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专题04 万有引力及天体运动分析-2023年高考物理毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）
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专题04：万有引力及天体运动分析
考点01 万有引力定律的应用 1
考点02 天体的运行与变轨 2
考点03 天体运动中的多星模型 6
考点01 万有引力定律的应用
1．开普勒第三定律
(1)＝k，其中k与中心天体有关，r是椭圆轨道的半长轴。
(2)对同一中心天体的所有行星，该公式都成立。
2．估算中心天体的质量和密度的两条思路
(1)利用中心天体的半径和表面的重力加速度g计算。由G＝mg求出M＝，进而求得ρ＝＝＝。
(2)利用环绕天体的轨道半径r和周期T计算。由G＝mr，可得出M＝。若环绕天体绕中心天体表面做匀速圆周运动，轨道半径r＝R，则ρ＝＝。
【典例1】2021年7月31日上午，北斗三号全球卫星导航系统正式开通．人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道，在发射地球同步卫星的过程中，卫星从圆轨道Ⅰ的A点先变轨到椭圆轨道Ⅱ，然后在B点变轨进入地球同步轨道Ⅲ，则( )
A. 卫星在轨道Ⅱ上过A点的速率比卫星在轨道Ⅱ上过B点的速率小
B. 若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行的周期分别为T1、T2、T3，则T1
D. 该卫星在同步轨道Ⅲ上的运行速度大于7.9 km/s
【答案】B
【解析】A.由开普勒第二定律可知，卫星在近地点速度大，远地点速度小，所以卫星在轨道Ⅱ上过A点的速率比卫星在轨道Ⅱ上过B点的速率大，故A错误；B.由开普勒第三定律R3T2=k，由于R1
【变式1-1】1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星，该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动。如图2所示，设卫星在近地点、远地点的速度分别为v1、v2，近地点到地心的距离为r，地球质量为M，引力常量为G。则( )
图2
A.v1＞v2，v1＝ B.v1＞v2，v1＞
C.v1＜v2，v1＝ D.v1＜v2，v1＞
【答案 B】
【解析】
卫星绕地球运动，由开普勒第二定律知，近地点的速度大于远地点的速度，即v1＞v2。
若卫星以近地点时的半径做圆周运动，则有＝m，得运行速度v近＝，
由于卫星在近地点做离心运动，则v1＞v近，即v1＞，选项B正确。
考点02 天体的运行与变轨
1.天体运行参数
(1)万有引力提供向心力，即G＝ma＝m＝mω2·r＝m·r。
(2)天体对其表面物体的万有引力近似等于重力，即＝mg或GM＝gR2(R、g分别是天体的半径、表面重力加速度)，公式GM＝gR2应用广泛，被称为“黄金代换式”。
2.地面赤道上物体与地球卫星的比较
(1)地面赤道上的物体随地球一起转动，具有相同的角速度，所受万有引力并非全部提供向心力。
(2)空中绕地球自转的卫星万有引力全部充当向心力，周期和半径有关。
(3)比较地面赤道上物体和空中卫星的运行参数，可借助同步卫星的“桥梁”作用。
3.卫星变轨问题
(1)卫星变轨的运动模型是向心运动和离心运动。当由于某种原因卫星速度v突然增大时，有Gm，卫星将做向心运动。
(2)在不同轨道的同一点，加速度相同、线速度不同、机械能不同。
【典例2】科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为（太阳到地球的距离为）的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】可以近似把S2看成匀速圆周运动，由图可知，S2绕黑洞的周期T=16年，地球的公转周期T0=1年，S2绕黑洞做圆周运动的半径r与地球绕太阳做圆周运动的半径R关系是
地球绕太阳的向心力由太阳对地球的引力提供，由向心力公式可知
解得太阳的质量为
同理S2绕黑洞的向心力由黑洞对它的万有引力提供，由向心力公式可知
解得黑洞的质量为
综上可得
故选B。
【变式2-1】2021年2月，执行我国火星探测任务的“天问一号”探测器在成功实施三次近火制动后，进入运行周期约为1.8×105s的椭圆形停泊轨道，轨道与火星表面的最近距离约为2.8×105m。已知火星半径约为3.4×106m，火星表面处自由落体的加速度大小约为3.7m/s2，则“天问一号”的停泊轨道与火星表面的最远距离约为（ ）
A. 6×105m B. 6×106m C. 6×107m D. 6×108m
【答案】C
【解析】忽略火星自转则①
可知
设与为1.8×105s的椭圆形停泊轨道周期相同的圆形轨道半径为，由万引力提供向心力可知②
设近火点到火星中心为③
设远火点到火星中心为④
由开普勒第三定律可知⑤
由以上分析可得
故选C。
【变式2-2】2021年2月，我国500 m口径射电望远镜（天眼）发现毫秒脉冲星“J0318+0253”，其自转周期T=5.19 ms，假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】试题分析;在天体中万有引力提供向心力，即 ，
天体的密度公式，
结合这两个公式求解。设脉冲星值量为M，密度为
根据天体运动规律知：
代入可得： ，故C正确；
【变式2-3】如图所示，一颗人造卫星原来在椭圆轨道1绕地球E运行，在P变轨后进入轨道2做匀速圆周运动。下列说法正确的是（ ）
A.不论在轨道1还是在轨道2运行，卫星在P点的速度都相同
B.不论在轨道1还是在轨道2运行，卫星在P点的加速度都相同
C.卫星在轨道1的任何位置都具有相同加速度
D.卫星在轨道2的任何位置都具有相同动量
【答案】：B
【解析】从轨道1变轨道2，需要加速逃逸，故A 错误；
根据公式；可得，故只要半径相同，加速度则相同，由于卫星在轨道1做椭圆运动，运动半径在变化，所以过程的加速度在边，B正确C错误；
卫星在轨道2做匀速圆周运动，过程中的速度方向时刻在边，所以动量方向不同，D错误
【变式2-4】如图所示，设地球半径为R，假设某地球卫星在距地球表面高度为h的圆形轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，运行周期为T，到达轨道的A点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近地点B时，再次点火进入近地轨道Ⅲ绕地做匀速圆周运动，引力常量为G，不考虑其他星球的影响，则下列说法正确的是( )
A．地球的质量可表示为
B．该卫星在轨道Ⅲ上B点的速率大于在轨道Ⅱ上A点的速率
C．卫星在圆轨道Ⅰ和圆轨道Ⅲ上做圆周运动时，轨道Ⅰ上动能小，引力势能大，机械能小
D．卫星从远地点A向近地点B运动的过程中，加速度变小
【答案】B
【解析】卫星在轨道Ⅰ上的运动过程中，万有引力充当向心力，故有G＝m(R＋h)，解得M＝，A错误；
卫星在轨道Ⅰ上过A点做匀速圆周运动，即G＝m，卫星在轨道Ⅱ上过A点做近心运动，即G>m，所以卫星在轨道Ⅰ上A点速率大于在轨道Ⅱ上A点的速率，在轨道Ⅲ上B点的速率大于在轨道Ⅰ上A点的速率，B正确；
从A运动到B的过程，地球引力对卫星做负功，引力势能减小，因卫星在轨道Ⅲ上的速度大于轨道Ⅰ上的速度，故此过程中卫星的动能增加，在Ⅰ轨道上A点点火减速，使卫星由高轨道进入低轨道，在Ⅱ轨道上B点点火，卫星减速并做向心运动，则卫星的机械能减小，C错误；
根据公式G＝ma可得a＝，所以卫星距离地球越远，其向心加速度越小，故卫星从远地点到近地点运动过程中，加速度变大，D错误。
考点03 天体运动中的多星模型
1．宇宙双星模型特点
(1)各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即＝m1ωr1，＝m2ωr2。
(2)两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。
(3)两颗星的运行半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L。
2．宇宙多星模型特点
(1)天体运动中，三星、四星等多星模型是指相互作用且围绕某一点做圆周运动的星体。
(2)星体做圆周运动所需向心力由其他星体对它的万有引力的合力提供(如图所示)，在多星系统中各星体运行的角速度相等。
【典例3】(多选)在宇宙中，当一颗恒星靠近黑洞时，黑洞和恒星可以相互绕行，从而组成双星系统。在相互绕行的过程中，质量较大的恒星上的物质会逐渐被吸入到质量较小的黑洞中，从而被吞噬掉，黑洞吞噬恒星的过程也被称之为“潮汐瓦解事件”。天鹅座X1就是这样一个由黑洞和恒星组成的双星系统，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，如图所示。在刚开始吞噬的较短时间内，恒星和黑洞的距离不变，则在这段时间内，下列说法正确的是( )
A．它们间的万有引力大小变大
B．它们间的万有引力大小不变
C．恒星做圆周运动的线速度变大
D．恒星做圆周运动的角速度变大
【答案】AC
【解析】设质量较大的恒星为M1，质量较小的黑洞为M2，则两者之间的万有引力为F＝G，由数学知识可知，当M1＝M2时，M1·M2有最大值，根据题意可知质量较小的黑洞M2吞噬质量较大的恒星M1，因此万有引力变大，故A正确，B错误；对于两天体，万有引力提供向心力，即G＝M1ω2R1＝M1R1，G＝M2ω2R2＝M2R2，解得两天体质量表达式为M1＝R2＝R2，M2＝R1＝R1，两天体总质量表达式为M1＋M2＝＝，两天体的总质量不变，两天体之间的距离L不变，因此天体的周期T和角速度ω也不变，质量较小的黑洞M2的质量增大，因此恒星的圆周运动半径增大，根据v＝可知，恒星的线速度增大。故C正确，D错误。
【变式3-1】(多选)三颗质量均为M的星球(可视为质点)位于边长为L的等边三角形的三个顶点上。如图所示，如果它们中的每一颗都在相互的引力作用下沿等边三角形的外接圆轨道运行，引力常量为G，下列说法正确的是( )
A. 其中一颗星球受到另外两颗星球的万有引力的合力大小为3GM22L2
B. 其中一颗星球受到另外两颗星球的万有引力的合力指向圆心O
C. 它们运行的轨道半径为32L
D. 它们运行的速度大小为GML
【答案】BD
【解析】根据万有引力定律，任意两颗星球之间的万有引力大小为F1=GM2L2，其中一颗星球受到另外两颗星球的万有引力的合力为F=2F1cos 30°=3GM2L2，方向指向圆心O，选项A错误，B正确；
由rcos 30°=L2，解得它们运行的轨道半径r=33L，选项C错误；
由3GM2L2=Mv2r可得v= GML，选项D正确。
【易错01】对开普勒三定律理解存在错误
定律
内容
图示
开普勒第一定律
(轨道定律)
所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上
开普勒第二定律
(面积定律)
对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等
开普勒第三定律
(周期定律)
所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，即＝k
【易错02】对天体质量和密度的计算公式运用存在错误
天体质量和密度的计算：
(1)“自力更生”法(g－R)：在忽略天体自转的条件下万有引力等于天体表面的重力加速度，即：
由G＝mg得天体质量M＝。
其中：天体表面的重力加速度g和天体半径R。
(2)“借助外援”法(T－r)：观测出环绕天体做匀速圆周运动的周期T和半径r，即：
由G＝mr得中心天体的质量M＝。
⑶天体的密度ρ＝＝＝。
【易错03】对万有引律计算存在错误
1．内容
自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比．
2．表达式
F＝G，G为引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2.
