2023年中考数学二轮复习压轴大题培优学案专题30二次函数与动点压轴问题（教师版）

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专题30二次函数与动点压轴问题
经典例题



【例1】（2022·辽宁阜新·统考中考真题）如图，已知二次函数的图像交轴于点，，交轴于点．

(1)求这个二次函数的表达式；
(2)如图，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点运动，点，同时出发．设运动时间为秒（）．当为何值时，的面积最大？最大面积是多少？
(3)已知是抛物线上一点，在直线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)当时，的面积最大，最大面积是
(3)存在，的坐标为或或或

【分析】用待定系数法可求得二次函数的表达式为；
过点作轴于点，设面积为，由，，可得，，即得，由二次函数性质可得当秒时，的面积最大，求得其最大面积；
由，得直线解析式为，设，，分三种情况进行讨论求解．
【详解】（1）将点，代入中，
得，
解这个方程组得，
二次函数的表达式为；
（2）过点作轴于点，如图：

设面积为，
根据题意得：，．
，
，
在中，令得，
，
，
．
，
，
，
当时，的面积最大，最大面积是；
（3）存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
由，得直线解析式为，
设，，又，，
当，是对角线，则，的中点重合，
，
解得与重合，舍去或，
；
当，为对角线，则，的中点重合，
，
解得舍去或，
；
当，为对角线，则，的中点重合，
，
解得或，
或，
综上所述，的坐标为或或或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，平行四边形的性质及应用，解题的关键是用含字母的式子表示相关点的坐标和相关线段的长度．
【例2】（2022·四川达州·统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C．

(1)求该二次函数的表达式；
(2)连接，在该二次函数图象上是否存在点P，使？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由；
(3)如图2，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E．若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线，分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)

【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据题意，分情况讨论，①过点作关于的对称点，即可求P的坐标，②轴上取一点，使得，则，设，根据勾股定理求得，建列方程，解方程求解即可；
（3）设，，过点作轴于点，则，证明，根据相似三角形的性质列出比例式求得，即可求解．
【详解】（1）解：∵由二次函数，令，则，
，
过点，，
设二次函数的表达式为 ，
将点代入得，
，
解得，
，
（2）二次函数的图象经过点，，
抛物线的对称轴为，
①如图，过点作关于的对称点，
，
，
，
，
②轴上取一点，使得，则，设，
则，
，
解得，
即，
设直线CD的解析式为，
，
解得，
直线CD的解析式为，
联立，
解得或，
，
综上所述，或，

（3）的值是定值，
设，，
过点作轴于点，则，

，
，
，
，
，
即，
，，
，
，


．
即的值是定值
【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，角度问题，相似三角形的性质与判定，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【例3】（2021·江苏淮安·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（5，0），顶点为点D，动点M、Q在x轴上（点M在点Q的左侧），在x轴下方作矩形MNPQ，其中MQ＝3，MN＝2．矩形MNPQ沿x轴以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，运动开始时，点M的坐标为（﹣6，0），当点M与点B重合时停止运动，设运动的时间为t秒（t＞0）．
（1）b＝　　，c＝　　．
（2）连接BD，求直线BD的函数表达式．
（3）在矩形MNPQ运动的过程中，MN所在直线与该二次函数的图象交于点G，PQ所在直线与直线BD交于点H，是否存在某一时刻，使得以G、M、H、Q为顶点的四边形是面积小于10的平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
（4）连接PD，过点P作PD的垂线交y轴于点R，直接写出在矩形MNPQ整个运动过程中点R运动的路径长．

【答案】（1），；（2）y＝x﹣5；（3）存在，t＝5或t＝5＋；（4）
【分析】（1）把代入，列方程组求出b，c的值；
（2）将抛物线的函数表达式由一般式配成顶点式，求出顶点D的坐标，再用待定系数法求直线BD的函数表达式；
（3）先由，且，确定t的取值范围，再用含t的代数式分别表示点G、点H的坐标，由列方程求出t的值；
（4）过点P作直线的垂线，垂足为点F，交y轴于点G，由，确定点R的最低点和最高点的坐标，再求出点R运动的路径长．
【详解】解：（1）把代入，
得，解得，
故答案为：，．
（2）∵ ，
∴该抛物线的顶点坐标为；
设直线BD的函数表达式为，
则，解得，
∴．
（3）存在，如图1、图2．
由题意得，，
∴，；
∵，且，
∴，解得＜t＜，且；
∵，
∴当时，以为顶点的四边形是平行四边形，
∴；
由，
解得，（不符合题意，舍去）；
由，
解得，（不符合题意，舍去），
综上所述，或．

（4）由（2）得，抛物线的对称轴为直线，
过点P作直线的垂线，垂足为点F，交y轴于点G，
如图3，点Q在y轴左侧，此时点R在点G的上方，
当点M的坐标为（﹣6，0）时，点R的位置最高，
此时点Q与点A重合，
∵，
∴，
∴，
∴ ＝＝6，
∴R（0，4）；

如图4，为原图象的局部入大图，
当点Q在y轴右侧且在直线左侧，此时点R的最低位置在点G下方，
由，
得，，
∴GR＝；
设点Q的坐标为（r，0）（0＜r＜1），则P（r，﹣2），
∴GR＝＝r2＋r＝，
∴当r＝时，GR的最小值为，
∴R（0，）；

如图5，为原图象的缩小图，
当点Q在直线右侧，则点R在点G的上方，
当点M与点B重合时，点R的位置最高，
由，
得，，
∴GR＝＝＝28，
∴R（0，26），
∴，
∴点R运动路径的长为．

【点睛】本题重点考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质、待定系数法求函数解析式、矩形的性质、平行四边形的判定与性质、解一元二次方程以及动点问题的求解等知识与方法，还涉及数形结合、分类讨论等数学思想的运用，综合性强、难度大，属于考试压轴题．
【例4】（2021·四川雅安·统考中考真题）已知二次函数．

（1）当该二次函数的图象经过点时，求该二次函数的表达式；
（2）在(1) 的条件下，二次函数图象与x轴的另一个交点为点B，与y轴的交点为点C,点P从点A出发在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求△BPQ面积的最大值;
（3）若对满足的任意实数x，都使得成立，求实数b的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）-3≤b≤1．
【分析】（1）根据待定系数法，即可求解；
（2）先求出A(1，0)，B(-3，0)，C(0，-3)，设运动时间为t，则AP=2t，BQ=t，BP=4-2t，过点M作MQ⊥x轴，可得MQ=t，从而得到△BPQ的面积的表达式，进而即可求解；
（3）设，结合函数图像的对称轴，开口方向，分两种情况：或，进而即可求解．
【详解】解：（1）把代入，
得：，解得：b=1，
∴该二次函数的表达式为：；
（2）令y=0代入，
得：，
解得：或，
令x=0代入得：y=-3，
∴A(1，0)，B(-3，0)，C(0，-3)，
设运动时间为t，则AP=2t，BQ=t，
∴BP=4-2t，
过点M作MQ⊥x轴，
∵OB=OC=3，
∴∠OBC=45°，
∴是等腰直角三角形，
∴MQ=BQ=t，
∴△BPQ的面积==，
∴当t=1时，△BPQ面积的最大值=；

