河南省2023年高三下学期理数学业质量联合检测试卷【含答案】

 高三下学期理数学业质量联合检测试卷

一、单选题

1．已知全集，集合，，则（　　）

A． B． C． D．

2．设复数满足.若，则实数（　　）

A．2或 B．或

C．或 D．1或

3．记公差不为0的等差数列的前项和为.若成等比数列，，则（　　）

A．17 B．19 C．21 D．23

4．已知向量的夹角为，且是函数的两个零点.若，则（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

5．盒子中装有10个大小相同的球，其中有6个红球，4个黑球.随机取出4个球，则至少有1个黑球的概率为（　　）

A． B． C． D．

6．已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，当与圆相切时，的中点到的准线的距离为（　　）

A． B． C． D．

7．已知表示不超过实数的最大整数.执行如图所示的程序框图，则输出的（　　）

A． B． C． D．

8．已知函数.若，且在区间上单调，则（　　）

A． B．或4 C．4 D．或

9．已知正方体的棱长为1，点在线段上，有下列四个结论：

①；

②点到平面的距离为；

③二面角的余弦值为；

④若四面体的所有顶点均在球的球面上，则球的体积为.

其中所有正确结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

10．已知函数若的图象上至少有两对点关于轴对称，则实数的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

11．已知双曲线的左､右焦点分别为，左顶点为为坐标原点，以为直径的圆与的渐近线在第一象限交于点.若的内切圆半径为，则的离心率为（　　）

A． B． C． D．

12．已知函数及其导函数的定义域均为，记.若的图象关于点中心对称，为偶函数，且，则（　　）

A．670 B．672 C．674 D．676

二、填空题

13．已知圆.若圆心到直线的距离为1，则直线的方程为　                                 　.（写一个即可）.

14．已知函数的导函数为，且，则曲线在点处的切线方程为　         　.

15．记正项数列的前项和为，且满足.若不等式恒成立，则实数的取值范围是　          　.

16．某数学兴趣小组的学生开展数学活动，将图①所示的三块直角三角板进行拼接､旋转等变化，进而研究体积与角的问题，其中，，直角三角板与始终全等（假设直角三角板与的另两边的大小可变化）.现将直角三角板与放在平面内拼接，直角三角板的直角边也放在平面内，并使与重合，将直角三角板绕着旋转，使点在平面内的射影始终与点重合于点，如图②，则当四棱锥的体积最大时，直角三角板的内角的余弦值为　     　.

三、解答题

17．记的内角的对边分别为，已知.

（1）证明：；

（2）若，求的面积.

18．某学校组织学生观看了“天宫课堂”第二课的直播后，极大地激发了学生学习科学知识的兴趣，提高了学生学习的积极性，特别是对实验操作的研究与探究.现有某化学兴趣小组的同学在老师的指导下，开展了某项化学实验操作，为了解实验效度与实验中原料的消耗量（单位：）的关系，该校实验员随机选取了10个小组的实验数据如下表.

并计算得.

附：相关系数

（1）求这10个小组的实验效度与实验中原料的消耗量的平均值；

（2）求这10个小组的实验效度与实验中原料的消耗量的相关系数（精确到）；

（3）经该校实验员统计，以往一个学年各种实验中需用到原料的实验有200次左右.假设在一定的范围内，每次实验中原料的消耗量与实验效度近似成正比，其比例系数可近似为样本中相应的平均值的比值.根据要求，实验效度平均值需达到.请根据上述数据信息，估计该校本学年原料的消耗量.

19．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，为等边三角形，分别为棱的中点.

（1）棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；

（2）若，当二面角为时，证明：直线与平面所成角的正弦值小于.

20．已知椭圆的左焦点为，点在上，的最大值为，且当垂直于长轴时，.

（1）求的方程；

（2）已知点为坐标原点，与平行的直线交于两点，且直线，分别与轴的正半轴交于两点，试探究是否为定值.若是，求出该定值；若不是，说明理由.

21．已知函数.

（1）证明：恰有一个零点；

（2）设函数.若至少存在两个极值点，求实数的取值范围.

22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）若曲线上有且只有一个点到直线的距离为，求实数的值.

23．已知函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）当时，若函数的图象恒在图象的上方，证明：.

1．C

2．B

3．A

4．A

5．C

6．D

7．C

8．B

9．B

10．C

11．A

12．D

13．（答案不唯一，符合题意即可）

14．

15．

16．

17．（1）证明：由，

得，

即，

所以由正弦定理及余弦定理，

得，

化简得.

（2）解：由余弦定理，得，

所以，

即①.

又由①知②

联立①②，得，

所以，

即的面积为.

18．（1）解：由题意得这10个小组的实验效度的平均值为，

这10个小组实验中原料的消耗量的平均值为.

（2）解：相关系数

.

（3）解：设该校本学年原料的消耗量为，

则由题可知，

所以估计该校本学年原料的消耗量为.

19．（1）解：

当点为的中点时，平面，此时

如图，取的中点，连接.

因为为的中点，

所以.

又平面平面，

所以平面.

（2）证明：

如图，连接.

由条件可知.

又，所以.

因为为等边三角形，为的中点，

所以.

故为二面角的平面角，

所以.

又平面，

所以平面.

又平面，所以平面平面.

在平面内，过点作，交于点，

则平面，

所以两两垂直.

以为坐标原点，所在直线分别为，

轴，建立空间直角坐标系，如图所示.

设，则，

，

所以.

设平面的法向量为，

则，解得，令，得，则平面的一个法向量为.

设直线与平面所成的角为，

则

故直线与平面所成角的正弦值小于.

20．（1）解：的最大值为，

当垂直于长轴时，将代入椭圆可得，则，

所以，解得

所以的方程为

（2）解：为定值.

由题可知直线的斜率为，且直线，分别与轴的正半轴交于两点，

故设直线的方程为.

联立得，

则，

解得，则，所以，

直线的方程为，

令，得，即，

所以，同理可得.

故

，

所以为定值2.

21．（1）证明：令，得.

又，所以.

令，则，

所以在区间上单调递增.

又，

所以存在唯一的，使得，

即在区间内恰有一个零点，

故函数恰有一个零点.

（2）解：由题意知，

所以.

因为函数至少存在两个极值点，

所以方程至少有两个不等实根.

令，则.

令，则，

所以函数在区间上单调递减.

又，所以当时，，即0，此时单调递增；

当时，，即，此时单调递减，

且当时，；当时，；当时，.

要使在区间内至少有两个不等实根，

则函数的图象与直线在区间上至少有两个交点.

作出函数的图象，如图所示，

则，解得.

此时，在区间和区间内各有一个零点，分别设为，

则当或时，；当时，，

故为的极小值点， 为的极大值点，符合题意.

故实数的取值范围是.

22．（1）解：由（为参数，）消去，得，

所以直线的普通方程为.

由，得.

将代入，得，即，

所以曲线的直角坐标方程为.

（2）解：由（1）知曲线是圆，其圆心为点，半径为1，

所以圆心到直线的距离为，

所以，

则，

所以或，解得或.

故实数的值为或.

23．（1）解：当时，，

所以当时，，解得；

当时，，解得；

当时，，解得.

综上，不等式的解集为或.

（2）证明：当时，，

所以当时，取得最大值，且.

要使函数的图象恒在图象的上方，由数形结合可知，必须满足，即，原不等式得证.