3．适用条件
(1)公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．
(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离．
4．天体运动问题分析
(1)将天体或卫星的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供．
(2)基本公式：
G＝ma＝
【易错04】宇宙速度和卫星理解存在错误
宇宙速度
1．第一宇宙速度
(1)第一宇宙速度又叫环绕速度，其数值为7.9 km/s.
(2)第一宇宙速度是人造卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度．
(3)第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度，也是人造卫星的最大环绕速度．
(4)第一宇宙速度的计算方法．
由G＝m得v＝ ；
由mg＝m得v＝.
2．第二宇宙速度
使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，其数值为11.2 km/s.
3．第三宇宙速度
使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，其数值为16.7 km/s.
1.（2021·河北省实验中学高三下学期调研）年月日，我国首个火星探测器“天问一号”传回了火星照片，如图所示。多年以后，小明作为一位火星移民，于太阳光直射赤道的某天晚上，在火星赤道上某处仰望天空。某时，他在西边的地平线附近恰能看到一颗火星人造卫星出现，之后极快地变暗而看不到了，他记下此时正是火星上日落后约小时分。后来小明得知这是我国火星基地发射的一颗绕火星自西向东运动的周期为的探测卫星，查阅资料得知火星自西向东自转且周期约为小时分，已知万有引力常量为。根据以上信息，分析可得火星密度的表达式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
运动轨迹如图所示
火星自转周期小时分，日落后小时分，即转过，由图知
根据万有引力提供向心力
密度为
解得
故选C。
2.（2021·广东省普宁二中高三下学期5月适应性考试）“天问一号”已于2020年7月23日在中国文昌航天发射场由长征五号遥四运载火箭发射升空，成功进入预定轨道。“天问一号”将完成“环绕”“着陆”“巡视”火星这三大任务。已知日地间距约为1.5亿公里，火星直径约为地球的一半，质量约为地球的11%，将火星和地球绕太阳的运动均视为圆周运动，两者每隔约2.2年相遇（相距最近）一次，不考虑火星和地球间的万有引力，地球公转周期视为1年。下列说法正确的是（ ）
A. “天问一号”的发射速度必须大于地球第一宇宙速度且小于第二宇宙速度
B. 火星表面的“重力加速度”大于地球表面的重力加速度
C. 由上述材料和天文学常识可以估算出火星公转的周期
D. 由上述材料和天文学常识可以估算出火星的密度
【答案】C
【解析】
A．“天问一号”脱离地球的吸引，则其发射速度必须大于地球第二宇宙速度，所以A错误；
B．根据
解得
由题意可知
则火星表面的“重力加速度”小于地球表面的重力加速度，所以B错误；
C．设火星的公转周期为，两者每隔约t=2.2年相遇（相距最近）一次，则有
解得
所以C正确；
D．必须知道火星与太阳间的距离，及火星的半径，或者知道地球与太阳间的距离，及地球的半径，才能估算出火星的密度，所以D错误；
故选C。
3.（2021·北京市昌平区高三下学期5月二模）2021年2月10日，天问一号火星探测器被火星捕获，成功实现火星环绕，经过系列变轨后从调相轨道进入停泊轨道，为着陆火星做准备，如图所示。下列说法正确的是（ ）
A. 天问一号从调相轨道进入停泊轨道时需在P点处加速
B. 天问一号在停泊轨道上P点的加速度比在N点小
C. 天问一号在停泊轨道上运动过程中，经过P点时的线速度比N点小
D. 天问一号在停泊轨道上运行周期比在调相轨道上小
【答案】D
【解析】
A．从调相轨道进入停泊轨道，需要做近心运动，因此在P点处应减速，A错误；
B．根据牛顿第二定律
可知P点的加速度比在N点的大，B错误；
C．在停泊轨道上运动过程中，P点是离火星最近的点，N点是离火星最远的点，所以经过P点时的线速度比N点大，C错误；
D．根据开普勒第三定律知天问一号在停泊轨道上运行周期比在调相轨道上小，D正确。
故选D。
4.（2021·北京市西城区高三下学期5月测试）我国的月球探测计划“嫦娥工程”分为“绕、落、回”三步。“嫦娥五号”的任务是“回”。2020年11月24日，“嫦娥五号”成功发射，它分为四部分：着陆器、上升器、轨道器和返回器。12月3日，载着珍贵“月壤”的嫦娥5号“上升器”发动机点火，以“着陆器”作为发射台，从月面起飞（如图1），回到预定环月轨道，与绕月飞行的“轨道器与返回器组合体”成功交会对接（如图2），将珍贵的“月壤”转移到“返回器”中。12月17日，“返回器”进入月地转移轨道重返地球，以超高速进入大气层。由于速度太快会使得“返回器”与空气剧烈摩擦产生高温，高温会对“月壤”产生不利影响，甚至温度过高，返回器有燃烧殆尽的风险。为避免这些风险，采用“半弹道跳跃式返回”俗称“太空打水漂”的方式两次进入大气层，梯次气动减速（如图3）。最终在预定地点平稳着陆。根据以上信息，判断下列说法正确的是（ ）
A. “上升器”从点火上升到回到预定环月轨道的过程中，“月壤”一直处于超重状态
B. “月壤”随“返回器”进入环月轨道后，“返回器”的弹力给“月壤”提供向心力
C. 为了利用地球自转，节省燃料，“嫦娥五号”应采用由东向西发射
D. 为了利用地球自转，降低回收过程中的风险，“返回器”应采用由西向东进入大气层回收
【答案】D
【解析】
A．“上升器”点火加速上升时“月壤”处于超重状态；回到预定环月轨道时，处于失重状态，选项A错误；
B．“月壤”随“返回器”进入环月轨道后，月球对“月壤”的万有引力给“月壤”提供向心力，选项B错误；
C．地球自西向东转，则为了利用地球自转，节省燃料，“嫦娥五号”应采用由西向东发射，选项C错误；
D．为了利用地球自转，降低回收过程中的风险，“返回器”应采用由西向东进入大气层回收，选项D正确。
故选D。
1、（2022·湖南卷·T8）如图，火星与地球近似在同一平面内，绕太阳沿同一方向做匀速圆周运动，火星的轨道半径大约是地球的1.5倍。地球上的观测者在大多数的时间内观测到火星相对于恒星背景由西向东运动，称为顺行；有时观测到火星由东向西运动，称为逆行。当火星、地球、太阳三者在同一直线上，且太阳和火星位于地球两侧时，称为火星冲日。忽略地球自转，只考虑太阳对行星的引力，下列说法正确的是（ ）
A. 火星的公转周期大约是地球的倍
B. 在冲日处，地球上的观测者观测到火星的运动为顺行
C. 在冲日处，地球上的观测者观测到火星的运动为逆行
D. 在冲日处，火星相对于地球的速度最小
【答案】CD
【解析】
A．由题意根据开普勒第三定律可知
火星轨道半径大约是地球轨道半径的1.5倍，则可得
故A错误；
BC．根据
可得
由于火星轨道半径大于地球轨道半径，故火星运行线速度小于地球运行线速度，所以在冲日处火星相对于地球由东向西运动，为逆行，故B错误，C正确；
D．由于火星和地球运动的线速度大小不变，在冲日处火星和地球速度方向相同，故相对速度最小，故D正确。
故选CD。
2、（2022·广东卷·T2）“祝融号”火星车需要“休眠”以度过火星寒冷的冬季。假设火星和地球的冬季是各自公转周期的四分之一，且火星的冬季时长约为地球的1.88倍。火星和地球绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动。下列关于火星、地球公转的说法正确的是（ ）
A. 火星公转的线速度比地球的大 B. 火星公转的角速度比地球的大
C. 火星公转的半径比地球的小 D. 火星公转的加速度比地球的小
【答案】D
【解析】
由题意可知，火星的公转周期大于地球的公转周期
C．根据可得
可知火星的公转半径大于地球的公转半径，故C错误；
A．根据可得
结合C选项，可知火星的公转线速度小于地球的公转线速度，故A错误；
B．根据可知火星公转的角速度小于地球公转的角速度，故B错误；
D．根据可得
可知火星公转的加速度小于地球公转的加速度，故D正确。
故选D。
3、（2022·山东卷·T6）“羲和号”是我国首颗太阳探测科学技术试验卫星。如图所示，该卫星围绕地球的运动视为匀速圆周运动，轨道平面与赤道平面接近垂直。卫星每天在相同时刻，沿相同方向经过地球表面A点正上方，恰好绕地球运行n圈。已知地球半径为地轴R，自转周期为T，地球表面重力加速度为g，则“羲和号”卫星轨道距地面高度为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
地球表面的重力加速度为g，根据牛顿第二定律得
解得
根据题意可知，卫星的运行周期为
根据牛顿第二定律，万有引力提供卫星运动的向心力，则有
联立解得
故选C。
4、（2022·全国乙卷·T14）2022年3月，中国航天员翟志刚、王亚平、叶光富在离地球表面约的“天宫二号”空间站上通过天地连线，为同学们上了一堂精彩的科学课。通过直播画面可以看到，在近地圆轨道上飞行的“天宫二号”中，航天员可以自由地漂浮，这表明他们（ ）
A. 所受地球引力的大小近似为零
B. 所受地球引力与飞船对其作用力两者的合力近似为零
C. 所受地球引力的大小与其随飞船运动所需向心力的大小近似相等
D. 在地球表面上所受引力的大小小于其随飞船运动所需向心力的大小
【答案】C
【解析】
ABC．航天员在空间站中所受万有引力完全提供做圆周运动的向心力，飞船对其作用力等于零，故C正确，AB错误；
D．根据万有引力公式
可知在地球表面上所受引力的大小大于在飞船所受的万有引力大小，因此地球表面引力大于其随飞船运动所需向心力的大小，故D错误。
故选C。
5、（2022·浙江6月卷·T6）神州十三号飞船采用“快速返回技术”，在近地轨道上，返回舱脱离天和核心舱，在圆轨道环绕并择机返回地面。则（ ）
A. 天和核心舱所处的圆轨道距地面高度越高，环绕速度越大
B. 返回舱中的宇航员处于失重状态，不受地球的引力
C. 质量不同的返回舱与天和核心舱可以在同一轨道运行
