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高考数学必刷压轴小题（选择+填空） 专题55 割补法与等积变换求解体积问题 （新高考地区专用）
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这是一份高考数学必刷压轴小题（选择+填空） 专题55 割补法与等积变换求解体积问题 （新高考地区专用），共8页。试卷主要包含了明确模拟练习的目的，查漏补缺，以“错”纠错，严格有规律地进行限时训练，保证常规题型的坚持训练，注重题后反思总结等内容，欢迎下载使用。
1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。
2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。
3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。
4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。
5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。
6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。
专题55 割补法与等积变换求解体积问题
【方法点拨】
利用等积变换求解三棱锥的体积问题，归根结底就是“换顶点（或换底面）”，换顶点的常用方法有二.一是直接换，即从四个顶点选择一个点作为顶点，选择的基本原则是点面距易求，如出现线面垂直等；二是利用线面平行更换顶点，由于该直线上任意一点到平面的距离均相等，换完后依然是便于求出点面距.当然，有时还会遇到利用与平面相交的直线上的点换顶点等不一而足.
利用求体积可以求点面距，其数学方法是“算两次”.
【典型题示例】
例1 在正方体ABCD−A1B1C1D1中，动点E在棱BB1上，动点F在线段A1C1上，O为底面ABCD的中心，若BE=x，A1F=y，则四面体O−AEF的体积( )
A. 与x，y都有关B. 与x，y都无关
C. 与x有关，与y无关D. 与y有关，与x无关
【答案】B
【分析】利用线面平行换顶点，化动为静.
【解析】易知，平面，故四面体 QUOTE O−AEF 即四面体与四面体同底等高，即
同理，平面，故四面体 QUOTE O−AEF 即四面体与四面体同底等高，即
所以，故与x，y都无关.
例2 如图所示，在多面体中，已知四边形是边长为的正方形，且、均为正三角形，，，则该多面体的体积为（ ）
A． B． C．D．
【答案】A
【分析】将物体切割成一个三棱柱，两个三棱锥分别计算体积.
【解析】在上取点使，连接，
是边长为1的正方形，且、均为正三角形，，
所以四边形为等腰梯形，，，
根据等腰梯形性质，，
是平面内两条相交直线，是平面内两条相交直线，
所以平面，平面，
，
几何体体积为
，
故选：A
例3 如图，在长方体中，，，则四棱锥的体积为 cm3.
【答案】
【解析】如图所示，连结交于点，
因为 平面，又因为，所以，，
所以四棱锥的高为，
根据题意，所以，
又因为，，故矩形的面积为，
从而四棱锥的体积.
例4 如下图，四棱锥中，平面，
，则点到平面的距离为 .
【答案】
【分析】先证明，而所求点到平面的距离，需利用“算两次”，求出三棱锥的体积即可.
【解析】因为平面,平面,
所以.由,得
又,平面,平面,所以平面,
因为平面,所以.
连结.设点到平面的距离为.
因为,,所以从而由,
得的面积.由平面及,得三棱锥
的体积因为平面平面,
所以,又,所以
由,,得的面积,
由,得
因此．点到平面的距离为
【巩固训练】
A
A1
B不
C不
B1不
C1不
D1不
D不
1.如下图，在长方体中，3 cm，2 cm，1 cm，则三棱锥的体积为 cm3
2.如图，在正方体中，，为的中点，则三棱锥的体积为 cm3．
3.如图，已知正四棱柱的体积为36，点，分别为棱，上的点（异于端点），且，则四棱锥的体积为 ．
4．如图，三棱锥中，是中点，在上，且，若三棱锥的体积是2，则四棱锥的体积为 ．
5.如图，正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝4，AA1＝6．若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，则三棱锥A—A1EF的体积是 ．
A
B
C
A1
B1
F
C1
E
6.如图，在三棱柱中，分别是的中点，设三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，则 ．
7.在直三棱柱中，，，，.则到面的距离为 .
【答案与提示】
1.【答案】1
【提示】直接使用等体积法.
2.【答案】
【提示】直接使用等体积法.
3.【答案】12
【解析一】特殊位置法，转化为求四棱锥的体积；
【解析二】连接DE，则三菱锥与三菱锥体积相等，所以，因为，所以.
【解析三】补体，如右图.
4．【答案】10
【解析】补体，转化为三菱锥与三棱锥的体积比，实施等积变换.
，
因为，，
则四棱锥的体积为10.
5.【答案】
【提示】直接使用等体积法.
6. 【答案】1：24
【解析】三棱锥与三棱锥的相似比为1：2，故体积之比为1：8．
又因三棱锥与三棱柱的体积之比为1：3．所以，三棱锥与三棱柱的体积之比为1：24．
7.【答案】.
