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第二十六章 反比例函数【单元检测】——2022-2023学年人教版数学九年级下册单元综合复习（原卷版+解析版）
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第二十六章 反比例函数
考试时间:120分钟 满分：120分
一、单选题（每小题3分，共18分）
1．（2022·湖南·桂阳县第二中学九年级阶段练习）反比例函数的图像大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据反比例函数的图像与性质直接判断即可．
【详解】解：，
反比例函数的图像在第二、四象限，
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数的图像与性质，熟练掌握的正负对图像的影响是解决问题的关键．
2．（2021·甘肃兰州·中考真题）如图，点在反比例函数图象上，轴于点，是的中点，连接，，若的面积为2，则（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】B
【分析】根据三角形中线的性质得出，然后根据反比例函数的几何意义得解．
【详解】解：∵点C是OB的中点，的面积为2，
∴,
∵轴于点，
∴,
∴,
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义以及三角形中线的性质，熟知反比例函数的几何意义是解本题的关键．
3．（2022·江苏无锡·中考真题）一次函数y=mx+n的图像与反比例函数y=的图像交于点A、B，其中点A、B的坐标为A（-，-2m）、B（m，1），则△OAB的面积（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【分析】将点A的坐标代入可确定反比例函数关系式，进而确定点B的坐标，再利用待定系数法求出一次函数关系式；求出直线AB与y轴交点D的坐标，确定OD的长，再根据三角形的面积公式进行计算即可．
【详解】解：∵A（-，-2m）在反比例函数y=的图像上，
∴m=(-) • ( -2m)=2，
∴反比例函数的解析式为y=，
∴B（2，1），A（-，-4），
把B（2，1）代入y=2x+n得1=2×2+n，
∴n=-3，
∴直线AB的解析式为y=2x-3，
直线AB与y轴的交点D（0，-3），
∴OD=3，
∴S△AOB=S△BOD+S△AOD
=×3×2+×3×
=．
故选：D．
．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的交点，把点的坐标代入函数关系式是解决问题常用的方法．
4．下面结论正确的有（ ）
（1）如果保持圆的半径不变，圆的周长与圆周率成正比例．
（2）如果平行四边形的面积一定，它的底和高成反比例关系．
（3）小明从家到学校的时间与他行走的速度成反比例．
（4）书的总页数一定，已看的页数与未看的页数成正比例关系．
A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（2）（4）
【答案】B
【分析】根据成正比例和成反比例的意义逐一判断即可．
【详解】解：（1）如果保持圆的半径不变，圆的周长也就一定，不存在变量，所以，如果保持圆的半径不变，圆的周长与圆周率不成正比例，故（1）不符合题意；
（2）因为平行四边形的面积＝底×高，所以，如果平行四边形的面积一定，它的底和高成反比例关系，故（2）符合题意；
（3）因为小明从家到学校的路程等于小明从家到学校的时间与他行走的速度的乘积，所以，小明从家到学校的时间与他行走的速度成反比例，故（3）符合题意；
（4）因为书的总页数等于已看的页数与未看的页数的和，所以，书的总页数一定，已看的页数与未看的页数不成正比例关系，故（4）不符合题意；
故正确的有（2）（3），
故选：B．
【点睛】本题考查了有理数的乘法，有理数的除法，熟练掌握成正比例和成反比例的意义是解题的关键．
5．对于反比例函数y＝的图象的对称性叙述错误的是( )
A．关于原点中心对称 B．关于直线y＝x对称
C．关于直线y＝﹣x对称 D．关于x轴对称
【答案】D
【分析】根据反比例函数图象的对称性判断即可．
【详解】解：反比例函数y=的图象关于原点中心对称、关于直线y=x对称、关于直线y=-x对称，
∵它的图象在第一、三象限，
∴不关于x轴对称，
A、B、C说法正确，不符合题意，D说法错误，符合题意，
故选D．
【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线y=-x；②一、三象限的角平分线y=x；对称中心是：坐标原点是解题关键．
6．（2020·河南平顶山·九年级期末）对于反比例函数，下列说法错误的是（ ）
A．它的图像在第一、三象限
B．它的函数值y随x的增大而减小
C．点P为图像上的任意一点，过点P作PA⊥x轴于点A．△POA的面积是
D．若点A（-1，）和点B(,）在这个函数图像上，则＜
【答案】B
【分析】根据反比例函数图象与系数的关系解答．
【详解】解：A、反比例函数中的>0，则该函数图象分布在第一、三象限，故本选项说法正确．
B、反比例函数中的>0，则该函数图象在每一象限内y随x的增大而减小，故本选项说法错误．
C、点P为图像上的任意一点，过点P作PA⊥x轴于点A．，∴△POA的面积=，故本选项正确．
D、∵反比例函数，点A（-1，）和点B(,）在这个函数图像上，则y1
【点睛】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数y= （k≠0）的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大；还考查了k的几何意义．
二、填空题（每小题3分，共18分）
7．（2022·湖南株洲·中考真题）如图所示，矩形顶点、在轴上，顶点在第一象限，轴为该矩形的一条对称轴，且矩形的面积为6．若反比例函数的图象经过点，则的值为_________．
【答案】3
【分析】由图得，轴把矩形平均分为两份，即可得到上半部分的面积，利用矩形的面积公式即，又由于点C在反比例函数图象上，则可求得答案．
【详解】解：轴为该矩形的一条对称轴，且矩形的面积为6，
，
，
故答案为3．
【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，熟练掌握是解题的关键．
8．（2021·北京石景山·九年级期末）如图，，两点在函数（）图象上，垂直轴于点，垂直轴于点，，面积分别记为，，则___．（填“＜”，“＝”，或“＞”）．
【答案】=
【分析】通过用反比例函数上的点坐标表示和的面积比较即可．
【详解】∵A、B两点在y=-（）上，
∴x，x，y>0，y>0，xy=-2，xy=-2，
