2021-2022学年重庆市主城区高三（上）一诊调研数学试卷解析版

2021-2022学年重庆市主城区高三（上）一诊调研数学试卷（1月份）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知全集，集合，，则（　　）

 A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意得，，所以，故选D.

2．已知是虚数单位，则在复平面内对应的点位于（　　）

 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【解析】，故选B.

3．已知，，，则（　　）

 A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为，，，即，故选C.

4．如图，圭表是中国古代通过测量日影长度来确定节令的仪器，也是作为指导汉族劳动人民农事活动的重要依据，它由“圭”和“表”两个部件组成，圭是南北方向水平放置测定表影长度的刻板，表是与圭垂直的杆，正午时太阳照在表上，通过测量此时表在圭上的影长来确定节令．已知冬至和夏至正午时，太阳光线与圭所在平面所成角分别为，，测得表影长之差为，那么表高为（　　）

 A.  B.

 C.  D.

【答案】C

【解析】如图，设表高，在中，，由正弦定理有，所以，在直角三角形中，，即.

5．已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，直线与轴交于点，且，则点到准线的距离为（　　）

 A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】B

【解析】易得，点的横坐标，即，故选B.

6．函数的图象大致为（　　）

 A． B． 

 C． D．

【答案】A

【解析】易得，是一个奇函数，故排除BD；当时，求导易得恒大于零，排除C，故选A.

7．2021年4月22日是第52个世界地球日，某学校开展了主题为“珍爱地球，人与自然和谐共生”的活动．该校5名学生到A，B，C三个社区做宣传，每个社区至少分配一人，每人只能去一个社区宣传，则不同的安排方案共有（　　）

 A．60种 B．90种 C．150种 D．300种

【答案】C

【解析】若分成，即，再全排得；若分成，即，再全排得，则总方案为种，故选C.

8．已知是定义在上的可导函数，其导函数为，且，（为自然对数的底数），则关于的不等式的解集为（　　）

 A． B． C． D．

【答案】B

【解析】令，又因为，则，

，又因为，原不等式成立，

即，即，整理得，，故选B.

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

（多选）9．设非零实数，那么下列不等式中一定成立的是（　　）

 A．  B．

 C．  D．

【答案】BD

【解析】选项A，若，，，显然不成立；选项B，因为，即，成立；选项C，若，，，显然不成立；选项D，，故，即，成立.综上，选BD.

（多选）10．某高中学校积极响应国家“阳光体育运动”的号召，为确保学生每天一小时的体育锻炼，调查该校2000名高中学生每周平均参加体育锻炼时间的情况，现从高一、高二、高三三个年级学生中按照3：1：1的比例分层抽样，收集了200名学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时），整理后得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法中，正确的是（　　）

 A．估计该校高中学生每周平均体育运动时间不足4小时的人数为500人 

 B．估计该校高中学生每周平均体育运动时间不少于8小时的人数百分比为20% 

 C．估计该校高中学生每周平均体育运动时间的中位数为5小时 

 D．估计该校高中学生每周平均体育运动时间为5.8小时

【答案】ABD

【解析】对于A选项，由频率分布直方图可知，该校学生每周平均体育运动时间不足4小时的频率为，所以，估计高一年级每周平均体竎运动时间不足4小时的人数的为人，故A选项正确；

对于B选项，该校学生每周平均体育运动时间不少于8小时的百分比为，故B选项正确；

对于C选项，估计该校高中学生每周平均体育运动时间的中位数为小时，故C选项不正确；

对于D选项，该校高中学生每周平均体育运动时间为：

小时，故D选项正确.

故选：ABD.

（多选）11．将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到如图所示的函数的部分图象，则关于函数的说法，正确的是（　　）

 A．最小正周期为 

 B．图象关于点对称 

 C．图象关于直线对称 

 D．在区间上的值域为

【答案】CD

【解析】本题考查根据三角函数的图像求解析式以及三角函数的性质.

由图可知，，，.

又由可得，且，.，.

的最小正周期为，最大值为，选项A错误；

对于选项B，，B错误；

对于选项C，，故C正确；

对于选项D，当时，，的值域为，选项D正确.

故选ACD.

（多选）12．已知数列，均为递增数列，它们的前项和分别为，，且满足，，则下列结论正确的是（　　）

 A．  B．

 C．  D．

【答案】ACD

【解析】对于A，因为数列为递增数列，所以，

因此，又因为，所以，因此，

解得，因此A正确；

对于C，因为数列为递增数列，所以，因此.

又因为，所以，即，因此，解得

，所以，因此C正确；

因为，所以，因此，所以数列的奇数项和偶数项分别构成首项分别为，，公比都为2的等比数列，

因此

=

又因为，所以取不到等号，即，又因为

根据两个函数的增长速度，所以对于任意的，，因此D正确，B不正确.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．若非零向量，，满足，则，的夹角为　　．

【答案】

【解析】设，则，，与夹角的余弦值为，则其夹角为.

14．若直线被圆所截得的弦长为6，则的最小值为　　．

【答案】

【解析】直线，被圆截得的弦长为6，其圆心，半径，直线过圆心，

，即，

当且仅当时取等号，的最小值是.

