题型02 三角函数与解三角形题型（面积与周长问题、几何分析与实际应用）-高考数学必考重点题型技法突破

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三角函数与解三角形

目录
一、知“积”积求“和”与知“和”求“积”问题 1
二、“中线”和“角平分线”问题（子母三角形问题） 7
三、面积的最大值问题 12
四、周长或边长的最值（取值范围）问题 16
五、三角函数与解三角形的综合 20
六、几何图形问题与实际应用 25

一、知“积”积求“和”与知“和”求“积”问题
1、的内角A，B，C的对边分别为，已知.
(I)求B；
(II)若的周长为的面积.
【解析】，
,
，
.
,
.
(Ⅱ)由余弦定理得，
，
，
，
.
2、在条件①，②，③中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答.
在中，角的对边分别为，，， .
求的面积.
【答案】见解析
【解析】
若选①：
由正弦定理得，
即，
所以，
因为，所以.
又，
，，所以，
所以.
若选②：
由正弦定理得.
因为，所以，，
化简得，
即，因为，所以.
又因为，
所以，即，
所以.
若选③：
由正弦定理得，
因为，所以，
所以，又因为，
所以，
因为，，所以，
，，所以.
又，
，，所以，
所以.
3、在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.
(1)求角B的大小；
(2)若，且的面积为，求的周长.
【解析】

∵
∴


∵，∴
∴，
解法2：∵，
所以

∵，∴，∴
∴，∵，∴，∴
(2)由(1)知，所以的面积为，∴
因为，由正弦定理可得，
由余弦定理
∴，∴
所以的周长为
4、在①；②；③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题.
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足________________，，求的面积.
【答案】横线处任填一个都可以，面积为．
【解析】
由正弦定理，得.
由，
得.
由，得.
所以.
又(若，则这与矛盾)，
所以.
又，得.
由余弦定理及，
得，
即.将代入，解得.
所以.
在横线上填写“”.
解：由及正弦定理，得
.
又，
所以有.
因为，所以.
从而有.又，
所以
由余弦定理及，
得
即.将代入，
解得.
所以.
在横线上填写“”
解：由正弦定理，得.
由，得，
所以
由二倍角公式，得.
由，得，所以.
所以，即.
由余弦定理及，
得.
即.将代入，
解得.
所以.
5、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC(acosB＋bcosA)＝c。
(1)求C；
(2)若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长。
【解析】　(1)由已知及正弦定理得，2cosC(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinC，
2cosCsin(A＋B)＝sinC，
故2sinCcosC＝sinC。又因为C为△ABC的内角，
可得cosC＝，所以C＝。
(2)由已知，absinC＝。
又C＝，所以ab＝6。
由已知及余弦定理得，a2＋b2－2abcosC＝7，
故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25。
所以△ABC的周长为5＋。
二、“中线”和“角平分线”问题（子母三角形问题）
①学会利用互补角的余弦值互为相反数构造等式，进行消元解决
②对于中线有时候还需要用等积法或面积比值进行解题
1、如图，在△ABC中，sin＝，AB＝2，点D在线段AC上，且AD＝2DC，BD＝，求cosC

【解析】　由条件得cos∠ABC＝，
sin∠ABC＝。在△ABC中，设BC＝a，AC＝3b，
则9b2＝a2＋4－a①
因为∠ADB与∠CDB互补，
所以cos∠ADB＝－cos∠CDB，所以＝－，所以3b2－a2＝－6②。联立①②解得a＝3，b＝1，所以AC＝3，BC＝3。在△ABC中，cosC＝＝＝。
2、在非直角中，，，分别是，，的对边.已知，，求：
(1)的值；
(2)边上的中线的长.
【解析】(1)

.
(2)由余弦定理，即：，∴.
法一：设的长为.则在中，由余弦定理得：，
在中，由余弦定理得：，
∴，
得，即：.
法二：，
∴，
即：.
3、在①;②这两个条件中任选-一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题.