（3）抛物线的对称轴为：直线x=-b，开口向上，
设，
∵对的任意实数x，都使得成立，
∴或，
∴-1≤b≤1或-3≤b＜-1，
∴-3≤b≤1．
【点睛】本题主要考查二次函数综合，掌握待定系数法，二次函数的性质以及根据图像对称轴位置，列出不等式组，是解题的关键．
【例5】（2021·湖南张家界·统考中考真题）如图，已知二次函数的图象经过点且与轴交于原点及点．

（1）求二次函数的表达式；
（2）求顶点的坐标及直线的表达式；
（3）判断的形状，试说明理由；
（4）若点为上的动点，且的半径为，一动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段匀速运动到点，再以每秒1个单位长度的速度沿线段匀速运动到点后停止运动，求点的运动时间的最小值．
【答案】（1）；（2），；（3）等腰直角三角形，理由见解析；（4）
【分析】（1）根据已知条件，运用待定系数法直接列方程组求解即可；
（2）根据（1）中二次函数解析式，直接利用顶点坐标公式计算即可，再根据点A、B坐标求出AB解析式即可；
（3）根据二次函数对称性可知为等腰三角形，再根据O、A、B三点坐标，求出三条线段的长，利用勾股定理验证即可；
（4）根据题意可知动点的运动时间为，在上取点，使，可证明 ，根据相似三角形比例关系得，即，当、、三点共线时，取得最小值，再根据等腰直角三角形的性质以及勾股定理进一步计算即可．
【详解】解：（1）二次函数的图象经过，且与轴交于原点及点
∴，二次函数表达式可设为：
将，代入得：
解这个方程组得
∵二次函数的函数表达式为
（2）∵点为二次函数图像的顶点，
∴，
∴顶点坐标为：，
设直线的函数表达式为，则有：
解之得：
∴直线的函数表达式为
（3）是等腰直角三角形，
过点作于点，易知其坐标为
∵的三个顶点分别是，，，
∴，

且满足
∴是等腰直角三角形
（4）如图，以为圆心，为半径作圆，则点在圆周上，依题意知：

动点的运动时间为
在上取点，使，
连接，则在和中，
满足：，，
∴ ，
∴，
从而得：
∴
显然当、、三点共线时，取得最小值，
过点作于点，由于，
且为等腰直角三角形，
则有，，
∴动点的运动时间的最小值为：
．
【点睛】本题主要考查待定系数法求函数解析式，抛物线顶点坐标，等腰直角三角形的性质与判定，相似三角形的判定与性质等知识点，将运动时间的最小值转换为线段长度的最小值是解题的关键．

培优训练


1．（2022·内蒙古包头·模拟预测）如图，已知正方形的边，分别在x轴和y轴的正半轴上，点B的坐标为．二次函数的图象经过点A，B，且x轴的交点为E，F．点P在线段上运动，过点O作于点H．直线交直线于点D，连接．

(1)求，的值及点E和点F的坐标；
(2)在点P运动的过程中，当与以A，B，D为顶点的三角形相似时，求点P的坐标；
(3)当点P运动到的中点时，能否将绕平面内某点旋转后使得的两个顶点落在x轴上方的抛物线上？若能，请直接写出旋转中心M的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】(1)，，，；
(2)当与以A，B，D为顶点的三角形相似时，点P的坐标为或或；
(3)旋转中心M的坐标为或或或．

【分析】（1）先由点B的坐标和正方形的性质得到点A的坐标，然后将点A和点B的坐标代入函数解析式，求得b和c的值，得到二次函数的解析式，再令求得点E和点F的坐标；
（2）分三种情况讨论，①当点P在线段上，由结合三角形相似得到与全等，求得，即可得到点P的坐标；②点P在线段上，通过与相似，以及和全等即可求得点P的坐标；③点P在线段上通过与相似，以及与全等得到点P的坐标；
（3）分四种情况讨论，设绕点M顺时针旋转得到，且点、两点在抛物线上，设，则，，然后将、代入抛物线的解析式，求得x、y的值，最后通过即可求得点M的坐标．同法可求得其他情况下点M的坐标．
【详解】（1）解：∵正方形的边，分别在x轴和y轴的正半轴上，点B的坐标为，
∴A，C，
将点A，B分别代入，得
，解得：，
∴二次函数的解析式为，
令，则，
解得：或，
∴点E，F；
（2）解：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
①当点P在线段上时，如图所示，

则，，
∵与相似，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点P的坐标为；
②点P在线段上时，如图所示，

∵，，
∴，
∵与相似，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：（舍）或，
∴点P的坐标为；
③点P在线段上时，如图所示，

∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：或（舍），
∴点P的坐标为；
综上所述，当与以A，B，D为顶点的三角形相似时，点P的坐标为或或；
（3）解：①绕点顺时针旋转时，点A与点B重合，点O与点A重合，
∵点A和点B在x轴上方的抛物线上，
∴旋转中心M的坐标为；
②绕点M逆时针旋转时，点O与点B重合，
∵点A和点B在x轴上方的抛物线上，
∴旋转中心M的坐标为；
③如图3所示，设绕点M顺时针旋转得到，且点、两点在抛物线上，

设，则，，
∴，解得：，
∴，
过点M作轴，交于点H，交于点G，连接、，
则，，
∴，，
∴，
∴，
设，则，，
∴，解得：，
∴点M的坐标为；
④如图4所示，设绕点M逆时针旋转得到，且、两点在抛物线上，

设，则，，
同③理可证，M的坐标为；
综上所述，旋转中心M的坐标为或或或．
【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、正方形的性质、相似三角形的性质、全等三角形的判定与性质，会用待定系数法求得二次函数的解析式是解题的关键．
2．（2023·广西玉林·一模）已知二次函数的图象经过点．

(1)求该二次函数的表达式；
(2)二次函数图象与轴的另一个交点为，与轴的交点为，点从点出发在线段上以每秒个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向点运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求面积的最大值；
(3)在点、运动的过程中，是否存在使与相似的时刻，如果存在，求出运动时间，如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，当时，面积的最大值为
(3)的值为或

【分析】把点代入解析式，求出的值，即可得到解析式；
过点作于点，利用表示出的高，然后表示出的面积，利用二次函数的性质求出最大面积；
由，，知与相似只需为直角三角形，分两种情况：当时，是等腰直角三角形，，有，解得；当时，，解得．
【详解】（1）把点代入得：，
解得：，
二次函数的表达式为：．
（2）过作于，如图：

在中，令得，令得，，
，，，
，，，
设运动时间为，则，，
，
，
，即，
，
，
，
当时，面积的最大值为．
（3）在点、运动的过程中，存在使与相似的时刻，理由如下：
，，
与相似只需为直角三角形，
当时，如图：

