专题训练5：分式 中考数学一轮复习知识点课标要求

中考数学一轮复习知识点课标要求专题训练5：分式（含答案）

一、知识要点：

1、分式的定义

一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。

注：A、B都是整式，B中含有字母，且B≠0。

2、分式的基本性质

分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变。

；。

3、分式的约分和通分

定义1：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。

定义2：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。

定义3：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。

定义4：各分母的所有因式的最高次幂的积叫做最简公分母。

4、分式的乘除

①乘法法则：。分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

②除法法则：。分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

③分式的乘方：。分式乘方要把分子、分母分别乘方。

④整数负指数幂：。

5、分式的加减

同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；

异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。

①同分母分式的加减：；

②异分母分式的加法：。

注：不论是分式的哪种运算，都要先进行因式分解。

二、课标要求：

1、了解分式和最简分式的概念，能利用分式的基本性质进行约分和通分；

2、能进行简单的分式加、减、乘、除运算；

三、常见考点：

1、分式的概念、意义，如求分式中字母的取值范围、分式为0的条件及相应的综合运用。

2、运用分式的基本性质进行约分、通分。

3、运用分式的加、减、乘、除法则进行分式的化简、代入求值。

4、考查学生对负整数指数幂的理解。

四、专题训练：

1．若实数a，b满足ab＝1，设M＝，N＝，则M，N的大小关系是（　　）A．M＞N B．M＝N              C．M＜N              D．不确定

2．已知：a1＝x+1（x≠0且x≠﹣1），a2＝1÷（1﹣a1），a3＝1÷（1﹣a2），…，an＝1÷（1﹣an﹣1），则a2020等于（　　）A．x              B．x+1              C．              D．

3．同时使分式有意义，又使分式无意义的x的取值范围是（　　）

A．x≠﹣4，且x≠﹣2 B．x＝﹣4，或x＝2 

C．x＝﹣4 D．x＝2

4．将甲、乙、丙三个正分数化为最简分数后，其分子分别为6、15、10，其分母的最小公倍数为360．判断甲、乙、丙三数的大小关系为何？（　　）

A．乙＞甲＞丙 B．乙＞丙＞甲 C．甲＞乙＞丙 D．甲＞丙＞乙

5．张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子x+（x＞0）的最小值是2”．其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的一边长为x，则另一边长是，矩形的周长是2（x+）；当矩形成为正方形时，就有x＝（x＞0），解得x＝1，这时矩形的周长2（x+）＝4最小，因此x+（x＞0）的最小值是2．模仿张华的推导，你求得式子（x＞0）的最小值是（　　）

A．2 B．1 C．6 D．10

6．已知m2+n2＝n﹣m﹣2，则﹣的值等于（　　）

A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣

7．甲瓶盐水含盐量为，乙瓶盐水含盐量为，从甲乙两瓶中各取重量相等的盐水混合制成新盐水的含盐量为（　　）

A． B． 

C． D．随所取盐水重量而变化

8．要使分式有意义，则x的取值范围是　   　．

9．若分式的值为0，则x的值为　   　．

10．当x＝1时，分式的值是　   　．

11．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．如分式就是“和谐分式”．若a为正整数，且为“和谐分式”，则a的值为　   　．