D. 返回舱穿越大气层返回地面过程中，机械能守恒
【答案】C
【解析】
AC．根据
可得
可知圆轨道距地面高度越高，环绕速度越小；而只要速度相同了就可以在同一轨道运行，与返回舱和天和核心舱的质量无关，故A错误，C正确；
B．返回舱中的宇航员处于失重状态，仍然受到地球引力作用，地球的引力提供宇航员绕地球运动的向心力，故B错误；
D．返回舱穿越大气层返回地面过程中，有阻力做功产生热量，机械能减小，故D错误。
故选C。
6、（2022·浙江1月卷·T8）“天问一号”从地球发射后，在如图甲所示的P点沿地火转移轨道到Q点，再依次进入如图乙所示的调相轨道和停泊轨道，则天问一号（ ）
A. 发射速度介于7.9km/s与11.2km/s之间
B. 从P点转移到Q点的时间小于6个月
C. 在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小
D. 在地火转移轨道运动时的速度均大于地球绕太阳的速度
【答案】C
【解析】
A．因发射的卫星要能变轨到绕太阳转动，则发射速度要大于第二宇宙速度，即发射速度介于11.2km/s与16.7km/s之间，故A错误；
B．因P点转移到Q点的转移轨道的半长轴大于地球公转轨道半径，则其周期大于地球公转周期（1年共12个月），则从P点转移到Q点的时间为轨道周期的一半时间应大于6个月，故B错误；
C．因在环绕火星的停泊轨道的半长轴小于调相轨道的半长轴，则由开普勒第三定律可知在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小，故C正确；
D．卫星从P点变轨时，要加速增大速度，此后做离心运动速度减小，则在地火转移轨道运动时的速度P点速度大于地球绕太阳的速度，故D错误；
故选C。
7.(2022·湖北·T2) 2022年5月，我国成功完成了天舟四号货运飞船与空间站的对接，形成的组合体在地球引力作用下绕地球做圆周运动，周期约90分钟。下列说法正确的是（ ）
A. 组合体中的货物处于超重状态
B. 组合体的速度大小略大于第一宇宙速度
C. 组合体的角速度大小比地球同步卫星的大
D. 组合体的加速度大小比地球同步卫星的小
【答案】C
【解析】
【详解】A．组合体在天上只受万有引力的作用，则组合体中的货物处于失重状态，A错误；
B．由题知组合体在地球引力作用下绕地球做圆周运动，而第一宇宙速度为最大的环绕速度，则组合体的速度大小不可能大于第一宇宙速度，B错误；
C．已知同步卫星的周期为24h，则根据角速度和周期的关系有
由于T同 > T组合体，则组合体的角速度大小比地球同步卫星的大，C正确；
D．由题知组合体在地球引力作用下绕地球做圆周运动，有
整理有
由于T同 > T组合体，则r同 > r组合体，且同步卫星和组合体在天上有
则有
a同 < a组合体
D错误。
故选C。
1．(2021·哈尔滨一模)下列关于天体运动的相关说法中，正确的是( )
A．地心说的代表人物是哥白尼，他认为地球是宇宙的中心，其他星球都在绕地球运动
B．牛顿由于测出了引力常量而成为第一个计算出地球质量的人
C．所有行星绕太阳运行的轨道都是椭圆，太阳在椭圆的焦点上
D．地球绕太阳公转时，在近日点附近的运行速度比较慢，在远日点附近的运行速度比较快
【答案】C
【解析】本题考查开普勒定律及物理学史。地心说的代表人物是托勒密，他认为地球是宇宙的中心，其他星球都在绕地球运动，故A错误；卡文迪许由于测出了引力常量而成为第一个计算出地球质量的人，故B错误；根据开普勒第一定律，所有行星绕太阳运行的轨道都是椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上，故C正确；对同一个行星而言，太阳与行星的连线在相同时间内扫过的面积相等，地球绕太阳公转时，在近日点附近运行的速度比较快，在远日点附近运行的速度比较慢，故D错误。
2、（2021·河南省洛阳三模）火星和地球之间的距离成周期性变化，为人类探测火星每隔一定时间会提供一次最佳窗口期。已知火星和地球的公转轨道几乎在同一平面内，公转方向相同，火星的轨道半径约是地球轨道半径的1.5倍，则最佳窗口期大约每隔多长时间会出现一次（ ）
A. 18个月 B. 24个月 C. 26个月 D. 36个月
【答案】C
【解析】
设经过t时间地球从相距最近到再次相距最近，地球比火星多转一圈
根据开普勒第三定律
解得
故选C。
3.(2021·安徽合肥调研)在国产科幻片《流浪地球》中，人类带着地球流浪至木星附近时，上演了地球的生死存亡之战。木星是太阳系内体积最大、自转最快的行星，早期伽利略用自制的望远镜发现了木星的四颗卫星，其中“木卫三”离木星表面的高度约为h，它绕木星做匀速圆周运动的周期约为T。已知木星的半径约为R，引力常量为G，则由上述数据可以估算出( )
A．木星的质量 B．“木卫三”的质量
C．“木卫三”的密度 D．“木卫三”的向心力
【答案】A
【解析】“木卫三”绕木星做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力有G＝m·(R＋h)，解得M＝，故可以估算出木星的质量M，而“木卫三”的质量m无法确定，故无法确定其密度和向心力，所以A项正确，B、C、D项错误。
4、（2021·安徽省芜湖质检）截至2020年11月，被誉为“中国天眼”的500米口径球面射电望远镜（FAST）已取得一系列重大科学成果，发现脉冲星数量超过240颗。脉冲星就是旋转的中子星，每自转一周，就向外发射一次电磁脉冲信号，因此而得名。若观测到某个中子星发射电磁脉冲信号的周期为，该中子星的半径为，已知万有引力常量为，中子星可视为匀质球体，由以上物理量可以求出（ ）
A. 该中子星的质量
B. 该中子星第一宇宙速度
C. 该中子星赤道表面的重力加速度
D. 该中子星赤道上的物体随中子星转动的向心加速度
【答案】D
【解析】A．电磁脉冲信号的周期即为中子星的自转周期，所以中子星的同步卫星的周期为，根据牛顿第二定律得
因为同步卫星的高度未知，所以中子星的质量无法求解。A错误；
BC．该中子星的近地卫星速度即为第一宇宙速度，有
因为中子星质量未知，所以中子星的重力加速度或第一宇宙速度无法求解。BC错误；
D．该中子星赤道上的物体随中子星转动的向心加速度，D正确。
故选D。
5、（2021·湖南省衡阳二模）2020年11月24日，长征五号运载火箭搭载嫦娥五号探测器成功发射升空并将其送入预定轨道，11月28日，嫦娥五号进入环月轨道飞行，12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月壤着陆地球。假设嫦娥五号环绕月球飞行时，在距月球表面高度为h处，绕月球做匀速圆周运动（不计周围其他天体的影响），测出飞行周期T，已如万有引力常量G和月球半径R。则下列说法错误的是（ ）
A. 嫦娥五号绕月球飞行的线速度为 B. 月球的质量为
C. 月球的第一宇宙速为 D. 月球表面的重力加速度为
【答案】B
【解析】
A．嫦娥五号绕月球飞行的轨道半径为（R+h），所以飞行的线速度为：
故A正确；
B．嫦娥五号绕月球做匀速圆周运动，由牛顿第二定律：
解得月球的质量为：
故B错误；
C．月球第一宇宙速度为绕月球表面运行的卫星的速度，由牛顿第二定律得：
解得月球的第一宇宙速度为
故C正确；
D．在月球表面，重力等于万有引力：
月球表面的重力加速度为：
g月=
故D正确。
本题选择错误，故选B。
1.我国高分系列卫星的高分辨对地观察能力不断提高。2018年5月9日发射的“高分五号”轨道高度约为705 km，之前已运行的“高分四号”轨道高度约为36 000 km，它们都绕地球做圆周运动。与“高分四号”相比，下列物理量中“高分五号”较小的是( )
A.周期 B.角速度
C.线速度 D.向心加速度
【答案】 A
【解析】 设卫星的质量为m，轨道半径为r，地球的质量为M，卫星绕地球做匀速圆周运动，由地球的万有引力提供向心力，则得G＝mr＝mω2r＝m＝ma，得T＝2π，ω＝，v＝，a＝可知，卫星的轨道半径越大，周期越大，而角速度、线速度和向心加速度越小，“高分五号”的轨道半径比“高分四号”的小，所以“高分五号”较小的是周期，较大的是角速度、线速度和向心加速度，故选A项。
2.经典的“黑洞”理论认为，当恒星收缩到一定程度时，会变成密度非常大的天体，这种天体的逃逸速度非常大，大到光从旁边经过时都不能逃逸，也就是其第二宇宙速度大于等于光速，此时该天体就变成了一个黑洞。已知太阳的质量为M，光速为c，第二宇宙速度是第一宇宙速度的倍，引力常量为G，若太阳演变成一个黑洞，其密度ρ至少达到( )
A. B.
C. D.
【答案】 B
【解析】 根据万有引力提供向心力有＝m，得太阳的第一宇宙速度v1＝(式中R为太阳的半径)，因第二宇宙速度v2是第一宇宙速度v1的倍，可得v2＝v1＝，由题意可知≥c，得R≤，太阳变为黑洞后，其密度ρ＝＝≥，选项B正确。
3.(2021·郑州模拟)我国在酒泉用长征二号丁运载火箭成功将世界首颗量子科学实验卫星“墨子号”发射升空。如图所示为“墨子号”卫星在距离地球表面500 km高的轨道上实现两地通信的示意图。若已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R，则下列说法正确的是( )
A.工作时，两地发射和接收信号的雷达方向一直是固定的
B.卫星绕地球做匀速圆周运动的速度大于7.9 km/s
C.可以估算出“墨子号”卫星所受到的万有引力大小
D.可以估算出地球的平均密度
【答案】 D
【解析】 由于地球自转的周期和“墨子号”的周期不同，转动的线速度不同，所以工作时，两地发射和接收信号的雷达方向不是固定的，故A错误；7.9 km/s是卫星绕地球做圆周运动的最大环绕速度，则卫星绕地球做匀速圆周运动的速度小于7.9 km/s，故B错误；由于“墨子号”卫星的质量未知，则无法计算“墨子号”所受到的万有引力大小，故C错误；根据万有引力等于重力，结合地球表面的重力加速度和半径可以求出地球的质量，结合地球的体积可以求出地球的平均密度，故D正确。
4.(2024·山西太原一模)对于环绕地球做圆周运动的卫星来说，它们绕地球做圆周运动的周期会随着轨道半径的变化而变化，某同学根据测得的不同卫星做圆周运动的半径r与周期T关系作出如图2所示图象，则可求得地球质量为(已知引力常量为G)( )