∴y=2，y=2，
∴S==1，S==2，
∴S= S．
故答案为=．
【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，找到相关三角形，求出面积即可．
9．（2020·贵州贵阳·中考真题）如图，点是反比例函数图象上任意一点，过点分别作轴，轴的垂线，垂足为，，则四边形的面积为____．
【答案】3
【分析】根据反比例函数的图象上点的坐标性得出|xy|＝3，进而得出四边形的面积．
【详解】解：如图所示：可得OB×AB＝|xy|＝|k|＝3，
则四边形的面积为：3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了反比例函数（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．
10．（2022·贵州毕节·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，B分别在x轴、y轴上，对角线交于点E，反比例函数的图像经过点C，E．若点，则k的值是_________．
【答案】4
【分析】作CF垂直y轴， 设点B的坐标为(0，a)，可证明（AAS），得到CF=OB=a，BF=AO=3，可得C点坐标，因为E为正方形对称线交点，所以E为AC中点，可得E点坐标，将点C、E的坐标代入反比例函数解析式中，即可求出k的值．
【详解】作CF垂直y轴于点F，如图，设点B的坐标为(0，a)，
∵四边形是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∵∠OBA+∠OAB=∠OBA+∠FBC=90°
∴∠OAB=∠FBC
在△BFC和△AOB中
∴
∴BF=AO=3，CF=OB=a
∴OF=OB+BF=3+a
∴点C的坐标为(a，3+a)
∵点E是正方形对角线交点，
∴点E是AC中点，
∴点E的坐标为
∵反比例函数的图象经过点C，E
∴
解得：k=4
故答案为：4
【点睛】本题考查了反比例函数与图形的综合应用，巧用正方形的性质求C、E点的坐标是解题的关键．
11．如图，反比例函数y=的图象经过▱ABCD对角线的交点P，已知点A，C，D在坐标轴上，BD⊥DC，▱ABCD的面积为6，则k=_____．
【答案】-3
【详解】分析：由平行四边形面积转化为矩形BDOA面积，在得到矩形PDOE面积，应用反比例函数比例系数k的意义即可．
详解：过点P做PE⊥y轴于点E，
∵四边形ABCD为平行四边形
∴AB=CD
又∵BD⊥x轴
∴ABDO为矩形
∴AB=DO
∴S矩形ABDO=S▱ABCD=6
∵P为对角线交点，PE⊥y轴
∴四边形PDOE为矩形面积为3
即DO•EO=3
∴设P点坐标为（x，y）
k=xy=﹣3
故答案为﹣3
点睛：本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义以及平行四边形的性质．
12．（2021·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，点A是反比例函数图象上一点，轴于点C且与反比例函数的图象交于点B， ，连接OA，OB，若的面积为6，则_________．
【答案】
【分析】利用反比例函数比例系数k的几何意义得到S△AOC=||=-，S△BOC=||=-，利用AB=3BC得到S△ABO=3S△OBC=6，所以-=2，解得=-4，再利用-=6+2得=-16，然后计算+的值．
【详解】解：∵AC⊥x轴于点C，与反比例函数y=（x＜0）图象交于点B，
而＜0，＜0，
∴S△AOC=||=-，S△BOC=||=-，
∵AB=3BC，
∴S△ABO=3S△OBC=6，
即-=2，解得=-4，
∵-=6+2，解得=-16，
∴+=-16-4=-20．
故答案为：-20．
【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．
三、解答题（每小题6分，共30分）
13．已知与x成反比例，当时，，求y与x的函数表达式．
【答案】
【分析】设反比例函数为：，把，代入函数解析式求解即可.
【详解】解：设反比例函数为：，
根据题意得，
解得，
∴，
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解反比例函数解析式，熟练的列出方程是解本题的关键.
14．（2022·山东菏泽·九年级期中）一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=（n＞0）交于点A（1，3），B（3，m）．
（1）分别求两个函数的解析式；
（2）根据图像直接写出，当x为何值时，y1＜y2；
（3）在x轴上找一点P，使得△OAP的面积为6，求出P点坐标．
【答案】（1）y2=，y1=-x+4．（2）x＜1或x＞3．（3）（-4，0）或（4，0）．
【分析】（1）首先将A，B两点坐标代入反比例函数解析式，得出m，n的值，在利用待定系数法即可解决问题；
（2）观察图象，写出一次函数的图象在反比例函数图象下方时，x的取值范围即可；
（3）由题意可知A的纵坐标的值即为△OAP的高，且P点在横轴上，根据三角形的面积公式可知OP的长为4，写出可能的坐标即可．
【详解】解：（1）将A（1，3），代入y2=（n＞0），得n=3，
再将B（3，m）代入y2=，得m=1，
所以将A，B两点坐标代入y1=kx+b，
得，
解得，
∴一次函数解析式为y1=-x+4；
（2）根据题意的一次函数的图象在反比例函数图象下方时所对应的x的取值范围即为所求，此时x的范围是：x＜1或x＞3；
（3）由题意得△OAP的高为3
∴S△OAP=·3·|OP|=6，
∴OP的长为4，
又∵点P在x轴上，
∴点P的坐标为（-4，0）或（4，0）．
【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，根据题意细心分析是解题关键．
15．（2020·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，在函数的图象上（点的横坐标大于点的横坐标），点的坐示为，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，．
（1）求的值．
（2）若为中点，求四边形的面积．
【答案】（1）8；（2）10．
【分析】（1）将点的坐标为代入，可得结果；
（2）利用反比例函数的解析式可得点的坐标，利用三角形的面积公式和梯形的面积公式可得结果．
【详解】解：（1）将点的坐标为代入，
可得，
的值为8；
（2）的值为8，
函数的解析式为，
为中点，，
，
点的横坐标为4，将代入，
可得，
点的坐标为，
．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的系数的几何意义，运用数形结合思想是解答此题的关键．
