山西省省际2023届高三数学联考一（启航卷）试题（Word版附解析）

数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在试卷和答题卡指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上，写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，则

A. B. C. D.

2.已知复数（其中是虛数单位）.则

A. B. C. D.

3.有一个正四棱台的油槽，可以装油152升.若油槽的上下底面边长分别为60cm和40cm，则它的深度是

A.180cm B.80cm C.60cm D.30cm

4.现有6个大小相同、质地均匀的小球，球上标有数字1、3，3，4，5，6.从这6个小球中随机取出两个球，如果已经知道取出的球中有数字3.则所取出的两个小球上数字都是3的概率为

A. B. C. D.

5.定义在上的函数满足，且为奇函数.当时，，则

A.1 B. C.0 D.2

6.中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世.如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物，高约为37m，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部的仰角分别为30°和45°，在处测得楼顶部的仰角为15°，则鹳雀楼的高度约为

A.64m B.74m C.52m D.91m

7.已知曲线上一点处的切线为，曲线上至多存在一条与垂直的切线，则实数的取值范围是

A. B. C. D.

8.圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形，过抛物线焦点作抛物线的弦，与抛物线交于，两点，分别过，两点作抛物线的切线，相交于点，那么阿基米德三角形满足以下特性：①点必在抛物线的准线上；②为直角三角形，且为直角；③，已知为抛物线的准线上一点，则阿基米德三角形面积的最小值为

A. B. C.2 D.1

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.设向量，，则

A. B.与的夹角为 C. D.

10.已知函数，则下列结论正确的是

A.函数在上单调递减

B.函数的值域是

C.若方程有5个解，则的取值范围为

D.若函数有3个不同的零点，，，则的取值范围为

11.已知正方体的棱长为2，其外接球的球心为，点满足，过点的平面平行于和，则

A.平面平面

B.平面平面

C.当时，平面截球所得截面的周长为

D.平面截正方体所得截面的面积为定值

12.已知圆，点为直线上的动点，则下列说法正确的是

A.圆心到直线的最大距离为8

B.若直线平分圆的周长、则

C.若圆上至少有三个点到直线的距离为，则

D.若，过点作圆的两条切线，切点为，，当点坐标为时，有最大值

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.的展开式中常数项为___________（用数字作答）.

14.已知数列满足，，则的通项公式是_______.

15.已知双曲线（，）的左，右焦点分别为，，为双曲线的右支上一点，点关于原点的对称点为，满足，且，则双曲线的离心率为________.

16.已知实数，满足，则的取值范围是_________.

四、解答题：本题共6小题.共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）已知数列满足，，且，，成等差数列.

（1）求的通项公式；

（2）若，求数列的前项和.

18.（12分）已知函数（，）的部分图象如图所示.

（1）求的解析式，并求的单调递增区间；

（2）若对任意，都有，求实数的取值范围.

19.（12分）如图，在圆锥中，是底面圆的直径，，是底面圆周上一点，与平面所成的角为30°，点，分别在，上，且平面.

（1）求的值；

（2）求平面与平面夹角的余弦值.

20.（12分）2022年河南、陕西、山西、四川、云南、宁夏、青海、内蒙古8省区公布新高考改革方案，这8省区的新高中生不再实行文理分科，今后将采用“3+1+2”高考模式.“3+1+2”高考模式是指考生总成绩由全国统一高考的语文、数学、外语3个科目成绩和考生选择的3科普通高中学业水平选择性考试科目成绩组成，满分为750分.“3”是三门主科，分别是语文、数学、外语，这三门科目是必选的；“1”指的是要在物理、历史里选一门，按原始分计入成绩；“2”指考生要在生物学、化学、思想政治、地理4门中选择2门，但是这几门科目不以原始分计入成绩，而是等级赋分.

（1）若按照“3+1+2”模式选科，求选出的六科中含有“语文，数学，外语，历史，地理”的概率；

（2）某教育部门为了调查学生语数外三科成绩与选科之间的关系，现从当地不同层次的学校中抽取高一学生4000名参加语数外的网络测试、满分450分，并给前640名颁发荣誉证书，假设该次网络测试成绩服从正态分布.