A. B. C. D.
【答案】 A
【解析】由G＝mr()2，得r3＝，即＝＝，求得地球的质量为M＝，因此A项正确。
5. (2021·安徽“江南十校”综合素质检测)(多选)高分五号卫星在太原卫星发射中心成功发射，它填补了国产卫星无法有效探测区域大气污染气体的空白。如图是高分五号卫星发射的模拟示意图，先将高分五号卫星送入圆形近地轨道Ⅰ运动，在轨道A处点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，在轨道B处再次点火进入圆形预定轨道Ⅲ绕地球做圆周运动，不考虑卫星的质量变化。下列叙述正确的是( )
A．高分五号卫星在轨道Ⅰ上运动的动能小于在轨道Ⅲ上的动能
B．高分五号卫星在三条轨道上的运行周期，在轨道Ⅰ上最小、在轨道Ⅲ上最大
C．高分五号卫星在轨道Ⅰ上的加速度大于在轨道Ⅲ上的加速度
D．高分五号卫星在A处变轨要加速，在B处变轨要减速
【答案】BC
【解析】卫星围绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，G＝m，动能Ek＝mv2，联立解得Ek＝，由于高分五号卫星在轨道Ⅰ上的运行半径小于在轨道Ⅲ上的运行半径，所以高分五号卫星在轨道Ⅰ上运动的动能大于在轨道Ⅲ上运动的动能，选项A错误；由于轨道Ⅲ的半径大于轨道Ⅱ的半长轴，轨道Ⅱ的半长轴大于轨道Ⅰ的半径，根据开普勒第三定律可知，高分五号卫星在三条轨道上的运行周期，在轨道Ⅰ上最小，在轨道Ⅲ上最大，选项B正确；由G＝ma，可知高分五号卫星在轨道Ⅰ上的加速度大于在轨道Ⅲ上的加速度，选项C正确；高分五号卫星在A处变轨要加速，在B处变轨也要加速，选项D错误。
6.(多选)(2021·贵州部分重点中学联考)“开普勒”空间望远镜发现了与地球相似的太阳系外行星——开普勒－452b。开普勒—452b围绕其恒星开普勒－452公转一周的时间是地球绕太阳公转一周的1 055倍，开普勒－452b到开普勒－452的距离与地球到太阳的距离接近，则由以上数据可以得出( )
A．开普勒－452与太阳的质量之比
B．开普勒－452与太阳的密度之比
C．开普勒－452b与地球绕各自恒星公转的线速度之比
D．开普勒－452b与地球受到各自恒星对它们的万有引力之比
【答案】AC
【解析】本题根据万有引力定律考查与星体运行相关物理量的对比问题。行星绕恒星做圆周运动，设恒星质量为M，行星质量为m，轨道半径为r，根据万有引力提供向心力得G＝，解得中心天体的质量M＝。由题意可知地球与开普勒－452b的公转周期之比以及轨道半径之比，因此可求得开普勒－452与太阳的质量之比，故A正确；由于开普勒－452与太阳的半径未知，因此无法求得它们的密度之比，故B错误；根据线速度公式v＝，结合题中已知条件，可求得开普勒－452b与地球绕各自恒星公转的线速度之比，故C正确；由于不知道开普勒－452b和地球质量的关系，所以无法求得开普勒－452b与地球受到各自恒星对它们的万有引力之比，故D错误。
7. (多选)(2021·福建三明市期末质量检测)(多选)中国科学院云南天文台研究人员在对密近双星半人马座V752进行观测和分析研究时，发现了一种特殊双星轨道变化的新模式，这种周期的突变有可能是受到了来自其伴星双星的动力学扰动，从而引起了两子星间的物质交流，周期开始持续增加。若小质量子星的物质被吸引而转移至大质量子星上(两子星质量和恒定)，导致周期增大为原来的k倍，则下列说法正确的是( )
A．两子星间的万有引力增大 B．两子星的间距增大为原来的2倍
C．两子星间的万有引力减小 D．两子星的间距增大为原来的倍
【答案】CD
【解析】m1
甲 乙
A．该星球的第一宇宙速度v1＝3.0×104 m/s B．该星球的质量M＝8.1×1026 kg
C．该星球的自转周期T＝1.3×104 s D．该星球的密度ρ＝896 kg/m3
【答案】ABD
【解析】物块上滑过程中，根据牛顿第二定律，在沿斜面方向上有μmgcos θ＋mgsin θ＝ma1，下滑过程中，在沿斜面方向上有mgsin θ－μmgcos θ＝ma2，又知vt图象的斜率表示加速度，则上滑和下滑过程中物块的加速度大小分别为a1＝ m/s2＝10 m/s2，a2＝ m/s2＝5 m/s2，联立解得g＝15 m/s2，该星球的第一宇宙速度为v1＝＝ m/s＝3.0×104 m/s，故选项A正确；根据黄金代换式GM＝gR2可得该星球的质量为M＝＝ kg＝8.1×1026 kg，故选项B正确；根据所给条件无法计算出该星球的自转周期，故选项C错误；该星球的密度ρ＝＝ kg/m3＝896 kg/m3，故选项D正确。
9.(2021·山西临汾市二轮复习模拟)质量为m的人造地球卫星与地心的距离为r时，引力势能可表示为Ep＝－G，其中G为引力常量，M为地球质量．该卫星原来在半径为R1的轨道上绕地球做匀速圆周运动，由于受到极稀薄空气的摩擦作用，飞行一段时间后其做圆周运动的半径变为R2，此过程中因摩擦而产生的热量为( )
A．GMm(－) B．GMm(－)
C.(－) D.(－)
【答案】 C
【解析】 卫星做匀速圆周运动，由地球的万有引力提供向心力，则：
轨道半径为R1时＝m①
卫星的引力势能为Ep1＝－②
轨道半径为R2时＝m③
卫星的引力势能为Ep2＝－④
设因摩擦而产生的热量为Q，根据能量守恒定律得：
mv12＋Ep1＝mv22＋Ep2＋Q⑤
联立①②③④⑤得Q＝(－)，故C正确．
10．(2021·浙江省杭州高级中学高三模拟)2020年，我国将一次实现火星的“环绕、着陆、巡视”三个目标。假设探测器到达火星附近时，先在高度恰好等于火星半径的轨道上环绕火星做匀速圆周运动，测得运动周期为T，之后通过变轨、减速落向火星。探测器与火星表面碰撞后，以速度v竖直向上反弹，经过时间t再次落回火星表面。不考虑火星的自转及火星表面大气的影响，已知万有引力常量为G，则火星的质量M和火星的星球半径R分别为( )
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】A
【解析】探测器与火星表面碰撞后，以速度v竖直向上反弹，经过时间t再次落回火星表面，则火星表面的重力加速度，万有引力常量为G，火星的质量为M和火星的星球半径为R，则对火星表面的物体有，探测器在高度恰好等于火星半径的轨道上环绕火星做匀速圆周运动周期为T，则，联立解得，，故A项正确，BCD三项错误。
11．(2020·宁夏回族自治区银川一中高三三模)如图所示为宇宙飞船分别靠近星球P和星球Q的过程中，其所受星球的万有引力F与到星球表面距离h的关系图象。已知星球P和星球Q的半径都为R，下列说法正确的是( )
A．星球P和星球Q的质量之比为1：2
B．星球P表面和星球Q表面的重力加速度之比为1：2
C．星球P和星球Q的第一宇宙速度之比为2：1
D．星球P和星球Q的近地卫星周期之比为1：
【答案】D
【解析】A．当h等于0时，即在星球表面时，根据万有引力公式有，，，A错误；B．在h等于零时，宇宙飞船在两个星球的表面，根据万有引力公式可得，，所以，B错误；C．根据万有引力公式可得，，由于R相同，所以第一宇宙速度为1：1，C错误；D．根据万有引力公式可得，，所以星球P和星球Q的近地卫星周期之比为1：，D正确。故选D。
12．(2021·哈尔滨市第一中学校高一期末)如图所示，P、Q两颗卫星绕地球做匀速圆周运动的周期分别为T0和2T0，某时刻P、Q刚好位于地球同侧同一直线上，经△t又出现在地球同侧同一直线上，则下列说法正确的是( )
A．P、Q两颗卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径之比为
B．P、Q两颗卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径之比为
C．△t可能为
D．△t可能为4T0
【答案】AD
【解析】AB．根据开普勒第三定律，可得P、Q两颗卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径之比为，故A正确，B错误；CD．两卫星从图示位置到相距最近，满足条件是P比Q多转n圈，则有，可得，当n=1时，，当n=2时，，故C错误，D正确。故选AD。
13．(2021.河南省高三模拟)假设太阳的质量为M，到太阳中心的距离为r的海王星质量为m，规定物体距离太阳无穷远处的太阳引力势能为零，则理论证明海王星的太阳力势能公式为.已知海王星绕太阳做椭圆运动，远日点和近日点的距离分别为r1和r2，另外已知地球绕太阳做圆周运动，其轨道半径为R，万有引力常量为G，地球公转周期为T。结合已知数据和万有引力规律，则可以推算下列哪些物理量( )
A．海王星质量 B．太阳质量
C．地球质量 D．海王星远日点速度
【答案】BD
【解析】设海王星远日点和近日点速度分别为v1和v2，根据开普勒第二定律有v1r1=v2r2，
根据机械能守恒定律有，设地球质量为m0，已知地球公转周期为T，万有引力常量为G，太阳的引力提供向心力，有，由三式可推导太阳质量、海王星远日点速度，不能推导海王星质量、地球质量，故选项BD正确，AC错误。故选BD。
14．(2021·山西省太原五中高三二模)某同学认为只要测出地球赤道位置处的重力加速度g，就可以利用一些常见的数据计算出地球的半径和质量。已知常见数据为万有引力常量G，地球的自转周期T，地球两极处的重力加速度g0。若视地球为质量分布均匀的球体，赤道处的重力加速度g已经测出，则下列说法中正确的是( )
A．地球的半径为
B．地球的半径为
C．地球的质量为
D．地球的质量为
【答案】BD
【解析】在两极地区，物体受到地球的万有引力，则有，在赤道处，则有，联立可得地球的半径为，将代入可得地球的质量为，故A、C错误，B、D正确；故选BD。
15．(2020·湖南永州市第二次模拟)航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B为轨道Ⅱ上的一点，如图所示。关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有( )
A．在轨道Ⅱ上经过A的速度小于经过B点的速度
B．在轨道Ⅱ上经过A的动能小于在轨道Ⅰ上经过A的动能
C．在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期
D．在轨道Ⅱ上经过A的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A的加速度
【答案】 ABC
【解析】 航天飞机在轨道Ⅱ上从远地点A向近地点B运动的过程中万有引力做正功，所以航天飞机经过A点的速度小于航天飞机经过B点的速度，A正确；航天飞机在A点减速后才能做向心运动，从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，所以在轨道Ⅱ上经过A点的动能小于在轨道Ⅰ上经过A点的动能，B正确；根据开普勒第三定律＝k，因为轨道Ⅱ的半长轴小于轨道Ⅰ的半径，所以航天飞机在轨道Ⅱ上的运动周期小于在轨道Ⅰ上的运动周期，C正确；根据牛顿第二定律F＝ma，因航天飞机在轨道Ⅱ和轨道Ⅰ上A点的万有引力相等，所以在轨道Ⅱ上经过A点的加速度等于在轨道Ⅰ上经过A点的加速度，D错误。
16．(2020·四川遂宁诊断)如图所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动．现测得两颗星之间的距离为L，质量之比为m1∶m2＝3∶2，下列说法中正确的是( )
A．m1、m2做圆周运动的线速度之比为2∶3
B．m1、m2做圆周运动的角速度之比为3∶2
C．m1做圆周运动的半径为L
D．m2做圆周运动的半径为L
【答案】 AC
【解析】设双星m1、m2距转动中心O的距离分别为r1、r2，双星绕O点转动的角速度均为ω，据万有引力定律和牛顿第二定律得
G＝m1r1ω2＝m2r2ω2，又r1＋r2＝L，m1∶m2＝3∶2
所以可解得r1＝L，r2＝L
m1、m2运动的线速度分别为v1＝r1ω，v2＝r2ω，
故v1∶v2＝r1∶r2＝2∶3.