16．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，Rt△OAB的直角边OB在x轴的正半轴上，点A的坐标为（6，4），斜边OA的中点D在反比例函数y（x＞0）的图象上，AB交该图象于点C，连接OC．
(1)求k的值；
(2)求△OAC的面积．
【答案】(1)6
(2)9
【分析】（1）根据线段中点的坐标的确定方法求得点的坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征求出；
（2）由反比例函数解析式求出点的纵坐标，进而求出的长，再根据三角形的面积公式计算即可．
（1）
解：点的坐标为，点为的中点，
点的坐标为，
点在反比例函数的图象上，
；
（2）
解：由题意得，点的横坐标为6，
点的纵坐标为：，
，
的面积．
【点睛】本题考查的是反比例函数系数的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的性质、解题的关键是正确求出的长度．
17．（2022·山东·东平县实验中学九年级阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点、点．
(1)求此一次函数和反比例函数的表达式；
(2)如图所示，请直接写出不等式的解集；
(3)在x轴上存在一点P，使的周长最小，直接写出点P的坐标．
【答案】(1)，；
(2)；
(3)P点坐标为
【分析】（1）把点代入，可得，从而得到B点坐标为，再由待定系数法解答，即可求解；
（2）观察图象得：当时，一次函数的图象位于反比例函数图象的上方，或两函数图象相交于点、点，即可求解；
（3）作点A关于x轴的对称点A'，连接A'B，交x轴于点P，此时△PAB的周长最小，求出直线A'B的表达式，即可求解．
（1）
解：∵反比例的图象经过点，
∴，
∴反比例函数表达式为：，
∵反比例的图象经过点，
∴，解得：，
∴B点坐标为，
∵直线经过点，点，
∴，
解得：∴，
∴一次函数表达式为：；
（2）
解：观察图象得：当时，一次函数的图象位于反比例函数图象的上方，或两函数图象相交于点、点，
∴不等式的解集为；
（3）
解：如图，作点A关于x轴的对称点A'，连接A'B，交x轴于点P，此时△PAB的周长最小，
∵点A'和A（-1，2）关于x轴对称，
∴点A'的坐标为（-1，-2），
设直线A'B的表达式为y=ax+c，
把点A'（-1，-2），，代入得：
，解得：，
∴直线A'B的表达式为，
当y=0时，，
∴P点坐标为．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握一次函数与反比例函数的图形和性质，并利用数形结合思想解答是解题的关键．
四、解答题（每小题8分，共24分）
18．（2022·山东·新泰市宫里镇初级中学九年级阶段练习）教师办公室有一种可以自动加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10℃，待加热到100℃，饮水机自动停止加热，水温开始下降．水温y（℃）和通电时间x（min）成反比例函数关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为20℃，接通电源后，水温y（℃）和通电时间x（min）之间的关系如图所示，回答下列问题：
(1)分别求出当0≤x≤8和8＜x≤a时，y和x之间的函数关系式；
(2)求出图中a的值；
(3)李老师这天早上7：30将饮水机电源打开，若他想在8：10上课前喝到不低于40℃的开水，则他需要在什么时间段内接水？
【答案】(1)当0≤x≤8时，y＝10x+20；当8＜x≤a时，y＝；
(2)a＝40；
(3)李老师要在7：38到7：50之间接水
【分析】（1）直接利用反比例函数解析式和一次函数解析式求法得出答案；
（2）利用（1）中所求解析式，当y＝20时，得出答案；
（3）当y＝40时，代入反比例函数解析式，结合水温的变化得出答案．
（1）
当0≤x≤8时，设y＝k1x+b，
将（0，20），（8，100）的坐标分别代入y＝k1x+b得，
解得k1＝10，b＝20．
∴当0≤x≤8时，y＝10x+20．
当8＜x≤a时，设y＝，
将（8，100）的坐标代入y＝，
得k2＝800
∴当8＜x≤a时，y＝．
综上，当0≤x≤8时，y＝10x+20；当8＜x≤a时，y＝．
（2）
将y＝20代入y＝，
解得x＝40，
即a＝40；
（3）
当y＝40时，x＝＝20．
∴要想喝到不低于40℃的开水，x需满足8≤x≤20，
即李老师要在7：38到7：50之间接水．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确求出函数解析式是解题关键．
19．（2021·江苏泰州·中考真题）如图，点A（﹣2，y1）、B（﹣6，y2）在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，AC⊥x轴，BD⊥y轴，垂足分别为C、D，AC与BD相交于点E．
（1）根据图象直接写出y1、y2的大小关系，并通过计算加以验证；
（2）结合以上信息，从①四边形OCED的面积为2，②BE＝2AE这两个条件中任选一个作为补充条件，求k的值．你选择的条件是 （只填序号）．
【答案】（1），见解析；（2）见解析，①（也可以选择②）
【分析】（1）观察函数的图象即可作出判断，再根据A、B两点在反比例函数图象上，把两点的坐标代入后作差比较即可；
（2）若选择条件①，由面积的值及OC的长度，可得OD的长度，从而可得点B的坐标，把此点坐标代入函数解析式中，即可求得k；若选择条件②，由DB=6及OC=2，可得BE的长度，从而可得AE长度，此长度即为A、B两点纵坐标的差，（1）所求得的差即可求得k．
【详解】（1）由于图象从左往右是上升的，即自变量增大，函数值也随之增大，故；
当x=-6时，；当x=-2时，
∵，k＜0
∴
即
（2）选择条件①
∵AC⊥x轴，BD⊥y轴，OC⊥OD
∴四边形OCED是矩形
∴OD∙OC=2
∵OC=2
∴OD=1
即
∴点B的坐标为(-6,1)
把点B的坐标代入y＝中，得k=-6
若选择条件②，即BE=2AE
∵AC⊥x轴，BD⊥y轴，OC⊥OD
∴四边形OCED是矩形
∴DE=OC，CE=OD
∵OC=2，DB=6
∴BE=DB-DE=DB-OC=4
∴
∵AE=AC-CE=AC-OD=
即
由（1）知：
∴k=-6
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质、矩形的判定与性质、大小比较，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解决本题的关键．
