专题35 锐角三角函数与圆综合-2023年中考数学二轮复习核心考点专题提优拓展训练

专题35 锐角三角函数与圆综合（原卷版）

第一部分 典例剖析+针对训练

类型一 利用垂径定理构造直角三角形

典例1（2022•三水区一模）如图，已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝6，AC＝4，以A为圆心，AB为半径画圆，与边BC交于另一点D．

（1）求BD的长；

（2）连接AD，求∠DAC的余弦值．

针对训练

1．（2021秋•湖州期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，tanA．以点C为圆心，CB长为半径的圆交AB于点D，则AD的长是（　　）

A．1 B． C． D．2

2．（2022秋•鄞州区期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点D在BC延长线上，且满足∠CAD＝∠B．

（1）求证：AD是⊙O的切线；

（2）若AC是∠BAD的平分线，sinB，BC＝4，求⊙O的半径．

类型二  利用直径所对的圆周角是直角构造直角三角形

典例2（2022•通辽）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则cos∠ADC的值为（　　）

A． B． C． D．

针对训练

1．（2021•东海县模拟）如图，某广场上有一块半径125米的圆形绿化空地⊙O，城市管理部门规划在这块空地边缘顺次选择四点：A，B，C，D，建成一个从A﹣B﹣C﹣D﹣A的四边形循环健身步道（步道宽度忽略不计）．若∠A＝90°，∠B＝53.2°，AB＝200米．

（1）求步道AD的长；

（2）求步道围成的四边形ABCD的面积．（参考数据：sin53.2°≈0.80，cos53.2°≈0.60）

类型三 利用圆周角定理把角转化到直角三角形中

典例3 （2021春•中原区校级月考）如图，D是△ABC的BC边上一点，连接AD，作△ABD的外接圆，将△ADC沿直线AD折叠，点C的对应点E落在圆O上．

（1）求证：AE＝AB；

（2）填空：

①当∠CAD＝　 　°时，四边形OBED是菱形．

②当∠CAB＝90°，cos∠ADB，BE＝2时，BC＝　 　．

针对训练

1．（2019•临河区一模）如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AB＝6，BC＝3，则tan∠ADC的值为　　．

2．（2019春•西陵区期中）如图，已知AD是⊙O的直径，弦BD＝弦BC，经过点B作⊙O的切线交AD的延长线于点E．

（1）求证：∠EBD＝∠CAB；

（2）若BC，AC＝5，求sin∠CBA．

类型四  利用切线与相关半径的关系构造直角三角形

典例4（2022•通辽）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，以O为圆心，OB的长为半径的圆交边AB于点D，点C在边OA上且CD＝AC，延长CD交OB的延长线于点E．

（1）求证：CD是圆的切线；

（2）已知sin∠OCD，AB＝4，求AC长度及阴影部分面积．

针对训练

1．（2019•东河区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC边为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线，交AB于点E，交AC的延长线于点F；若半径为3，且sin∠CFD，则线段AE的长是（　　）

A． B．5 C． D．

第二部分 专题提优训练

1．（2022•东城区二模）如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，D在格点上，以AB为直径的圆过C，D两点，则sin∠BCD的值为 　　．

2．（2022•青白江区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知Rt△ABC可运动（平移或旋转），且∠C＝90°，BC4，tanA，若以点M（3，6）为圆心，2为半径的⊙M始终在△ABC的内部，则△ABC的顶点C到原点O的距离的最小值为　　．

3．（2020秋•上虞区期末）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，P是AB延长线上一点，且BP＝1，过点P作一直线，分别交⊙O于C，D两点，已知∠P＝30°．

（1）求CD与PC的长；

（2）连接BC，AD，求圆内接四边形ABCD的面积．

4．（2022秋•思明区校级期中）如图，AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点C，AO的延长线交⊙O于点D，E是上不与B，D重合的点，∠A＝30°．

（1）求∠BED的大小；

（2）若点F在AB的延长线上，且BF＝AB，求证：DF与⊙O相切．

5．（2020秋•平邑县期末）如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点D，过点B作BE⊥PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E．

（1）求证：AB＝BE；

（2）如果PD＝2，∠ABC＝60°，求BC的长．

6．（2022•松阳县二模）如图，已知以AB为直径的半圆，圆心为O，弦AC平分∠BAD，点D在半圆上，过点C作CE⊥AD，垂足为点E，交AB的延长线于点F．

（1）求证：EF与半圆O相切于点C．

（2）若AO＝3，BF＝2，求tan∠ACE的值．

7．（2022•石家庄模拟）古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”，它的完美来自对称．其中切弦（chordofcontact）亦称切点弦，是一条特殊弦，从圆外一点向圆引两条切线，连接这两个切点的弦称为切弦．此时，圆心与已知点的连线垂直平分切弦．

（1）为了说明切弦性质的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．

已知：如图1，P是⊙O外一点，　                   　．

求证：　                  　．

（2）如图2，在（1）的条件下，CD是⊙O的直径，连接AD，BC，若∠ADC＝50°，∠BCD＝70°，OC＝2，求OP的长．