，，
，
是等腰直角三角形，，
，
解得；
当时，如图：

同理可知，
，
解得，
综上所述，的值为或．
【点睛】．本题考查二次函数的综合应用，涉及二次函数解析式、抛物线与坐标轴的交点坐标、三角形面积等知识，解题的关键是数形结合和分类讨论思想的应用．
3．（2022·湖南长沙·长沙市南雅中学校联考一模）已知二次函数（）的图象经过A（1，0）、B（−3，0）两点，顶点为点C．

(1)求二次函数的解析式；
(2)如二次函数的图象与y轴交于点G，抛物线上是否存在点Q，使得∠QAB=∠ABG，若存在求出Q点坐标，若不存在请说明理由；
(3)经过点B并且与直线AC平行的直线BD与二次函数图象的另一交点为D，DE⊥AC，垂足为E，DFy轴交直线AC于点F，点M是线段BC之间一动点，FN⊥FM交直线BD于点N，延长MF与线段DE的延长线交于点H，点P为△NFH的外心，求点M从点B运动到点C的过程中，P点经过的路线长．
【答案】(1)
(2)或
(3)

【分析】（1）将A（1，0）、B（-3，0）代入，即可求解；
（2）先求出BG的解析式为，然后再进行分类讨论，分别求得点Q的坐标即可；
（3）可知△DNH与△FNH是直角三角形，外心P在斜边NH的中点，分别求出直线AC及直线BD的函数关系式，再分为当M运动到C点时及当点M运动到B点时两种情况进行讨论，求解即可．
【详解】（1）∵二次函数的图像经过A（1,0）、B（-3,0），
∴，
解得，
∴二次函数的解析式为；
（2）由题可知G点坐标，
设直线BG的解析式为，得：
，解得：，
∴BG的解析式为，
①AQBG，直线AQ的解析式，
联立直线AQ与二次函数解析式 ，
解得或  
此时Q的坐标为，
②直线与y轴的交点为K，其关于x轴的对称点为
直线的解析式为： 与二次函数解析式联立得
，
解得或，
此时Q的坐标为，
综上,抛物线上存在点Q使得∠QAB=∠BAG，Q点坐标为或
（3）如图，易知△DNH与△FNH是直角三角形，外心P在斜边NH的中点，

∴PD=PF=NH，所以点P是线段DF的垂直平分线上的动点，
∵直线AC的解析式为y=x-1，BDAC，
∴直线BD的解析式为y=x+3，
∴D（3,6），
①当M运动到C点时与点E重合，，则，又因为∠DEF=90°，DE=EF，
∴四边形为正方形，
∴是线段DF的中点（3,4）；
②当点M运动到B点时，，
∵四边形DN1FE是正方形
∴，
∴，
∴，
∵四边形DN1FE是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理，
所以的中点（4，4），
∵，
∴
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，会用待定系数法求函数的解析式，会求函数的交点坐标，根据点M的运动情况确定P点的轨迹是线段是解题的关键．
4．（2021·四川宜宾·四川省宜宾市第二中学校校考一模）次函数的图象交x轴于点A（－1，0），B（4，0），两点，交y轴于点C，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．

(1)求二次函数的表达式；
(2)连接BD，当时，求△DNB的面积；
(3)在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点P的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)P（1，－1）或（3，3）

【分析】（1）将A、B两点的坐标代入二次函数解析式中，求出系数a与b即可；
（2）先求出BC的解析式，再将x=2代入和，得出D、N的坐标即可求出DN的值，再根据三角形的面积公式计算出答案即可；
（3）由BM的值得出M的坐标，因此设P（2t-1，m），由勾股定理可得，，根据题意PB=PC，所以，得出P的坐标为，再利用勾股定理列出方程，解得t=1或t=2，代入求值即得出答案．
【详解】（1）解：将A(-1, 0)，B(4, 0)代入中，
得： ，
解得： ．
∴二次函数的表达式为．
（2）解：连接BD，如图所示，

∵，
∴AM=3．
又∵，
∴．
设直线BC的表达式为，
将点C（0，2），B（4，0）代入得：，
解得：，
∴直线BC的解析式为：．
将x=2代入和，
得D(2，3)，N（2，1），
∴．
∴．
（3）解：∵，
∴．
设P（2t-1，m），
则，．
∵PB=PC，
∴，
∴，
∴．
∵PC⊥PB，
∴，
将代入整理得：，
解得：t=1或t=2．
将t=1或t=2分别代入中，
∴P（1，－1）或（3，3）．
【点睛】本题是二次函数与几何的综合题，考查了待定系数法求二次函数表达式，根据点的坐标求平面内三角形的面积，以及根据等腰直角三角形求点的坐标，解题的关键是根据点的坐标求出函数解析式，同时根据解析式将点表示出来，列出方程进行计算．
5．（2022·辽宁葫芦岛·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为（-3，0），点B的坐标为（0，-4），连接AB，BC． 动点P从点A出发，在线段AB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动；同时，动点Q从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度的速度向点C作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒． 连接PQ，PC．

(1)求抛物线的表达式；
(2)在点P，Q运动过程中，当的面积为时，求点Q坐标；
(3)在（2）条件下，时，在直线PQ上是否存在点M，使？若存在，请直接求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)存在，，

【分析】（1）利用待定系数法代入计算即可；
（2）过作轴于，利用求出的长，从而用t表示出，列出方程即可得出答案；
（3）由（2）及可知，代入求得、，即可得出直线的解析式为，设，利用两点坐标距离公式和勾股定理的逆定理判断出∠APM=90°，由的直角三角形即可推出，利用两点坐标距离公式列出方程，进行求解即可得出答案．
【详解】（1）解：将点、点的坐标分别代入，得
，
解这个方程组，得，
则二次函数表达式．
（2）过作轴于，
当时，，
∴，
∴．
∵、，
∴,
∴．
∵动点P从点A出发，在线段AB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动；同时，动点Q从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度的速度向点C作匀速运动，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴，
解得，，．
∵Q的横坐标为，
∴或．
（3）存在，理由如下：
由（2）可知：，，
∵，
∴．

∴，此时点为的中点，
∴ ，
∴，
设直线的解析式为，
将点P、Q坐标代入中，得：
，解得：，
∴设直线的解析式为，
∴设，
∵,,
∴,,
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵,，
∴，
∴
∴，．
故答案为：存在，，．
【点睛】本题考查了二次函数与几何动点的综合应用，利用锐角三角函数求线段的长度，勾股逆定理，勾股定理，距离公式及坐标轴上点的特征等知识，较为综合，能够熟练应用知识是解题的关键．
6．（2022·四川广安·统考二模）如图：已知关于x的二次函数y=x2+bx+c的图像与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3）．

(1)求二次函数的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；
(3)有一个点M在线段CB上运动，作MN⊥x轴交抛物线于点N，问当M、N点位于何处时，△BCN的面积最大，求最大面积.
【答案】(1)
(2)存在，P（2，2） （2，3+）（2，3，-）（2，）（2，-）
(3)当，时，△BCN的面积最大，最大面积为