15．如图，在棱长为2的正方体中，点在线段（不包含端点）上运动，则下列结论正确的是　　.（填序号）

①正方体的外接球表面积为；

②异面直线与所成角的取值范围是；

③直线平面；

④三棱锥的体积随着点的运动而变化．

【答案】②③（全对得5分，其他情况不得分）

【解析】正方体对角线长为，即这外接球直径，因此球半径为，球表面积为，①错；

正方体中与平行且相等，是平行四边形，，是正三角形，与的夹角（锐角或直角）的范围是，因此②正确；

由②上知，而平面，平面，所以平面，同理平面，又，，平面，所以平面平面，而平面，所以平面，③正确：

由平面，因此到平面的距㨿不变，所以不变，④错.

故答案为：②③.

16．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若，为坐标原点，则双曲线的离心率为　　．

【答案】

【解析】设，，相应的渐近线方程为：则直线的斜率为：，设将带入双曲线的渐近线方程得，，则

由可得，即，整理化简得，即

，即，即，即或（舍）

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，，，成等比数列．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设数列的前项和为，若不等式对任意的都成立，求实数的取值范围．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）由题意，可得，（2分）

解得，.（4分）

则.（5分）

（Ⅱ），（6分）

，（8分）

由不等式对任意的都成立，

可得，即.（10分）

18．在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．

在中，内角，，的对边分别为，，．已知____．

（Ⅰ）求角；

（Ⅱ）若，，求边上的中线的长．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）若填①，则由正弦定理，得.（2分）

由，

得.（4分）

得.由，，得.（6分）

若填②，即，（2分）

，所以，（4分）

由，得，即.（6分）

若填③，由正弦定理，（2分）

，（4分）

得，由，，得.（6分）

（Ⅱ）解法一：由余弦定理，得，（8分）

，

在在，，（11分）

故.（12分）

解法二：，（8分）

则，（11分）

故.（12分）

19．2020年8月，教育部发布《关于深化体教融合，促进青少年健康发展的意见》，某校积极响应国家号召，组织全校学生加强实心球项目训练，规定该校男生投掷实心球6.9米达标，女生投掷实心球6.2米达标，并拟定投掷实心球的考试方案为每生可以投掷3次，一旦达标无需再投．从该校任选5名学生进行测试，如果有2人不达标的概率超过0.1，则该校学生还需加强实心球项目训练．已知该校男生投掷实心球的距离服从正态分布，女生投掷实心球的距离服从正态分布（，的单位：米）．

（Ⅰ）请你通过计算，说明该校学生是否还需加强实心球项目训练；

（Ⅱ）为提高学生考试达标率，该校决定加强训练，经过一段时间训练后，该校女生投掷实心球的距离服从正态分布，且．此时，请判断该校女生投掷实心球的考试达标率能否达到？并说明理由．（取的值为）

【答案】（Ⅰ）需要；（Ⅱ）能，理由详见解析

【解析】（I）由题意可知，每个人不达标的概率均为，（2分）

5名学生有2人不达标的概率为，（4分）

所以该校学生需加强实心球项目训练.（5分）

（Ⅱ）服从，，，

，（6分）

又点关于的对称点为，

，（8分）

此时女生考试达标率为，（11分）

女生考试的达标率能达到.（12分）

20．如图，在四棱锥中，平面，，相交于点，，，．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）若点为的中点，求平面与平面所成二面角的正弦值．

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）证明：在中，由余弦定理，得，

，，，

，即.（2分）

又平面，.（4分）

又，平面.（6分）

（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，，.

，，，，，（8分）

则，，得，，（10分）

，.（12分）

21．已知椭圆过点且离心率为．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）过点的两条直线分别和椭圆交于不同两点，（，异于点且不关于坐标轴对称），直线，的斜率分别为，，且．试问直线是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）恒过一定点

【解析】（I）由题意得：，得.

又，∴，，（3分）

椭圆C的标准方程为.（4分）

（Ⅱ）直线恒过一定点.理由如下：

由题意可知，直线的斜率存在，设的方程为，

设，，联立方程，得，

，，（6分）

，

，（8分）

，（10分）

整理，得，

或1（舍），直线恒过一定点.（12分）

22．已知函数，其中．

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）若函数有两个极值点，，且恒成立（为自然对数的底数），求实数的取值范围．

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）的定义域是，，

===，

当时，令，得，在上单调递减，在，上单调递增.

当付，令，得或，

在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

当，，所以在上单调递增

当时，令，得或，

所以，在上单调递增，在，上单调递减，在上单调递增.（4分）

（Ⅱ）函数的定义域忍，，

，

令，即，

当时，即时，无极值，（6分）

当时，即时，设的两根为，，则，.

当时，不存在两个正根，不存在两个极值点.（7分）

当时，解得，

此时，令，得或，

在上递增，在上递减，在上递增.

当时，有两个极值点，，且，，

.

令，则，（10分）

当时，，在上递减.

又，（11分）

故恒成立时，实数a的取值范围是.（12分）

日期：2022/2/1913：53：31；用户：必得高考优学；邮箱：gzsxt@xyh.com；学号：38642358