2023届浙江省杭州地区（含周边）重点中学高三下学期一模数学试题（含答案）

2023年浙江省杭州市高考数学一模试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知为虚数单位，复数，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知单位向量，满足，则在方向上的投影向量为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  国际数学家大会已经有了一百多年历史，每届大会都是吸引当时世界上研究各类数学和相关问题的世界顶级科学家参与世纪的第一次国际数学家大会在我国北京举行，有来自多个国家的多位数学家参加了本次大会这次大会的“风车“会标取材于我国古代数学著作勾股圆设方图，该弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若下图中所示的角为，且大正方形与小正方形面积之比为：，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  四位爸爸、、、相约各带一名自己的小孩进行交际能力训练，其中每位爸爸都与一个别人家的小孩进行交谈，则的小孩与交谈的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知函数，若在区间上有且仅有个零点和条对称轴，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  若，则(    )

A.  B.  C.  D.

8.  空间中四个点、、、满足，，且直线与平面所成的角为，则三棱锥的外接球体积最大为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  如图，正四棱柱中，，、分别为的中点，则(    )

A.
B. 直线与直线所成的角为
C. 直线与直线所成的角为
D. 直线与平面所成的角为
 

10.  下列说法正确的有(    )

A. 若事件与事件互斥，则
B. 若，，，则
C. 若随机变量服从正态分布，，则
D. 这组数据，，，，的分位数为

11.  设为抛物线：的焦点，过点的直线与抛物线交于两点，过作与轴平行的直线，和过点且与垂直的直线交于点，与轴交于点，则(    )

A. 为定值
B. 当直线的斜率为时，的面积为其中为坐标原点
C. 若为的准线上任意一点，则直线，，的斜率成等差数列
D. 点到直线的距离为

12.  已知函数的零点为，函数的零点为，则(    )

A.  B.
C.  D.

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  在的展开式中，常数项为        ．

14.  已知点，直线与圆：交于两点，若为等腰直角三角形，则直线的方程为        写出一条即可

15.  已知椭圆：的左右焦点分别为，，若与椭圆无公共点的直线上存在一点，使得的最大值为，则椭圆离心率的取值范围是        ．

16.  若点在函数的图象上，则的取值范围是        ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知中角、、所对的边分别为、、，且满足，．
求角；
若，边上中线，求的面积．

18.  本小题分
已知数列的前项和为，且．
求及数列的通项公式；
在与之间插入个数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，求数列的前项和．

19.  本小题分
如图，在四棱锥中，底面为梯形，，，，，平面平面，为棱上的点，且．
求证：平面；
若，二面角为，求平面与平面的夹角的余弦值．

20.  本小题分
中国男篮历史上曾次参加亚运会，其中次夺得金牌，是亚运会夺冠次数最多的球队第届亚运会将于年月日至月日在杭州举办．
为了解喜爱篮球运动是否与性别有关，某学校随机抽取了男生和女生各名进行调查，得到列联表如下：

依据小概率值的独立性检验，能否认为喜爱篮球运动与性别有关？
校篮球队中的甲、乙、丙三名球员将进行传球训练，第次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到记开始传球的人为第次触球者，第次触球者是甲的概率记为，即．
求，，并证明：为等比数列；
比较第次触球者是甲与第次触球者是乙的概率的大小．
参考公式：，其中为样本容量．
参考数据：

21.  本小题分
已知双曲线：的离心率为，并且经过点．
求双曲线的方程．
若直线经过点，与双曲线右支交于、两点其中点在第一象限，点关于原点的对称点为，点关于轴的对称点为，且直线与交于点，直线与交于点，证明：双曲线在点处的切线平分线段．

22.  本小题分
已知函数．
若函数为增函数，求的取值范围；
已知，
证明：；
若，证明：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，
．
故选：．
可求出集合，，然后进行交集的运算即可．
本题考查了指数函数的单调性，绝对值不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：复数，
则．
故选：．
根据已知条件，结合复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数模公式，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：由已知，
因为，所以，
所以在方向上的投影向量为．
故选：．
先将两边平方得到向量的数量积，再根据在方向上的投影向量公式得出结果．
本题考查了平面向量的投影向量公式，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：设直角三角形较短的直角边长为，则较长的直角边长为，
小正方形的边长为，大正方形的边长为，
大正方形与小正方形面积之比为：，
，
，即，
又，
联立得，，
故选：．
设直角三角形较短的直角边长为，则较长的直角边长为，求出小正方形的边长为，大正方形的边长为，结合题意可得，联立，求解即可得出答案．
本题考查三角形中的几何计算，考查转化思想和方程思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

5.【答案】 

【解析】解：设，，，四位爸爸的小孩分别是，，，，
则交谈组合有种情况，分别为：
，，，，，，，，，
的小孩与交谈包含的不同组合有种，分别为：，，，
的小孩与交谈的概率是．
故选：．
设，，，四位爸爸的小孩分别是，，，，利用列举法能求出的小孩与交谈的概率．
本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：函数