20．（2022·四川德阳·中考真题）如图，一次函数与反比例函数的图象在第二象限交于点，且点的横坐标为－2．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)点的坐标是，若点在轴上，且的面积与的面积相等，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）将点的横坐标代入一次函数解析式，求得点的纵坐标，进而将的坐标代入反比例函数解析式即可求解．
（2）根据三角形面积公式列出方程即可求解．
（1）
一次函数与反比例函数的图象在第二象限交于点，且点的横坐标为－2，
当时，，则，
将代入，可得，
反比例函数的解析式为，
（2）
点的坐标是，，
,
，
的面积与的面积相等，
设，
，
解得或，
或．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例数综合，坐标与图形，求出点的坐标是解题的关键．
五、解答题（每小题9分，共18分）
21．如图，直线y1=﹣x+4，y2=x+b都与双曲线y=交于点A（1，m），这两条直线分别与x轴交于B，C两点．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）直接写出当x＞0时，不等式x+b＞的解集；
（3）若点P在x轴上，连接AP把△ABC的面积分成1：3两部分，求此时点P的坐标．
【答案】（1）；（2）x＞1；（3）P（﹣，0）或（，0）
【详解】分析：（1）求得A（1，3），把A（1，3）代入双曲线y=，可得y与x之间的函数关系式；
（2）依据A（1，3），可得当x＞0时，不等式x+b＞的解集为x＞1；
（3）分两种情况进行讨论，AP把△ABC的面积分成1：3两部分，则CP=BC=，或BP=BC=，即可得到OP=3﹣=，或OP=4﹣=，进而得出点P的坐标．
详解：（1）把A（1，m）代入y1=﹣x+4，可得m=﹣1+4=3，
∴A（1，3），
把A（1，3）代入双曲线y=，可得k=1×3=3，
∴y与x之间的函数关系式为：y=；
（2）∵A（1，3），
∴当x＞0时，不等式x+b＞的解集为：x＞1；
（3）y1=﹣x+4，令y=0，则x=4，
∴点B的坐标为（4，0），
把A（1，3）代入y2=x+b，可得3=+b，
∴b=，
∴y2=x+，
令y2=0，则x=﹣3，即C（﹣3，0），
∴BC=7，
∵AP把△ABC的面积分成1：3两部分，
∴CP=BC=，或BP=BC=
∴OP=3﹣=，或OP=4﹣=，
∴P（﹣，0）或（，0）．
点睛：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
22．（2020·山东济宁·中考真题）在△ABC中.BC边的长为x,BC边上的高为y,△ABC的面积为2．
(1)y关于x的函数关系式是________， x的取值范围是________；
(2)在平面直角坐标系中画出该函数图象；
(3)将直线y=-x+3向上平移a(a>0)个单位长度后与上述函数图象有且只有一个交点，请求出此时a的值．
【答案】（1）y=，x＞0；（2）见解析；（3）1
【分析】（1）根据三角形的面积公式即可得出函数关系式，再根据实际意义得出x的取值范围；
（2）在平面直角坐标系中画出图像即可；
（3）得到平移后的一次函数表达式，再和反比例函数联立，得到一元二次方程，再结合交点个数得到根的判别式为零，即可求出a值.
【详解】解：（1）由题意可得：
S△ABC=xy=2，
则：y=，
其中x的取值范围是x＞0，
故答案为：y=，x＞0；
（2）函数y=（x＞0）的图像如图所示；
（3）将直线y=-x+3向上平移a(a>0)个单位长度后得到y=-x+3+a，
若与函数y=（x＞0）只有一个交点，
联立：，
得：，
则，
解得：a=1或-7（舍），
∴a的值为1.
【点睛】本题考查了一次函数，反比例函数的综合，以及一元二次方程根的判别式，解题的关键是理解题意，将函数交点问题转化为一元二次方程根的问题.
六、解答题（本大题共12分）
23．（2022·湖南·南县城西中学九年级阶段练习）如图1，四边形ABCD为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA＝6，OB＝3，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点C．
(1)求点C的坐标和反比例函数的表达式；
(2)如图2，将正方形ABCD沿x轴向右平移m个单位长度得到正方形，点恰好落在反比例函数的图象上，求此时点的坐标；
(3)在（2）的条件下，点P为x轴上一动点，平面内是否存在点Q，使以点O、、P、Q为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)C（9，3），
(2)
(3)存在，（－3，6）或（12，6）或或
【分析】（1）过点C作CH⊥x轴，交于点H，根据正方形的性质及各角之间的关系得出∠OAB=∠CBH，利用全等三角形的判定和性质得出BH=OA=6，CH=OB=3，即可确定点的坐标；
（2）利用（1）中方法确定D(6,9)，由点A’恰好落在反比例函数图象上，确定函数图象的平移方式即可得出点D’的坐标；
（3）根据题意进行分类讨论：当OA’=OP时；当A’O=A’P时；当PO=PA’时；分别利用菱形的性质及等腰三角形的性质求解即可．
（1）
解：过点C作CH⊥x轴，交于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBH=90°，
∵∠ABO+∠OAB=90°，
∴∠OAB=∠CBH，
∴∆AOB≅∆BHC，
∴BH=OA=6，CH=OB=3，
∴OH=9，
∴C(9，3)
∵反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点C，
∴k=9×3=27，
∴；
（2）
如图所示，过点D作轴，，,
同（1）方法可得：，
∵，
∴四边形OGEA为矩形，
∴AO=EG=6，DE=OB=3，AE=AO=6，
∴D(6，9)，
∵点A’恰好落在反比例函数图象上，
∴当y=6时，x=，
∴m=，
∴D’(6+，9)即D’(，9)；
（3）
当OA’=OP时，如图所示：
∵A’(，6)，
OA’=，
四边形OPQA’是菱形，
A’Q∥OP，A’Q=OP，
Q(12,6)，
当点Q’在第二象限时，Q’(-3,6)；
当A’O=A’P时，如图所示：
点A’与点Q关于x轴对称，
Q(，-6)；
当PO=PA’时，如图设P（m,0），
则PO=PA’，
∴，
解得：，
∴OP=A’Q=，
∴Q(，6)，
综上可得：Q(，6)或(，-6)或(12,6)或(-3,6) ．
【点睛】题目主要考查反比例函数的性质，正方形的性质，平移的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，等腰三角形的性质等，理解题意，（3）中根据等腰三角形进行分类讨论是解题关键．