综上所述，选项A、C正确．
17.(2020·山西省太原市三模)据NASA报道，“卡西尼”号于2017年4月26日首次到达土星和土星内环(碎冰块、岩石块、尘埃等组成)之间，并在近圆轨道做圆周运动，如图所示．在极其稀薄的大气作用下，开启土星探测之旅的最后阶段——“大结局”阶段．这一阶段持续到九月中旬，直至坠向土星的怀抱．若“卡西尼”只受土星引力和稀薄气体阻力的作用，则( )
A．4月26日，“卡西尼”在近圆轨道上绕土星的角速度小于内环的角速度
B．4月28日，“卡西尼”在近圆轨道上绕土星的速率大于内环的速率
C．5月到6月间，“卡西尼”的动能越来越大
D．6月到8月间，“卡西尼”的动能、以及它与土星的引力势能之和保持不变
【答案】 BC
【解析】 根据万有引力提供向心力：＝mω2r，ω＝，“卡西尼”在近圆轨道上绕土星的角速度大于内环的角速度，A错误；根据万有引力提供向心力：＝m，v＝ ，“卡西尼”在近圆轨道上绕土星的速率大于内环的速率，B正确；根据万有引力提供向心力：＝m，v＝ ，“卡西尼”的轨道半径越来越小，动能越来越大，C正确；“卡西尼”的轨道半径越来越小，动能越来越大，由于稀薄气体阻力的作用，动能与土星的引力势能之和减小，D错误．
专题04：万有引力及天体运动分析
考点01 万有引力定律的应用 1
考点02 天体的运行与变轨 2
考点03 天体运动中的多星模型 6
考点01 万有引力定律的应用
1．开普勒第三定律
(1)＝k，其中k与中心天体有关，r是椭圆轨道的半长轴。
(2)对同一中心天体的所有行星，该公式都成立。
2．估算中心天体的质量和密度的两条思路
(1)利用中心天体的半径和表面的重力加速度g计算。由G＝mg求出M＝，进而求得ρ＝＝＝。
(2)利用环绕天体的轨道半径r和周期T计算。由G＝mr，可得出M＝。若环绕天体绕中心天体表面做匀速圆周运动，轨道半径r＝R，则ρ＝＝。
【典例1】2021年7月31日上午，北斗三号全球卫星导航系统正式开通．人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道，在发射地球同步卫星的过程中，卫星从圆轨道Ⅰ的A点先变轨到椭圆轨道Ⅱ，然后在B点变轨进入地球同步轨道Ⅲ，则( )
A. 卫星在轨道Ⅱ上过A点的速率比卫星在轨道Ⅱ上过B点的速率小
B. 若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行的周期分别为T1、T2、T3，则T1
D. 该卫星在同步轨道Ⅲ上的运行速度大于7.9 km/s
【答案】B
【解析】A.由开普勒第二定律可知，卫星在近地点速度大，远地点速度小，所以卫星在轨道Ⅱ上过A点的速率比卫星在轨道Ⅱ上过B点的速率大，故A错误；B.由开普勒第三定律R3T2=k，由于R1
【变式1-1】1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星，该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动。如图2所示，设卫星在近地点、远地点的速度分别为v1、v2，近地点到地心的距离为r，地球质量为M，引力常量为G。则( )
图2
A.v1＞v2，v1＝ B.v1＞v2，v1＞
C.v1＜v2，v1＝ D.v1＜v2，v1＞
【答案 B】
【解析】
卫星绕地球运动，由开普勒第二定律知，近地点的速度大于远地点的速度，即v1＞v2。
若卫星以近地点时的半径做圆周运动，则有＝m，得运行速度v近＝，
由于卫星在近地点做离心运动，则v1＞v近，即v1＞，选项B正确。
考点02 天体的运行与变轨
1.天体运行参数
(1)万有引力提供向心力，即G＝ma＝m＝mω2·r＝m·r。
(2)天体对其表面物体的万有引力近似等于重力，即＝mg或GM＝gR2(R、g分别是天体的半径、表面重力加速度)，公式GM＝gR2应用广泛，被称为“黄金代换式”。
2.地面赤道上物体与地球卫星的比较
(1)地面赤道上的物体随地球一起转动，具有相同的角速度，所受万有引力并非全部提供向心力。
(2)空中绕地球自转的卫星万有引力全部充当向心力，周期和半径有关。
(3)比较地面赤道上物体和空中卫星的运行参数，可借助同步卫星的“桥梁”作用。
3.卫星变轨问题
(1)卫星变轨的运动模型是向心运动和离心运动。当由于某种原因卫星速度v突然增大时，有G
(2)在不同轨道的同一点，加速度相同、线速度不同、机械能不同。
【典例2】科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为（太阳到地球的距离为）的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】可以近似把S2看成匀速圆周运动，由图可知，S2绕黑洞的周期T=16年，地球的公转周期T0=1年，S2绕黑洞做圆周运动的半径r与地球绕太阳做圆周运动的半径R关系是
地球绕太阳的向心力由太阳对地球的引力提供，由向心力公式可知
解得太阳的质量为
同理S2绕黑洞的向心力由黑洞对它的万有引力提供，由向心力公式可知
解得黑洞的质量为
综上可得
故选B。
【变式2-1】2021年2月，执行我国火星探测任务的“天问一号”探测器在成功实施三次近火制动后，进入运行周期约为1.8×105s的椭圆形停泊轨道，轨道与火星表面的最近距离约为2.8×105m。已知火星半径约为3.4×106m，火星表面处自由落体的加速度大小约为3.7m/s2，则“天问一号”的停泊轨道与火星表面的最远距离约为（ ）
A. 6×105m B. 6×106m C. 6×107m D. 6×108m
【答案】C
【解析】忽略火星自转则①
可知
设与为1.8×105s的椭圆形停泊轨道周期相同的圆形轨道半径为，由万引力提供向心力可知②
设近火点到火星中心为③
设远火点到火星中心为④
由开普勒第三定律可知⑤
由以上分析可得
故选C。
【变式2-2】2021年2月，我国500 m口径射电望远镜（天眼）发现毫秒脉冲星“J0318+0253”，其自转周期T=5.19 ms，假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】试题分析;在天体中万有引力提供向心力，即 ，
天体的密度公式，
结合这两个公式求解。设脉冲星值量为M，密度为
根据天体运动规律知：
代入可得： ，故C正确；
【变式2-3】如图所示，一颗人造卫星原来在椭圆轨道1绕地球E运行，在P变轨后进入轨道2做匀速圆周运动。下列说法正确的是（ ）
A.不论在轨道1还是在轨道2运行，卫星在P点的速度都相同
B.不论在轨道1还是在轨道2运行，卫星在P点的加速度都相同
C.卫星在轨道1的任何位置都具有相同加速度
D.卫星在轨道2的任何位置都具有相同动量
【答案】：B
【解析】从轨道1变轨道2，需要加速逃逸，故A 错误；
根据公式；可得，故只要半径相同，加速度则相同，由于卫星在轨道1做椭圆运动，运动半径在变化，所以过程的加速度在边，B正确C错误；
卫星在轨道2做匀速圆周运动，过程中的速度方向时刻在边，所以动量方向不同，D错误
【变式2-4】如图所示，设地球半径为R，假设某地球卫星在距地球表面高度为h的圆形轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，运行周期为T，到达轨道的A点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近地点B时，再次点火进入近地轨道Ⅲ绕地做匀速圆周运动，引力常量为G，不考虑其他星球的影响，则下列说法正确的是( )
A．地球的质量可表示为
B．该卫星在轨道Ⅲ上B点的速率大于在轨道Ⅱ上A点的速率
C．卫星在圆轨道Ⅰ和圆轨道Ⅲ上做圆周运动时，轨道Ⅰ上动能小，引力势能大，机械能小
D．卫星从远地点A向近地点B运动的过程中，加速度变小
【答案】B
【解析】卫星在轨道Ⅰ上的运动过程中，万有引力充当向心力，故有G＝m(R＋h)，解得M＝，A错误；
卫星在轨道Ⅰ上过A点做匀速圆周运动，即G＝m，卫星在轨道Ⅱ上过A点做近心运动，即G>m，所以卫星在轨道Ⅰ上A点速率大于在轨道Ⅱ上A点的速率，在轨道Ⅲ上B点的速率大于在轨道Ⅰ上A点的速率，B正确；
从A运动到B的过程，地球引力对卫星做负功，引力势能减小，因卫星在轨道Ⅲ上的速度大于轨道Ⅰ上的速度，故此过程中卫星的动能增加，在Ⅰ轨道上A点点火减速，使卫星由高轨道进入低轨道，在Ⅱ轨道上B点点火，卫星减速并做向心运动，则卫星的机械能减小，C错误；
根据公式G＝ma可得a＝，所以卫星距离地球越远，其向心加速度越小，故卫星从远地点到近地点运动过程中，加速度变大，D错误。
考点03 天体运动中的多星模型
1．宇宙双星模型特点
(1)各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即＝m1ωr1，＝m2ωr2。
(2)两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。
(3)两颗星的运行半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L。
2．宇宙多星模型特点
(1)天体运动中，三星、四星等多星模型是指相互作用且围绕某一点做圆周运动的星体。
(2)星体做圆周运动所需向心力由其他星体对它的万有引力的合力提供(如图所示)，在多星系统中各星体运行的角速度相等。
【典例3】(多选)在宇宙中，当一颗恒星靠近黑洞时，黑洞和恒星可以相互绕行，从而组成双星系统。在相互绕行的过程中，质量较大的恒星上的物质会逐渐被吸入到质量较小的黑洞中，从而被吞噬掉，黑洞吞噬恒星的过程也被称之为“潮汐瓦解事件”。天鹅座X1就是这样一个由黑洞和恒星组成的双星系统，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，如图所示。在刚开始吞噬的较短时间内，恒星和黑洞的距离不变，则在这段时间内，下列说法正确的是( )
A．它们间的万有引力大小变大
B．它们间的万有引力大小不变
C．恒星做圆周运动的线速度变大
D．恒星做圆周运动的角速度变大
【答案】AC
【解析】设质量较大的恒星为M1，质量较小的黑洞为M2，则两者之间的万有引力为F＝G，由数学知识可知，当M1＝M2时，M1·M2有最大值，根据题意可知质量较小的黑洞M2吞噬质量较大的恒星M1，因此万有引力变大，故A正确，B错误；对于两天体，万有引力提供向心力，即G＝M1ω2R1＝M1R1，G＝M2ω2R2＝M2R2，解得两天体质量表达式为M1＝R2＝R2，M2＝R1＝R1，两天体总质量表达式为M1＋M2＝＝，两天体的总质量不变，两天体之间的距离L不变，因此天体的周期T和角速度ω也不变，质量较小的黑洞M2的质量增大，因此恒星的圆周运动半径增大，根据v＝可知，恒星的线速度增大。故C正确，D错误。
【变式3-1】(多选)三颗质量均为M的星球(可视为质点)位于边长为L的等边三角形的三个顶点上。如图所示，如果它们中的每一颗都在相互的引力作用下沿等边三角形的外接圆轨道运行，引力常量为G，下列说法正确的是( )
A. 其中一颗星球受到另外两颗星球的万有引力的合力大小为3GM22L2
B. 其中一颗星球受到另外两颗星球的万有引力的合力指向圆心O
C. 它们运行的轨道半径为32L
D. 它们运行的速度大小为GML
【答案】BD
【解析】根据万有引力定律，任意两颗星球之间的万有引力大小为F1=GM2L2，其中一颗星球受到另外两颗星球的万有引力的合力为F=2F1cos 30°=3GM2L2，方向指向圆心O，选项A错误，B正确；
由rcos 30°=L2，解得它们运行的轨道半径r=33L，选项C错误；
由3GM2L2=Mv2r可得v= GML，选项D正确。
【易错01】对开普勒三定律理解存在错误
定律
内容
图示
开普勒第一定律
(轨道定律)
所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上
开普勒第二定律
(面积定律)
对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等
开普勒第三定律
(周期定律)
所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，即＝k
【易错02】对天体质量和密度的计算公式运用存在错误
天体质量和密度的计算：
(1)“自力更生”法(g－R)：在忽略天体自转的条件下万有引力等于天体表面的重力加速度，即：
由G＝mg得天体质量M＝。
其中：天体表面的重力加速度g和天体半径R。
(2)“借助外援”法(T－r)：观测出环绕天体做匀速圆周运动的周期T和半径r，即：
由G＝mr得中心天体的质量M＝。
⑶天体的密度ρ＝＝＝。
【易错03】对万有引律计算存在错误
1．内容
自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比．
2．表达式
F＝G，G为引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2.
3．适用条件
(1)公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．
(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离．
4．天体运动问题分析
(1)将天体或卫星的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供．
(2)基本公式：
G＝ma＝
【易错04】宇宙速度和卫星理解存在错误
宇宙速度
1．第一宇宙速度
(1)第一宇宙速度又叫环绕速度，其数值为7.9 km/s.