，
因为，
所以，
由于函数在区间上有且仅有个零点和条对称轴，
根据函数的图像：
所以，整理得：
故选：．
首先把函数的关系式变形成余弦型函数，进一步利用余弦型函数的性质的应用求出的取值范围．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，余弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：令，则，
当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
因为，所以，
又，所以，
所以，，
所以，
故．
故选：．
构造函数，对求导，结合导数分析函数的单调性，结合单调性即可比较函数值大小．
本题主要考查了导数与单调性在不等式大小比较中的应用，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：设是三角形的外接圆的圆心，由题意可得，

过作平面于，
直线与平面所成的角为，，，
故的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
当，，在一直线上时，三棱锥的外接球体积最大，
球心在过与平面垂直的直线上且在过的中点与直线垂直的平面内，
球心为平面与直线的交点，可得，
三棱锥的外接球体积最大为
故选：．
先求的外接圆的半径，过作平面于，可得，可得当，，在一直线上时，三棱锥的外接球体积最大，求解即可．
本题考查求空间几何体的外接球的体积的最大值，属中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：对选项，如图，取的中点，连接，，，
又，分别为的中点，
，且，
四边形为平行四边形，
，又易知，
，选项正确；
对选项，在正侧面内的射影为，
而与不垂直，
根据三垂线定理可得与不垂直，选项错误；
对选项，在左侧面内的射影为，
又根据题意易知，
根据三垂线定理可得，
直线与直线所成的角为，选项正确；
对选项，由选项分析可知，
直线与平面所成的角为，
又根据题意易知，选项正确，
故选：．
对选项，取的中点，则易证，，从而可得；
对，选项，根据三垂线定理，即可求解；
对选项，将两异面直线平移成相交直线，即可求解．
本题考查平行线的传递性，三垂线定理的应用，异面直线所成角的求解，属中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：对于，若事件与事件互斥，
则，故A错误；
对于，，，，
事件，相互独立，
故，故B正确；
对于，随机变量服从正态分布，，
则，
故，故C正确；
对于，将数据，，，，进行排序，，，，，，共个，
，
这种数据，，，，的分位数为，故D错误．
故选：．
对于，结合互斥事件的定义，即可求解；
对于，结合独立事件的定义，即可求解；
对于，结合正态分布的对称性，即可求解；
对于，结合百分位数的定义，即可求解．
本题主要考查命题的真假判断与应用，考查转化能力，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：，设直线的方程为，
联立，化为，
，，
，，
为定值，因此A正确．
B.当直线的斜率为时，直线的方程为，
代入椭圆方程可得：，
，，
点到直线的距离，
的面积为，因此不正确．
C.设，则，，，
，
通分后分子

，则直线，，的斜率成等差数列，因此C正确．
D.如图所示，过点作，垂足为，，，
又，，，因此D正确．
故选：．
A.设直线的方程为，代入抛物线方程化为，利用根与系数的关系可得，结合抛物线方程可得，进而判断出正误．
B.当直线的斜率为时，直线的方程为，代入椭圆方程可得：，利用根与系数的关系及抛物线的定义可得，利用点到直线的距离公式可得点到直线的距离，可得的面积，进而判断出正误．
C.设，利用斜率计算公式可得，，，计算，进而判断出正误．
D.过点作，垂足为，利用相似的性质可得，，进而得出，即可判断出正误．
本题考查了抛物线的定义与标准方程及性质、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式、三角形相似的性质、数形结合方法、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意可得，，
令，则，
代入方程可得，
变形为，
令，，
可知函数在上单调递减，
又，，
，即．
由，，即，因此A正确；
，因此B正确；
，因此不正确；
令，则，函数在上单调递增，，
，因此D正确．
故选：．
由题意可得，，令，可得，代入方程可得，变形为，根据函数的单调性及已知，，可得，，进而根据指数与对数的运算性质判断出结论的正误．
本题考查了指数与对数运算性质、函数的单调性、利用导数研究函数的单调性、方程思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
 

13.【答案】 

【解析】解：先求的展开式中常数项以及含的项；

由得，由得；
即的展开式中常数项为，
含的项为
的展开式中常数项为
故答案为：
将问题转化成的常数项及含的项，利用二项展开式的通项公式求出第项，令的指数为，求出常数项及含的项，进而相加可得答案．
本题考查数学的等价转化能力，利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．
 

14.【答案】或或 

【解析】解：由圆：，得圆心，半径，
，在圆上，
若，可得过圆心且，
又，，
直线的方程为，即，
若，可得过圆心且，
可得的直线的方程为，可得的坐标为或，
直线的方程为或，
即或．
故答案为：或或．
分类讨论可求直线的方程．
本题考查求直线方程，考查直线与圆的位置关系，属中档题．
 

15.【答案】 

【解析】解：不妨设，，，，
设直线倾斜角为，直线倾斜角为，

，
若的最大值为，则有最小值，
又，当且仅当，即时取等号，
，，解得，
又椭圆与直线无公共点，，，
椭圆离心率的取值范围是．
故答案为：．
不妨设，，，，直线倾斜角为，直线倾斜角为，由，进可得，由已知可得，可求椭圆离心率的取值范围．
本题考查离心率的求法，考查均值不等式的应用，属中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：由，，
可得，
因为恒成立，
所以，即；
设，，
因为，所以，即在递减，
所以，
则，即，
则的取值范围是
故答案为：
运用两点的距离公式和不等式的性质，以及构造函数判断单调性，可得所求取值范围．
本题考查数列与函数的综合，以及导数的运用：求单调性，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：，
由正弦定理得，
，
，
，
，
，
，
；
，
 则，，边上中线，
故，解得，
． 

