高考数学真题专题训练 09不等式（含解析）

专题09 不等式

1.（北京卷）已知函数，则不等式的解集是（    ）．

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】因为，所以等价于，

在同一直角坐标系中作出和的图象如图：

两函数图象的交点坐标为，

不等式的解为或.

所以不等式的解集为：.

2.（山东卷）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABD

【解析】对于A，，

当且仅当时，等号成立，故A正确；

对于B，，所以，故B正确；

对于C，，

当且仅当时，等号成立，故C不正确；

对于D，因为，

所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；

3.（浙江卷）若实数x，y满足约束条件，则z=2x+y的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，

目标函数即：，

其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，

z取得最小值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最小，

据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最小值，

联立直线方程：，可得点A的坐标为：，

据此可知目标函数的最小值为：

且目标函数没有最大值.

故目标函数的取值范围是.

4.（天津卷）已知，且，则的最小值为_________．

【答案】4

【解析】，,

，当且仅当=4时取等号，

结合,解得，或时，等号成立.

5.（江苏卷）已知，则的最小值是_______．

【答案】

【解析】∵

∴且

∴，当且仅当，即时取等号.

∴的最小值为.

6.（新课标Ⅲ）若x，y满足约束条件 ，则z=3x+2y的最大值为_________．

【答案】7

【解析】不等式组所表示的可行域如图

因为，所以，易知截距越大，则越大，

平移直线，当经过A点时截距最大，此时z最大，

由，得，，

所以

7.（新课标Ⅰ）若x，y满足约束条件则z=x+7y的最大值为______________.

【答案】1

【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，

目标函数即：，

其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，

据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，

联立直线方程：，可得点A的坐标为：，

据此可知目标函数的最大值为：.

1．【高考全国II卷理数】1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：.设，由于的值很小，因此在近似计算中，则r的近似值为

A． B．   

C．       D．

【答案】D

【解析】由，得

因为，

所以，

即，

解得，

所以

2．【高考全国II卷理数】若a>b，则

A．ln(a−b)>0 B．3a<3b

C．a3−b3>0 D．│a│>│b│

【答案】C

【解析】取，满足，，知A错，排除A；因为，知B错，排除B；取，满足，，知D错，排除D，因为幂函数是增函数，，所以，故选C．

3．【高考北京卷理数】若x，y满足，且y≥−1，则3x+y的最大值为

A．−7  B．1 

C．5  D．7

【答案】C

【解析】由题意作出可行域如图阴影部分所示.

设,

当直线经过点时,取最大值5.故选C．

4．【高考北京卷理数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2−m1=lg，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为

A． 1010.1        B． 10.1 

C． lg10.1  D． 10–10.1

【答案】A

【解析】两颗星的星等与亮度满足,令,

.

故选：A．

5．【高考天津卷理数】设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为

A．2  B．3 

C．5  D．6

【答案】D

【解析】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分.

目标函数的几何意义是直线在y轴上的截距，

故目标函数在点A处取得最大值.

由，得，

所以.

故选C.

6．【高考天津卷理数】设，则“”是“”的

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】化简不等式，可知 推不出，

由能推出，

故“”是“”的必要不充分条件，

故选B.

【名师点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件.

7．【高考浙江卷】若实数x，y满足约束条件，则的最大值是

A． -1 B． 1

C． 10 D． 12

【答案】C

【解析】画出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示。

因为，所以.

平移直线可知，当该直线经过点A时，z取得最大值.

联立两直线方程可得，解得.

即点A坐标为，

所以.故选C.

8．【高考北京卷理数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．

①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；

②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．

【答案】①130 ；②15.

【解析】（1）,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付元.

（2）设顾客一次购买水果的促销前总价为元,

元时,李明得到的金额为,符合要求.

元时,有恒成立,即,即元.

所以的最大值为.

9．【高考天津卷理数】设，则的最小值为__________．

【答案】

【解析】方法一：.

因为，

所以，

即，当且仅当时取等号成立.

又因为，当且仅当，即时取等号，结合可知，可以取到3，故的最小值为.

方法二：

.

当且仅当时等号成立，

故的最小值为.

10．【全国I卷】已知集合，则

A．            B．  

C． D．  

【答案】B

【解析】解不等式得，所以，所以可以求得，故选B．

11．【全国III卷】设，，则

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】∵，，，，

,即，又，，即，故选B.

12．【天津卷】设变量满足约束条件则目标函数的最大值为

A．6             B．19

C．21            D．45

【答案】C

【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程得，可得点A的坐标为，据此可知目标函数的最大值为：.本题选择C选项.