(2)第一宇宙速度是人造卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度．
(3)第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度，也是人造卫星的最大环绕速度．
(4)第一宇宙速度的计算方法．
由G＝m得v＝ ；
由mg＝m得v＝.
2．第二宇宙速度
使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，其数值为11.2 km/s.
3．第三宇宙速度
使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，其数值为16.7 km/s.
1.（2021·河北省实验中学高三下学期调研）年月日，我国首个火星探测器“天问一号”传回了火星照片，如图所示。多年以后，小明作为一位火星移民，于太阳光直射赤道的某天晚上，在火星赤道上某处仰望天空。某时，他在西边的地平线附近恰能看到一颗火星人造卫星出现，之后极快地变暗而看不到了，他记下此时正是火星上日落后约小时分。后来小明得知这是我国火星基地发射的一颗绕火星自西向东运动的周期为的探测卫星，查阅资料得知火星自西向东自转且周期约为小时分，已知万有引力常量为。根据以上信息，分析可得火星密度的表达式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
运动轨迹如图所示
火星自转周期小时分，日落后小时分，即转过，由图知
根据万有引力提供向心力
密度为
解得
故选C。
2.（2021·广东省普宁二中高三下学期5月适应性考试）“天问一号”已于2020年7月23日在中国文昌航天发射场由长征五号遥四运载火箭发射升空，成功进入预定轨道。“天问一号”将完成“环绕”“着陆”“巡视”火星这三大任务。已知日地间距约为1.5亿公里，火星直径约为地球的一半，质量约为地球的11%，将火星和地球绕太阳的运动均视为圆周运动，两者每隔约2.2年相遇（相距最近）一次，不考虑火星和地球间的万有引力，地球公转周期视为1年。下列说法正确的是（ ）
A. “天问一号”的发射速度必须大于地球第一宇宙速度且小于第二宇宙速度
B. 火星表面的“重力加速度”大于地球表面的重力加速度
C. 由上述材料和天文学常识可以估算出火星公转的周期
D. 由上述材料和天文学常识可以估算出火星的密度
【答案】C
【解析】
A．“天问一号”脱离地球的吸引，则其发射速度必须大于地球第二宇宙速度，所以A错误；
B．根据
解得
由题意可知
则火星表面的“重力加速度”小于地球表面的重力加速度，所以B错误；
C．设火星的公转周期为，两者每隔约t=2.2年相遇（相距最近）一次，则有
解得
所以C正确；
D．必须知道火星与太阳间的距离，及火星的半径，或者知道地球与太阳间的距离，及地球的半径，才能估算出火星的密度，所以D错误；
故选C。
3.（2021·北京市昌平区高三下学期5月二模）2021年2月10日，天问一号火星探测器被火星捕获，成功实现火星环绕，经过系列变轨后从调相轨道进入停泊轨道，为着陆火星做准备，如图所示。下列说法正确的是（ ）
A. 天问一号从调相轨道进入停泊轨道时需在P点处加速
B. 天问一号在停泊轨道上P点的加速度比在N点小
C. 天问一号在停泊轨道上运动过程中，经过P点时的线速度比N点小
D. 天问一号在停泊轨道上运行周期比在调相轨道上小
【答案】D
【解析】
A．从调相轨道进入停泊轨道，需要做近心运动，因此在P点处应减速，A错误；
B．根据牛顿第二定律
可知P点的加速度比在N点的大，B错误；
C．在停泊轨道上运动过程中，P点是离火星最近的点，N点是离火星最远的点，所以经过P点时的线速度比N点大，C错误；
D．根据开普勒第三定律知天问一号在停泊轨道上运行周期比在调相轨道上小，D正确。
故选D。
4.（2021·北京市西城区高三下学期5月测试）我国的月球探测计划“嫦娥工程”分为“绕、落、回”三步。“嫦娥五号”的任务是“回”。2020年11月24日，“嫦娥五号”成功发射，它分为四部分：着陆器、上升器、轨道器和返回器。12月3日，载着珍贵“月壤”的嫦娥5号“上升器”发动机点火，以“着陆器”作为发射台，从月面起飞（如图1），回到预定环月轨道，与绕月飞行的“轨道器与返回器组合体”成功交会对接（如图2），将珍贵的“月壤”转移到“返回器”中。12月17日，“返回器”进入月地转移轨道重返地球，以超高速进入大气层。由于速度太快会使得“返回器”与空气剧烈摩擦产生高温，高温会对“月壤”产生不利影响，甚至温度过高，返回器有燃烧殆尽的风险。为避免这些风险，采用“半弹道跳跃式返回”俗称“太空打水漂”的方式两次进入大气层，梯次气动减速（如图3）。最终在预定地点平稳着陆。根据以上信息，判断下列说法正确的是（ ）
A. “上升器”从点火上升到回到预定环月轨道的过程中，“月壤”一直处于超重状态
B. “月壤”随“返回器”进入环月轨道后，“返回器”的弹力给“月壤”提供向心力
C. 为了利用地球自转，节省燃料，“嫦娥五号”应采用由东向西发射
D. 为了利用地球自转，降低回收过程中的风险，“返回器”应采用由西向东进入大气层回收
【答案】D
【解析】
A．“上升器”点火加速上升时“月壤”处于超重状态；回到预定环月轨道时，处于失重状态，选项A错误；
B．“月壤”随“返回器”进入环月轨道后，月球对“月壤”的万有引力给“月壤”提供向心力，选项B错误；
C．地球自西向东转，则为了利用地球自转，节省燃料，“嫦娥五号”应采用由西向东发射，选项C错误；
D．为了利用地球自转，降低回收过程中的风险，“返回器”应采用由西向东进入大气层回收，选项D正确。
故选D。
1、（2022·湖南卷·T8）如图，火星与地球近似在同一平面内，绕太阳沿同一方向做匀速圆周运动，火星的轨道半径大约是地球的1.5倍。地球上的观测者在大多数的时间内观测到火星相对于恒星背景由西向东运动，称为顺行；有时观测到火星由东向西运动，称为逆行。当火星、地球、太阳三者在同一直线上，且太阳和火星位于地球两侧时，称为火星冲日。忽略地球自转，只考虑太阳对行星的引力，下列说法正确的是（ ）
A. 火星的公转周期大约是地球的倍
B. 在冲日处，地球上的观测者观测到火星的运动为顺行
C. 在冲日处，地球上的观测者观测到火星的运动为逆行
D. 在冲日处，火星相对于地球的速度最小
【答案】CD
【解析】
A．由题意根据开普勒第三定律可知
火星轨道半径大约是地球轨道半径的1.5倍，则可得
故A错误；
BC．根据
可得
由于火星轨道半径大于地球轨道半径，故火星运行线速度小于地球运行线速度，所以在冲日处火星相对于地球由东向西运动，为逆行，故B错误，C正确；
D．由于火星和地球运动的线速度大小不变，在冲日处火星和地球速度方向相同，故相对速度最小，故D正确。
故选CD。
2、（2022·广东卷·T2）“祝融号”火星车需要“休眠”以度过火星寒冷的冬季。假设火星和地球的冬季是各自公转周期的四分之一，且火星的冬季时长约为地球的1.88倍。火星和地球绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动。下列关于火星、地球公转的说法正确的是（ ）
A. 火星公转的线速度比地球的大 B. 火星公转的角速度比地球的大
C. 火星公转的半径比地球的小 D. 火星公转的加速度比地球的小
【答案】D
【解析】
由题意可知，火星的公转周期大于地球的公转周期
C．根据可得
可知火星的公转半径大于地球的公转半径，故C错误；
A．根据可得
结合C选项，可知火星的公转线速度小于地球的公转线速度，故A错误；
B．根据可知火星公转的角速度小于地球公转的角速度，故B错误；
D．根据可得
可知火星公转的加速度小于地球公转的加速度，故D正确。
故选D。
3、（2022·山东卷·T6）“羲和号”是我国首颗太阳探测科学技术试验卫星。如图所示，该卫星围绕地球的运动视为匀速圆周运动，轨道平面与赤道平面接近垂直。卫星每天在相同时刻，沿相同方向经过地球表面A点正上方，恰好绕地球运行n圈。已知地球半径为地轴R，自转周期为T，地球表面重力加速度为g，则“羲和号”卫星轨道距地面高度为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
地球表面的重力加速度为g，根据牛顿第二定律得
解得
根据题意可知，卫星的运行周期为
根据牛顿第二定律，万有引力提供卫星运动的向心力，则有
联立解得
故选C。
4、（2022·全国乙卷·T14）2022年3月，中国航天员翟志刚、王亚平、叶光富在离地球表面约的“天宫二号”空间站上通过天地连线，为同学们上了一堂精彩的科学课。通过直播画面可以看到，在近地圆轨道上飞行的“天宫二号”中，航天员可以自由地漂浮，这表明他们（ ）
A. 所受地球引力的大小近似为零
B. 所受地球引力与飞船对其作用力两者的合力近似为零
C. 所受地球引力的大小与其随飞船运动所需向心力的大小近似相等
D. 在地球表面上所受引力的大小小于其随飞船运动所需向心力的大小
【答案】C
【解析】
ABC．航天员在空间站中所受万有引力完全提供做圆周运动的向心力，飞船对其作用力等于零，故C正确，AB错误；
D．根据万有引力公式
可知在地球表面上所受引力的大小大于在飞船所受的万有引力大小，因此地球表面引力大于其随飞船运动所需向心力的大小，故D错误。
故选C。
5、（2022·浙江6月卷·T6）神州十三号飞船采用“快速返回技术”，在近地轨道上，返回舱脱离天和核心舱，在圆轨道环绕并择机返回地面。则（ ）
A. 天和核心舱所处的圆轨道距地面高度越高，环绕速度越大
B. 返回舱中的宇航员处于失重状态，不受地球的引力
C. 质量不同的返回舱与天和核心舱可以在同一轨道运行
D. 返回舱穿越大气层返回地面过程中，机械能守恒
【答案】C
【解析】
AC．根据
可得
可知圆轨道距地面高度越高，环绕速度越小；而只要速度相同了就可以在同一轨道运行，与返回舱和天和核心舱的质量无关，故A错误，C正确；