【解析】因为三棱锥与三棱锥的底面积相等，
高也相等（点C到平面的距离）；
所以三棱锥与三棱锥的体积相等.
又，
所以.
设到面的距离为H，
则，解得.
1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。
2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。
3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。
4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。
5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。
6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。
专题55 割补法与等积变换求解体积问题
【方法点拨】
利用等积变换求解三棱锥的体积问题，归根结底就是“换顶点（或换底面）”，换顶点的常用方法有二.一是直接换，即从四个顶点选择一个点作为顶点，选择的基本原则是点面距易求，如出现线面垂直等；二是利用线面平行更换顶点，由于该直线上任意一点到平面的距离均相等，换完后依然是便于求出点面距.当然，有时还会遇到利用与平面相交的直线上的点换顶点等不一而足.
利用求体积可以求点面距，其数学方法是“算两次”.
【典型题示例】
例1 在正方体ABCD−A1B1C1D1中，动点E在棱BB1上，动点F在线段A1C1上，O为底面ABCD的中心，若BE=x，A1F=y，则四面体O−AEF的体积( )
A. 与x，y都有关B. 与x，y都无关
C. 与x有关，与y无关D. 与y有关，与x无关
【答案】B
【分析】利用线面平行换顶点，化动为静.
【解析】易知，平面，故四面体 QUOTE O−AEF 即四面体与四面体同底等高，即
同理，平面，故四面体 QUOTE O−AEF 即四面体与四面体同底等高，即
所以，故与x，y都无关.
例2 如图所示，在多面体中，已知四边形是边长为的正方形，且、均为正三角形，，，则该多面体的体积为（ ）
A． B． C．D．
【答案】A
【分析】将物体切割成一个三棱柱，两个三棱锥分别计算体积.
【解析】在上取点使，连接，
是边长为1的正方形，且、均为正三角形，，
所以四边形为等腰梯形，，，
根据等腰梯形性质，，
是平面内两条相交直线，是平面内两条相交直线，
所以平面，平面，
，
几何体体积为
，
故选：A
例3 如图，在长方体中，，，则四棱锥的体积为 cm3.
【答案】
【解析】如图所示，连结交于点，
因为 平面，又因为，所以，，
所以四棱锥的高为，
根据题意，所以，
又因为，，故矩形的面积为，
从而四棱锥的体积.
例4 如下图，四棱锥中，平面，
，则点到平面的距离为 .
【答案】
【分析】先证明，而所求点到平面的距离，需利用“算两次”，求出三棱锥的体积即可.
【解析】因为平面,平面,
所以.由,得
又,平面,平面,所以平面,
因为平面,所以.
连结.设点到平面的距离为.
因为,,所以从而由,
得的面积.由平面及,得三棱锥
的体积因为平面平面,
所以,又,所以
由,,得的面积,
由,得
因此．点到平面的距离为
【巩固训练】
A
A1
B不
C不
B1不
C1不
D1不
D不
1.如下图，在长方体中，3 cm，2 cm，1 cm，则三棱锥的体积为 cm3
2.如图，在正方体中，，为的中点，则三棱锥的体积为 cm3．
3.如图，已知正四棱柱的体积为36，点，分别为棱，上的点（异于端点），且，则四棱锥的体积为 ．
4．如图，三棱锥中，是中点，在上，且，若三棱锥的体积是2，则四棱锥的体积为 ．
5.如图，正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝4，AA1＝6．若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，则三棱锥A—A1EF的体积是 ．
A
B
C
A1
B1
F
C1
E
6.如图，在三棱柱中，分别是的中点，设三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，则 ．
7.在直三棱柱中，，，，.则到面的距离为 .
【答案与提示】
1.【答案】1
【提示】直接使用等体积法.
2.【答案】
【提示】直接使用等体积法.
3.【答案】12
【解析一】特殊位置法，转化为求四棱锥的体积；
【解析二】连接DE，则三菱锥与三菱锥体积相等，所以，因为，所以.
【解析三】补体，如右图.
4．【答案】10
【解析】补体，转化为三菱锥与三棱锥的体积比，实施等积变换.
，
因为，，
则四棱锥的体积为10.
5.【答案】
【提示】直接使用等体积法.
6. 【答案】1：24
【解析】三棱锥与三棱锥的相似比为1：2，故体积之比为1：8．
又因三棱锥与三棱柱的体积之比为1：3．所以，三棱锥与三棱柱的体积之比为1：24．
7.【答案】.
【解析】因为三棱锥与三棱锥的底面积相等，
高也相等（点C到平面的距离）；
所以三棱锥与三棱锥的体积相等.
又，
所以.
设到面的距离为H，
则，解得.
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