12．分式与的最简公分母是　   　，方程﹣＝1的解是　   　．

13．化简：÷＝　   　．

14．已知+＝3，求＝　   　．

15．化简：÷（﹣1）＝　   　．

16．a，b互为倒数，代数式÷（+）的值为　   　．

17．已知：（x+2）x+5＝1，则x＝　   　．

18．给定下面一列分式：，…，（其中x≠0）

（1）把任意一个分式除以前面一个分式，你发现了什么规律？

（2）根据你发现的规律，试写出给定的那列分式中的第7个分式．

19．化简：•．

20．化简：•．

21．化简：﹣．

22．化简：a﹣b﹣．

23．（1）计算：（﹣4）2×（﹣）3﹣（﹣4+1）．

（2）下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．

﹣

＝﹣…第一步

＝﹣…第二步

＝﹣…第三步

＝…第四步

＝…第五步

＝﹣…第六步

任务一：填空：

①以上化简步骤中，第　   　步是进行分式的通分，通分的依据是　   　．或填为：　   　；

②第　   　步开始出现错误，这一步错误的原因是　   　；

任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果；

任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．

24．先化简，再求值：•（+1），其中x是不等式组的整数解．

参考答案

1．解：M＝＝，

∵ab＝1，∴＝＝1．

N＝＝，

∵ab＝1，∴＝＝1，∴M＝N．

故选：B．

2．解：∵a1＝x+1（x≠0且x≠﹣1），a2＝1÷（1﹣a1），a3＝1÷（1﹣a2），…，an＝1÷（1﹣an﹣1），

∴a2＝﹣，a3＝，a4＝x+1，…，

∴a3n＝，a3n+1＝x+1，a3n+2＝﹣，

∵2020＝673×3+1，

∴a2020＝x+1．

故选：B．

3．解：由题意得：x2+6x+8≠0，且（x+1）2﹣9＝0，

（x+2）（x+4）≠0，x+1＝3或﹣3，

x≠﹣2且x≠﹣4，x＝2或x＝﹣4，

∴x＝2，故选D．

4．解：360＝2×2×2×3×3×5；

因为6＝2×3，

所以化简后的甲的分母中不含有因数2、3，只能为5，

即化简后的甲为；

因为15＝3×5，

所以化简后的乙的分母中不含有因数3、5，只能为2，4或8；

因为10＝2×5，

所以化简后的丙的分母中不含有因数2、5，只能为3或9；

因为化简后的三个数的分母的最小公倍数为360，甲的分母为5，

所以乙、丙的最小公倍数是360÷5＝72，

（1）当乙的分母是2时，丙的分母是9时，

乙、丙的最小公倍数是：2×9＝18，

它不满足乙、丙的最小公倍数是72；

（2）当乙的分母是4时，丙的分母是9时，

乙、丙的最小公倍数是：4×9＝36，

它不满足乙、丙的最小公倍数是72；

所以乙的分母只能是8，丙的分母只能是9，

此时乙、丙的最小公倍数是：8×9＝72，

所以化简后的乙是，丙是，

因为，

所以乙＞甲＞丙．

故选：A．

5．解：∵x＞0，

∴在原式中分母分子同除以x，

即＝x+，

在面积是9的矩形中设矩形的一边长为x，则另一边长是，

矩形的周长是2（x+）；

当矩形成为正方形时，就有x＝，（x＞0），

解得x＝3，

这时矩形的周长2（x+）＝12最小，

因此x+（x＞0）的最小值是6．

故选：C．

6．解：由m2+n2＝n﹣m﹣2，得

（m+2）2+（n﹣2）2＝0，

则m＝﹣2，n＝2，

∴﹣＝﹣﹣＝﹣1．

故选：C．

7．解：设从甲乙两瓶中各取重量相等的盐水x，

则混合制成新盐水的含盐量为：＝，

故选：A．

8．解：∵分式有意义，

∴x+1≠0，即x≠﹣1

故答案为：x≠﹣1．

9．解：由分式的值为零的条件得，

由2x﹣4＝0，得x＝2，

由x+1≠0，得x≠﹣1．

综上，得x＝2，即x的值为2．

故答案为：2．

10．解：当x＝1时，原式＝＝，

故答案为：．

11．解：由题可知：x2+ax+9可以分解因式，且a为正整数，则：

①x2+ax+9＝（x+1）（x+9），此时a＝10，

②x2+ax+9＝（x+3）2，此时a＝6，

③x2+ax+9＝（x﹣3）2，此时a＝﹣6（不合题意舍去），

综上，a的值是6或10．

故答案为：6或10．

12．解：∵x2﹣2x＝x（x﹣2），

∴分式与的最简公分母是x（x﹣2），

方程，

去分母得：2x2﹣8＝x（x﹣2），

去括号得：2x2﹣8＝x2﹣2x，

移项合并得：x2+2x﹣8＝0，变形得：（x﹣2）（x+4）＝0，

解得：x＝2或﹣4，

∵当x＝2时，x（x﹣2）＝0，当x＝﹣4时，x（x﹣2）≠0，

∴x＝2是增根，

∴方程的解为：x＝﹣4．

故答案为：x（x﹣2），x＝﹣4．

13．解：原式＝＝x﹣1

故答案为：x﹣1．

14．解：∵+＝3，

∴＝3，

则a+b＝3ab，

所以原式＝＝＝＝﹣，

故答案为：﹣．

15．解：原式＝÷（﹣）＝÷＝•＝﹣，

故答案为：﹣．

16．解：原式＝÷＝（a+b）•＝ab，

∵a，b互为倒数，

∴a•b＝1，

∴原式＝1．

故答案为：1．

17．解：根据0指数的意义，得

当x+2≠0时，x+5＝0，解得x＝﹣5．

当x+2＝1时，x＝﹣1，

当x+2＝﹣1时，x＝﹣3，x+5＝2，指数为偶数，符合题意．

故填：﹣5或﹣1或﹣3．

18．解：（1）﹣÷＝﹣；÷（﹣）＝﹣…规律是任意一个分式除以前面一个分式恒等于；

（2）∵由式子：，…，发现分母上是y1，y2，y3，…故第7个式子分母上是y7，分子上是x3，

x5，x7，故第7个式子是x15，再观察符号发现第偶数个为负，第奇数个为正，

∴第7个分式应该是．

19．解：原式＝•＝．

20．解：原式＝•＝．

21．解：﹣＝＝＝．

22．解：原式＝a﹣b﹣（a+b）＝a﹣b﹣a﹣b＝﹣2b．

23．解：（1）（﹣4）2×（﹣）3﹣（﹣4+1）＝16×（﹣）+3＝﹣2+3＝1；

（2）①以上化简步骤中，第三步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质．或填为：分式的分子分母都乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变；

②第五步开始出现错误，这一步错误的原因是括号前面是“﹣”，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号；

任务二：﹣

＝﹣…第一步

＝﹣…第二步

＝﹣…第三步

＝…第四步

＝…第五步

＝﹣…第六步；

任务三：答案不唯一，如：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程．

故答案为：三；分式的基本性质；分式的分子分母都乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变；五；括号前面是“﹣”，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号．

24．解：•（+1）＝＝＝，

由不等式组，得﹣1≤x＜1，

∵x是不等式组的整数解，

∴x＝﹣1，0，

∵当x＝﹣1时，原分式无意义，

∴x＝0，

当x＝0时，原式＝＝﹣