【分析】（1）根据题中所给的解析式及A（1，0）和C（0，3）利用待定系数法求解析式即可；
（2）根据等腰三角形的性质，分三种情况，利用两点之间距离公式列出方程求解即可；
（3）平面直角坐标系中三角形面积问题，找平行于坐标轴的边为底，然后表示出面积即可得出结论．
【详解】（1）解：已知关于x的二次函数y=x2+bx+c的图像与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点C（0，3），
，
解得，
二次函数的解析式为
（2）解：存在，
由（1）知抛物线的对称轴为直线x=2，
设P（2，n），C（0，3），B（3，0），则根据两点之间距离公式可得PC2=22+（n-3）2 ，PB2=（2-3）2+n2，CB2=18，当△PBC为等腰三角形时，分三种情况：
①当PC=PB时，22+（n-3）2=（2-3）2+n2，解得n=2；
②当PC=BC时，22+（n-3）2=18，解得n1=3+，n2=3-；
③当PB=CB时，（2-3）2+n2=18，解得n1=，n2=-；
综上所述：P（2，2）、（2，）、（2，）、（2，）、（2，）；
（3）解：设直线，
把C（3，0）代入得，
解得，
∴直线BC的解析式为，
设，
∴，
∴，
∴ ，
当时，最大，
当时，，
∴，
当时， ，
∴
综上所述，当，时，△BCN的面积最大，最大面积为．
【点睛】本题考查二次函数综合，涉及到待定系数求二次函数表达式、二次函数综合中的等腰三角形问题、二次函数综合中的三角形面积问题，熟练掌握二次函数的图像与性质，理解常见二次函数综合题型的解题方法步骤是解决问题的关键．
7．（2022·湖北省直辖县级单位·校考一模）综合与探究
如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m．过点P作直线轴于点D，作直线BC交PD于点E

(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；
(2)当是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；
(3)连接AC，过点P作直线 ，交y轴于点F，连接DF．试探究：在点P运动的过程中，是否存在点P，使得，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，点C的坐标为；
(2)
(3)存在；m的值为4或

【分析】（1）令中y和x分别为0，即可求出A，B，C三点的坐标，利用待定系数法求直线BC的函数表达式；
（2）过点C作于点G，易证四边形CODG是矩形，推出，，，再证明，推出，由等腰三角形三线合一的性质可以得出， 则，由P点在抛物线上可得，联立解出m，代入二次函数解析式即可求出点P的坐标；
（3）分点F在y轴的负半轴上和点F在y轴的正半轴上两种情况，画出大致图形，当时，，由（2）知，用含m的代数式分别表示出OF，列等式计算即可．
【详解】（1）解：由得，
当时，，
∴点C的坐标为．
当时，，
解得．
∵点A在点B的左侧，
∴点A，B的坐标分别为．
设直线BC的函数表达式为，
将，代入得，
解得，
∴直线BC的函数表达式为﹒
（2）解：∵点P在第一象限抛物线上，横坐标为m，且轴于点D，
∴点P的坐标为，，
∴．
∵点B的坐标为，点C的坐标为，
∴，．
过点C作于点G，则．
∵，
∴四边形CODG是矩形，
∴ ，，．
∴．
∵，
∴．
∴，即，  
∴．
在中，
∵，
∴．
∴，
∴
解得（舍去），
∴．
当时，﹒
∴点P的坐标为．

（3）解：存在；m的值为4或．
分两种情况，①当点F在y轴的负半轴上时，如下图所示，过点P作直线轴于点H，

∵过点P作直线，交y轴于点F，
∴ ，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
由（2）知，．  
根据勾股定理，在中，，
在中，，
当时，，
∵，
∴，
∴，
解得或，
∵点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，
∴；
②当点F在y轴的正半轴上时，如下图所示，

同理可得，，，，，
∴
∴，
解得或，
∵点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，
∴；
综上，m的值为4或
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数、一次函数、等腰三角形、矩形、勾股定理、相似三角形等知识点，第三问难度较大，需要分情况讨论，画出大致图形，用含m的代数式表示出OF是解题的关键．
8．（2020·江苏盐城·统考一模）如图，二次函数的图像与x轴交于点A（2，0）和点B（4，0），与y轴交于点E，以AB为边在x轴下方作正方形ABCD，点M是x轴上一动点，连接CM，过点M作MN⊥MC，与AD边交于点N，与y轴交于点F．

(1)求该抛物线的表达式；
(2)在第一象限的抛物线上任取一点P，连接EP、PB，请问：△EPB的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)当点M在线段OB（点M不与O、B重合）上运动至何处时，线段OF的长有最大值？并求出这个最大值．
【答案】(1)
(2)△EPB的面积有最大值4，此时点P的坐标为（2，4）
(3)OF有最大值，最大值为，此时点M在（2，0）处

【分析】（1）将点A、B的坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2）过点P作PQ⊥AB于Q，交BE于点H，过点E作EG⊥PQ于点G，设点P（m，-m2+m+4），根据S△PBE=S△PBH+S△PHE=•PH•OB=-（m-2）2+4，运用二次函数最值得到答案；
（3）设点M的坐标为（x，0），运用正方形性质可证得△MFO∽△CMB，再利用相似三角形性质可得OF=（-x2+4x）=-（x-2）2+，运用二次函数最值得到答案．
（1）
解：∵二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点A（-2，0）和点B（4，0），
∴解得，
∴该抛物线的函数表达式为：；
（2）
解：存在，理由如下：
如图，过点P作PQ⊥AB于Q，交BE于点H，过点E作EG⊥PQ于点G，

∵PQ⊥AB，
∴∠PQB=∠EOB=90°，
∴PQ∥EO，
设点P（m，-m2+m+4），则Q（m，0），
∴OQ=m，
在y=-x2+x+4中，令x=0，则y=4，
∴E（0，4），
∴OB=OE=4，
∴△OBE是等腰直角三角形，
∴∠EBO=45°，
∴BQ=HQ=4-m，
∴PH=-m2+m+4-（4-m）=-m2+2m，
∴S△PBE=S△PBH+S△PHE
=•PH•BQ+•PH•OQ
=•PH•OB
=×（-m2+2m）×4
=-m2+4m
=-（m-2）2+4，
∵-1＜0，
∴当m=2时，S△PBE=有最大值4，此时，点P的坐标为（2，4）；
（3）
解：设点M的坐标为（x，0），
∴OM=x，BM=4-x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=4+2=6，∠BAD=∠CBA=∠MOF=90°，
∵MN⊥MC，
∴∠CMN=90°，  
∴∠FMO+∠CMB=∠CMB+∠BCM=90°，
∴∠FMO=∠BCM，
∴△MFO∽△CMB，
∴，即：，
∴OF=（-x2+4x）=-（x-2）2+，
∵点M在线段OB上，且点M不与O、B重合，
∴0＜x＜4，
∵-＜0，
∴当x=2时，即点M为线段OB中点时，OF的长度最大，最大值为．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，等腰直角三角形判定和性质，正方形性质，相似三角形的判定与性质；熟练掌握待定系数法求函数解析式，灵活运用数形结合的思想、方程思想是解题的关键．
9．（2022·山西大同·校联考三模）如图，二次函数的图象与x轴交于点A和B，点A在点B的左侧，与y轴交于点C．