B．返回舱中的宇航员处于失重状态，仍然受到地球引力作用，地球的引力提供宇航员绕地球运动的向心力，故B错误；
D．返回舱穿越大气层返回地面过程中，有阻力做功产生热量，机械能减小，故D错误。
故选C。
6、（2022·浙江1月卷·T8）“天问一号”从地球发射后，在如图甲所示的P点沿地火转移轨道到Q点，再依次进入如图乙所示的调相轨道和停泊轨道，则天问一号（ ）
A. 发射速度介于7.9km/s与11.2km/s之间
B. 从P点转移到Q点的时间小于6个月
C. 在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小
D. 在地火转移轨道运动时的速度均大于地球绕太阳的速度
【答案】C
【解析】
A．因发射的卫星要能变轨到绕太阳转动，则发射速度要大于第二宇宙速度，即发射速度介于11.2km/s与16.7km/s之间，故A错误；
B．因P点转移到Q点的转移轨道的半长轴大于地球公转轨道半径，则其周期大于地球公转周期（1年共12个月），则从P点转移到Q点的时间为轨道周期的一半时间应大于6个月，故B错误；
C．因在环绕火星的停泊轨道的半长轴小于调相轨道的半长轴，则由开普勒第三定律可知在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小，故C正确；
D．卫星从P点变轨时，要加速增大速度，此后做离心运动速度减小，则在地火转移轨道运动时的速度P点速度大于地球绕太阳的速度，故D错误；
故选C。
7.(2022·湖北·T2) 2022年5月，我国成功完成了天舟四号货运飞船与空间站的对接，形成的组合体在地球引力作用下绕地球做圆周运动，周期约90分钟。下列说法正确的是（ ）
A. 组合体中的货物处于超重状态
B. 组合体的速度大小略大于第一宇宙速度
C. 组合体的角速度大小比地球同步卫星的大
D. 组合体的加速度大小比地球同步卫星的小
【答案】C
【解析】
【详解】A．组合体在天上只受万有引力的作用，则组合体中的货物处于失重状态，A错误；
B．由题知组合体在地球引力作用下绕地球做圆周运动，而第一宇宙速度为最大的环绕速度，则组合体的速度大小不可能大于第一宇宙速度，B错误；
C．已知同步卫星的周期为24h，则根据角速度和周期的关系有
由于T同 > T组合体，则组合体的角速度大小比地球同步卫星的大，C正确；
D．由题知组合体在地球引力作用下绕地球做圆周运动，有
整理有
由于T同 > T组合体，则r同 > r组合体，且同步卫星和组合体在天上有
则有
a同 < a组合体
D错误。
故选C。
1．(2021·哈尔滨一模)下列关于天体运动的相关说法中，正确的是( )
A．地心说的代表人物是哥白尼，他认为地球是宇宙的中心，其他星球都在绕地球运动
B．牛顿由于测出了引力常量而成为第一个计算出地球质量的人
C．所有行星绕太阳运行的轨道都是椭圆，太阳在椭圆的焦点上
D．地球绕太阳公转时，在近日点附近的运行速度比较慢，在远日点附近的运行速度比较快
【答案】C
【解析】本题考查开普勒定律及物理学史。地心说的代表人物是托勒密，他认为地球是宇宙的中心，其他星球都在绕地球运动，故A错误；卡文迪许由于测出了引力常量而成为第一个计算出地球质量的人，故B错误；根据开普勒第一定律，所有行星绕太阳运行的轨道都是椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上，故C正确；对同一个行星而言，太阳与行星的连线在相同时间内扫过的面积相等，地球绕太阳公转时，在近日点附近运行的速度比较快，在远日点附近运行的速度比较慢，故D错误。
2、（2021·河南省洛阳三模）火星和地球之间的距离成周期性变化，为人类探测火星每隔一定时间会提供一次最佳窗口期。已知火星和地球的公转轨道几乎在同一平面内，公转方向相同，火星的轨道半径约是地球轨道半径的1.5倍，则最佳窗口期大约每隔多长时间会出现一次（ ）
A. 18个月 B. 24个月 C. 26个月 D. 36个月
【答案】C
【解析】
设经过t时间地球从相距最近到再次相距最近，地球比火星多转一圈
根据开普勒第三定律
解得
故选C。
3.(2021·安徽合肥调研)在国产科幻片《流浪地球》中，人类带着地球流浪至木星附近时，上演了地球的生死存亡之战。木星是太阳系内体积最大、自转最快的行星，早期伽利略用自制的望远镜发现了木星的四颗卫星，其中“木卫三”离木星表面的高度约为h，它绕木星做匀速圆周运动的周期约为T。已知木星的半径约为R，引力常量为G，则由上述数据可以估算出( )
A．木星的质量 B．“木卫三”的质量
C．“木卫三”的密度 D．“木卫三”的向心力
【答案】A
【解析】“木卫三”绕木星做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力有G＝m·(R＋h)，解得M＝，故可以估算出木星的质量M，而“木卫三”的质量m无法确定，故无法确定其密度和向心力，所以A项正确，B、C、D项错误。
4、（2021·安徽省芜湖质检）截至2020年11月，被誉为“中国天眼”的500米口径球面射电望远镜（FAST）已取得一系列重大科学成果，发现脉冲星数量超过240颗。脉冲星就是旋转的中子星，每自转一周，就向外发射一次电磁脉冲信号，因此而得名。若观测到某个中子星发射电磁脉冲信号的周期为，该中子星的半径为，已知万有引力常量为，中子星可视为匀质球体，由以上物理量可以求出（ ）
A. 该中子星的质量
B. 该中子星第一宇宙速度
C. 该中子星赤道表面的重力加速度
D. 该中子星赤道上的物体随中子星转动的向心加速度
【答案】D
【解析】A．电磁脉冲信号的周期即为中子星的自转周期，所以中子星的同步卫星的周期为，根据牛顿第二定律得
因为同步卫星的高度未知，所以中子星的质量无法求解。A错误；
BC．该中子星的近地卫星速度即为第一宇宙速度，有
因为中子星质量未知，所以中子星的重力加速度或第一宇宙速度无法求解。BC错误；
D．该中子星赤道上的物体随中子星转动的向心加速度，D正确。
故选D。
5、（2021·湖南省衡阳二模）2020年11月24日，长征五号运载火箭搭载嫦娥五号探测器成功发射升空并将其送入预定轨道，11月28日，嫦娥五号进入环月轨道飞行，12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月壤着陆地球。假设嫦娥五号环绕月球飞行时，在距月球表面高度为h处，绕月球做匀速圆周运动（不计周围其他天体的影响），测出飞行周期T，已如万有引力常量G和月球半径R。则下列说法错误的是（ ）
A. 嫦娥五号绕月球飞行的线速度为 B. 月球的质量为
C. 月球的第一宇宙速为 D. 月球表面的重力加速度为
【答案】B
【解析】
A．嫦娥五号绕月球飞行的轨道半径为（R+h），所以飞行的线速度为：
故A正确；
B．嫦娥五号绕月球做匀速圆周运动，由牛顿第二定律：
解得月球的质量为：
故B错误；
C．月球第一宇宙速度为绕月球表面运行的卫星的速度，由牛顿第二定律得：
解得月球的第一宇宙速度为
故C正确；
D．在月球表面，重力等于万有引力：
月球表面的重力加速度为：
g月=
故D正确。
本题选择错误，故选B。
1.我国高分系列卫星的高分辨对地观察能力不断提高。2018年5月9日发射的“高分五号”轨道高度约为705 km，之前已运行的“高分四号”轨道高度约为36 000 km，它们都绕地球做圆周运动。与“高分四号”相比，下列物理量中“高分五号”较小的是( )
A.周期 B.角速度
C.线速度 D.向心加速度
【答案】 A
【解析】 设卫星的质量为m，轨道半径为r，地球的质量为M，卫星绕地球做匀速圆周运动，由地球的万有引力提供向心力，则得G＝mr＝mω2r＝m＝ma，得T＝2π，ω＝，v＝，a＝可知，卫星的轨道半径越大，周期越大，而角速度、线速度和向心加速度越小，“高分五号”的轨道半径比“高分四号”的小，所以“高分五号”较小的是周期，较大的是角速度、线速度和向心加速度，故选A项。
2.经典的“黑洞”理论认为，当恒星收缩到一定程度时，会变成密度非常大的天体，这种天体的逃逸速度非常大，大到光从旁边经过时都不能逃逸，也就是其第二宇宙速度大于等于光速，此时该天体就变成了一个黑洞。已知太阳的质量为M，光速为c，第二宇宙速度是第一宇宙速度的倍，引力常量为G，若太阳演变成一个黑洞，其密度ρ至少达到( )
A. B.
C. D.
【答案】 B
【解析】 根据万有引力提供向心力有＝m，得太阳的第一宇宙速度v1＝(式中R为太阳的半径)，因第二宇宙速度v2是第一宇宙速度v1的倍，可得v2＝v1＝，由题意可知≥c，得R≤，太阳变为黑洞后，其密度ρ＝＝≥，选项B正确。
3.(2021·郑州模拟)我国在酒泉用长征二号丁运载火箭成功将世界首颗量子科学实验卫星“墨子号”发射升空。如图所示为“墨子号”卫星在距离地球表面500 km高的轨道上实现两地通信的示意图。若已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R，则下列说法正确的是( )
A.工作时，两地发射和接收信号的雷达方向一直是固定的
B.卫星绕地球做匀速圆周运动的速度大于7.9 km/s
C.可以估算出“墨子号”卫星所受到的万有引力大小
D.可以估算出地球的平均密度
【答案】 D
【解析】 由于地球自转的周期和“墨子号”的周期不同，转动的线速度不同，所以工作时，两地发射和接收信号的雷达方向不是固定的，故A错误；7.9 km/s是卫星绕地球做圆周运动的最大环绕速度，则卫星绕地球做匀速圆周运动的速度小于7.9 km/s，故B错误；由于“墨子号”卫星的质量未知，则无法计算“墨子号”所受到的万有引力大小，故C错误；根据万有引力等于重力，结合地球表面的重力加速度和半径可以求出地球的质量，结合地球的体积可以求出地球的平均密度，故D正确。
4.(2024·山西太原一模)对于环绕地球做圆周运动的卫星来说，它们绕地球做圆周运动的周期会随着轨道半径的变化而变化，某同学根据测得的不同卫星做圆周运动的半径r与周期T关系作出如图2所示图象，则可求得地球质量为(已知引力常量为G)( )