13．【天津卷】设，则“”是“”的  

A．充分而不必要条件  B．必要而不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】绝对值不等式 ，

由 .

据此可知是的充分而不必要条件.

故选A.

14．【北京卷】设集合则

A．对任意实数a，     B．对任意实数a，（2，1）

C．当且仅当a<0时，（2，1）    D．当且仅当时，（2，1）

【答案】D

【解析】点（2，1）在直线上，表示过定点（0，4），斜率为的直线，当 时，表示过定点（2，0），斜率为的直线，不等式表示的区域包含原点，不等式表示的区域不包含原点.直线与直线互相垂直.显然当直线的斜率时，不等式表示的区域不包含点（2，1），故排除A；点（2，1）与点（0，4）连线的斜率为，当，即时，表示的区域包含点（2，1），此时表示的区域也包含点（2，1），故排除B；当直线的斜率，即时，表示的区域不包含点（2，1），故排除C，故选D.

26．【全国I卷】若，满足约束条件，则的最大值为_____________．

【答案】6

【解析】根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：

由可得，画出直线，将其上下移动，结合的几何意义，可知当直线过点B时，z取得最大值，

由，解得，此时，故答案为6.

27．【全国II卷】若满足约束条件 则的最大值为__________．

【答案】9

【解析】不等式组表示的可行域是以为顶点的三角形区域，如下图所示，目标函数的最大值必在顶点处取得，易知当时，.

28．【浙江卷】若满足约束条件则的最小值是___________，最大值是___________．

【答案】-2,8

【解析】由题可得，该约束条件表示的平面区域是以（2，2），（1，1），（4，−2）为顶点的三角形及其内部区域，如图所示.由线性规划的知识可知，目标函数在点（2，2）处取得最大值，在点（4，−2）处取得最小值，则最小值，最大值.

29．【北京卷】若?,y满足，则2y−?的最小值是_________.

【答案】3

【解析】作出可行域，如图，则直线过点A(1,2)时，取最小值3.

30．【天津卷】已知，且，则的最小值为             .

【答案】

【解析】由可知，且，

因为对于任意x，恒成立，结合基本不等式的结论可得：.当且仅当，即时等号成立.

综上可得的最小值为.

31．【江苏卷】在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为___________．

【答案】9

【解析】由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，

因此

当且仅当时取等号，则的最小值为.

15．【全国I卷】设x、y、z为正数，且，则

A．2x<3y<5z       B．5z<2x<3y   

C．3y<5z<2x       D．3y<2x<5z

【答案】D

【解析】令，则，，

∴，则，

，则，故选D.

16．【全国II卷】设，满足约束条件，则的最小值是

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】画出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，目标函数即：，其中表示斜率为的直线系与可行域有交点时直线的纵截距，数形结合可得目标函数在点处取得最小值，，故选A．

17．【全国II卷】甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则

A．乙可以知道四人的成绩      B．丁可以知道四人的成绩

C．乙、丁可以知道对方的成绩     D．乙、丁可以知道自己的成绩

【答案】D

【解析】由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁两人一人优秀一人良好，乙看到丙的成绩则知道自己的成绩，丁看到甲的成绩则知道自己的成绩，即乙、丁可以知道自己的成绩．故选D．

18．【北京卷】若x，y满足 则x + 2y的最大值为

A．1          B．3

C．5  D．9

【答案】D

【解析】如图，画出可行域，

表示斜率为的一组平行线，当过点时，目标函数取得最大值，故选D.

19．【天津卷】设变量满足约束条件则目标函数的最大值为

A．                             B．1

C．                          D．3

【答案】D

【解析】作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，由得，作出直线，平移使之经过可行域，观察可知，最优解在处取得，故，选D.

20．【浙江卷】若，满足约束条件，则的取值范围是

A．[0，6]                           B．[0，4]

C．[6，                               D．[4，

【答案】D

【解析】如图，可行域为一开放区域，所以直线过点时取最小值4，无最大值，选D．

21．【山东卷】若，且，则下列不等式成立的是

A．               B．

C．              D．

【答案】B

【解析】因为，且，所以

 ，所以选B.

22．【天津卷】已知奇函数在R上是增函数，．若，，，则a，b，c的大小关系为

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】因为是奇函数且在上是增函数，所以当时，，

从而是上的偶函数，且在上是增函数，，，

又，则，

所以，，

所以，故选C．

32．【全国I卷】设x，y满足约束条件则的最小值为      .

【答案】-5

【解析】不等式组表示的可行域如图所示，

易求得，

由得在轴上的截距越大，就越小，

所以，当直线过点时，取得最小值，

所以的最小值为.