(1)求直线的函数解析式；
(2)如图2，点D在直线下方的抛物线上运动，过点D作轴交于点M，作于点N，当的周长最大时，求点D的坐标及周长的最大值；
(3)以为边作交y轴于点E，借助图1探究，并直接写出点E的坐标．
【答案】(1)
(2)点D的坐标是，周长的最大值是
(3)

【分析】（1）利用二次函数解析式先求解A、B两点坐标，再写出C点坐标，利用待定系数法求BC所在直线的解析式；
（2）设点D的坐标是，因为，则D、M两点横坐标相同，将x=m代入（1）中所求一次函数解析式，表示出M点坐标为，则可表示出DM的长度；可证，则，因为是定值，BC也是定值，可以通过求DM的最大值计算周长的最大值；
（3）设 ，，利用特殊角的三角函数值与相似三角形的性质进行求解即可．
(1)
把代入中，得．
∴点C的坐标是．
把代入，得．
解，得．
∴点A的坐标是，点B的坐标是．
设直线的解析式是．
∵，
∴．
解得．
∴直线的函数解析式是．
(2)
设点D的坐标是．
∵，
∴．
在中，，由勾股定理，得．
∴的周长是．
∵轴，
∴，点M的坐标是．
∴．
∵于点N，
∴．
∴．
∴．
∴的周长．
∴时，的周长最大，最大值是．
∴．
∴点D的坐标是，周长的最大值是．
(3)

如上图所示，过点作EH⊥BC，设 ， ，
∵∠OCB=∠HCE1，
∴ ，则，
由（1）得OC=3，OB=4，BC=5，代入得，
所以 ， ，BH=BC-CH=，
由（1）得，OA=OC=3，所以∠BAC=∠CBE=45°，
则为等腰直角三角形，故，
即，解得，
又∵，则=90°，
∴∠E1BO+∠OBE2=90°，
∵∠E1BO+∠BE1O=90°，
∴∠OBE2=∠BE1O，
∴，则有，
即 ，则q=-28，
故点E的坐标是．
【点睛】本题考查了二次函数与几何结合，难度较大，灵活运用相似三角形的性质是解题的关键．
10．（2022·山西·校联考模拟预测）综合与探究
如图，二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴分别交于点A(−2，0)，B(4，0)，点E是x轴正半轴上的一个动点，过点E作直线PE⊥x轴，交抛物线于点P，交直线BC于点F．

(1)求二次函数的表达式．
(2)当点E在线段OB上运动时（不与点O，B重合），恰有线段，求此时点P的坐标．
(3)试探究：若点Q是y轴上一点，在点E运动过程中，是否存在点Q，使得以点C，F，P，Q为顶点的四边形为菱形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点Q的坐标为(0，2)或(0，4)或(0，-4)．

【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）利用待定系数法求得直线BC的表达式为，用m表示点P、E、F的坐标，根据，列方程求解即可；
（3）分当FP=FC和FP=PC时，两种情况讨论，建立方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：∵二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴分别交于点A(−2，0)，B(4，0)，
∴，解得，
∴二次函数的表达式为y=-；
（2）解：令，得，
∴点C(0，4)．
∵B(4，0)，C(0，4)，设直线BC的表达式为，
∴，解得，
∴直线BC的表达式为；
设点的横坐标为，则，，．
∴，
，
当时，．解得，（舍去）．
当时，．
∴点坐标为；
（3）解：由（2）得，，，C(0，4)，
当FP=FC时，
∴=，
整理得：m2-(4-2)m=0或m2-(4+2)m=0，
解得：m=0(舍去)或m=4-2或m=4+2，
∴CQ=PF=4-4或4+4，
如图①，当点Q在点C上方时，点Q(0，4)；
如图②，当点Q在点C下方时，点Q(0，-4)；
；
当FP=PC时，
∴=，
整理得：m2-2m=0，
解得：m=0(舍去)或m=2，
∴CQ=PF=2，
∴点Q(0，2)；

综上，点Q的坐标为(0，2)或(0，4)或(0，-4)．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和菱形的性质；会利用待定系数法求二次函数解析式；理解坐标与图形性质．
11．（2022·福建三明·统考模拟预测）已知直线交x轴于点A，交y轴于点B，二次函数 的图像经过A、B两点．
(1)求二次函数的表达式．
(2)设动点M的横坐标为m，当动点M在AB下方的抛物线上运动时，求△MAB的面积S关于m的函数表达式．
(3)有一条动直线，直线在AO之间移动（包括A，O两端点），直线交抛物线于点Q，当△QAB的面积是△QAO面积的2倍时，求a的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或

【分析】（1）先根据一次函数解析式求出点A、点B坐标，将A，B点代入中，求b，c，即可求出抛物线解析式；
（2）过点M作轴交AB于点P，故P点坐标为（m，），M点坐标为（m，），即可表示出MP的长，利用面积的和差即可得到答案，△MAB的面积＝△MPA的面积＋△MPB的面积；
（3）根据题意可知Q点横坐标为，由（2）可知， ，再根据△QAB的面积是△QAO面积的2倍，
得．即可求得a值．
【详解】（1）解：∵直线交x轴于点A，交y轴于点B，
∴点A为（－3，0），点B为（0，6）．将A，B点代入中，得
，解得
故抛物线表达式为．

（2）如图，过点M作轴交AB于点P，

故P点坐标为（m，），M点坐标为（m，），
∴．
∵△MAB的面积＝△MPA的面积＋△MPB的面积，
∴．
（3）根据题意可知Q点横坐标为，
由（2）可知，

∵△QAB的面积是△QAO面积的2倍，
∴
解得（舍）或或．
【点睛】本题主要考查的二次函数的综合应用、解答本题需要同学们熟练掌握二次函数的图象和性质、待定系数法求函数的解析式，用含m的式子表示出MP的长是解题的关键．
12．（2022·江苏泰州·统考二模）我国于2022年在北京举办冬奥会，滑雪是其中最具观赏性的项目之一．如图所示，一个滑道由滑坡（AB段）和缓冲带（BC段）组成，其中滑坡AB长为270米．某滑雪运动员在滑坡上滑行的距离（单位：m）与滑行时间（单位：s）满足二次函数关系，并测得相关数据：
滑行时间
0
1
2
3
4
滑行距离
0
4.5
14
28.5
48

该运动员在缓冲带上滑行的距离（单位：m）与在缓冲带上滑行时间（单位：s）满足：．

(1)求与的函数关系式；
(2)求该运动员从A出发到在缓冲带BC上停止所用的总时间．
【答案】(1)
(2)该运动员从A出发到缓冲带BC上停止所用的总时间为23秒