A. B. C. D.
【答案】 A
【解析】由G＝mr()2，得r3＝，即＝＝，求得地球的质量为M＝，因此A项正确。
5. (2021·安徽“江南十校”综合素质检测)(多选)高分五号卫星在太原卫星发射中心成功发射，它填补了国产卫星无法有效探测区域大气污染气体的空白。如图是高分五号卫星发射的模拟示意图，先将高分五号卫星送入圆形近地轨道Ⅰ运动，在轨道A处点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，在轨道B处再次点火进入圆形预定轨道Ⅲ绕地球做圆周运动，不考虑卫星的质量变化。下列叙述正确的是( )
A．高分五号卫星在轨道Ⅰ上运动的动能小于在轨道Ⅲ上的动能
B．高分五号卫星在三条轨道上的运行周期，在轨道Ⅰ上最小、在轨道Ⅲ上最大
C．高分五号卫星在轨道Ⅰ上的加速度大于在轨道Ⅲ上的加速度
D．高分五号卫星在A处变轨要加速，在B处变轨要减速
【答案】BC
【解析】卫星围绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，G＝m，动能Ek＝mv2，联立解得Ek＝，由于高分五号卫星在轨道Ⅰ上的运行半径小于在轨道Ⅲ上的运行半径，所以高分五号卫星在轨道Ⅰ上运动的动能大于在轨道Ⅲ上运动的动能，选项A错误；由于轨道Ⅲ的半径大于轨道Ⅱ的半长轴，轨道Ⅱ的半长轴大于轨道Ⅰ的半径，根据开普勒第三定律可知，高分五号卫星在三条轨道上的运行周期，在轨道Ⅰ上最小，在轨道Ⅲ上最大，选项B正确；由G＝ma，可知高分五号卫星在轨道Ⅰ上的加速度大于在轨道Ⅲ上的加速度，选项C正确；高分五号卫星在A处变轨要加速，在B处变轨也要加速，选项D错误。
6.(多选)(2021·贵州部分重点中学联考)“开普勒”空间望远镜发现了与地球相似的太阳系外行星——开普勒－452b。开普勒—452b围绕其恒星开普勒－452公转一周的时间是地球绕太阳公转一周的1 055倍，开普勒－452b到开普勒－452的距离与地球到太阳的距离接近，则由以上数据可以得出( )
A．开普勒－452与太阳的质量之比
B．开普勒－452与太阳的密度之比
C．开普勒－452b与地球绕各自恒星公转的线速度之比
D．开普勒－452b与地球受到各自恒星对它们的万有引力之比
【答案】AC
【解析】本题根据万有引力定律考查与星体运行相关物理量的对比问题。行星绕恒星做圆周运动，设恒星质量为M，行星质量为m，轨道半径为r，根据万有引力提供向心力得G＝，解得中心天体的质量M＝。由题意可知地球与开普勒－452b的公转周期之比以及轨道半径之比，因此可求得开普勒－452与太阳的质量之比，故A正确；由于开普勒－452与太阳的半径未知，因此无法求得它们的密度之比，故B错误；根据线速度公式v＝，结合题中已知条件，可求得开普勒－452b与地球绕各自恒星公转的线速度之比，故C正确；由于不知道开普勒－452b和地球质量的关系，所以无法求得开普勒－452b与地球受到各自恒星对它们的万有引力之比，故D错误。
7. (多选)(2021·福建三明市期末质量检测)(多选)中国科学院云南天文台研究人员在对密近双星半人马座V752进行观测和分析研究时，发现了一种特殊双星轨道变化的新模式，这种周期的突变有可能是受到了来自其伴星双星的动力学扰动，从而引起了两子星间的物质交流，周期开始持续增加。若小质量子星的物质被吸引而转移至大质量子星上(两子星质量和恒定)，导致周期增大为原来的k倍，则下列说法正确的是( )
A．两子星间的万有引力增大 B．两子星的间距增大为原来的2倍
C．两子星间的万有引力减小 D．两子星的间距增大为原来的倍
【答案】CD
【解析】m1
甲 乙
A．该星球的第一宇宙速度v1＝3.0×104 m/s B．该星球的质量M＝8.1×1026 kg
C．该星球的自转周期T＝1.3×104 s D．该星球的密度ρ＝896 kg/m3
【答案】ABD
【解析】物块上滑过程中，根据牛顿第二定律，在沿斜面方向上有μmgcos θ＋mgsin θ＝ma1，下滑过程中，在沿斜面方向上有mgsin θ－μmgcos θ＝ma2，又知vt图象的斜率表示加速度，则上滑和下滑过程中物块的加速度大小分别为a1＝ m/s2＝10 m/s2，a2＝ m/s2＝5 m/s2，联立解得g＝15 m/s2，该星球的第一宇宙速度为v1＝＝ m/s＝3.0×104 m/s，故选项A正确；根据黄金代换式GM＝gR2可得该星球的质量为M＝＝ kg＝8.1×1026 kg，故选项B正确；根据所给条件无法计算出该星球的自转周期，故选项C错误；该星球的密度ρ＝＝ kg/m3＝896 kg/m3，故选项D正确。
9.(2021·山西临汾市二轮复习模拟)质量为m的人造地球卫星与地心的距离为r时，引力势能可表示为Ep＝－G，其中G为引力常量，M为地球质量．该卫星原来在半径为R1的轨道上绕地球做匀速圆周运动，由于受到极稀薄空气的摩擦作用，飞行一段时间后其做圆周运动的半径变为R2，此过程中因摩擦而产生的热量为( )
A．GMm(－) B．GMm(－)
C.(－) D.(－)
【答案】 C
【解析】 卫星做匀速圆周运动，由地球的万有引力提供向心力，则：
轨道半径为R1时＝m①
卫星的引力势能为Ep1＝－②
轨道半径为R2时＝m③
卫星的引力势能为Ep2＝－④
设因摩擦而产生的热量为Q，根据能量守恒定律得：
mv12＋Ep1＝mv22＋Ep2＋Q⑤
联立①②③④⑤得Q＝(－)，故C正确．
10．(2021·浙江省杭州高级中学高三模拟)2020年，我国将一次实现火星的“环绕、着陆、巡视”三个目标。假设探测器到达火星附近时，先在高度恰好等于火星半径的轨道上环绕火星做匀速圆周运动，测得运动周期为T，之后通过变轨、减速落向火星。探测器与火星表面碰撞后，以速度v竖直向上反弹，经过时间t再次落回火星表面。不考虑火星的自转及火星表面大气的影响，已知万有引力常量为G，则火星的质量M和火星的星球半径R分别为( )
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】A
【解析】探测器与火星表面碰撞后，以速度v竖直向上反弹，经过时间t再次落回火星表面，则火星表面的重力加速度，万有引力常量为G，火星的质量为M和火星的星球半径为R，则对火星表面的物体有，探测器在高度恰好等于火星半径的轨道上环绕火星做匀速圆周运动周期为T，则，联立解得，，故A项正确，BCD三项错误。
11．(2020·宁夏回族自治区银川一中高三三模)如图所示为宇宙飞船分别靠近星球P和星球Q的过程中，其所受星球的万有引力F与到星球表面距离h的关系图象。已知星球P和星球Q的半径都为R，下列说法正确的是( )
A．星球P和星球Q的质量之比为1：2
B．星球P表面和星球Q表面的重力加速度之比为1：2
C．星球P和星球Q的第一宇宙速度之比为2：1
D．星球P和星球Q的近地卫星周期之比为1：
【答案】D
【解析】A．当h等于0时，即在星球表面时，根据万有引力公式有，，，A错误；B．在h等于零时，宇宙飞船在两个星球的表面，根据万有引力公式可得，，所以，B错误；C．根据万有引力公式可得，，由于R相同，所以第一宇宙速度为1：1，C错误；D．根据万有引力公式可得，，所以星球P和星球Q的近地卫星周期之比为1：，D正确。故选D。
12．(2021·哈尔滨市第一中学校高一期末)如图所示，P、Q两颗卫星绕地球做匀速圆周运动的周期分别为T0和2T0，某时刻P、Q刚好位于地球同侧同一直线上，经△t又出现在地球同侧同一直线上，则下列说法正确的是( )
A．P、Q两颗卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径之比为
B．P、Q两颗卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径之比为
C．△t可能为
D．△t可能为4T0
【答案】AD
【解析】AB．根据开普勒第三定律，可得P、Q两颗卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径之比为，故A正确，B错误；CD．两卫星从图示位置到相距最近，满足条件是P比Q多转n圈，则有，可得，当n=1时，，当n=2时，，故C错误，D正确。故选AD。
13．(2021.河南省高三模拟)假设太阳的质量为M，到太阳中心的距离为r的海王星质量为m，规定物体距离太阳无穷远处的太阳引力势能为零，则理论证明海王星的太阳力势能公式为.已知海王星绕太阳做椭圆运动，远日点和近日点的距离分别为r1和r2，另外已知地球绕太阳做圆周运动，其轨道半径为R，万有引力常量为G，地球公转周期为T。结合已知数据和万有引力规律，则可以推算下列哪些物理量( )
A．海王星质量 B．太阳质量
C．地球质量 D．海王星远日点速度
【答案】BD
【解析】设海王星远日点和近日点速度分别为v1和v2，根据开普勒第二定律有v1r1=v2r2，
根据机械能守恒定律有，设地球质量为m0，已知地球公转周期为T，万有引力常量为G，太阳的引力提供向心力，有，由三式可推导太阳质量、海王星远日点速度，不能推导海王星质量、地球质量，故选项BD正确，AC错误。故选BD。
14．(2021·山西省太原五中高三二模)某同学认为只要测出地球赤道位置处的重力加速度g，就可以利用一些常见的数据计算出地球的半径和质量。已知常见数据为万有引力常量G，地球的自转周期T，地球两极处的重力加速度g0。若视地球为质量分布均匀的球体，赤道处的重力加速度g已经测出，则下列说法中正确的是( )
A．地球的半径为
B．地球的半径为
C．地球的质量为
D．地球的质量为
【答案】BD
【解析】在两极地区，物体受到地球的万有引力，则有，在赤道处，则有，联立可得地球的半径为，将代入可得地球的质量为，故A、C错误，B、D正确；故选BD。
15．(2020·湖南永州市第二次模拟)航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B为轨道Ⅱ上的一点，如图所示。关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有( )
A．在轨道Ⅱ上经过A的速度小于经过B点的速度
B．在轨道Ⅱ上经过A的动能小于在轨道Ⅰ上经过A的动能
C．在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期
D．在轨道Ⅱ上经过A的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A的加速度
【答案】 ABC
【解析】 航天飞机在轨道Ⅱ上从远地点A向近地点B运动的过程中万有引力做正功，所以航天飞机经过A点的速度小于航天飞机经过B点的速度，A正确；航天飞机在A点减速后才能做向心运动，从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，所以在轨道Ⅱ上经过A点的动能小于在轨道Ⅰ上经过A点的动能，B正确；根据开普勒第三定律＝k，因为轨道Ⅱ的半长轴小于轨道Ⅰ的半径，所以航天飞机在轨道Ⅱ上的运动周期小于在轨道Ⅰ上的运动周期，C正确；根据牛顿第二定律F＝ma，因航天飞机在轨道Ⅱ和轨道Ⅰ上A点的万有引力相等，所以在轨道Ⅱ上经过A点的加速度等于在轨道Ⅰ上经过A点的加速度，D错误。
16．(2020·四川遂宁诊断)如图所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动．现测得两颗星之间的距离为L，质量之比为m1∶m2＝3∶2，下列说法中正确的是( )
A．m1、m2做圆周运动的线速度之比为2∶3
B．m1、m2做圆周运动的角速度之比为3∶2
C．m1做圆周运动的半径为L
D．m2做圆周运动的半径为L
【答案】 AC
【解析】设双星m1、m2距转动中心O的距离分别为r1、r2，双星绕O点转动的角速度均为ω，据万有引力定律和牛顿第二定律得
G＝m1r1ω2＝m2r2ω2，又r1＋r2＝L，m1∶m2＝3∶2
所以可解得r1＝L，r2＝L
m1、m2运动的线速度分别为v1＝r1ω，v2＝r2ω，
故v1∶v2＝r1∶r2＝2∶3.
综上所述，选项A、C正确．
17.(2020·山西省太原市三模)据NASA报道，“卡西尼”号于2017年4月26日首次到达土星和土星内环(碎冰块、岩石块、尘埃等组成)之间，并在近圆轨道做圆周运动，如图所示．在极其稀薄的大气作用下，开启土星探测之旅的最后阶段——“大结局”阶段．这一阶段持续到九月中旬，直至坠向土星的怀抱．若“卡西尼”只受土星引力和稀薄气体阻力的作用，则( )
A．4月26日，“卡西尼”在近圆轨道上绕土星的角速度小于内环的角速度
B．4月28日，“卡西尼”在近圆轨道上绕土星的速率大于内环的速率
C．5月到6月间，“卡西尼”的动能越来越大
D．6月到8月间，“卡西尼”的动能、以及它与土星的引力势能之和保持不变
【答案】 BC
【解析】 根据万有引力提供向心力：＝mω2r，ω＝，“卡西尼”在近圆轨道上绕土星的角速度大于内环的角速度，A错误；根据万有引力提供向心力：＝m，v＝ ，“卡西尼”在近圆轨道上绕土星的速率大于内环的速率，B正确；根据万有引力提供向心力：＝m，v＝ ，“卡西尼”的轨道半径越来越小，动能越来越大，C正确；“卡西尼”的轨道半径越来越小，动能越来越大，由于稀薄气体阻力的作用，动能与土星的引力势能之和减小，D错误．
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