第二十六章 反比例函数
考试时间:120分钟 满分：120分
一、单选题（每小题3分，共18分）
1．（2022·湖南·桂阳县第二中学九年级阶段练习）反比例函数的图像大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据反比例函数的图像与性质直接判断即可．
【详解】解：，
反比例函数的图像在第二、四象限，
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数的图像与性质，熟练掌握的正负对图像的影响是解决问题的关键．
2．（2021·甘肃兰州·中考真题）如图，点在反比例函数图象上，轴于点，是的中点，连接，，若的面积为2，则（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】B
【分析】根据三角形中线的性质得出，然后根据反比例函数的几何意义得解．
【详解】解：∵点C是OB的中点，的面积为2，
∴,
∵轴于点，
∴,
∴,
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义以及三角形中线的性质，熟知反比例函数的几何意义是解本题的关键．
3．（2022·江苏无锡·中考真题）一次函数y=mx+n的图像与反比例函数y=的图像交于点A、B，其中点A、B的坐标为A（-，-2m）、B（m，1），则△OAB的面积（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【分析】将点A的坐标代入可确定反比例函数关系式，进而确定点B的坐标，再利用待定系数法求出一次函数关系式；求出直线AB与y轴交点D的坐标，确定OD的长，再根据三角形的面积公式进行计算即可．
【详解】解：∵A（-，-2m）在反比例函数y=的图像上，
∴m=(-) • ( -2m)=2，
∴反比例函数的解析式为y=，
∴B（2，1），A（-，-4），
把B（2，1）代入y=2x+n得1=2×2+n，
∴n=-3，
∴直线AB的解析式为y=2x-3，
直线AB与y轴的交点D（0，-3），
∴OD=3，
∴S△AOB=S△BOD+S△AOD
=×3×2+×3×
=．
故选：D．
．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的交点，把点的坐标代入函数关系式是解决问题常用的方法．
4．下面结论正确的有（ ）
（1）如果保持圆的半径不变，圆的周长与圆周率成正比例．
（2）如果平行四边形的面积一定，它的底和高成反比例关系．
（3）小明从家到学校的时间与他行走的速度成反比例．
（4）书的总页数一定，已看的页数与未看的页数成正比例关系．
A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（2）（4）
【答案】B
【分析】根据成正比例和成反比例的意义逐一判断即可．
【详解】解：（1）如果保持圆的半径不变，圆的周长也就一定，不存在变量，所以，如果保持圆的半径不变，圆的周长与圆周率不成正比例，故（1）不符合题意；
（2）因为平行四边形的面积＝底×高，所以，如果平行四边形的面积一定，它的底和高成反比例关系，故（2）符合题意；
（3）因为小明从家到学校的路程等于小明从家到学校的时间与他行走的速度的乘积，所以，小明从家到学校的时间与他行走的速度成反比例，故（3）符合题意；
（4）因为书的总页数等于已看的页数与未看的页数的和，所以，书的总页数一定，已看的页数与未看的页数不成正比例关系，故（4）不符合题意；
故正确的有（2）（3），
故选：B．
【点睛】本题考查了有理数的乘法，有理数的除法，熟练掌握成正比例和成反比例的意义是解题的关键．
5．对于反比例函数y＝的图象的对称性叙述错误的是( )
A．关于原点中心对称 B．关于直线y＝x对称
C．关于直线y＝﹣x对称 D．关于x轴对称
【答案】D
【分析】根据反比例函数图象的对称性判断即可．
【详解】解：反比例函数y=的图象关于原点中心对称、关于直线y=x对称、关于直线y=-x对称，
∵它的图象在第一、三象限，
∴不关于x轴对称，
A、B、C说法正确，不符合题意，D说法错误，符合题意，
故选D．
【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线y=-x；②一、三象限的角平分线y=x；对称中心是：坐标原点是解题关键．
6．（2020·河南平顶山·九年级期末）对于反比例函数，下列说法错误的是（ ）
A．它的图像在第一、三象限
B．它的函数值y随x的增大而减小
C．点P为图像上的任意一点，过点P作PA⊥x轴于点A．△POA的面积是
D．若点A（-1，）和点B(,）在这个函数图像上，则＜
【答案】B
【分析】根据反比例函数图象与系数的关系解答．
【详解】解：A、反比例函数中的>0，则该函数图象分布在第一、三象限，故本选项说法正确．
B、反比例函数中的>0，则该函数图象在每一象限内y随x的增大而减小，故本选项说法错误．
C、点P为图像上的任意一点，过点P作PA⊥x轴于点A．，∴△POA的面积=，故本选项正确．
D、∵反比例函数，点A（-1，）和点B(,）在这个函数图像上，则y1
【点睛】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数y= （k≠0）的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大；还考查了k的几何意义．
二、填空题（每小题3分，共18分）
7．（2022·湖南株洲·中考真题）如图所示，矩形顶点、在轴上，顶点在第一象限，轴为该矩形的一条对称轴，且矩形的面积为6．若反比例函数的图象经过点，则的值为_________．
【答案】3
【分析】由图得，轴把矩形平均分为两份，即可得到上半部分的面积，利用矩形的面积公式即，又由于点C在反比例函数图象上，则可求得答案．
【详解】解：轴为该矩形的一条对称轴，且矩形的面积为6，
，
，
故答案为3．
【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，熟练掌握是解题的关键．
8．（2021·北京石景山·九年级期末）如图，，两点在函数（）图象上，垂直轴于点，垂直轴于点，，面积分别记为，，则___．（填“＜”，“＝”，或“＞”）．
【答案】=
【分析】通过用反比例函数上的点坐标表示和的面积比较即可．
【详解】∵A、B两点在y=-（）上，
∴x，x，y>0，y>0，xy=-2，xy=-2，
∴y=2，y=2，
∴S==1，S==2，
∴S= S．
故答案为=．
【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，找到相关三角形，求出面积即可．