【解析】根据已知条件，结合正弦定理，以及三角恒等变换，即可求解；
根据已知条件，推得，两边同时平方，求出，再结合三角形的面积公式，即可求解．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：由题意，当时，，解得，
当时，，
即，解得，
当时，由，
可得，
两式相减，可得，
整理，得，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
，．
由可得，，，
在与之间插入个数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，
则有，
，
，
，
，
两式相减，
可得

，
． 

【解析】先将代入题干表达式计算出，再将代入题干表达式即可计算出的值，当时，由，可得，两式相减进一步推导即可发现数列是以为首项，为公比的等比数列，从而计算出数列的通项公式；
先根据第题的结果写出与的表达式，再根据题意可得，通过计算出的表达式即可计算出数列的通项公式，最后运用错位相减法即可计算出前项和．
本题主要考查数列求通项公式，以及运用错位相减法求前项和问题．考查了分类讨论思想，转化与化归思想，等比数列的判定，等比数列求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
 

19.【答案】证明：设点为的一个三等分点，且，连接，，
因为，，所以，，
又因为，，所以，，
所以四边形是平行四边形，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面．
因为，平面平面，
且平面平面，所以平面，
所以，所以为二面角的平面角，
以为原点建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，令，得；
同理，，，设平面的法向量为，
则，令，则，，所以，
所以平面与平面的夹角的余弦值为
． 

【解析】取的一个三等分点，连接，，证明四边形是平行四边形，得出，即可证明平面．
由，平面平面，得出平面，，是二面角的平面角，建立空间直角坐标系，用坐标表示向量，求出平面、平面的法向量，用法向量求平面与平面夹角的余弦值．
本题考查了空间中的平行与垂直关系应用问题，也考查了空间向量的应用问题，是中档题．
 

20.【答案】解：假设：喜爱足球运动与性别独立，即喜爱足球运动与性别无关，
计算，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为喜爱足球运动与性别有关，此推断犯错误的概率不超过．
由题意知，，，，；
证明：第次触球者是甲的概率记为，
则当时，第次触球者是甲的概率为，
第次触球者不是甲的概率为，
则，
从而，
又，
所以是以为首项，公比为的等比数列，
第次触球者是甲的概率为，
所以，
第次触球者是乙的概率为，
所以第次触球者是甲的概率比第次触球者是乙的概率大． 

【解析】假设：喜爱足球运动与性别独立，即喜爱足球运动与性别无关，计算，对照附表即可得出结论．
根据题意写出、的值，第次触球者是甲的概率记为，时，第次触球者是甲的概率为，第次触球者不是甲的概率为，由此得出，即可判断是等比数列；
写出，计算和的值，比较大小即可．
本题考查了列联表与独立性检验应用问题，也考查了概率与统计的应用问题，是难题．
 

21.【答案】解：依题意，离心率，，解得，，
双曲线的方程为．
证明：设，，
直线为，代入双曲线方程得．
则且，
，，，
，
直线的方程为，令，得，，
直线为，令，得：，即，
设线段的中点坐标为，则，，
过点的切线方程为：，
要证双曲线在点处的切线平分线段，
即证点处的切线经过线段的中点，
，
点处的切线过线段的中点，即点处的切线平分线段． 

【解析】由已知可求，，可求双曲线的方程．
设，，与双曲线联立方程，求得，的方程求得，坐标，可求得中点的坐标，点处的切线经过线段的中点即可．
本题考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属中档题．
 

22.【答案】解：若是增函数，则恒成立，
所以在上恒成立，
令，，则，
所以在上递增，在递减，
所以，
所以，
所以的取值范围为．
证明：由知，当时，，
，
令得，
由知，在上递增，在递减，，
所以，
所以在上，单调递增，
因为，
所以，
所以，
所以，
令，，
在上单调递减，
又，
所以在上，单调递增，
在上，单调递减，
所以，
所以，
所以，即，当时，取等号，
所以，
所以不等式为，
所以．
证明：依题意：有两个不同实数根，
由知，，
令，则，
当时，，
当时，，
所以在上单调递减，
因为，
所以，
所以，
先证明，，
，
所以在上单调递增，
所以，
所以，
所以，
所以，
令，，
，
单调递减，
所以，
又，，
所以存在使得，即，
所以在上，单调递增，
在上，单调递减，
所以，
所以在上单调递减，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以不等式放缩为，
所以，
所以． 

【解析】若是增函数，则恒成立，即在上恒成立，令，，只需，即可得出答案．
由知，当时，，求导分析单调性，推出，即，再证明，即可得出答案．
依题意：有两个不同实数根，，令，求导分析单调性，
可得，证明，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．