在中，角的对边分别为，已知 ，.
(1)求;
(2)如图，为边上一点，，求的面积
【答案】(1)见解析(2)见解析
【解析】
解:若选择条件①，则答案为:
(1)在中，由正弦定理得，
因为，所以，
所以，因为，所以.
(2)解法1:设，易知

在中由余弦定理得:，解得.
所以
在中，

所以，所以，
所以
解法2:因为，所以，
因为所以，
所以
因为为锐角，所以
又
所以
所以

若选择条件②，则答案为:
(1)因为，所以，
由正弦定理得，
因为，所以，
因为，所以，
则，所以.
(2)同选择①
4、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝0，a＝2，b＝2.
(1)求c；
(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．
解　(1)由已知可得tan A＝－，所以A＝.
在△ABC中，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A，
即28＝4＋c2－4c·cos ，
即c2＋2c－24＝0，解得c＝－6(舍去)或c＝4.
所以c＝4.
(2)由题设可得∠CAD＝，
所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝.
故△ABD的面积与△ACD的面积的比值为＝1.
又△ABC的面积为×4×2sin∠BAC＝2，
所以△ABD的面积为.
5、已知的内角、、的对边分别为、、，满足.有三个条件：①；②；③.其中三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件完成下面两个问题：
(1)求；
(2)设为边上一点，且，求的面积.
【答案】(1)；(2).
【解析】
(1)因为，所以，得，
，，
为钝角，与矛盾，故①②中仅有一个正确，③正确.
显然，得.
当①③正确时，
由，得(无解)；
当②③正确时，由于，，得；
(2)如图，因为，，则，
则，.