9．（2020·贵州贵阳·中考真题）如图，点是反比例函数图象上任意一点，过点分别作轴，轴的垂线，垂足为，，则四边形的面积为____．
【答案】3
【分析】根据反比例函数的图象上点的坐标性得出|xy|＝3，进而得出四边形的面积．
【详解】解：如图所示：可得OB×AB＝|xy|＝|k|＝3，
则四边形的面积为：3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了反比例函数（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．
10．（2022·贵州毕节·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，B分别在x轴、y轴上，对角线交于点E，反比例函数的图像经过点C，E．若点，则k的值是_________．
【答案】4
【分析】作CF垂直y轴， 设点B的坐标为(0，a)，可证明（AAS），得到CF=OB=a，BF=AO=3，可得C点坐标，因为E为正方形对称线交点，所以E为AC中点，可得E点坐标，将点C、E的坐标代入反比例函数解析式中，即可求出k的值．
【详解】作CF垂直y轴于点F，如图，设点B的坐标为(0，a)，
∵四边形是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∵∠OBA+∠OAB=∠OBA+∠FBC=90°
∴∠OAB=∠FBC
在△BFC和△AOB中
∴
∴BF=AO=3，CF=OB=a
∴OF=OB+BF=3+a
∴点C的坐标为(a，3+a)
∵点E是正方形对角线交点，
∴点E是AC中点，
∴点E的坐标为
∵反比例函数的图象经过点C，E
∴
解得：k=4
故答案为：4
【点睛】本题考查了反比例函数与图形的综合应用，巧用正方形的性质求C、E点的坐标是解题的关键．
11．如图，反比例函数y=的图象经过▱ABCD对角线的交点P，已知点A，C，D在坐标轴上，BD⊥DC，▱ABCD的面积为6，则k=_____．
【答案】-3
【详解】分析：由平行四边形面积转化为矩形BDOA面积，在得到矩形PDOE面积，应用反比例函数比例系数k的意义即可．
详解：过点P做PE⊥y轴于点E，
∵四边形ABCD为平行四边形
∴AB=CD
又∵BD⊥x轴
∴ABDO为矩形
∴AB=DO
∴S矩形ABDO=S▱ABCD=6
∵P为对角线交点，PE⊥y轴
∴四边形PDOE为矩形面积为3
即DO•EO=3
∴设P点坐标为（x，y）
k=xy=﹣3
故答案为﹣3
点睛：本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义以及平行四边形的性质．
12．（2021·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，点A是反比例函数图象上一点，轴于点C且与反比例函数的图象交于点B， ，连接OA，OB，若的面积为6，则_________．
【答案】
【分析】利用反比例函数比例系数k的几何意义得到S△AOC=||=-，S△BOC=||=-，利用AB=3BC得到S△ABO=3S△OBC=6，所以-=2，解得=-4，再利用-=6+2得=-16，然后计算+的值．
【详解】解：∵AC⊥x轴于点C，与反比例函数y=（x＜0）图象交于点B，
而＜0，＜0，
∴S△AOC=||=-，S△BOC=||=-，
∵AB=3BC，
∴S△ABO=3S△OBC=6，
即-=2，解得=-4，
∵-=6+2，解得=-16，
∴+=-16-4=-20．
故答案为：-20．
【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．
三、解答题（每小题6分，共30分）
13．已知与x成反比例，当时，，求y与x的函数表达式．
【答案】
【分析】设反比例函数为：，把，代入函数解析式求解即可.
【详解】解：设反比例函数为：，
根据题意得，
解得，
∴，
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解反比例函数解析式，熟练的列出方程是解本题的关键.
14．（2022·山东菏泽·九年级期中）一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=（n＞0）交于点A（1，3），B（3，m）．
（1）分别求两个函数的解析式；
（2）根据图像直接写出，当x为何值时，y1＜y2；
（3）在x轴上找一点P，使得△OAP的面积为6，求出P点坐标．
【答案】（1）y2=，y1=-x+4．（2）x＜1或x＞3．（3）（-4，0）或（4，0）．
【分析】（1）首先将A，B两点坐标代入反比例函数解析式，得出m，n的值，在利用待定系数法即可解决问题；
（2）观察图象，写出一次函数的图象在反比例函数图象下方时，x的取值范围即可；
（3）由题意可知A的纵坐标的值即为△OAP的高，且P点在横轴上，根据三角形的面积公式可知OP的长为4，写出可能的坐标即可．
【详解】解：（1）将A（1，3），代入y2=（n＞0），得n=3，
再将B（3，m）代入y2=，得m=1，
所以将A，B两点坐标代入y1=kx+b，
得，
解得，
∴一次函数解析式为y1=-x+4；
（2）根据题意的一次函数的图象在反比例函数图象下方时所对应的x的取值范围即为所求，此时x的范围是：x＜1或x＞3；
（3）由题意得△OAP的高为3
∴S△OAP=·3·|OP|=6，
∴OP的长为4，
又∵点P在x轴上，
∴点P的坐标为（-4，0）或（4，0）．
【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，根据题意细心分析是解题关键．
15．（2020·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，在函数的图象上（点的横坐标大于点的横坐标），点的坐示为，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，．
（1）求的值．
（2）若为中点，求四边形的面积．
【答案】（1）8；（2）10．
【分析】（1）将点的坐标为代入，可得结果；
（2）利用反比例函数的解析式可得点的坐标，利用三角形的面积公式和梯形的面积公式可得结果．
【详解】解：（1）将点的坐标为代入，
可得，
的值为8；
（2）的值为8，
函数的解析式为，
为中点，，
，
点的横坐标为4，将代入，
可得，
点的坐标为，
．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的系数的几何意义，运用数形结合思想是解答此题的关键．
16．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，Rt△OAB的直角边OB在x轴的正半轴上，点A的坐标为（6，4），斜边OA的中点D在反比例函数y（x＞0）的图象上，AB交该图象于点C，连接OC．
