2022-2023学年四川省绵阳市高一上学期期末数学试题含解析

2022-2023学年四川省绵阳市高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用对数函数的单调性解不等式可得，即可求交集.

【详解】由解得，所以，

所以，

故选:C.

2．已知角的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，且满足，，则（    ）

A．为第一象限角 B．为第二象限角 C．为第三象限角 D．为第四象限角

【答案】B

【分析】根据给定条件，由，分别确定角的终边位置，再求其公共部分作答.

【详解】依题意，由，得角的终边在x轴上方，由，得角的终边在y轴左侧，

所以角的终边在第二象限，即为第二象限角.

故选：B

3．下列函数既是偶函数又在上单调递减的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据奇偶函数的定义即可判断A，根据对数函数图像与性质可判断B，利用函数奇偶性的判断以及其解析式即可判断C，根据常见幂函数的图像与性质即可判断D.

【详解】对A，设，其定义域为，则其定义域关于原点对称，

且，则函数为奇函数，故A错误，

对B，根据对数函数的定义域为，可知其不具备奇偶性，故B错误，

对C，当，，可知其在上单调递减，

设，其定义域为，关于原点对称，

且，故函数为偶函数，故C正确，

对D，根据幂函数图象与性质知为奇函数，故D错误，

故选：C.

4．命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C．a＜1 D．a＞1

【答案】A

【分析】由已知条件可得，即可解得实数的取值范围.

【详解】因为命题“，”是真命题，则，解得.

因此，实数的取值范围是.

故选：A.

5．已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合终边经过点，且，则m＝（    ）

A． B．－4 C．4 D．

【答案】C

【分析】直接利用诱导公式得，则有方程，解出即可.

【详解】，则题意得，解得，

故选：C.

6．函数的图象大致是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】分析函数的定义域与奇偶性，结合基本不等式以及排除法可得出合适的选项.

【详解】对任意的，，则函数的定义域为，

又因为，故函数为奇函数，

当时，，

当且仅当时，等号成立，排除ABC选项.

故选：D.

7．中国与卡塔尔合建的卢塞尔体育场是世界上最大跨度的双层索网屋面单体建筑．该体育场配备了先进的紫外线消杀污水过滤系统，已知过滤过程中污水的污染物浓度M（单位：mg/L）与时间t的关系为（为最初污染物浓度）．已知前2个小时可消除30%的污染物，那么污染物消除至最初的49%共需（    ）

A．3小时 B．4小时 C．8小时 D．9小时

【答案】B

【分析】根据指数式的运算结合题意可得，即可确定污染物消除至最初的49%共需4小时.

【详解】由题可得，当时，,所以，

再令，即，

因为，所以即，所以，

故选:B.

8．已知，，，比较a，b，c的大小为（    ）

A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c

【答案】D

【分析】易得，.又，

比较与0的大小即可.

【详解】，因函数在上单调递增，

则，.

，因，则

.

故，综上有.

故选：D

【点睛】关键点点睛：本题涉及比较对数值大小，难度较大.因，难以找到中间量，故结合换底公式做差，后再利用基本不等式比较大小.

二、多选题

9．下列计算结果为有理数的有（    ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【分析】利用指数运算、对数运算化简选项ABD并判断结果，再分析选项C的结果作答.

【详解】对于A，，结果是有理数；

对于B，，结果是有理数；

对于C，因为，且是无理数，因此不是有理数；

对于D，，而，

且是无理数，因此不是有理数.

故选：AB

10．设正实数a，b满足，则（    ）

A．的最小值为 B．的最小值为

C．的最大值为2 D．的最小值为8

【答案】CD

【分析】根据给定条件，利用均值不等式逐项计算判断作答.

【详解】正实数a，b满足，

对于A，，

当且仅当，即时取等号，A错误；

对于B，，当且仅当时取等号，B错误；

对于C，，当且仅当时取等号，C正确；

对于D，，当且仅当时取等号，D正确.

故选：CD

11．已知函数（a＞0，且）的定义域为，值域为．若的最小值为，则实数a的值可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】根据给定条件，分析判断函数取得最小值0，最大值1的区间在1及左侧可使区间长度最小，再求出a的取值范围作答.

【详解】函数在上单调递减，在上单调递增，，

因为函数在的值域为，则，即，

由，得，则有或，

当时，，有，

当时，，有，

令方程的两个根为，如图，

因此在上函数取得最小值0，最大值1，且最小时，，

于是，解得或，而的最小值为，

则有或，解得或，

所以实数a的值可以是或，即BC满足，AD不满足.

故选：BC

12．已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A．函数在上单调递减

B．函数的图象关于直线x＝1对称

C．存在实数a，使得函数有三个不同的零点

D．存在实数a，使得关于x的不等式的解集为

【答案】BD

【分析】对函数变形，并分析函数的性质，再判断选项ABC，利用函数性质解不等式判断D作答.

【详解】，函数的定义域为R，

对于A，当时，，而，在上都单调递增，

因此函数在上单调递增，A错误；

对于B，因为，因此函数的图象关于直线x＝1对称，B正确；

对于C，对任意实数a，由选项A知，函数在上单调递增，则函数在上最多一个零点，

由对称性知，函数在上最多一个零点，因此函数在R上最多两个零点，C错误；

对于D，当时，，而，

由对称性及选项A知，在上单调递减，当时，得，

当时，得，即的解集为，

所以存在实数a，使得关于x的不等式的解集为，D正确.

故选：BD

【点睛】思路点睛：涉及分段函数解不等式问题，先在每一段上求解不等式，再求出各段解集的并集即可.

三、填空题

13．已知圆心角为的扇形的半径为1，则该扇形的面积为______．

【答案】##

【分析】根据给定条件，利用扇形面积公式直接计算作答.