①考生甲得知他的成绩为260分，考试后不久了解到如下情况：“此次测试平均成绩为210分，290分以上共有91人”，问甲能否获得荣誉证书，请说明理由；

②考生丙得知他的实际成绩为425分，而考生乙告诉考生丙：“这次测试平均成绩为240分，360分以上共有91人”，请结合统计学知识帮助丙同学辨别乙同学信息的真伪.

附：，，.

21.（12分）已知点在椭圆上，直线交椭圆于，两点，直线、的斜率之和为0.

（1）求直线的斜率；

（2）求面积的最大值.

22.（12分）已知函数.

（1）若，求实数的取值范围；

2023年省际名校联考一（启航卷）

数学参考答案及评分说明

评分说明：

1.考生如按其他方法或步骤解答，正确的，同样给分；有错的，根据错误的性质，参照评分说明中相应的规定评分.

2.计算题只有最后答案而无演算过程的，不给分；只写出一般公式但未能与试题所给的具体条件联系的，不给分.

A卷选择题答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.C2.B3.B4.C5.B6.D7.A8.A

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.AC10.BCD11.ABD12.AD

B卷选择题答案

1.A2.D3.C4.C5.B    6.B    7.A8.B9.AD10.BCD11.ABC12.BD

AB卷非选择题答案

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 14. 15. 16.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.解：（1）∵，∴.

又∵，∴，即，

∴数列是公比为2的等比数列.又∵，，成等差数列，

∴，即，解得.∴.

（2）由（1）可知，∴

∴

.

18.解：（1）由图象可得的最小正周期∴，

由，解得，，

又因为，得，∴.

由，，解得，，

所以函数的单调递增区间为.

（2）

.

由得，.

∵，∴，∴，解得.

所以实数的取值范围为.

19.解：过作，垂足为，∵底面，平面，

∴平面平面，∴平面，

∴为直线与平面所成的角，即.

∴，点与点重合，即.

以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间

直角坐标系，则，，，，.

（1）设，则，，.

故.

∵平面，∴，即，解得，所以.

（2）∵平面，∴是平面的一个法向量.设平面的一个法向量为，

则，所以，取，

则.

所以平面与平面夹角的余弦值为.

20.（1）设事件：选出的六科中含有“语文，数学，外语，历史，地理”，

从物理、历史里选一门，生物学、化学、思想政治、地理4门中选择2门的方案有种等可能情况，

事件即从剩余生物学、思想政治、化学三个科目中选择一个有种等可能情况，

所以.

（2）设此次网络测试的成绩.

①由题意可知，

因为，且，

即，，

所以.而，

，

所以前640名学生成绩的最低分低于，

而考生甲的成绩为260分，所以甲同学能够获得荣誉证书.

②（结果是开放的，只要学生的统计理由充分，即可得分，以下两种理由供参考）

若考生乙所说为真，则，

，

而，所以，

从而.

理由1：根据统计学中的原则，即认为为小概率事件，即丙同学的成绩为425分是小概率事件，可认为其不可能发生，但却又发生了，所以可认为乙同学所说为假.

理由2：，4000名学生中成绩大于420分的约有人，这说明4000名考生中，也会出现约5人的成绩高于420分的“极端”样本，由于样本的随机性，丙同学的成绩为425分也有可能发生，所以可认为乙同学所说为真.

21.解：（1）将点的坐标代入椭圆方程得，化简得，解得（舍）或，故椭圆的方程为.

设，，由题易知直线的斜率存在，设直线的方程为，联立直线与椭圆的方程并整理得，

，即.

则，.

由，

化简得，

故，

整理得，又直线不经过点，即，故.

（2）由（1）知，直线的方程为，，，

所以点到直线的距离，

，

所以，

当且仅当，即时等号成立.

经验证，此时满足直线与椭圆相交，故的面积最大为.

22.解：（1）因为函数的定义域为，所以成立，等价于成立.

令，则，

令，则，所以在内单调递减，又因为，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以在处取极大值也是最大值.

因此，即实数的取值范围为.

（2）有2个不同的零点等价于有2个不同的实数根.

令，则，当时，解得.

所以当时，，单调递增，

当时，，单调递减，所以在处取极大值为.

又因为，当时，，当时，.

且时，.所以，且.

因为，是方程的2个不同实数根，即.

将两式相除得，

令，则，，变形得，.

又因为，，因此要证，只需证.

因为，所以只需证，即证.

因为，即证.

令，则，

所以在上单调递增，，即当时，成立，命题得证.