐标和实际意义即可作出判断．
【解答】
解：根据函数图象的意义，已知甲的速度比乙快，故射线表示甲的路程与时间的函数关系；错误；
甲的速度，乙的速度，所以甲的速度比乙快米秒，正确；
甲让乙先跑了米，正确；
秒钟后，甲超过了乙，正确．
故选B．  

11.【答案】 

【解析】解：不等式，
移项得：，
合并得：．
故答案为：．
不等式移项，合并，把系数化为，即可求出解集．
此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：一只不透明的袋子中装有个黄球和个红球，这些球除颜色外都相同，
搅匀后从中任意摸出个球，则摸出红球的概率为：．
故答案为：．
由一只不透明的袋子中装有个黄球和个红球，这些球除颜色外都相同，直接利用概率公式求解即可求得答案．
此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

13.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，，
四边形是矩形，
，，
，
故答案为：．
先由四边形是平行四边形，，证明四边形是矩形，再由，，根据矩形的面积公式求出该矩形的面积即可．
此题重点考查矩形的判定、矩形的面积公式等知识，解题的关键是根据“对角线相等的平行四边形是矩形”证明四边形是矩形．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，
，
又将按顺时针方向旋转得，而，
旋转角为，
点所经过的路径长．
故答案为．
先利用勾股定理求出的长，然后根据旋转的性质得到旋转角为，最后根据弧长公式即可计算出点所经过的路径长．
本题考查了弧长公式，旋转的性质，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：依题意，得：．
故答案是：．
根据人数不变，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：在矩形中，，，
，
根据折叠有：，，，，
，
，
，，，
，，
，，
，
在中，，
，
解得：，
故答案为：．
根据折叠有：，，，，再证明，继而可得，，在中，利用勾股定理列出方程，解方程即可求解．
本题主要考查了矩形的性质，等角对等边，勾股定理以及折叠的性质等知识，掌握折叠的性质以及勾股定理是解答本题的关键．
 

17.【答案】解：原式


． 

【解析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再把分子分母因式分解，然后约分即可．
本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
 

18.【答案】     

【解析】解：由两个统计图可知，样本中捐款为“元”的有人，占调查人数的，
所以调查人数为人，
捐款金额出现次数最多的是元，共出现次，因此捐款的众数是元，
将这名学生的捐款金额从小到大排列，处在中间位置的两个是都是元，因此捐款金额的中位数是元，
答：本次调查获取的样本数据的平均数是元、众数时元，中位数是元；
故答案为：，，；
捐款为“元”的学生有人，因此所占的百分比为，
人，
答：全校名学生中，捐款为元的大约有人．
根据频率进行计算即可，根据中位数、众数的定义和计算方法进行计算即可；
用样本中捐款为“元”所占的百分比估计总体中捐款为“元”所占的百分比，再根据频率进行计算即可．
本题考查条形统计图，平均数、中位数、众数以及样本估计总体，掌握频率，平均数、中位数、众数的计算方法是正确解答的前提．
 

19.【答案】证明：四边形是菱形，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】根据菱形的性质可以得到，再根据可以证明≌，然后即可得到．
本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

20.【答案】解：设每件甲奖品的价格是元，每件乙奖品的价格是元，
根据题意得：，
解得：．
答：每件甲奖品的价格是元，每件乙奖品的价格是元；
设购买件乙奖品，则购买件甲奖品，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
的最小值为．
答：至少购买件乙奖品． 

【解析】设每件甲奖品的价格是元，每件乙奖品的价格是元，根据“购买件甲奖品、件乙奖品，共需元；购买件甲奖品、件乙奖品，共需元”，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购买件乙奖品，则购买件甲奖品，利用总价单价数量，结合总价不超过元，可得出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

21.【答案】解：设与的函数关系式为，
将，代入上式，解得，
所以与的函数关系式为；
当时，，即气压是；
，解得，
所以气球的体积应不小于． 

【解析】根据题意可知与的函数关系式为，利用待定系数法即可求得函数解析式；
直接把代入解析式可求得；
利用“气球内的气压小于等于 ”作为不等关系解不等式求解即可．
本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是根据实际意义列出函数关系式．
 

22.【答案】 

【解析】解：如图：

，
，
，
，
，
，
故答案为：；
过点作，垂足为，过点作，垂足为，

则，，
，
，
在中，，，
，
在中，，
，
，
点到的距离约为．
根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用角的和差关系进行计算即可解答；
过点作，垂足为，过点作，垂足为，则，，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

23.【答案】证明：连接，

是的切线，为切点，
，
，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
；
解：过点作，垂足为，

，，，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
的半径为． 

【解析】连接，利用切线的性质可得：从而可得：，再利用直径所对的圆周角是直角可得：，从而可得，进而可得，然后利用等腰三角形的性质可得：，从而可得，再根据同弧所对的圆周角相等可得，从而利用等量代换即可解答；
过点作，垂足为，先利用等腰三角形的三线合一性质可得：，从而利用勾股定理可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义可求出的值，从而可求出的值，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

24.【答案】解：当点与点重合时，如图，，
，，
∽，
，即，
，
由题意知：当时，，
，
解得：，
故当点与点重合时，的值为；
当时，如图，，
在中，，
由知：∽，
，即，
，，
，
与关于直线对称，
≌，
，且；
当时，如图，设交于，取的中点，作交于，连接，
由得：，
，
，，
，
，
，，
，
，
∽，
，
，
，
，
，


，
且；
当时，如图，过点作于，
，，
∽，
，即，
，，
，
，
，
，，
，
∽，
，即，
，
即，且；
综上所述，与的函数关系式为． 

【解析】先证明∽，可得，求得，由题意可得，即可求得答案；
分三种情况：当时，重叠部分为，且≌；当时，重叠部分为四边形，利用，即可得出答案；当时，重叠部分为直角三角形，运用相似三角形性质即可求得答案．
本题属于三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形性质，勾股定理，三角形面积等知识，解题的关键是灵活运用分类讨论思想解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
 

25.【答案】证明：如图中，过点作于点．

，，
，
，
，
，，
，
，，
；
证明：如图中，过点作于点．

，
可以假设，，
，
，
，
，
，
，，
≌，
，
，
，
，，
，
，
，
；
解：如图中，过点作交于点．
，
，
，
，，，
，
，
，
，
：：：：，
，

，
． 

【解析】如图中，过点作于点利用等腰三角形的性质，三角形内角和定理解决问题即可；
如图中，过点作于点可以假设，，证明≌，可得，求出，可得结论；
如图中，过点作交于点首先证明，求出，可得结论．
本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．
 

26.【答案】解：由题意得：，
解得：，
即抛物线的表达式为：，
令，则或，即点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：；

设点的坐标为：，
则
；
而，
，
即，
联立并解得：不合题意的值已舍去，
即点；

存在，理由：
作点关于轴的对称点，则，

由点、的坐标得，，
连接，过点作于点，则，
则，
即，
解得：，
则，
则，
当点在轴上方时，
则的表达式为：，
联立得：，
解得：不合题意的值已舍去，
即点；
当点在轴的下方时，
则的表达式为：，
联立得：，
解得：不合题意的值已舍去，
即点；
即点的坐标为：或 

【解析】由待定系数法即可求解；
由，，即可求解；
由，得到，求出，进而求解．
本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，解直角三角形等知识，运用分类讨论思想是解题的关键．