【详解】圆心角为的扇形的半径为1，所以该扇形的面积为.

故答案为：

14．设函数，则______．

【答案】

【分析】根据给定的分段函数，依次判断代入计算作答.

【详解】函数，则，

所以.

故答案为：

15．已知函数，若，则______．

【答案】##

【分析】利用诱导公式化简即可解决.

【详解】由题知，，

因为，

所以，

故答案为：

16．已知函数的定义域为，对任意实数m，n，都有，且当时，．若，对任意，恒成立，则实数a的取值范围为______．

【答案】

【分析】根据题设条件证明函数的单调性和奇偶性确定内的最大值为，从而可得，再分离参变量即可求实数a的取值范围.

【详解】取则有，所以，

取则有，

所以为奇函数，

任意则，

因为，

所以，

令，

则有，

即，

所以在定义域上单调递减，

所以在上单调递减，

令，所以，

所以，

因为对任意，恒成立，

所以对任意恒成立，

分离变量可得，

因为函数对任意恒成立，

所以，

所以解得，

故答案为:.

四、解答题

17．已知集合，．

(1)当a＝1时，求；

(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）化简集合A，B，后由集合并集定义可得答案；

（2）由“”是“”的充分不必要条件，可得集合A，B关系，后可得答案.

【详解】（1）当时，，因函数在R上单调递增，

则，故.

则；

（2）因“”是“”的充分不必要条件，则，

故，解得

18．已知．

(1)求的值；

(2)求的值．

【答案】(1)；

(2)或.

【分析】（1）根据给定等式，利用同角正余弦平方和为1，化简变形，再借助齐次式法计算作答.

（2）利用（1）的结论，结合同角公式计算作答.

【详解】（1）依题意，，

所以.

（2）由（1）知，，为第一象限角或第三象限角，

由，解得或，

当为第一象限角时，，

当为第三象限角时，．

19．某环保组织自2022年元旦开始监测某水域水葫芦生长的面积变化情况，此后每隔一个月（每月月底）测量一次，通过近一年的观察发现，自2022年元旦起，水葫芦在该水域里生长的面积增加的速度是越来越快的．最初测得该水域水葫芦生长的面积为n（单位：），二月底测得水葫芦的生长面积为，三月底测得水葫芦的生长面积为，水葫芦生长的面积y（单位：）与时间x（单位：月）的关系有两个函数模型可供选择，一个是；另一个是，记2022年元旦最初测量时间x的值为0．

(1)根据本学期所学，请你判断哪个函数模型更适合？并求出该函数模型的解析式；

(2)该水域中水葫芦生长面积在几月份起是元旦开始研究时其生长面积的60倍以上？（参考数据：，）

【答案】(1)第一个函数模型满足要求，

(2)5月份

【分析】（1）由指数函数与幂函数的增长速度判断函数模型，再由待定系数法求得解析式；

（2）建立并求解函数不等式，通过对数运算性质求值.

【详解】（1）因为两个函数模型，在上都是增函数．

随着的增大，的函数值增加得越来越快，而的函数值增加得越来越慢．

因为在该水域中水葫芦生长的速度是越来越快，即随着时间增加，该水域中水葫芦生长的面积增加得越来越快，

所以第一个函数模型满足要求．    

由题意知，解得，所以．

（2）由，解得，

又，故，

所以该水域中水葫芦生长面积在5月份起是元旦开始研究时其生长面积的60倍以上．

20．已知，．

(1)若x是第二象限角，用m表示出；

(2)若关于x的方程有实数根，求t的最小值．

【答案】(1)

(2)2

【分析】（1）对等式平方得，计算得，根据范围即可得到答案；

（2）由（1）对方程转化为在上有实数根，分和讨论，当时，分离参数得，求出右边范围即可.

【详解】（1）由可得

解得，所以，

又因为x是第二象限角，所以，所以，

所以．

（2）方程，

可化为在上有实数根．

①当时，显然方程无解；    

②当时，方程等价于．    

根据减函数加减函数为减函数的结论得：

在上单调递减，则，

所以使得方程在上有实数根．

故的最小值是2．

21．已知函数为上的偶函数．

(1)求实数k的值；

(2)若不等式对任意恒成立，求实数a的范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由偶函数定义可得k，后验证其符合条件即可；

（2）对任意恒成立，等价于.

【详解】（1）由函数为R上的偶函数，

则，即.

即，解得.

当时，

.

.

则，即为R上的偶函数；

（2）对任意恒成立，即，    

令，因函数在上单调递增，则.

令，则，当且仅当，即时取等号.

而函数为单调递增函数，所以，    

所以，即．

22．我们知道，函数图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数．

(1)利用上述结论，证明：函数的图像关于成中心对称图形；

(2)判断函数的单调性（无需证明），并解关于x的不等式：．

【答案】(1)证明见解析

(2)为减函数，答案见解析

【分析】（1）由题，证明为奇函数即可；

（2）由题可得为减函数，又结合（1）结论可知

，后分类讨论的值解不等式即可.

【详解】（1）证明：由题意，只需证明为奇函数，    

又，

易知函数定义域为.，所以为奇函数，所以的图像关于成中心对称图形．

（2）易知为增函数，且，对任意的恒成立，

所以为减函数. 又由（1）知，点与点关于点成中心对称，即，    

所以原不等式等价于，

所以，即，

由解得，    

当时，原不等式解集为或；    

当时，原不等式解集为；    

当时，原不等式解集为或．

【点睛】关键点点睛：本题涉及函数新定义，以及利用新定义结合函数单调性解决问题.

本题关键是读懂信息，第一问将证明函数对称性转化为证明函数奇偶性，第二问则利用所得结论将函数不等式转化为含参二次不等式.