【分析】（1）设与的函数关系式为，然后利用待定系数法求解即可；
（2）根据（1）所求，先求出从A到B的时间，然后求出在BC上滑行的时间即可得到答案．
【详解】（1）解：设与的函数关系式为，
由题意得：，
解得，
∴与的函数关系式为；
（2）解：在中，
令，得，
解，得，（舍去）
∵，
∴当时，运动员在缓冲带BC上停止，
∴该运动员从A出发到缓冲带BC上停止所用的总时间为10+13=23（秒）．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，待定系数法求函数解析式，正确求出AB段的函数解析式是解题的关键．
13．（2022·江苏连云港·统考二模）如图，平面直角坐标系中，二次函数图像交x轴于点A、B，交y轴于点C，图像对称轴交x轴于点D．点P是线段OD上一动点，从O向D运动，H是射线BC上一点．

(1)则点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，线段BC的长为 ；
(2)如图1，在P点运动过程中，若△OPC中有一个内角等于∠HCA，求OP的长；
(3)如图2，点在二次函数图像上，在P点开始运动的同时，点Q在抛物线对称轴上从D点向上运动，Q点运动速度是P点运动速度的2倍，连接QM，则的最小值为 ．
【答案】(1)（－10，0）；（2，0）；
(2)或3
(3)

【分析】（1）二次函数中，令y=0，解方程得点A、B坐标，令x=0得点C坐标，通过勾股定理求得BC的长；
（2）先求出直线BC的函数关系式，再求得点D及点E的坐标，再得出△AEB为等腰直角三角形，求得EC及AC的长，证得△CPO∽△ACE，求得OP的长，再证△CPO∽△CAE，求得OP的长；
（3）先证明Rt△COP∽Rt△QDO，可得，作点M关于直线x＝－4的对称点M’， 过点M’作MN⊥x轴于点N，求得点M及M’的坐标，再求出OM’的长，最后求出的最小值．
(1)
二次函数中，令y=0，得：，
解得：，
∴A（－10，0），B（2，0），
二次函数中，令x=0，得：y=2，
∴C（0，2），
∴，
故答案为：（－10，0）；（2，0）；；
(2)
如图，连接AE，

设直线BC的函数关系式为y＝kx＋b．
∵函数图像经过B（2，0），C（0，2）
则，解得．
∴y与x的函数关系式为；
∵抛物线的对称轴为x＝－4
∴D（4，0）．
延长BC交对称轴为E，
∴E（－4，6），
∴DE＝DB＝6．
又∵DE⊥DB，
∴∠DEB＝∠DBE＝45°．
∵A（－10，0），AD＝DE＝DB＝6，
∴△AEB为等腰直角三角形，．
∴，．
若∠CPO＝∠HCA，
则△CPO∽△ACE，
∵在△ACE中，AE：CE＝3：2，
∴CO：OP＝3：2
∵CO＝2，
∴；
若∠PCO＝∠HCA，
则△CPO∽△CAE，
∵在△ACE中，AE：CE＝3：2，
∴OP：CO＝3：2
∵CO＝2，
∴OP＝3；
综上所述，OP长为或3．
(3)
由题意可知：
∵，∠COP＝∠QDO＝90°，
∴Rt△COP∽Rt△QDO．
∴
∴OQ＝2CP．作点M关于直线x＝－4的对称点M’，则MQ＝M’Q．
∵M（－3，）
∴M’（－5，），
过点M’作MN⊥x轴于点N，

在Rt△M’NO中，．
所以QM＋2CP的最小值为．
故答案为：
【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数背景下三角形最值问题，相似三角形的性质及判定、勾股定理等内容，是道综合性比较强的题目，在解题时注意作适当的辅助线，求最值问题的关键是构造出对应的线段．
14．（2020·新疆乌鲁木齐·乌鲁木齐市第九中学校考一模）已知二次函数的图象与轴交于和，与轴交于点．

(1)求该二次函数的表达式．
(2)如图，连接，动点以每秒个单位长度的速度由向运动，同时动点以每秒个单位长度的速度由向运动，连接，当点到达点的位置时，、同时停止运动，设运动时间为秒．当为直角三角形时，求的值．
(3)如图，在抛物线对称轴上是否存在一点，使得点到轴的距离与到直线的距离相等，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或2
(3)存在；或

【分析】运用待定系数法即可求得答案．
由题意得：，，，分两种情况：当时，，即，可求得；当时，，即，可求得．
运用待定系数法求得直线的解析式为，可得出：，，如图，作的平分线交直线于点，过点作于点，设，利用角平分线性质可得出：，，再运用三角函数定义可得，建立方程求解即可；过点作交直线于点，过点作于点，设，如图，利用角平分线性质可得出：，，再运用三角函数定义可得，建立方程求解即可得出答案．
【详解】（1）解：二次函数的图象与轴交于和，
，
解得：，
该二次函数的表达式为．
（2）抛物线与轴交于点，
，
由题意得：，，
，
，，
，，
，
，
为直角三角形，，如图，
或，
当时，，
，
，
解得：；
当时，，
，
，
解得：；
综上所述，当为直角三角形时，的值为或．
（3）存在，
设直线的解析式为，把，代入，
得：，
解得：，
直线的解析式为，
，
抛物线的对称轴为直线，设直线与轴交于点，与直线交于点，
则，，
如图，作的平分线交直线于点，过点作于点，设，

平分，，，
，，
，，，
，
，
，
，
解得：，
；
过点作交直线于点，过点作于点，设，如图，

则，，
平分，
，
，
，，
，，
，
，
，
解得：，
，
综上所述，点的坐标为或 ．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、动点问题，直角三角形的性质、角平分线性质、三角函数定义等知识点，运用数形结合、分类讨论思想是解题的关键．
15．（2022·山西吕梁·统考二模）综合与探究
如图，二次函数与轴交于，两点，与轴交于点．点是射线上的动点，过点作，并且交轴于点．

(1)请直接写出，，三点的坐标及直线的函数表达式；
(2)当平分时，求出点的坐标；
(3)当点在线段上运动时，直线与抛物线在第一象限内交于点，则线段是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，，
(2)，
(3)存在，

【分析】（1）分别令，求得的坐标，然后待定系数法求解析式即可求解．；
（2）先根据勾股定理求得，当点在线段上时．过点作轴，垂足为．当点在线段的延长线上时．过点作轴，垂足为．证明，根据相似三角形的性质列出比例式，代入数值即可求解；
（3）过点作轴，并且交直线于点,过点作，并且交轴于点，证明，，设点，，则，根据，求得，进而根据二次函数的性质求得的最大值即可求解．
（1）
解：二次函数与轴交于，两点，与轴交于点．
令，则，即．
令，则，解得，即，，
，，．
设直线的表达式为，
则
解得
直线的表达式是：．
（2）
∵，
∴．
又∵．
∴．
∴．
由勾股定理，得．
分两种情况．
如答图1，当点在线段上时．过点作轴，垂足为．

则．
∴．
∴．
解得，．
∴．
∴点．

如答图2，当点在线段的延长线上时．过点作轴，垂足为．

则．
∴．
∴．
解得，．
∴．
∴点．

（3）
如答图3.过点作轴，并且交直线于点,过点作，并且交轴于点．
则，

．
∴．
∵，，
∴．
∴．
设点，．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴有最大值．的最大值为．