33．【全国III卷】若，满足约束条件，则的最小值为__________.

【答案】-1

【解析】作出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分所示.

目标函数即，易知直线在轴上的截距最大时，目标函数取得最小值，数形结合可得目标函数在点处取得最小值，为.

34．【天津卷】若，，则的最小值为___________．

【答案】

【解析】，（前一个等号成立的条件是，后一个等号成立的条件是，两个等号可以同时成立，当且仅当时取等号）．

35．【北京卷】三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3.

①记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是___________.

②记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是___________.

【答案】

【解析】作图可得中点的纵坐标比中点的纵坐标大，所以Q1，Q2，Q3中最大的是，

分别作关于原点的对称点，比较直线的斜率（即为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数），可得最大，所以p1，p2，p3中最大的是

36．【北京卷】能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为___________.

【答案】−1，−2，−3（答案不唯一）

【解析】，矛盾，所以−1，−2，−3可验证该命题是假命题.

37．【江苏卷】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是___________．

【答案】30

【解析】总费用为，当且仅当，即时等号成立．

38．【上海卷】不等式的解集为________

【答案】

【解析】 由题意，不等式，得，所以不等式的解集为.

39．【山东卷】已知满足，则的最大值是__________．

【答案】

【解析】由约束条件可画出如图阴影部分可行域，则当经过点A时，取最大值，将代入得，即，所以的最大值为.

1. 【2016高考新课标1卷】若,则(    )

（A）   （B）  （C）   （D）

【答案】C

【解析】用特殊值法，令，，得，选项A错误，，选项B错误，，选项C正确，，选项D错误，故选C．

2.【2016高考浙江理数】在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域

中的点在直线x+y2=0上的投影构成的线段记为AB，则│AB│=（   ）

A．2                   B．4                     C．3                    D．

【答案】C

【解析】如图为线性区域，区域内的点在直线上的投影构成了线段，即，而，由得，由得，．故选C．

3.【高考北京理数】若，满足，则的最大值为（    ）

A.0           B.3            C.4             D.5

【答案】C

【解析】作出如图可行域，则当经过点时，取最大值，而，∴所求最大值为4，故选C.

4.【2016高考浙江理数】已知实数a，b，c（   ）

A．若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，则a2+b2+c2<100

B．若|a2+b+c|+|a2+b–c|≤1，则a2+b2+c2<100

C．若|a+b+c2|+|a+b–c2|≤1，则a2+b2+c2<100

D．若|a2+b+c|+|a+b2–c|≤1，则a2+b2+c2<100

【答案】D

【解析】采用排除法：A.令可排除此选项，

B.令可排除此选项，

C.令可排除此选项，故选D．

5.【高考四川理数】设p：实数x，y满足，q：实数x，y满足 则p是q的(    )

（A）必要不充分条件  （B）充分不必要条件  （C）充要条件  （D）既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】画出可行域（如图所示），可知命题中不等式组表示的平面区域在命题中不等式表示的圆盘内，故选A.

6.【2016高考新课标3理数】若满足约束条件 则的最大值为_____________.

【答案】 

【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示.由图知，当直线经过点时，z取得最大值.由 得 ，即，则．

7.【2016高考山东理数】若变量x，y满足则的最大值是（   ）

（A）4          （B）9          （C）10         （D）12

【答案】C

【解析】不等式组表示的可行域是以A(0,-3),B(0,2),C(3,-1)为顶点的三角形区域,表示点（x,y）到原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大值为,故选C.

8.【2016高考天津理数】设变量x，y满足约束条件则目标函数的最小值为（    ）

（A）  （B）6  （C）10   （D）17

【答案】B

【解析】可行域为一个三角形ABC及其内部，其中，直线过点B时取最小值6，选B.

9.【2016高考新课标1卷】某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为           元．

 【答案】

【解析】设生产产品、产品分别为、件,利润之和为元,那么

 ①

目标函数.

二元一次不等式组①等价于

 ②

作出二元一次不等式组②表示的平面区域（如图）,即可行域.

将变形,得,平行直线,当直线经过点时, 取得最大值.

解方程组,得的坐标.

所以当,时,.

故生产产品、产品的利润之和的最大值为元.

10.【2016高考江苏卷】 已知实数满足 ，则的取值范围是   ▲    .

【答案】

【解析】由图知原点到直线距离平方为最小值，为，原点到点距离平方为最大值，为，因此取值范围为

11.【2016高考上海理数】设x,则不等式的解集为__________.

【答案】

【解析】由题意得：，即，故解集为.