广东省湛江市2023届高三下学期3月普通高考测试（一）数学试卷（含答案）

这是一份广东省湛江市2023届高三下学期3月普通高考测试（一）数学试卷（含答案），共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
广东省湛江市2023届高三下学期3月普通高考测试（一）数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题1、已知i为虚数单位，若，则实数(   )A.1 B.-1 C.2 D.-22、已知R为实数集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为(   )A. B. C. D.3、小明在设置银行卡的数字密码时，计划将自己出生日期的后6个数字0，5，0，9，1，9进行某种排列得到密码.如果排列时要求两个9相邻，两个0也相邻，则小明可以设置多少个不同的密码(   )A.16 B.24 C.166 D.1804、在平行四边形ABCD中，E为边BC的中点，记，，则(   )A. B. C. D.5、元宵节是春节之后的第一个重要节日，元宵节又称灯节，很多地区家家户户都挂花灯.下图是小明为自家设计的一个花灯，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为40cm和20cm，正六棱台与正六棱柱的高分别为10cm和60cm，则该花灯的体积为(   )A. B. C. D.6、已知F为抛物线的焦点，过F的直线l与抛物线C交于A，B两点，与圆交于D，E两点，A，D在y轴的同侧，则(   )A.1 B.4 C.8 D.167、已知，，，则(   )A. B. C. D.8、已知函数及其导函数的定义域均为R，且为奇函数，，，则(   )A.13 B.16 C.25 D.51二、多项选择题9、某服装生产商为了解青少年的身高和体重的关系，在15岁的男生中随机抽测了10人的身高和体重，数据如下表所示：编号12345678910身高/cm165168170172173174175177179182体重/kg55896165677075757880由表中数据制作成如下所示的散点图：由最小二乘法计算得到经验回归直线的方程为，相关系数为，决定系数为；经过残差分析确定为离群点(对应残差过大)，把它去掉后，再用剩下的9组数据计算得到经验回归直线的方程为，相关系数为，决定系数为.则以下结论中正确的有(   )A. B. C. D.10、在棱长为2的正方体中，点E，F分别为棱BC与的中点，则下列选项正确的有(   )A.平面B.EF与所成的角为30°C.平面D.平面截正方体的截面面积为11、已知，函数，下列选项正确的有(   )A.若的最小正周期，则B.当时，函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象C.若在区间上单调递增，则的取值范围是D.若在区间上只有一个零点，则的取值范围是12、已知，分别为双曲线的左、右焦点，点为双曲线C在第一象限的右支上一点，以A为切点作双曲线C的切线交x轴于点，则下列结论正确的有(   )A.B.C.D.若，且，则双曲线C的离心率三、填空题13、已知为等差数列的前n项和，若，，则_________.14、_________.15、若函数存在两个极值点，，且，则_________.16、已知函数，记为函数的2次迭代函数，为函数的3次迭代函数，…，依次类推，为函数的n次迭代函数，则_________；除以17的余数是_________.四、解答题17、在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.(1)求A；(2)若的面积为，，求a.18、已知，为数列的前n项和，.(1)证明：数列为等比数列；(2)设数列的前n项和为，证明：.19、如图，在四棱锥中，是边长为2的等边三角形，底面ABCD为平行四边形，且，，.(1)证明：点P在平面ABCD的正投影在直线AD上；(2)求平面PBC与平面PDC夹角的余弦值.20、某工厂一台设备生产一种特定零件，工厂为了解该设备的生产情况，随机抽检了该设备在一个生产周期中的100件产品的关键指标(单位：cm)，经统计得到下面的频率分布直方图：(1)由频率分布直方图估计抽检样本关键指标的平均数和方差.(用每组的中点代表该组的均值)(2)已知这台设备正常状态下生产零件的关键指标服从正态分布，用直方图的平均数估计值作为的估计值，用直方图的标准差估计值s作为估计值.i.为了监控该设备的生产过程，每个生产周期中都要随机抽测10个零件的关键指标，如果关键指标出现了之外的零件，就认为生产过程可能出现了异常，需停止生产并检查设备.下面是某个生产周期中抽测的10个零件的关键指标：0.81.20.951.011.231.121.330.971.210.83利用和判断该生产周期是否需停止生产并检查设备.ii.若设备状态正常，记X表示一个生产周期内抽取的10个零件关键指标在之外的零件个数，求及X的数学期望.参考公式：直方图的方差，其中为各区间的中点，为各组的频率.参考数据：若随机变量X服从正态分布，则，，，，.21、已知，分别为椭圆的左、右焦点，椭圆E的离心率为，过且不与坐标轴垂直的直线l与椭圆E交于A，B两点，的周长为8.(1)求椭圆E的标准方程；(2)过且与l垂直的直线与椭圆E交于C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值.22、已知函数.(1)证明：函数只有一个零点；(2)在区间上函数恒成立，求a的取值范围.