(1)求k的值；
(2)求△OAC的面积．
【答案】(1)6
(2)9
【分析】（1）根据线段中点的坐标的确定方法求得点的坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征求出；
（2）由反比例函数解析式求出点的纵坐标，进而求出的长，再根据三角形的面积公式计算即可．
（1）
解：点的坐标为，点为的中点，
点的坐标为，
点在反比例函数的图象上，
；
（2）
解：由题意得，点的横坐标为6，
点的纵坐标为：，
，
的面积．
【点睛】本题考查的是反比例函数系数的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的性质、解题的关键是正确求出的长度．
17．（2022·山东·东平县实验中学九年级阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点、点．
(1)求此一次函数和反比例函数的表达式；
(2)如图所示，请直接写出不等式的解集；
(3)在x轴上存在一点P，使的周长最小，直接写出点P的坐标．
【答案】(1)，；
(2)；
(3)P点坐标为
【分析】（1）把点代入，可得，从而得到B点坐标为，再由待定系数法解答，即可求解；
（2）观察图象得：当时，一次函数的图象位于反比例函数图象的上方，或两函数图象相交于点、点，即可求解；
（3）作点A关于x轴的对称点A'，连接A'B，交x轴于点P，此时△PAB的周长最小，求出直线A'B的表达式，即可求解．
（1）
解：∵反比例的图象经过点，
∴，
∴反比例函数表达式为：，
∵反比例的图象经过点，
∴，解得：，
∴B点坐标为，
∵直线经过点，点，
∴，
解得：∴，
∴一次函数表达式为：；
（2）
解：观察图象得：当时，一次函数的图象位于反比例函数图象的上方，或两函数图象相交于点、点，
∴不等式的解集为；
（3）
解：如图，作点A关于x轴的对称点A'，连接A'B，交x轴于点P，此时△PAB的周长最小，
∵点A'和A（-1，2）关于x轴对称，
∴点A'的坐标为（-1，-2），
设直线A'B的表达式为y=ax+c，
把点A'（-1，-2），，代入得：
，解得：，
∴直线A'B的表达式为，
当y=0时，，
∴P点坐标为．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握一次函数与反比例函数的图形和性质，并利用数形结合思想解答是解题的关键．
四、解答题（每小题8分，共24分）
18．（2022·山东·新泰市宫里镇初级中学九年级阶段练习）教师办公室有一种可以自动加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10℃，待加热到100℃，饮水机自动停止加热，水温开始下降．水温y（℃）和通电时间x（min）成反比例函数关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为20℃，接通电源后，水温y（℃）和通电时间x（min）之间的关系如图所示，回答下列问题：
(1)分别求出当0≤x≤8和8＜x≤a时，y和x之间的函数关系式；
(2)求出图中a的值；
(3)李老师这天早上7：30将饮水机电源打开，若他想在8：10上课前喝到不低于40℃的开水，则他需要在什么时间段内接水？
【答案】(1)当0≤x≤8时，y＝10x+20；当8＜x≤a时，y＝；
(2)a＝40；
(3)李老师要在7：38到7：50之间接水
【分析】（1）直接利用反比例函数解析式和一次函数解析式求法得出答案；
（2）利用（1）中所求解析式，当y＝20时，得出答案；
（3）当y＝40时，代入反比例函数解析式，结合水温的变化得出答案．
（1）
当0≤x≤8时，设y＝k1x+b，
将（0，20），（8，100）的坐标分别代入y＝k1x+b得，
解得k1＝10，b＝20．
∴当0≤x≤8时，y＝10x+20．
当8＜x≤a时，设y＝，
将（8，100）的坐标代入y＝，
得k2＝800
∴当8＜x≤a时，y＝．
综上，当0≤x≤8时，y＝10x+20；当8＜x≤a时，y＝．
（2）
将y＝20代入y＝，
解得x＝40，
即a＝40；
（3）
当y＝40时，x＝＝20．
∴要想喝到不低于40℃的开水，x需满足8≤x≤20，
即李老师要在7：38到7：50之间接水．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确求出函数解析式是解题关键．
19．（2021·江苏泰州·中考真题）如图，点A（﹣2，y1）、B（﹣6，y2）在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，AC⊥x轴，BD⊥y轴，垂足分别为C、D，AC与BD相交于点E．
（1）根据图象直接写出y1、y2的大小关系，并通过计算加以验证；
（2）结合以上信息，从①四边形OCED的面积为2，②BE＝2AE这两个条件中任选一个作为补充条件，求k的值．你选择的条件是 （只填序号）．
【答案】（1），见解析；（2）见解析，①（也可以选择②）
【分析】（1）观察函数的图象即可作出判断，再根据A、B两点在反比例函数图象上，把两点的坐标代入后作差比较即可；
（2）若选择条件①，由面积的值及OC的长度，可得OD的长度，从而可得点B的坐标，把此点坐标代入函数解析式中，即可求得k；若选择条件②，由DB=6及OC=2，可得BE的长度，从而可得AE长度，此长度即为A、B两点纵坐标的差，（1）所求得的差即可求得k．
【详解】（1）由于图象从左往右是上升的，即自变量增大，函数值也随之增大，故；
当x=-6时，；当x=-2时，
∵，k＜0
∴
即
（2）选择条件①
∵AC⊥x轴，BD⊥y轴，OC⊥OD
∴四边形OCED是矩形
∴OD∙OC=2
∵OC=2
∴OD=1
即
∴点B的坐标为(-6,1)
把点B的坐标代入y＝中，得k=-6
若选择条件②，即BE=2AE
∵AC⊥x轴，BD⊥y轴，OC⊥OD
∴四边形OCED是矩形
∴DE=OC，CE=OD
∵OC=2，DB=6
∴BE=DB-DE=DB-OC=4
∴
∵AE=AC-CE=AC-OD=
即
由（1）知：
∴k=-6
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质、矩形的判定与性质、大小比较，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解决本题的关键．
20．（2022·四川德阳·中考真题）如图，一次函数与反比例函数的图象在第二象限交于点，且点的横坐标为－2．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)点的坐标是，若点在轴上，且的面积与的面积相等，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）将点的横坐标代入一次函数解析式，求得点的纵坐标，进而将的坐标代入反比例函数解析式即可求解．