【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，相似三角形的性质与判定，掌握二次函数的性质以及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
16．（2022·山西吕梁·统考二模）综合与探究
如图，二次函数与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．点D是射线BC上的动点，过点D作，并且交x轴于点E．

(1)请直接写出A，B，C三点的坐标及直线BC的函数表达式；
(2)当AD平分时，求出点D的坐标；
(3)当点D在线段BC上运动时，直线DE与抛物线在第一象限内交于点P，则线段PD是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；；；
(2)点或点
(3)存在；

【分析】（1）把代入函数解析式，解关于x的方程，得出A、B两点的坐标，把代入函数解析式得出点C的解析式，利用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）根据，，证明，由勾股定理，求出AC的长，分点D在线段BC上时或点D在线段BC的延长线上时，两种情况进行分类讨论，利用三角形相似的性质，求出DH、CH的长，即可求出点D的坐标；
（3）过点P作轴，并且交直线BC于点M，过点A作，并且交y轴于点N，利用，求出ON，证明，得出，设点，，用t表示出PM，求出PD，即可得出PD的最大值．
（1）
解：把代入函数解析式得：，
解得：，，
∴，；
把代入函数解析式得：，
∴C（0，3）；
设直线BC的表达式为：，把、C（0，3）代入得：
，
解得：，
∴直线BC的表达式是：．
（2）
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
由勾股定理，得，
分两种情况：
当点D在线段BC上时，过点D作轴，垂足为H，如图所示：

∵BO⊥y轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，，
∴，
∴点；
当点D在线段BC的延长线上时，过点D作轴，垂足为H，如图所示：

∵BO⊥y轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，，
∴，
∴点．
（3）
过点P作轴，并且交直线BC于点M，过点A作，并且交y轴于点N，如图所示：

∵，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴，
∵，，
∴，  
∴，
设点，，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴PD有最大值，且PD的最大值为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合运用，三角形相似的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，根据题意作出辅助线，主要进行分类讨论，是解题的关键．
17．（2022·贵州铜仁·统考二模）如图，已知二次函数的图象经过点且与x轴交于原点及点，顶点为A．

(1)求二次函数的表达式；
(2)判断的形状，试说明理由；
(3)若点P为上的动点，且的半径为，一动点E从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段匀速运动到点P，再以每秒1个单位长度的速度沿线段匀速运动到点B后停止运动，求点E的运动时间t的最小值．
【答案】(1) ；
(2)是等腰直角三角形，理由见解析；
(3)

【分析】（1）运用待定系数法解答；
（2）方法1：过点A作于点F，则，得出均为等腰直角三角形，即可解答；方法2：由的三个顶点分别为，运用勾股定理及其逆定理即可解答；
（3）以O为圆心，为半径作圆，则点P在圆周上，根据，可知当B、P、D三点共线时，PD+PB取得最小值，过点D作于点G，由即可解答．
（1）
解：由题意得，c=0，
设二次函数的表达式为：，
将点C，B代入得，
，
，
；
（2）
是等腰直角三角形，理由如下：
方法1：如图，过点A作于点F，则，

，
均为等腰直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形；
方法2：的三个顶点分别为，
，
且满足，
是等腰直角三角形；
（3）
如图，以O为圆心，为半径作圆，则点P在圆周上，

由题意得，动点E的运动时间为，
在OA上取点D，使得，连接PD，
在与中，
满足：，
，
，
，
，
当B、P、D三点共线时，PD+PB取得最小值，
过点D作于点G，
，且是等腰直角三角形；
，
．
【点睛】本题考查二次函数综合题，涉及待定系数法求一次函数和二次函数的解析式、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、圆的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
18．（2022·江苏无锡·统考二模）二次函数y＝ax2＋bx＋4的图象与x轴交于两点A、B，与y轴交于点C，且A（﹣1，0）、B（4，0）．

(1)求此二次函数的表达式；
(2)①如图1，抛物线的对称轴m与x轴交于点E，CD⊥m，垂足为D，点F（﹣，0），动点N在线段DE上运动，连接CF、CN、FN，若以点C、D、N为顶点的三角形与△FEN相似，求点N的坐标；
②如图2，点M在抛物线上，且点M的横坐标是1，将射线MA绕点M逆时针旋转45°，交抛物线于点P，求点P的坐标；
(3)已知Q在y轴上，T为二次函数对称轴上一点，且△QOT为等腰三角形，若符合条件的Q恰好有2个，直接写出T的坐标．
【答案】(1)y＝−x²＋3x＋4
(2)①点N的坐标为（，）或（，2）；②（4，0）
(3)T（，0）、T（，）、T（，﹣）

【分析】（1）先求得点C的坐标，设抛物线的解析式为y＝a（x＋1）（x−4），将点C的坐标代入求得a的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）①先求得抛物线的对称轴，然后求得CD，EF的长，设点N的坐标为（0，a）则ND＝4−a，NE＝a，然后依据相似三角形的性质列出关于a的方程，然后可求得a的值；
②过点A作轴，过点M作轴，交点为D，过点A作AE⊥AM，取AE＝AM，作EF⊥x轴，垂足为F，连接EM交抛物线于点P，则△AME为等腰直角三角形，然后再求得点M的坐标，从而可得到MD＝2，AD＝6，然后证明△ADM≌△AFE，于是可得到点E的坐标，然后求得EM的解析式为y＝−2x＋8，最后求得直线EM与抛物线的交点坐标即可；
（3）当点T在x轴上时，为等腰直角三角形，此时Q恰好有2个；当为等边三角形时，Q恰好有2个；分别求出此时T点的坐标即可．
【详解】（1）解：当x＝0时，y＝4，
∴C（0，4）．
设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x-4），将点C的坐标代入得：-4a＝4，解得a＝-1，
∴抛物线的解析式为y＝-x²+3x+4．
（2）①抛物线的对称轴为直线x＝＝，
∵点，
∴CD＝，EF＝，
设点N的坐标为（，a）则ND＝4-a，NE＝a，
当△CDN∽△FEN时，＝，
即＝，
解得a＝，
∴点N的坐标为（，）；
当△CDN∽△NEF时，＝，
即，
解得：a＝2．
∴点N的坐标为（，2）；
综上所述，点N的坐标为（，）或（，2）．
②过点A作轴，过点M作轴，交点为D，过点A作AE⊥AM，取AE＝AM，作EF⊥x轴，垂足为F，连接EM交抛物线于点P，如图所示：
∵AM＝AE，∠MAE＝90°，
∴∠AMP＝45°，
将x＝1代入抛物线的解析式得：y＝6，
∴点M的坐标为（1，6），
∴MD＝2，AD＝6，
∵∠DAM＋∠MAF＝90°，∠MAF＋∠FAE＝90°，
∴∠DAM＝∠FAE．
在△ADM和△AFE中，
∠D＝∠AFE＝90°
∠DAM＝∠FAE
AM＝AE，
∴△ADM≌△AFE，
∴EF＝DM＝2，AF＝AD＝6，
∴E（5，−2），
设EM的解析式为y＝kx＋b，
将点M和点E的坐标代入得：，
解得k＝−2，b＝8，
∴直线EM的解析式为y＝−2x＋8，
联立，解得：x＝1或x＝4，
将x＝4代入y＝−2x＋8得：y＝0，
∴点P的坐标为（4，0）．

