【全】1~6年级小学数学有趣经典的奥数题及答案解析

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六年级数学有趣经典的奥数题及答案解析    【题-001】抽屉原理 有 5 个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出3 枚棋子.请你证明，这 5 个人中至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的。     【题-002】牛吃草：（中等难度） 一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内.如果 10人淘水，3 小时淘完；如 5 人淘水 8 小时淘完.如果要求 2 小时淘完，要安排多少人淘水？        【题-003】奇偶性应用：（中等难度） 桌上有 9 只杯子，全部口朝上，每次将其中 6 只同时“翻转”.请说明：无论经过多少次这样的“翻转”，都不能使 9 只杯子全部口朝下。      
【题-004】整除问题：（中等难度） 用一个自然数去除另一个整数，商 40，余数是 16.被除数、除数、商数与余数的和是 933，求被除数和除数各是多少？        【题-005】填数字：（中等难度） 请在下图的每个空格内填入 1 至 8 中的一个数字，使每行、每列、每条对角线上 8 个数字都互不相同．            【题-006】灌水问题：（中等难度） 公园水池每周需换一次水．水池有甲、乙、丙三根进水管．第一周小李按甲、乙、丙、甲、乙、丙……的顺序轮流打开小 1 时，恰好在打开某根进水管 1 小时后灌满空水池．第二周他按乙、丙、甲、乙、丙、甲……的顺序轮流打开 1 小时，灌满一池水比第一周少用了 15 分钟；第三周他按丙、乙、甲、丙、乙、甲……的顺序轮流打开 1 小时，比第一周多用了 15 分钟．第四周他三个管同时打开，灌满一池水用了 2 小时 20 分，第五周他只打开甲管，那么灌满一池水需用               小时．
【题-007】  浓度问题：（中等难度） 瓶中装有浓度为 15%的酒精溶液 1000 克，现在又分别倒入 100 克和 400 克的 A、B 两种酒精溶液，瓶中的浓度变成了 14%．已知A 种酒精溶液浓度是 B 种酒精溶液浓度的 2 倍，那么 A 种酒精溶液的浓度是百分之几？     【题-008】水和牛奶：（中等难度） 一个卖牛奶的人告诉两个小学生：这儿的一个钢桶里盛着水，另一个钢桶里盛着牛奶，由于牛奶乳脂含量过高，必须用水稀释才能饮用．现在我把 A 桶里的液体倒入 B 桶，使其中液体的体积翻了一番，然后我又把 B 桶里的液体倒进 A 桶，使 A 桶内的液体体积翻番．最后，我又将 A 桶中的液体倒进 B 桶中，使 B 桶中液体的体积翻番．此时我发现两个桶里盛有同量的液体，而在 B 桶中， 水比牛奶多出 1 升．现在要问你们，开始时有多少水和牛奶，而在结束时，每个桶里又有多少水和牛奶？    【题-009】  巧算：（中等难度）  计算：      【题-010】队形：（中等难度） 做少年广播体操时，某年级的学生站成一个实心方阵时（正方形队列）时，还多 10 人，如果站成一个每边多 1 人的实心方阵，则还缺少 15 人.问：原有多少人？             【题-011】计算：（中等难度） 一个自然数，如果它的奇数位上各数字之和与偶数位上各数字之和的差是 11 的倍数，那么这个自然数是 11 的倍数，例如 1001， 因为 1+0=0+1，所以它是 11 的倍数；又如 1234，因为 4+2-（3＋1）=2 不是 11 的倍数，所以 1234 不是 11 的倍数.问：用 0、1、2、3、4、5 这 6 个数字排成不含重复数字的六位数，其中有几个是 11 的倍数？     【题-012】分数：（中等难度） 某学校的若干学生在一次数学考试中所得分数之和是 8250 分. 第一、二、三名的成绩是 88、85、80 分，得分最低的是 30 分， 得同样分的学生不超过 3 人，每个学生的分数都是自然数.问：至少有几个学生的得分不低于 60 分？             【题-013】四位数：（中等难度） 某个四位数有如下特点：①这个数加 1 之后是 15 的倍数；②这个数减去 3 是 38 的倍数；③把这个数各数位上的数左右倒过来所得的数与原数之和能被 10 整除，求这个四位数.                  【题-014】行程：（中等难度） 王强骑自行车上班，以均匀速度行驶.他观察来往的公共汽车， 发现每隔 12 分钟有一辆汽车从后面超过他，每隔 4 分钟迎面开来一辆，如果所有汽车都以相同的匀速行驶，发车间隔时间也相同，那么调度员每隔几分钟发一辆车？          【题-015】跑步：（中等难度） 狗跑 5 步的时间马跑 3 步，马跑 4 步的距离狗跑 7 步，现在狗已跑出 30 米，马开始追它。问：狗再跑多远，马可以追上它？                       【题-016】排队：（中等难度） 有五对夫妇围成一圈，使每一对夫妇的夫妻二人动相邻的排法有（ ）       
 【题-017】分数方程：（中等难度） 若干只同样的盒子排成一列，小聪把 42 个同样的小球放在这些盒子里然后外出，小明从每支盒子里取出一个小球，然后把这些小球再放到小球数最少的盒子里去。再把盒子重排了一下．小聪回来，仔细查看，没有发现有人动过小球和盒子．问：一共有多少只盒子?                    【题-018】自然数和：（中等难度） 在整数中，有用 2 个以上的连续自然数的和来表达一个整数的方法．例如 9：9=4+5，9=2+3+4，9 有两个用 2 个以上连续自然数的和来表达它的方法.