（2）根据三角形面积公式列出方程即可求解．
（1）
一次函数与反比例函数的图象在第二象限交于点，且点的横坐标为－2，
当时，，则，
将代入，可得，
反比例函数的解析式为，
（2）
点的坐标是，，
,
，
的面积与的面积相等，
设，
，
解得或，
或．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例数综合，坐标与图形，求出点的坐标是解题的关键．
五、解答题（每小题9分，共18分）
21．如图，直线y1=﹣x+4，y2=x+b都与双曲线y=交于点A（1，m），这两条直线分别与x轴交于B，C两点．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）直接写出当x＞0时，不等式x+b＞的解集；
（3）若点P在x轴上，连接AP把△ABC的面积分成1：3两部分，求此时点P的坐标．
【答案】（1）；（2）x＞1；（3）P（﹣，0）或（，0）
【详解】分析：（1）求得A（1，3），把A（1，3）代入双曲线y=，可得y与x之间的函数关系式；
（2）依据A（1，3），可得当x＞0时，不等式x+b＞的解集为x＞1；
（3）分两种情况进行讨论，AP把△ABC的面积分成1：3两部分，则CP=BC=，或BP=BC=，即可得到OP=3﹣=，或OP=4﹣=，进而得出点P的坐标．
详解：（1）把A（1，m）代入y1=﹣x+4，可得m=﹣1+4=3，
∴A（1，3），
把A（1，3）代入双曲线y=，可得k=1×3=3，
∴y与x之间的函数关系式为：y=；
（2）∵A（1，3），
∴当x＞0时，不等式x+b＞的解集为：x＞1；
（3）y1=﹣x+4，令y=0，则x=4，
∴点B的坐标为（4，0），
把A（1，3）代入y2=x+b，可得3=+b，
∴b=，
∴y2=x+，
令y2=0，则x=﹣3，即C（﹣3，0），
∴BC=7，
∵AP把△ABC的面积分成1：3两部分，
∴CP=BC=，或BP=BC=
∴OP=3﹣=，或OP=4﹣=，
∴P（﹣，0）或（，0）．
点睛：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
22．（2020·山东济宁·中考真题）在△ABC中.BC边的长为x,BC边上的高为y,△ABC的面积为2．
(1)y关于x的函数关系式是________， x的取值范围是________；
(2)在平面直角坐标系中画出该函数图象；
(3)将直线y=-x+3向上平移a(a>0)个单位长度后与上述函数图象有且只有一个交点，请求出此时a的值．
【答案】（1）y=，x＞0；（2）见解析；（3）1
【分析】（1）根据三角形的面积公式即可得出函数关系式，再根据实际意义得出x的取值范围；
（2）在平面直角坐标系中画出图像即可；
（3）得到平移后的一次函数表达式，再和反比例函数联立，得到一元二次方程，再结合交点个数得到根的判别式为零，即可求出a值.
【详解】解：（1）由题意可得：
S△ABC=xy=2，
则：y=，
其中x的取值范围是x＞0，
故答案为：y=，x＞0；
（2）函数y=（x＞0）的图像如图所示；
（3）将直线y=-x+3向上平移a(a>0)个单位长度后得到y=-x+3+a，
若与函数y=（x＞0）只有一个交点，
联立：，
得：，
则，
解得：a=1或-7（舍），
∴a的值为1.
【点睛】本题考查了一次函数，反比例函数的综合，以及一元二次方程根的判别式，解题的关键是理解题意，将函数交点问题转化为一元二次方程根的问题.
六、解答题（本大题共12分）
23．（2022·湖南·南县城西中学九年级阶段练习）如图1，四边形ABCD为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA＝6，OB＝3，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点C．
(1)求点C的坐标和反比例函数的表达式；
(2)如图2，将正方形ABCD沿x轴向右平移m个单位长度得到正方形，点恰好落在反比例函数的图象上，求此时点的坐标；
(3)在（2）的条件下，点P为x轴上一动点，平面内是否存在点Q，使以点O、、P、Q为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)C（9，3），
(2)
(3)存在，（－3，6）或（12，6）或或
【分析】（1）过点C作CH⊥x轴，交于点H，根据正方形的性质及各角之间的关系得出∠OAB=∠CBH，利用全等三角形的判定和性质得出BH=OA=6，CH=OB=3，即可确定点的坐标；
（2）利用（1）中方法确定D(6,9)，由点A’恰好落在反比例函数图象上，确定函数图象的平移方式即可得出点D’的坐标；
（3）根据题意进行分类讨论：当OA’=OP时；当A’O=A’P时；当PO=PA’时；分别利用菱形的性质及等腰三角形的性质求解即可．
（1）
解：过点C作CH⊥x轴，交于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBH=90°，
∵∠ABO+∠OAB=90°，
∴∠OAB=∠CBH，
∴∆AOB≅∆BHC，
∴BH=OA=6，CH=OB=3，
∴OH=9，
∴C(9，3)
∵反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点C，
∴k=9×3=27，
∴；
（2）
如图所示，过点D作轴，，,
同（1）方法可得：，
∵，
∴四边形OGEA为矩形，
∴AO=EG=6，DE=OB=3，AE=AO=6，
∴D(6，9)，
∵点A’恰好落在反比例函数图象上，
∴当y=6时，x=，
∴m=，
∴D’(6+，9)即D’(，9)；
（3）
当OA’=OP时，如图所示：
∵A’(，6)，
OA’=，
四边形OPQA’是菱形，
A’Q∥OP，A’Q=OP，
Q(12,6)，
当点Q’在第二象限时，Q’(-3,6)；
当A’O=A’P时，如图所示：
点A’与点Q关于x轴对称，
Q(，-6)；
当PO=PA’时，如图设P（m,0），
则PO=PA’，
∴，
解得：，
∴OP=A’Q=，
∴Q(，6)，
综上可得：Q(，6)或(，-6)或(12,6)或(-3,6) ．
【点睛】题目主要考查反比例函数的性质，正方形的性质，平移的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，等腰三角形的性质等，理解题意，（3）中根据等腰三角形进行分类讨论是解题关键．
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