三、面积的最大值问题
技巧：学会用余弦定理构造基本不等式
1、在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且满足4cos2－cos2(B＋C)＝。
（1）求角A
（2）若a＝2，求△ABC的面积的最大值
【解析】　（1）因为B＋C＝π－A，所以cos2(B＋C)＝cos(2π－2A)＝cos2A＝2cos2A－1，又cos2＝，所以4cos2－cos2(B＋C)＝可化为4cos2A－4cosA＋1＝0，解得cosA＝。
又A为三角形的内角，所以A＝，
（2）由余弦定理得4＝b2＋c2－2bccosA≥2bc－bc＝bc，即bc≤4，当且仅当b＝c时取等号，所以S△ABC＝bcsinA≤×4×＝，即△ABC的面积的最大值为。
2、已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC。
（1）求角A
（2）求△ABC的面积的最大值
【解析】（1）　由正弦定理，可得(2＋b)(a－b)＝(c－b)·c。
∵a＝2，∴a2－b2＝c2－bc，即b2＋c2－a2＝bc，
由余弦定理，得cosA＝＝。
又A为三角形的内角，所以A＝，
（2）由b2＋c2－a2＝bc，得b2＋c2＝4＋bc。
∵b2＋c2≥2bc，即4＋bc≥2bc，∴bc≤4。
∴S△ABC＝bc·sinA≤，即(S△ABC)max＝。
3、现给出两个条件：①，②，从中选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题：(选出一种可行的条件解答，若两个都选，则按第一个解答计分)在中，分别为内角所对的边( ).
(1)求；
(2)若，求面积的最大值.
【答案】(1)；(2).
【解析】
(1)选①，
由正弦定理可得：，
即，∴，
∵，∴，∴，即，
又，∴，
选②，
由正弦定理可得：，
∴，
∵，∴，∴，
又，∴；
(2)由余弦定理得：，
又，当且仅当“”时取“=”，
∴，即，∴，
∴，
∴的面积的最大值为.
4、在中，角的对边分别为.已知，.
(1)若，求；
(2)求的面积的最大值.
【答案】(1)；(2)4
【解析】
(1)∵，∴，
由正弦定理得.
(2)由(1)知，，
所以，，，
当且仅当时，的面积有最大值4.
5、现给你三个条件：①tan A＋tan C＝.②b＝sin B．③c＝.请你选择一个条件，填入下列问题的横线上，并完成问题的解答．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知______，若△ABC面积的最大值为，求a.
【解】　若选①，由tan A＋tan C＝得＝.
而sin(A＋C)＝sin(180°－B)＝sin B>0，
所以cos C＝，又C∈(0，π)．所以C＝.
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C．
＝a2＋b2－ab≥ab.
所以S△ABC＝absin C≤c2·＝c2.
当且仅当a＝b时，取等号．
由题意得c2＝.所以c＝.此时，a＝b＝c＝.
若选②，b＝sin B由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B．
2sin2 B＝a2＋c2－2accos B≥2ac(1－cos B)，
所以ac≤＝1＋cos B．所以S△ABC＝acsin B≤·(1＋cos B)sin B．当且仅当a＝c时取等号．
由题意得sin B＝.
(1＋cos B)sin B－＝0
令f(B)＝sin B＋sin Bcos B－，B∈(0，π)．
f′(B)＝cos B＋cos2 B－sin2B＝2cos2 B＋cos B－1
＝(cos B＋1)(2cos B－1)，
f′(B)＝0时，B＝.
f′(B)<0时， f′(B)>0时，0 即f(B)＝sin B＋sin Bcos B－在上单调递增．
在上单调递减，所以f(B)max＝f＝0.
即f(B)仅有一个零点B＝.
即方程(1＋cos B)sin B－＝0，有B＝.
所以b＝sin ＝，a＝c＝＝.
若选③，c＝.
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C．
所以≥2ab(1－cos C)．所以ab≤.
当且仅当a＝b时取等号，S△ABC＝absin C≤.
由题意得，＝.
即sin C＋cos C＝.所以sin ＝，
由于 所以C＋＝.所以C＝.
所以a＝b＝＝.
四、周长或边长的最值（取值范围）问题
技巧：利用边化角，转为值域问题进行求解
1、在△ABC中，tan＝2sinC，若AB＝1，求AC＋BC的最大值。
解析　因为tan＝2sinC，所以＝2sinC⇒＝2sinC⇒＝2sinC，因为A＋B＋C＝π，所以A＋B＝π－C，所以sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC，
所以＝2sinC，因为0 2、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知＝。
(1)求A的大小；
(2)若a＝6，求b＋c的取值范围。
【解析】　(1)∵＝＝，
∴cosA＝sinA，∴tanA＝。
∵0 (2)∵＝＝＝＝4，
∴b＝4sinB，c＝4sinC，
∴b＋c＝4sinB＋4sinC＝4[sinB＋sin(π－A－B)]＝4
＝12sin。
∵ ∴6<12sin≤12，即b＋c∈(6,12]。
3、已知A、B分别在射线CM、CN(不含端点C)上运动，∠MCN=23π，在ΔABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c.

(Ⅰ)若a、b、c依次成等差数列，且公差为2．求c的值；
(Ⅱ)若c=3，∠ABC=θ，试用θ表示ΔABC的周长，并求周长的最大值
【答案】(1)c=7或c=2.(2)=2sinθ+2sin(π3−θ)+3，2+3
【解析】
(Ⅰ)∵a、b、c成等差，且公差为2，∴a=c-4、b=c-2．
又因∠MCN=π，,可得,
恒等变形得c2-9c+14=0，解得c=7，或c=2．
又∵c＞4，∴c=7．
(Ⅱ)在△ABC中，由正弦定理可得
.
∴△ABC的周长f(θ)=|AC|+|BC|+|AB|=
,
又,
当,即时，f(θ)取得最大值.
4、在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知．
(1)求角B的大小；
(2)求的取值范围
【答案】(1)；(2)
【解析】
(1)由，
根据正弦定理，有
即有
则有，又，
所以，
(2)由(1)，，则，又为锐角三角形，
所以，且，
所以，于是
则
又
所以，的取值范围是
5、已知函数在上的最大值为3.
(1)求的值及函数的单调递增区间;
(2)若锐角中角所对的边分别为，且，求的取值范围.
【答案】(1),函数的单调递增区间为；(2).
【解析】
(1)

