2023扬州中学高一下学期3月月考试题数学含答案

   扬州中学高一下学期月考数学试卷 2023.3

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 设、是非零向量，则“、共线”是“”的（     ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

2. 如图，在平行四边形中，，相交于点，点在线段上，且，若，则（    ）

A． B． C． D．

3. 已知单位向量满足，且，则=（　　）

A．   B．    C．    D．

4. 在中，若，则的形状为（    ）

A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形

5. 已知（    ）

A． -2    B．   C． 2      D．

6. 如图所示，在平面四边形中，是等边三角形，，，，则的面积为（    ）                   

A． B． C．14 D．

7. 《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为，且小正方形与大正方形的面积之比为，则（    ）

 A.                       B.    

 C.                       D.

8.   已知函数，，若当时，总有，则正实数的最大值为（     ）

A．   B．    C．    D．

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 对于任意两个向量，下列命题正确的是（    ）

A．          B．

C．          D．若，则

10. 在中，内角的对边分别为，下列说法中正确的是（    ）

A．“为锐角三角形,则

B．若，则为等腰三角形

C．命题“若，则”是真命题

D．若，，，则符合条件的有两个

11. 是的重心，，是所在平面内的一点，则下列结论正确的是（    ）

A．                             B．在方向上的投影等于2

C．                                   D．的最小值为

12. 已知函数（）在区间上有且仅有条对称轴，给出下列四个结论，正确的是（      ）

A．在区间上有且仅有个不同的零点          B．的最小正周期可能是

C．的取值范围是                          D．在区间上单调递增

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13.已知向量，，则向量在向量的方向上的投影向量的坐标为__．

14.求值：________．

15. 在中，，M为的外心，若，，则________．

16.在锐角中，若则的最小值为________．

四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. （本小题10分）

设．

⑴当时，将用和表示；

⑵若、、三点能构成三角形，求实数应满足的条件．

18.（本小题12分）已知函数的最大值为，

(1)求常数的值，并求函数取最大值时相应的集合；

(2)求函数的单调递增区间.

19.（本小题12分）已知，．

（1）求的值；

（2）若，，求的值．

20. （本小题12分）设两个向量满足.

(1)求方向的单位向量；

(2)若向量与向量的夹角为钝角，求实数t的取值范围．

21.（本小题12分）如图，在梯形中，，．

(1)若，求周长的最大值；

(2)若，，求的值．

22.（本小题12分）已知函数.

（1）若，求的值；

（2）若函数有且仅有一个零点，求实数a的取值范围.

答案和解析

1.B  2.B   3.D  4.B   5.C   6.A   7.C     8.B

9.AC     10.AC   11.ACD      12.BC

 13.        14.  -2   15.7      16.16

17.⑴当时，，设则

；

⑵、、三点能构成三角形不共线

又.    

18.解：【解析】（1）

.

当时，函数取到最大值，

所以，即，  

令，得，                              

所以当函数取到最大值时的集合为.

（2）由（1）得，

所以令，

得，

所以函数的单调递增区间为.

19.（1）因为，，

又，所以，

∴.

（2）因为，

，

又因为，所以，

由（1）知，，

所以．

因为，，则，所以．

20.解（1）由已知，

所以，

所以，

即方向的单位向量为；

（2）由已知，，

所以，

因为向量与向量的夹角为钝角，

所以，且向量不与向量反向共线，

设，则，解得，

从而，

解得.

21.详解】（1）解：在中，

，

因此，当且仅当时取等号．

故周长的最大值是．

（2）解：设，则，．

在中，，

在中，．

两式相除得，，，

因为，

，

，故．

22.解：（1）原方程等价于          

. (若直接写出答案扣2分)                   

（2）令得，

∴，且，整理得，

令，则有且仅有一个零点， ，，

①当时，， 此时，且开口向上，

∴在上有且仅有一个零点；            

②当时，，此时，且开口向下且对称轴方程为，，，故要使在上有且仅有一个零点，

只要且，可得符合条件；

综上：.