 
【题-019】准确值：（中等难度）            【题-020】巧求整数部分题目：（中等难度）     (第六届小数报决赛)A 8.8 8.98 8.998 8.9998 8.99998，A的整数部分是          .                        【题目答案】    【题-001 解答】抽屉原理 首先要确定 3 枚棋子的颜色可以有多少种不同的情况，可以有：3 黑，2 黑 1 白，1 黑 2 白，3 白共 4 种配组情况，看作 4 个抽屉.把每人的 3 枚棋作为一组当作一个苹果，因此共有 5 个苹果.把每人所拿 3 枚棋子按其颜色配组情况放入相应的抽屉.由于有 5 个苹果，比抽屉个数多，所以根据抽屉原理，至少有两个苹果在同一个抽屉里，也就是他们所拿棋子的颜色配组是一样的   【题-002 解答】牛吃草 这类问题，都有它共同的特点，即总水量随漏水的延长而增加. 所以总水量是个变量.而单位时间内漏进船的水的增长量是不变的.船内原有的水量（即发现船漏水时船内已有的水量）也是不变的量.对于这个问题我们换一个角度进行分析。   如果设每个人每小时的淘水量为"1 个单位".则船内原有水量与 3 小时内漏水总量之和等于每人每小时淘水量×时间×人数， 即 1×3×10＝30.  船内原有水量与 8 小时漏水量之和为 1×5×8=40。   每小时的漏水量等于 8 小时与 3 小时总水量之差÷时间差，即（40-30）÷（8-3）=2（即每小时漏进水量为 2 个单位，相当于每小时 2 人的淘水量）。   船内原有的水量等于 10 人 3 小时淘出的总水量-3 小时漏进水量.3 小时漏进水量相当于 3×2=6 人 1 小时淘水量.所以船内原有水量为 30-（2×3）=24。   如果这些水（24 个单位）要 2 小时淘完，则需 24÷2＝12（人），但与此同时，每小时的漏进水量又要安排 2 人淘出，因此共需12+2＝14（人）。   从以上这两个例题看出，不管从哪一个角度来分析问题，都必须求出原有的量及单位时间内增加的量，这两个量是不变的量. 有了这两个量，问题就容易解决了。   【题-003 解答】奇偶性应用   要使一只杯子口朝下，必须经过奇数次"翻转".要使 9 只杯子口全朝下，必须经过 9 个奇数之和次"翻转".即"翻转"的总次数为奇数.但是，按规定每次翻转 6 只杯子，无论经过多少次"翻转"，翻转的总次数只能是偶数次.因此无论经过多少次"翻转"，都不能使 9 只杯子全部口朝下。∴被除数=21×40+16=856。 答：被除数是 856，除数是 21。    【题-004 解答】整除问题 ∵被除数=除数×商+余数， 即被除数=除数×40+16。 由题意可知：被除数+除数=933-40-16=877， ∴（除数×40+16）+除数=877， ∴除数×41=877-16， 除数=861÷41， 除数=21， ∴被除数=21×40+16=856。 答：被除数是 856，除数是 21    【题-005 解答】填数字： 解此类数独题的关键在于观察那些位置较特殊的方格(对角线上的或者所在行、列空格比较少的)，选作突破口．本题可以选择两条对角线上的方格为突破口，因为它们同时涉及三条线，所受的限制最严，所能填的数的空间也就最小．   副对角线上面已经填了 2，3，8，6 四个数，剩下 1，4，5 和7，这是突破口．观察这四个格，发现左下角的格所在的行已经有 5，所在的列已经有 1 和 4，所以只能填 7．然后，第六行第三列的格所在的行已经有 5，所在的列已经有 4，所以只能填 1．第四行第五列的格所在的行和列都已经有 5，所以只能填 4，剩下右上角填 5．   再看主对角线，已经填了 1 和 2，依次观察剩余的 6 个方格， 发现第四行第四列的方格只能填 7，因为第四行和第四列已经有了 5，4，6，8，3．再看第五行第五列，已经有了 4，8，3，5， 所以只能填 6．   此时似乎无法继续填主对角线的格子，但是，可观察空格较少的行列，例如第四列已经填了 5 个数，只剩下 1，2，5，则很明显第六格填 2，第八格填 1，第三格填 5．此时可以填主对角线的格子了，第三行第三列填 8，第二行第二列填 3，第六行第六列填 4，第七行第七列填 5．   继续依次分析空格较少的行和列(例如依次第五列、第三行、第八行、第二列……)，可得出结果如下图．  