由已知，所以
因此
令
得
因此函数的单调递增区间为
(2)由已知，∴
由得，因此
所以

因为为锐角三角形，所以，解得
因此，那么



五、三角函数与解三角形的综合
注意事项：要熟记三角函数的图像性质，避免出现周期、对称性、单调性时写不出来
1、在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsin A＝acos.
(1)求角B的大小；
(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值．
解　(1)在△ABC中，由正弦定理＝，可得
bsin A＝asin B.
又由bsin A＝acos，得asin B＝acos，
即sin B＝cos，所以tan B＝.
又因为B∈(0，π)，所以B＝.
(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝，
得b2＝a2＋c2－2accos B＝7，故b＝.
由bsin A＝acos，可得sin A＝ .
因为a 因此sin 2A＝2sin Acos A＝，
cos 2A＝2cos2A－1＝.
所以sin(2A－B)＝sin 2Acos B－cos 2Asin B
＝×－×＝.
2、已知函数f(x)＝2cos2x＋sin－1(x∈R)．
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；
(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f(A)＝，若b＋c＝2a，且·＝6，求a的值．
解　(1)f(x)＝sin＋2cos2x－1
＝－cos 2x＋sin 2x＋cos 2x
＝cos 2x＋sin 2x＝sin.
∴函数f(x)的最小正周期T＝＝π.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
可解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)由f(A)＝sin＝，可得
2A＋＝＋2kπ或2A＋＝＋2kπ(k∈Z)．
∵A∈(0，π)，∴A＝，
∵·＝bccos A＝bc＝6，
∴bc＝12，
又∵2a＝b＋c，
∴cos A＝＝－1＝－1＝－1，
∴a＝2.
3、已知函数f(x)＝sin ωx·cos ωx－cos2ωx(ω>0)的最小正周期为.
(1)求ω的值；
(2)在△ABC中，sin B，sin A，sin C成等比数列，求此时f(A)的值域．
解　(1)f(x)＝sin 2ωx－(cos 2ωx＋1)
＝sin－，
因为函数f(x)的最小正周期为T＝＝，
所以ω＝.
(2)由(1)知f(x)＝sin－，
易得f(A)＝sin－.
因为sin B，sin A，sin C成等比数列，
所以sin2A＝sin Bsin C，
所以a2＝bc，
所以cos A＝＝
≥＝(当且仅当b＝c时取等号)．
因为0 所以0 所以－ 所以－1 所以f(A)的值域为.
4、已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为.

(1)求的值及函数的单调递减区间；
(2)如图，在锐角三角形中有，若在线段上存在一点使得，且，，求三角形的面积.
【解析】(1).
因为相邻两条对称轴之间的距离为，所以，即，所以.
故.
令，解得.
所以的单调递减区间为；
(2)由，即.
由得，所以，解得.
再由己知：，，.
∴在中，由，得，
又，∴，∴.
又，
在中，由，得，
∴.
5、已知.
(1)若,求的值;
(2)在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别,若有,求角B的大小以及的取值范围.
【答案】(1) (2) 取值范围是
【解析】
(1)
因为,所以
所以
(2)因为,由正弦定理得:

所以,
即,
因为,所以,
,所以,
所以的取值范围是














六、几何图形问题与实际应用
注意：在碰到实际应用问题要学会建立模型转化为几何图形问题进行分析
1、在①面积，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求.
如图，在平面四边形中，，，______，，求.