（3）抛物线的对称轴为直线x＝，
当点T在x轴上时，为等腰直角三角形，此时Q恰好有2个，则点T的坐标为（，0）；
当为等边三角形时，Q恰好有2个，设点，，
∵为等边三角形，
，
∵，，，
∴，
解得：，
∴此时T点的坐标为：（，）、（，﹣）；
综上分析可知，T点坐标为（，0）、（，）、（，﹣）．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，相似三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质，通过作辅助线构造等腰直角三角形、全等三角形求得点E的坐标是解题的关键．
19．（2022·江苏徐州·统考二模）如图，已知二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点．

(1)求此二次函数的表达式；
(2)点在以为直径的圆上（点与点，点，点均不重合），试探究，、的数量关系，并说明理由．
(3)点为该图像在第一象限内的一动点，过点作直线的平行线，交轴于点．若点从点出发，沿着抛物线运动到点，则点经过的路程为______．
【答案】(1)
(2)当Q在第一象限内的圆弧上时，，当在上时当在上时，   理由见解析
(3)2

【分析】(1)把过点的坐标代入解析式，确定a、b、c值即可．
(2)分点Q在第一象限内的弧上、弧和弧上，三种情况求解．
(3) 设直线BC的解析式为y=kx+b，确定其解析式，根据直线与抛物线相切时，点F运动最远，确定水平值，结合题意确定距离即可．
【详解】（1）设将代入得
∴．
（2）如图1，当在余下第一象限半圆上时，.

∵点C(0，2)，点B(2，0)，
∴OB=OC=2，BC=，
设QO与BC交于点D，
∵∠BOD=∠QOB，∠OCB=∠OBD=∠OQB=45°，
∴△OBD∽△OQB，
∴，
∴，
同理可证，△OCD∽△OQC，
∴，
∴，
∴QB+QC====；
如图2，当在上时．
在QB上截取QP=QC，连接CP，并延长，交圆于点N，连接BN，
∵BC是圆的直径，
∴∠CQP=∠PNB=90°，
∴∠QCP=∠QPC=∠BPN=∠PBN=45°，
∴PN=BN，PB=，
∵OB=OC，

∴∠OQB=∠OCB=∠OBC=45°，
∴∠OQB=∠BPN，
∴QO∥PN，
∴QC=ON，∠OQC+∠QCP=180°，∠QCN=∠ONC，
∵∠OQC=135°，
∴∠QCN=∠ONC=45°，
∴∠BPN=∠ONC=45°，
∴QP∥ON，
∴四边形PQON是平行四边形，
∴PN=QO，
∴PB=，
∴QB-QP=，
∴QB-QC=．
如图3，当在上时，．
在QC上截取CN=QB，连接ON，
∵BC是圆的直径，
∴∠COB=90°，
∴∠CON+∠NOB=90°，
∵OB=OC，∠OCN=∠OBQ，CN=BQ，
∴△OCN≌△OBQ，
∴ON=OQ，∠O=CON=∠BOQ，
∴∠BOQ +∠NOB=90°，
∴∠NOQ=90°，

∴NQ=，
∴QC-CN=，
∴QC-QB=．
（3）如图4，设直线BC的解析式为y=kx+b，
根据题意，得，
解得，
∴解析式为y=-x+2，
设E的坐标为(n，)，
∵EF∥BC，
∴设直线EF的解析式为y=-x+p，
∴= -n+p，
∴p=，
∴设直线EF的解析式为y=-x，
当直线EF与抛物线相切时，F到达最远位置，此时，
-x=的判别式为0，

故的判别式为0，
∴，
解得n=1，
∴EF的解析式为y=-x+3，
令y=0，得-x+3=0，解得x=3，
此时点F水平运动的最大距离为3，
实际运动距离为3-2=1；
当E经过这个位置后，点F向左运动，回到B位置，此时运动距离也是1，
故F运动的距离为1+1=2．
【点睛】本题考查了抛物线的解析式，圆的基本性质，判别式的应用，三角形的相似和性质，熟练掌握待定系数法，三角形相似和根的判别式是解题的关键．
20．（2022·江苏苏州·统考一模）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+4的图象与x轴交于点A、B与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣8，0），P是抛物线上一点（点P与点A、B、C不重合）．

(1)b＝ ，点B的坐标是 ；
(2)连接AC、BC，证明：∠CBA＝2∠CAB；
(3)点D为AC的中点，点E是抛物线在第二象限图象上一动点，作DE，把点A沿直线DE翻折，点A的对称点为点G，点E运动时，当点G恰好落在直线BC上时，求E点的坐标．
【答案】(1)
(2)见解析．
(3)E（-5，4）或

【分析】（1）根据二次函数图象与坐标轴交点性质可得答案．
（2）在x轴上找出点B的对称点，由点B，点C的坐标，可求出BC的长，由点A的坐标，得出的长，从而得出由等腰三角形的性质即可得出结果．
（3）当点 G 恰好落在 BC 上时，由对称性可知： AD = DG = CD ，所以 A ，C ， G 三点在以 D 为圆心， AC为直径的圆上，连接 AG ，所以 ，从而可知 ED / BC ，求出直线 BC 的解析式，从而可求出 ED 的解析式，联立直线 DE 的解析式与抛物线的解析式即可求出点 E 的坐标．
【详解】（1）∵点在二次函数y＝﹣x2+bx+4的图象上，



当时，

∴点B的坐标为
故答案为：
（2）如图1，作点B关于y轴对称的点，连接



∵时，


令即









（3）如图2所示：连接AG交直线DE于点F，连接DG，

∵当点G恰好落在直线BC上时，由对称性可知，

∵点D为AC的中点，


∴点A，C，G三点共圆，即在以点D为圆心，直径为AC的圆上，

∵直线DE垂直平分AG，


设直线BC的解析式为：
把点代入


∴直线BC的解析式为：
∴可设直线DE的解析式为：
点D为线段AC 的中点，

把代入中，

∴直线DE 的解析式为：
把直线DE和抛物线联立，得

∴解得
∵点E是抛物线在第二象限图象上一个动点，


特别地，当点G与点C重合时，此时DE⊥AC，
设直线AC的解析式为y=ax+c,则，

解得：
∴直线AC的解析式为
∴直线DE的解析式为
∴
解得：或
∵点E为第二象限，
∴E（-5，4）．
故E（-5，4）或
【点睛】此题考查的是二次函数的综合题目，涉及知识点有二次函数的有关性质，待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，抛物线与坐标轴交点问题，圆周角定理等知识，正确作出辅助线是解决此题关键．