   【题-006 解答】灌水问题： 如第一周小李按甲、乙、丙、甲、乙、丙……的顺序轮流打开 1小时，恰好在打开丙管 1 小时后灌满空水池，则第二周他按乙、丙、甲、乙、丙、甲……的顺序轮流打开 1 小时，应在打开甲管1 小时后灌满一池水．不合题意．        如第一周小李按甲、乙、丙、甲、乙、丙……的顺序轮流打开 1 小时，恰好在打开乙管 1 小时后灌满空水池，则第二周他按乙、丙、甲、乙、丙、甲……的顺序轮流打开 1 小时，应在打开丙管 45 分钟后灌满一池水；第三周他按丙、乙、甲、丙、乙、甲……的顺序轮流打开 1 小时，应在打开甲管后 15 分钟灌满一池水．比较第二周和第三周，发现开乙管 1 小时和丙管 45 分钟的进水量与开丙管、乙管各 1 小时加开甲管 15 分钟的进水量相同，矛盾．        所以第一周是在开甲管 1 小时后灌满水池的．比较三周发现，甲管 1 小时的进水量与乙管 45 分钟的进水量相同，乙管 30分钟的进水量与丙管 1 小时的进水量相同．三管单位时间内的进水量之比为 3:4:2．   【题-007 解答】  浓度问题

    【题-008 解答】水和牛奶

       【题-009 解答】  巧算： 本 题 的 重 点 在 于 计 算 括 号 内 的 算 式 ：．这个算式不同于我们常见的分数裂项的地方在于每一项的分子依次成等差数列，而非常见的分子相同、或分子是分母的差或和的情况．所以应当对分子进行适当的变形，使之转化成我们熟悉的形式．
  法一： 观察可知 5=2+3，7=3+4，……即每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和，所以  
   【题-010 解答】 队形 当扩大方阵时，需补充 10+15 人，这 25 人应站在扩充的方阵的两条邻边处，形成一层人构成的直角拐角.补充人后，扩大的方阵每边上有（10+15+1）÷2=13 人.因此扩大方阵共有 13×13=169人，去掉 15 人，就是原来的人数 169-15=154 人     【题-011 解答】计算答案： 用１．２．３．４．５组成不含重复数字的六位数， ， 它能被 11 整除，并设 a1+a3+a5≥a2+a4+a6，则对某一整数 k≥0，有： a1+a3+a5-a2-a4-a6=11k （*） 也 就 是 ： a1+a2+a3+a4+a5+a6=11k+2（a2+a4+a6） 15=0+1+2+3+4+5=11k+2（a2+a4+a6） （**） 由此看出k 只能是奇数 由（*）式看出，0≤k<2 ，又因为 k 为奇数，所以只可能 k=1， 但是当k=1 时，由（**）式看出 a2+a4+a6=2. 但是在 0、1、2、3、4、5 中任何三个数之和也不等于 2，可见 k≠1. 因此（*）不成立. 对于 a2＋a4＋a6＞a1＋a3＋a5 的情形，也可类似地证明（a2＋a4＋a6）-（a1＋a3＋a5）不是 11 的倍数. 根据上述分析知：用 0、1、2、3、4、5 不能组成不包含重复数字的能被 11 整除的六位数.     【题-012 解答】 分数：（中等难度）    除得分 88、85、80 的人之外，其他人的得分都在 30 至 79 分之间，其他人共得分：8250-（88＋85＋80）=7997（分）.     为使不低于 60 分的人数尽量少，就要使低于 60 分的人数尽量多，即得分在 30～59 分中的人数尽量多，在这些分数上最多有 3×（30＋31＋…＋59）= 4005 分（总分），因此，得 60～79分的人至多总共得 7997-4005=3992 分.   如果得 60 分至 79 分的有 60 人，共占分数 3×（60+61+ …+ 79）= 4170，比这些人至多得分 7997-4005= 3992 分还多 178 分，所以要从不低于 60 分的人中去掉尽量多的人.但显然最多只能去掉两个不低于 60 分的（另加一个低于 60 分的，例如，178=60＋60＋58）.因此，加上前三名，不低于 60 分的人数至少为 61人.    