【答案】见解析
【解析】
选择①：

所以；
由余弦定理可得


所以
选择②
设，则，，
在中，即
所以
在中，，即
所以.
所以，解得，
又，所以，
所以.
2、如图，在四边形中，

(1)求的值；
(2)若记，求的值.
【答案】(1)；(2).
【解析】
(1)由题意，因为，，，
，，
中，由正弦定理可得，，，
.
中由余弦定理可得，；
(2)由可得，，
，
.
3、如图,某市三地A,B,C有直道互通.现甲交警沿路线AB､乙交警沿路线ACB同时从A地出发,匀速前往B地进行巡逻,并在B地会合后再去执行其他任务.已知AB=10km,AC=6km,BC=8km,甲的巡逻速度为5km/h,乙的巡逻速度为10km/h.

(1)求乙到达C地这一时刻的甲､乙两交警之间的距离;
(2)已知交警的对讲机的有效通话距离不大于3km,从乙到达C地这一时刻算起,求经过多长时间,甲､乙方可通过对讲机取得联系.
【答案】(1) (2) 小时
【解析】
(1)由.
设当乙到达C地时,甲处在D点,则

所以在中,由余弦定理得:

即此时甲､乙两交警之间的距离为
(2)设乙到达C地后,经过t小时,甲､乙两交警之间的距离为 ,
在中，
乙从C地到达B地,用时小时,甲从D处到达B地,用时小时,
所以当乙从C地到达B地,此时,甲从D处行进到E点处,且
所以当时，
令或(舍去)
又当 时,甲､乙两交警间的距离
因为甲､乙间的距离不大于3km时方可通过对讲机取得联系
所以,从乙到达C地这一时刻算起,经过小时,甲､乙可通过对讲机取得联系.

4、如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC为锐角，AD⊥BD，AC平分∠BAD，BC＝2，BD＝3＋，△BCD的面积S＝.
(1)求CD；(2)求∠ABC．
解：(1)在△BCD中，S＝BD·BC·sin∠CBD＝，
因为BC＝2，BD＝3＋，
所以sin∠CBD＝.
因为∠ABC为锐角，所以∠CBD＝30°.
在△BCD中，由余弦定理得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos∠CBD＝(2)2＋(3＋)2－2×2×(3＋)×＝9.所以CD＝3.
(2)在△BCD中，由正弦定理得＝，即＝，解得sin∠BDC＝，因为BC 即＝.①
在△ABC中，由正弦定理得＝，
即＝.②
因为AC平分∠BAD，所以∠CAD＝∠BAC．
由①②得＝，解得sin∠ABC＝.
因为∠ABC为锐角，所以∠ABC＝45°.
5、“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说……除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田.假设霍尔顿在一块成凸四边形的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将连接，设中边所对的角为，中边所对的角为，经测量已知，.

(1)霍尔顿发现无论多长，为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值；
(2)霍尔顿发现麦田的生长于土地面积的平方呈正相关，记与的面积分别为和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出的最大值.
【答案】(1)；(2).
【解析】
(1)在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，，
则，；
(2)，，
则，
由(1)知：，代入上式得：
，
配方得：，
当时，取到最大值.
6、如图所示，经过村庄A有两条夹角60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N(异于村庄A)，要求PM＝PN＝MN＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)?

解：设∠AMN＝θ，
在△AMN中，＝.
因为MN＝2，
所以AM＝sin(120°－θ)．
在△APM中，cos∠AMP＝cos(60°＋θ)．
AP2＝AM2＋MP2－2AM·MP·cos∠AMP＝
sin2(120°－θ)＋4－2×2×sin(120°－θ)·cos(60°＋θ)＝sin2(θ＋60°)－sin(θ＋60°)·cos(θ＋60°)＋4
＝[1－cos(2θ＋120°)]－sin(2θ＋120°)＋4
＝－[sin(2θ＋120°)＋cos(2θ＋120°)]＋
＝－sin(2θ＋150°)，θ∈(0°，120°)．
当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2.所以设计∠AMN＝60°时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．