参考答案1、答案：A解析：由，得，所以.故选A.2、答案：C解析：图中阴影部分表示，由，得或，所以，由，解得，所以，故，故选C.3、答案：B解析：将两个0视为一个元素，将两个9也视为一个元素，所以共有(种)不同的结果，故选B.4、答案：D解析：因为，所以，故选D.5、答案：C解析：由题意，花灯的体积等于上面的正六棱台体积与下面的正六棱柱体积的和，正六棱台的两个底面积分别为，，所以花灯的体积，故选C.6、答案：B解析：由题可知，设直线l的方程为，，.由得，故.又，，所以.圆的圆心为，半径，所以，.又，，所以，，所以，故选B.7、答案：A解析：因为，，，，所以，故.又，所以，所以.故选A.8、答案：C解析：由，令，得，所以.由为奇函数，得，所以，故①.又②，由①和②得，即，所以，③令，得，得，令，得，得.又④，由③-④得，即，所以函数是以8为周期的周期函数，故，所以，所以.故选C.9、答案：AC解析：因为离群点的横坐标168小于平均值173.5，纵坐标89相对过大，所以去掉离群点后经验回归直线的截距变小而斜率变大，所以，，所以A正确，B错误；去掉离群点后成对样本数据的线性相关程度更强，拟合效果会更好，所以，，所以C正确，D错误.故选AC.10、答案：ABD解析：如图1，设点M为棱的中点，则，所以四边形为平行四边形，又，平面，平面，所以平面，故A正确；由上可知，四边形为平面截正方体的截口平面，易得，故四边形为菱形，又其对角线，，故其面积为，故D正确；设的中点为N，连接EN，FN.因为E，N分别为BC与的中点，所以，故为EF与所成的角，又，，由余弦定理可得，所以EF与所成的角为，故B正确；如图2，假设平面正确，则，又，，所以平面，得.在正方形中，，显然不成立，所以假设错误，即平面错误，故C错误.故选ABD.11、答案：ACD解析：由，得，所以A正确；当时，，所以函数的图象向右平移个单位长度后得，所以B错误；若在区间上单调递增，则，解得，，又，所以只有当时，此不等式有解，即，所以C正确；若在区间上只有一个零点，则解得，所以D正确.故选ACD.12、答案：AB解析：由，得，所以，则在点处的切线斜率为，所以在点处的切线方程为，又有，化简即可得切线方程为，所以，所以，故C错误；由，得，又，所以，故A正确；由，，，得，，故，由，得，所以，所以，所以，设点A到x轴的距离为h，则，，，又，所以，故B正确；由上可得，，因为，则，得，，，所以，解得，故D错误，故选AB.13、答案：-16解析：因为，所以，又，所以，，所以，所以.14、答案：解析：.15、答案：解析：因为，定义域为R，所以，故，；又，所以.又，故，所以，所以.16、答案：；0解析：由题意，，所以又为正整数，所以除以17的余数为0.17、答案：(1)(2)解析：(1)由，所以，故.由正弦定理得.又，所以，故，所以，所以，所以.(2)由题意，，所以.由余弦定理可得，所以.18、答案：(1)证明见解析(2)证明见解析解析：(1)证明：因为，所以，.由，得，，所以，，所以，，故，，所以数列是以6为首项，2为公比的等比数列.(2)由(1)得，故，所以.19、答案：(1)证明见解析(2)解析：(1)证明：如图，过点B在平面ABCD内作BO垂直于AD，交DA的延长线于点O，连接OP.因为，，所以.又，PB，平面POB，，所以平面POB.又平面POB，所以，即.因为，，所以，又，所以，故.因为为等边三角形，所以.又，所以.又，所以.又OA，平面ABCD，，所以平面ABCD，所以点O为点P在平面ABCD的正投影，又点O在直线AD上，故点P在平面ABCD的正投影在直线AD上.(2)解：由(1)得PO，OB，OA两两垂直，以O为坐标原点，分别以OB，OA，OP所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.易得.又，所以，，，，故，，.设为平面PBC的法向量，则有即可取.设为平面PDC的法向量，则有即可取，所以，所以平面PBC与平面PDC夹角的余弦值为.20、答案：(1)，(2)i.需停止生产并检查设备ii.，X的数学期望为0.027解析：(1)由频率分布直方图，得..(2)i.由(1)可知，，所以，，显然，故需停止生产并检查设备.ii.抽测一个零件关键指标在之内的概率为，所以抽测一个零件关键指标在之外的概率为，故，所以，X的数学期望.21、答案：(1)(2)四边形ACBD面积的最小值为解析：(1)由题意得.由椭圆的定义可知，所以，所以.又，所以，所以椭圆E的标准方程为.(2)设，，直线l的方程为，由整理得，则有，，故，直线的方程为，设，，由整理得，则有，，则，所以四边形ACBD的面积，，当且仅当时，等号成立，所以，综上，四边形ACBD面积的最小值为.22、答案：(1)证明见解析(2)a的取值范围为解析：(1)证明：，当时，，，所以，故，故在区间上无零点.当时，，，，所以，所以当时，函数单调递增，所以，故函数在区间上有唯一零点0.综上，函数在定义域上有唯一零点.(2)解：由，得，即.设，则，则.设，则，当时，，所以函数在区间上单调递增，故在区间上，，即在区间上.设函数，则，所以函数在区间上单调递增故，在区间上，即在区间上，，所以在区间上，，即，所以在区间上函数单调递增.当时，，故在区间上函数，所以函数在区间上单调递增.又，故，即函数在区间上恒成立.当时，，，在区间上函数存在零点.又在区间上函数单调递增，故在区间上函数，所以在区间上函数单调递减.又，所以在区间上函数，与题设矛盾.综上，a的取值范围为.