【题-013 解答】四位数：（中等难度）  四位数答案：        因为该数加 1 之后是 15 的倍数，也是 5的倍数，所以 d=4 或d=9.   因为该数减去 3 是 38 的倍数，可见原数是奇数，因此 d≠4， 只能是d=9.     这表明m=27、37、47；32、42、52.（因为 38m 的尾数为 6） 又因为 38m＋3=15k-1（m、k 是正整数）所以 38m+4=15k. 由于 38m 的个位数是 6，所以 5|（38m＋4）， 因此 38m+4=15k 等价于 3|（38m＋4），即 3 除 m 余 1，因此可知m=37，m=52. 所求的四位数是 1409，1979.    【题-014 解答】 行程答案： 汽车间隔距离是相等的，列出等式为：（汽车速度-自行车速度）×12=（汽车速度+自行车速度）×4 得出：汽车速度=自行车速度的 2 倍. 汽车间隔发车的时间=汽车间隔距离÷汽车速度=（2 倍自行车速度-自行车速度）×12÷2 倍自行车速度=6（分钟）.   【题-015 解答】跑步：（中等难度） 根据"马跑 4 步的距离狗跑 7 步"，可以设马每步长为 7x 米，则狗每步长为 4x 米。 根据"狗跑 5 步的时间马跑 3 步"，可知同一时间马跑 3*7x 米＝21x 米，则狗跑 5*4x＝20x 米。 可以得出马与狗的速度比是 21x：20x＝21：20 根据"现在狗已跑出30 米"，可以知道狗与马相差的路程是30 米，他们相差的份数是 21-20＝1，现在求马的 21 份是多少路程，就是 30÷（21-20）×21＝630 米   【题-016 解答】排队：（中等难度） 根据乘法原理，分两步： 第一步是把 5 对夫妻看作 5 个整体，进行排列有 5×4×3×2×1＝120 种不同的排法，但是因为是围成一个首尾相接的圈，就会产生 5 个 5 个重复，因此实际排法只有 120÷5＝24 种。 第二步每一对夫妻之间又可以相互换位置，也就是说每一对夫妻均有 2 种排法，总共又 2×2×2×2×2＝32 种 综合两步，就有 24×32＝768 种    【题-017 解答】分数方程：（中等难度） 设原来小球数最少的盒子里装有 a 只小球，现在增加了 b 只，由于小聪没有发现有人动过小球和盒子，这说明现在又有了一只装有a 个小球的盒子，而这只盒子里原来装有(a+1)个小球． 同样，现在另有一个盒子装有(a+1)个小球，这只盒子里原来装有(a+2)个小球． 类推，原来还有一只盒子装有(a+3)个小球，(a+4)个小球等等， 故原来那些盒子中装有的小球数是一些连续整数． 现在变成：将 42 分拆成若干个连续整数的和，一共有多少种分法，每一种分法有多少个加数? 因为 42=6×7，故可以看成 7 个 6 的和，又(7+5)+(8+4)+(9+3) 是 6 个 6，从而 42=3+4+5+6+7+8+9，一共有 7 个加数； 又因为 42=14×3，故可将 42：13+14+15，一共有 3 个加数； 又因为 42=21×2，故可将 42=9+10+11+12，一共有 4 个加数． 所以原问题有三个解：一共有 7 只盒子、4 只盒子或 3 只盒子.
  【题-018 解答】自然数和：（中等难度） 请写出只有 3 种这样的表示方法的最小自然数． (2)请写出只有 6 种这样的表示方法的最小自然数． 关于某整数，它的"奇数的约数的个数减 1"，就是用连续的整数的和的形式来表达种数. 根据（1）知道，有 3 种表达方法，于是奇约数的个数为 3+1=4， 对 4 分解质因数 4=2×2，最小的 15(1、3、5、15)； 有连续的 2、3、5 个数相加；7+8；4+5+6；1+2+3+4+5； 根据(2)知道，有 6 种表示方法，于是奇数约数的个数为 6+1=7， 最小为 729(1、3、9、27、81、243、729)，有连续的 2,3、6、9、10、27 个数相加： 364+365 ； 242+243+244 ； 119+120+…+124 ； 77+78+79+…+85 ；36+37+…+45；14+15+…+40    【题-019 解答】准确值：（中等难度）  
             【题-020 解答】巧求整数部分题目：（中等难度）